专题02 整式乘法16大题型（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材苏科版

专题02 整式乘法（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 单项式乘法 题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型03 单项式乘法的应用 题型04 多项式乘法 题型05 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型06 多项式乘法中的化简求值 题型07 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型08 多项式乘多项式与图形面积 题型09 多项式乘法中的规律性问题 题型10 整式乘法混合运算 题型11 乘法公式 题型12 乘法公式与几何图形 题型13 通过对完全平方公式变形求值 题型14 求完全平方式中的字母系数 题型15 乘法公式中配方法求最值问题 题型16 乘法公式中的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 单项式的乘法 掌握单项式乘法法则，熟练运算，理清系数、字母及指数的计算要点。 基础常考点，常出现在小题，也会和其他计算题一起考查 单项式乘法的应用 运用单项式乘法解决实际问题，列式计算，提升数学应用与运算能力。 基础常考点，注意应用的实际情况 多项式的乘法 掌握多项式乘法法则，熟练展开计算，规范步骤，能准确化简整式并综合运算。 重要考点，多项式乘法是必须掌握的计算法则，一般在计算题考查 整式乘法化简求值 掌握整式乘法化简步骤，规范代入求值，提升运算准确率与解题能力。 必考点之一，主要是先化简，再求值，解答题必有一道，一般5分左右 多项式乘法与图形面积 能利用多项式乘法推导并计算图形面积，建立几何直观与代数运算的联系，正确列式、化简并解决实际问题。 重要考点，注意多项式乘法与图形面积的表示 整式乘法混合运算 熟练运用各类整式乘法法则，遵循运算顺序完成混合计算，规范步骤，提升综合运算与化简能力。 必考点之一，要注意混合运算的顺序 乘法公式 掌握平方差、完全平方公式，熟记结构特征，灵活运用公式计算、化简与求值。 高频考点，掌握平方差公式和完全平方公式，所有题型均有可能考查； 乘法公式与几何图形 结合几何图形理解乘法公式，数形互推，利用公式求解面积、完成化简计算。 核心考点，也是期中考试的必考内容，一般在大题考查，分值在8分左右； 完全平方公式的变形求值 掌握完全平方公式的常见变形，熟练运用 a2+b2=(a+b)2−2ab 等关系，已知两数和、差、积中任意两个求第三个，避免符号与系数错误，提升灵活变形求值能力。 重要考点，一般在小题中考查，3分左右 知识点01 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 知识点02 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 知识点013 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 知识点04 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点05 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 知识点06 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点07 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 题型一 单项式乘法 易｜错｜点｜拨 1、系数相乘时漏乘、符号搞错（负负得正、一正一负得负）。 2、同底数幂相乘把指数相加算成相乘，或漏掉字母因式。 3、只乘系数不乘字母，或只乘字母不乘系数。 4、有乘方时先算乘方再算乘法，顺序容易颠倒。 5、结果没按规范整理：同类字母没合并、系数没化简。 1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算：_______． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 5．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 7．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若，则的值为______． 8．（24-25七年级下·江苏·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 题型三 单项式乘法的应用 9．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·山东济宁·期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为．按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，．设．下列值确定的是（    ）． A．m B． C． D． 11．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 12．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 题型四 多项式乘法 易｜错｜点｜拨 1、漏项：相乘时没做到逐项相乘，少乘某一项。 2、符号错：括号前是负号时，每一项都要变号，经常只变一部分。 3、合并同类项错：该合并的没合并，或加减算反。 4、指数错：同底数幂相乘指数乱加、乱乘。 5、结果没按降幂 / 升幂整理，格式不规范。 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·江苏·期中）若且，则代数式的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则___________． 16．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)请求出正确的结果． 题型五 （x+p）（x+q）型多项式乘法 17．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若，则________． 19．（25-26七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 20．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 题型六 多项式乘法中的化简求值 易｜错｜点｜拨 先按法则逐项相乘不重不漏，注意符号变号，再合并同类项化简，最后代入数值计算；易错在漏乘、符号错、代入时漏括号或运算顺序乱。 21．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）先化简，再求值． ，其中，． 22．（24-25七年级下·福建宁德·期末）先化简，再求值：，其中． 23．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中，． 24．（24-25七年级下·江苏·期末）先化简，再求值： (1)已知，求的值； (2)，其中． 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值 易｜错｜点｜拨 1、展开后漏项、符号错，导致同类项合并错误。 2、不含某一项，是该项系数为 0，常把常数项、字母系数一起漏掉。 3、只合并部分同类项，没把对应项系数全部合并再令其为 0。 4、解方程求字母时计算出错，忽略系数含字母的情况。 5、忘记检验结果是否使原式有意义。 25．（25-26七年级下·江苏常州·期中）若的积中不含x的一次项，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 26．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知的化简结果中不含的一次项，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若的展开式中不含的一次项，则的值为______． 28．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 题型八 多项式乘多项式与图形面积 29．（25-26七年级下·江苏南京·期中）长方形的长为，宽为，现将长和宽分别增加和． (1)求扩建后长方形的面积；（用含x的代数式表示） (2)当时，求扩建后长方形的面积比原来增加了多少平方厘米． 30．（24-25八年级上·山西朔州·期末）新考研实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 所示． 数据应用： 作差法 实际上，我们可以通过“作差法”来比较两个代数式的大小，例如：比较m和n的大小，若则 (1)请分别计算这两个建筑的占地面积； (2)若，请根据作差法判断哪组同学的想法正确． 31．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为米，宽为米的长方形． (1)求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） (2)当，时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 32．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（），面积分别为和． (1)①用含m的代数式表示： ， ；（结果请化简） ②用“”“ ”或“”填空： ； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是 （用含m的代数式表示，并化简）； ②小方同学发现与的差是定值，请计算出这个定值． 题型九 多项式乘法中的规律性问题 33．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 34．（24-25七年级下·广东佛山·期末）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）《详解九章算法》中记录了“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的规律． 根据数表规律，写出的展开式中，的一次项系数是__________． 36．（25-26七年级下·江苏南京·期末）在“探索与表达规律”一课中，我们充分学习了归纳的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．请结合归纳策略完成以下问题： (1)根据以上规律，计算：__________； (2)你能否由此归纳出一般性规律：__________； (3)根据（2）的规律请你求出：的值； (4)若，则__________． 题型十 整式乘法混合运算 37．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：． 38．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算题 (1)； (2)． 39．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 40．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一 乘法公式 易｜错｜点｜拨 1、混淆平方差与完全平方，把 (a+b)2当成 a2+b2。 2、完全平方漏中间 2ab 项，或符号搞错。 3、系数、括号没平方，如 (2a)2=2a2。 4、逆用公式时结构对不上强行套用。 5、符号处理错误：(−a−b)2 容易变号出错。 6、公式变形时加减搞反，如 a2+b2=(a+b)2+2ab。 41．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，则A等于（    ） A． B． C． D． 42．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若，，则a与b满足的数量关系是______． 43．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 44．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 题型十二 乘法公式与几何图形 易｜错｜点｜拨 1、看图列代数式时边长看错、面积算错，把小正方形边长当成大正方形边长。 2、用面积法推导公式时，分割或拼接后漏算 / 多算某块面积。 3、把完全平方的几何模型当成平方差，或反过来，公式与图形不对应。 4、含字母边长列式时，符号、括号、系数忘记整体处理。 5、利用面积列等式后，化简计算出错，不会数形互化。 45．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，四个完全相同的长方形围成一个正方形，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，得到一个等式． (1)直接写出这个等式__________： (2)试用乘法公式说明这个等式成立； (3)利用这个公式解决问题：若，，求的值． 46．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到 ． 材料二：已知，，求的值． 解：，， 请你根据上述信息解答下面问题： (1)写出图中所表示的数学等式__________________； (2)已知，，求的值； (3)若，，求的值； (4)现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图，已知图3中阴影部分的面积为，图4中阴影部分的面积为，求甲、乙两个正方形的面积之和． 47．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事休”、数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)如图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为 ； 【解决问题】 (2)利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①若，，求的值； ②若满足，求的值； 【拓展提升】 (3)如图丁，长方形中，，，，长方形的面积是100，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点，作，的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 48．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）【探究】若满足，求的值． 设，， 则，， ∴； 【应用】请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，则的值为________； (2)若满足，则的值为________． (3)【拓展】已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形． ①________，________；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 题型十三 通过对完全平方公式变形求值 49．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）若，，则的值为（   ） A． B． C．15 D．不存在 50．（25-26八年级上·江苏·期末）已知，则的值为（   ） A．89 B．74 C．64 D．49 51．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，，则的值为______． 52．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． (1)如图可以得到乘法公式是______， (2)若，求的值； (3)若，求的值． 题型十四 求完全平方式中的字母系数 53．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 54．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）若关于x的多项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．9 D．6 55．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）已知多项式（为常数）是一个完全平方式，则__________． 56．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式是重要的数学公式之一，它在代数式的化简、运算、因式分解等方面广泛应用. (1)请用字母、表示完全平方公式：________； (2)填空：； (3)已知，，求的值. 题型十五 乘法公式中配方法求最值问题 57．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知代数式，当=____时，代数式的值最小，最小值是____． 58．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (2)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 59．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解： ∵， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：_________________； (2)求代数式最小值． 60．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为______． (2)求出代数式的最小值． (3)比较代数式和的大小． 题型十六 乘法公式中的新定义问题 61．（25-26七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)计算； (2)若是一个完全平方式，求常数的值； (3)若，，求的值． 62．（25-26七年级下·江西抚州·期末）若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如：．请根据这个规定解答下列问题： (1)计算：＝       ； (2)代数式为完全平方式，则            ； (3)解方程：． 63．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 64．（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026·江苏无锡·三模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）下列各式可以利用平方差公式计算的是(    ) A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知代数式是一个完全平方式，则常数m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则_____． 7．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）对于任意实数，定义一种新运算“”，规定，若为实数，则的化简结果为______． 8．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若是一个完全平方式，则______________． 9．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要______张． 10．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式：①，②，③，④中，是完全平方式的有_____．（填序号） 11．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值： ，其中． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 13．（25-26七年级下·江苏南京·期中）求代数式的值，其中，． 14．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图是某住宅的平面结构示意图（单位：m）． (1)现要把屋内地面（含阳台）都铺上地砖，需要多少平方的地砖？ (2)如果阳台地砖的价格是x元，房间地砖的价格是元，那么购买地砖需要多少元？ 15．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的等式是_______；（请选择正确的一个） A．B． C．D． (2)应用：利用（1）中选出的等式，完成下列问题：已知，，求的值． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，为杨辉三角的一部分，下图给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其阴影部分面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为．若，，则的值为（    ） A．72 B．45 C．36 D．30 19．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，是的中点，是上一点，分别以、为边，作正方形和正方形，连接和．设，，且，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．64 B．82 C．59 D．57 20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）阅读与运用：例如：若，求的值． 解：则，我们可以得到：．若，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 21．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为_______． 22．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要A、B、C类卡片共_____张． 23．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）利用平方差公式计算：的结果为______． 24．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图中周长为的长方形裁成长方形A（边长为和x）和长方形B，并拼成图．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为．据此可得，代数式的最大值为___________． 25．（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知，，，那么式子的值为______． 26．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中． 27．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 28．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 29．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下面是小丽和小真同学进行整式运算的部分过程，请认真阅读并完成相应的任务．化简并求值：，其中x＝－1，． 小丽同学的解法 解： 小真同学的解法 解： (1)任务一：仔细检查小丽同学解题的过程，回答下列问题． （ⅰ）第 处正确（填序号），用到的乘法公式是 ；（用含a、b的式子表示） （ⅱ）第 处错误（填序号），错误的原因是 ； (2)任务二：小真同学逆用乘法分配律，但过程不完整，请你将小真的化简过程完整的写出来，并代入求值． 30．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）小亮和小红学习了课本页的“探索研究”了解到：两个连续奇数的平方差是的倍数．那么两个连续偶数的平方差会不会也是某个整数的倍数？ 【猜想】 (1)小红先列举了几个例子：___________，…… 小亮在此基础上进行了猜想：两个连续偶数的平方差是的倍数，请你帮助小亮完成证明． 【证明】： 【延伸】 (2)任意两个偶数的平方差是不是也是的倍数？ 请帮助小亮从“数”的角度说明理由； (3)小红看到如图所示的正方形景观广场的地砖，最中心的灰色地砖称为第层，它外面的一圈白色地砖称为第层，再外面一圈灰色地砖称为第层，以此类推．她统计了地砖的数量，发现了一些规律； 请结合小红的发现从“形”的角度说明理由． 【应用】 (4)若为正整数，且大于，若可以表示成两个偶数的平方差，求的最小值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知，则的值是（    ） A．5 B．9 C．13 D．17 32．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 33．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 34．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为、、，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为、、，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 35．（25-26七年级下·江苏南京·期中）18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记；，已知，则m的值是（   ） A．20 B． C． D． 36．（2026·江苏扬州·二模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为____． 37．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：，，则8与24都是奇妙数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼接到正方形的边长为79，则阴影部分的面积为_________． 38．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续正奇数的平方差，并且这两个连续正奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”．例如：，且，所以8是“差方数”．则从小到大排列后，第20个“差方数”是__________． 39．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形），其中3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积是______． 40．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）为落实“双减”政策，我校八年级开展“无书面作业周”研学实践活动，本次活动共开设三条研学路线，参与三条路线的学生人数分别为；这三条路线分别租用三种不同型号的大巴车，每种车型各租10辆，已知路线车辆每辆可乘坐人，路线车辆每辆可乘坐人，路线车辆每辆可乘坐人．活动结束后统计发现，A路线车辆共空余14个座位，B路线车辆共空余16个座位，C路线车辆共空余18个座位．则______． 41．（25-26七年级下·江苏常州·期中） …… (1)根据规律可得________（其中n为正整数）； (2)根据规律可得________（其中n为正整数）； (3)计算：________； (4)计算：________． 42．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在数学兴趣活动中，同学将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为P，Q，判断P与Q的大小并说明理由． 43．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）利用拼图常常可以得到一些有应用价值的等式，方法是把所给的图形以不同的方式拼成不同形状的图形，把图形面积用不同的代数式表示，由于拼图前后的面积相等，从而相应的代数式的值也相等，进而得到等式． (1)【初步应用】 如图，通过计算阴影部分面积，写出一个等式：________（用图中字母表示）． (2)【深入探究】 ①构造图形计算； ②计算________．（直接写出结果） (3)若，，求的值． 44．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【问题背景】同学们一定都熟悉月历吧，月历中有很多奥秘．下面以年1月份的月历(图1)为例，进行数学探究活动． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (图1) 探究一 （1）如图2的“十字型”可以框住月历中的5个数，若将位置，，，上的数按逆时针方向依次两两相乘，再把它们的积相加，所得的和叫做这个“十字型”的“美好数”．例如，图1中阴影部分所示“十字型”的“美好数”，请直接写出计算结果________； （2）在月历中移动“十字型”，可以发现每个“美好数”都与字母位置上的数有关．设这个位置上的数为，请用的代数式表示该“十字型”的“美好数”=________； 探究二 （3）“型”可以框住7个数，其中四个数，，，的位置如图3所示，求的值； 探究三 （4）“十字型”和“型”在月历上可以上下左右移动，也可以重叠覆盖，但覆盖的区域都要有数字．设“十字型”框出来的五个数字之和为，“型”框出来的七个数字之和为．在年1月份的月历中，若，则的最大值是________． 45．（25-26八年级上·福建泉州·期末）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）填空：若，，则_____； 【类比应用】 （2）若关于的方程满足，求的值； 【思维拓展】 （3）“幻方”是中国古代数学的智慧结晶，最早记载于春秋《大戴礼记》．现将数字填入如图所示的三个两两相交的圆圈中，三个交点处（即两个圆圈的重叠部分）填入的数字分别记为，，． 若每个圆圈上的三个数字之和都相等，求的值； 在的条件下，若每个圆圈上的三个数字的平方和分别记为，，，且，求的值． 46．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题呈现】 （）借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图是用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图中的阴影部分面积，请直接写出来．（结果不用化简，保留原式） 方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：______； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：______； 因此，可以得出等式______．（填序号） ①；② 【数学应用】 （）根据图所得的等式，若，，求的值． 【拓展应用】 （）如图，某市会展中心展厅内有一处展示区域（），已知米，点在上且米，在边上取一点，使．为了突出地域特色，分别以为边在外部修建正方形绿植花坛和正方形花卉展示区，连接形成景观步道．若的面积等于平方米，设米，求两个正方形和区域的面积和． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式乘法（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 单项式乘法 题型02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型03 单项式乘法的应用 题型04 多项式乘法 题型05 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型06 多项式乘法中的化简求值 题型07 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型08 多项式乘多项式与图形面积 题型09 多项式乘法中的规律性问题 题型10 整式乘法混合运算 题型11 乘法公式 题型12 乘法公式与几何图形 题型13 通过对完全平方公式变形求值 题型14 求完全平方式中的字母系数 题型15 乘法公式中配方法求最值问题 题型16 乘法公式中的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 单项式的乘法 掌握单项式乘法法则，熟练运算，理清系数、字母及指数的计算要点。 基础常考点，常出现在小题，也会和其他计算题一起考查 单项式乘法的应用 运用单项式乘法解决实际问题，列式计算，提升数学应用与运算能力。 基础常考点，注意应用的实际情况 多项式的乘法 掌握多项式乘法法则，熟练展开计算，规范步骤，能准确化简整式并综合运算。 重要考点，多项式乘法是必须掌握的计算法则，一般在计算题考查 整式乘法化简求值 掌握整式乘法化简步骤，规范代入求值，提升运算准确率与解题能力。 必考点之一，主要是先化简，再求值，解答题必有一道，一般5分左右 多项式乘法与图形面积 能利用多项式乘法推导并计算图形面积，建立几何直观与代数运算的联系，正确列式、化简并解决实际问题。 重要考点，注意多项式乘法与图形面积的表示 整式乘法混合运算 熟练运用各类整式乘法法则，遵循运算顺序完成混合计算，规范步骤，提升综合运算与化简能力。 必考点之一，要注意混合运算的顺序 乘法公式 掌握平方差、完全平方公式，熟记结构特征，灵活运用公式计算、化简与求值。 高频考点，掌握平方差公式和完全平方公式，所有题型均有可能考查； 乘法公式与几何图形 结合几何图形理解乘法公式，数形互推，利用公式求解面积、完成化简计算。 核心考点，也是期中考试的必考内容，一般在大题考查，分值在8分左右； 完全平方公式的变形求值 掌握完全平方公式的常见变形，熟练运用 a2+b2=(a+b)2−2ab 等关系，已知两数和、差、积中任意两个求第三个，避免符号与系数错误，提升灵活变形求值能力。 重要考点，一般在小题中考查，3分左右 知识点01 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 知识点02 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 知识点013 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 知识点04 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点05 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 知识点06 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点07 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 题型一 单项式乘法 易｜错｜点｜拨 1、系数相乘时漏乘、符号搞错（负负得正、一正一负得负）。 2、同底数幂相乘把指数相加算成相乘，或漏掉字母因式。 3、只乘系数不乘字母，或只乘字母不乘系数。 4、有乘方时先算乘方再算乘法，顺序容易颠倒。 5、结果没按规范整理：同类字母没合并、系数没化简。 1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，掌握运算法则是解题关键．根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，同底数幂分别相乘，计算即可. 【详解】解：． 故选：A ． 3．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）利用单项式乘单项式法则进行计算即可； （2）利用单项式乘单项式法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 5．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 6．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 7．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)22 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为， 所以． 所以 ． 题型三 单项式乘法的应用 9．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 10．（25-26七年级上·山东济宁·期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为．按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知，．设．下列值确定的是（    ）． A．m B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与正方形重叠面积的计算、代数式化简及变量关系推导，解题的关键是根据“阴影面积长方形面积（两正方形面积和重叠面积）”，结合面积差条件建立等式，通过消元推导与、的关联． 设、，则；设图①、②、③中两正方形重叠面积分别为、、．由阴影面积公式得、、；利用、化简得、，两式相减消去；再根据正方形放置位置确定、，代入后化简求与的关系． 【详解】解：设，，则； 两正方形重叠面积分别为（图①）、（图②）、（图③）． 由阴影面积公式：，， 故①； 同理②． ②①得：． 由放置位置：图①中，（重叠边长为）； 图②中，（重叠边长为）． 代入得：， 化简得：，即（值确定）． 故选：B． 11．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．当时，则图3中阴影部分的面积______． 【答案】30 【分析】由正方形和长方形的面积公式得出 和，再由可以得出，再用割补法求出，再整体代入求值即可； 【详解】解：由题意得， ，， ， ， ， ． 12．（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）如图，将边长为的大正方形和边长为的小正方形放在同一平面上（）． (1)用含、的代数式表示阴影部分的面积_________． (2)请说明：图形空白部分的面积与的大小无关． 【答案】(1) (2)说明见解析 【分析】（1）分别求出两个三角形面积，即可得出答案； （2）根据题意表示出空白部分的面积即可求解． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积： ； （2）解：空白部分的面积为 空白部分面积与无关． 题型四 多项式乘法 易｜错｜点｜拨 1、漏项：相乘时没做到逐项相乘，少乘某一项。 2、符号错：括号前是负号时，每一项都要变号，经常只变一部分。 3、合并同类项错：该合并的没合并，或加减算反。 4、指数错：同底数幂相乘指数乱加、乱乘。 5、结果没按降幂 / 升幂整理，格式不规范。 13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式法则进行计算，然后列出方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得． 14．（25-26七年级下·江苏·期中）若且，则代数式的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再变形，最后求出答案即可． 【详解】解：∵且， ∴ ． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，型多项式乘法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 展开左边多项式，与右边对比常数项． 【详解】解：左边展开：， 与右边对比， 得， 故答案为：． 16．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)请求出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得：，然后去括号合并同类项可得答案； （2）根据（1）所得的结论，利用多项式乘法法则可得答案． 【详解】（1）解：∵一个多项式加上，得到的结果是， 即， ∴， ∴这个多项式为； （2）解：， ∴正确的结果是． 题型五 （x+p）（x+q）型多项式乘法 17．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路为展开等式左边的乘积，根据多项式相等对应系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】解：首先展开等式左边的多项式乘积， 对比等式两边对应项的系数可得 ． 18．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若，则________． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则计算，即得出，，解出m和n的值，即可求解． 【详解】解：根据多项式乘多项式法则展开左侧：， ∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∴． 19．（25-26七年级下·广东清远·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】(1)，，，， (2)①；② (3)19，11，9，，， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 【详解】（1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 20．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【答案】(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答； （2）根据（1）中呈现的规律，列出公式； （3）根据（2）中的公式代入计算． 【详解】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为： 两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项； （2）解：公式为： （3）解：① ； ② ． 题型六 多项式乘法中的化简求值 易｜错｜点｜拨 先按法则逐项相乘不重不漏，注意符号变号，再合并同类项化简，最后代入数值计算；易错在漏乘、符号错、代入时漏括号或运算顺序乱。 21．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）先化简，再求值． ，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，根据整式的混合运算法则计算，再代入即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 22．（24-25七年级下·福建宁德·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，11 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式相乘的运算法则． 利用多项式乘多项式的法则先进行化简，然后代数求值即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 23．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式以及求值、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将，代入得：原式． 24．（24-25七年级下·江苏·期末）先化简，再求值： (1)已知，求的值； (2)，其中． 【答案】(1)，5 (2)， 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值， （1）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： ． 当时，原式． 题型七 已知多项式乘积不含某项求字母的值 易｜错｜点｜拨 1、展开后漏项、符号错，导致同类项合并错误。 2、不含某一项，是该项系数为 0，常把常数项、字母系数一起漏掉。 3、只合并部分同类项，没把对应项系数全部合并再令其为 0。 4、解方程求字母时计算出错，忽略系数含字母的情况。 5、忘记检验结果是否使原式有意义。 25．（25-26七年级下·江苏常州·期中）若的积中不含x的一次项，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】先计算多项式的乘法，然后合并同类项，再由题意得出即可求解． 【详解】解： ∵与的乘积中不含的一次项 ∴ ∴． 26．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知的化简结果中不含的一次项，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用多项式乘以多项式法则展开，再使得含项的系数为即可求解． 【详解】解： ∵的化简结果中不含的一次项， ∴． 27．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若的展开式中不含的一次项，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算，然后根据多项式不含某一项即它的系数为，即可求出的值． 【详解】解： ， 的展开式中不含的一次项， ， ． 28．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则展开合并同类项后，不含项，且常数项是，据此进行解答即可； （2）按照多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 不含项，常数项是， ，， ，； （2）原式 ， 当，时， 原式 ． 题型八 多项式乘多项式与图形面积 29．（25-26七年级下·江苏南京·期中）长方形的长为，宽为，现将长和宽分别增加和． (1)求扩建后长方形的面积；（用含x的代数式表示） (2)当时，求扩建后长方形的面积比原来增加了多少平方厘米． 【答案】(1) (2)扩建后长方形的面积比原来增加了． 【分析】（1）扩建后长方形的长为，宽为，再利用长方形的面积公式计算即可求解； （2）根据题意列式并化简，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：扩建后长方形的面积为： ； （2）解： ， 当时，， 扩建后长方形的面积比原来增加了． 30．（24-25八年级上·山西朔州·期末）新考研实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 所示． 数据应用： 作差法 实际上，我们可以通过“作差法”来比较两个代数式的大小，例如：比较m和n的大小，若则 (1)请分别计算这两个建筑的占地面积； (2)若，请根据作差法判断哪组同学的想法正确． 【答案】(1)福建土楼占地面积：；山西大院占地面积： (2)①组同学想法正确 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用分割法以及多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用作差法进行判断即可． 【详解】（1）解：福建土楼占地面积： ； 山西大院占地面积： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴①组同学想法正确． 31．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为米，宽为米的长方形． (1)求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） (2)当，时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 【答案】(1)平方米 (2)平方米，平方米 【分析】此题主要考查整式的乘法运算，解题的关键是根据题意列式求解． （1）根据矩形的面积公式即可列式求解； （2）根据厨房的用地面积，利用整式的乘法化简，代入a，b即可求解． 【详解】（1）解： 平方米， 答：这块长方形土地的总面积是平方米． （2）解： 平方米， 当，时，原式平方米， 答：厨房的用地面积为平方米． 32．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（），面积分别为和． (1)①用含m的代数式表示： ， ；（结果请化简） ②用“”“ ”或“”填空： ； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是 （用含m的代数式表示，并化简）； ②小方同学发现与的差是定值，请计算出这个定值． 【答案】(1)①；② (2)①；②1 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，比较基础，能够根据题意列出解题所需的代数式是解题关键． （1）①根据长方形面积公式列式计算即可；②用作差法比较大小即可； （2）①求出乙长方形的周长，即可求出该正方形的边长；②列式计算与的差，可知与m无关． 【详解】（1）解：①根据题意得： ； ； 故答案为：； ② ， ∵， ∴， ∴，即； 故答案为： （2）解：①根据题意得：该正方形纸片的边长是 ， 故答案为： ②， 所以与的差是定值，即小方同学的发现是正确的． 题型九 多项式乘法中的规律性问题 33．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，以及规律探索，正确掌握整式的运算法则是解题的关键，根据题干规律将左侧化简，再利用多项式相等的条件即可得到、的值，即可解题． 【详解】解：， ， ， 即有 ， ，， 则的值是， 故选：B． 34．（24-25七年级下·广东佛山·期末）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法规律探究；根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 【详解】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， 故选：A． 35．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）《详解九章算法》中记录了“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的规律． 根据数表规律，写出的展开式中，的一次项系数是__________． 【答案】 【分析】观察可知，的展开式中，a的一次项系数为n，那么可得的展开式中x的一次项为，据此可得答案． 【详解】解：，a的一次项系数为1， ，a的一次项系数为2， ，a的一次项系数为3， ，a的一次项系数为4， ……， 以此类推，可知的展开式中，a的一次项系数为n， ∴的展开式中，x的一次项为， ∴的展开式中，的一次项系数是． 36．（25-26七年级下·江苏南京·期末）在“探索与表达规律”一课中，我们充分学习了归纳的过程．归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．请结合归纳策略完成以下问题： (1)根据以上规律，计算：__________； (2)你能否由此归纳出一般性规律：__________； (3)根据（2）的规律请你求出：的值； (4)若，则__________． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）仿照题干计算即可； （2）根据（1）作答即可； （3）将化为，根据（2）的规律计算即可； （4）根据（1）求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）可知 （3）解： （4）解：由（1）知 ∵ ∴ 即 ∴ 当时， 当时， 题型十 整式乘法混合运算 37．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 38．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算乘法即可； （2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 39．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 40．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （3）先计算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）先计算乘方，再根据单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 题型十一 乘法公式 易｜错｜点｜拨 1、混淆平方差与完全平方，把 (a+b)2当成 a2+b2。 2、完全平方漏中间 2ab 项，或符号搞错。 3、系数、括号没平方，如 (2a)2=2a2。 4、逆用公式时结构对不上强行套用。 5、符号处理错误：(−a−b)2 容易变号出错。 6、公式变形时加减搞反，如 a2+b2=(a+b)2+2ab。 41．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，则A等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，    　 ． 42．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若，，则a与b满足的数量关系是______． 【答案】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式可得，，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 43．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 44．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）原式. （2）原式. 题型十二 乘法公式与几何图形 易｜错｜点｜拨 1、看图列代数式时边长看错、面积算错，把小正方形边长当成大正方形边长。 2、用面积法推导公式时，分割或拼接后漏算 / 多算某块面积。 3、把完全平方的几何模型当成平方差，或反过来，公式与图形不对应。 4、含字母边长列式时，符号、括号、系数忘记整体处理。 5、利用面积列等式后，化简计算出错，不会数形互化。 45．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，四个完全相同的长方形围成一个正方形，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，得到一个等式． (1)直接写出这个等式__________： (2)试用乘法公式说明这个等式成立； (3)利用这个公式解决问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）用不同的方式表示大正方形的面积，即可得到； （2）利用完全平方公式把等式左右两边分别展开，计算可得结果相等； （3）把，代入计算，即可得到，进一步即可求出结果． 【详解】（1）解：由图可知，中间小正方形的边长为， 大正方形的面积为， 由图可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积为， ； （2）解：左边， 右边 ， 左边＝右边， 即等式成立； （3）解：把，代入等式， 可得：， ，而， ． 46．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到 ． 材料二：已知，，求的值． 解：，， 请你根据上述信息解答下面问题： (1)写出图中所表示的数学等式__________________； (2)已知，，求的值； (3)若，，求的值； (4)现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图，已知图3中阴影部分的面积为，图4中阴影部分的面积为，求甲、乙两个正方形的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）用两种方法表示图2的面积即可； （2）利用代入计算即可； （3）利用代入计算即可； （4）设甲正方形的边长为，乙正方形的边长为，可得，，即可求得的值． 【详解】（1）解：从整体看图是边长为的正方形，则面积为， 另外图可以看作是由三个正方形和六个长方形拼成的，九个部分的面积和为， ∴图中所表示的数学等式为； （2）解：∵，，， ∴， （3）解：∵，，， ∴， ∴； （4）解：设甲正方形的边长为，乙正方形的边长为， ∵图中点为的中点， ∴， ∵图3中阴影部分的面积为， ∴， 即①， ∵图4中阴影部分的面积为， ∴， 即②， ①②，得：， ∴甲、乙两个正方形的面积之和为． 47．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事休”、数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)如图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为 ； 【解决问题】 (2)利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①若，，求的值； ②若满足，求的值； 【拓展提升】 (3)如图丁，长方形中，，，，长方形的面积是100，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点，作，的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 【答案】(1)①③② (2)①；② (3)836 【分析】（1）分别用两种方法表示出阴影部分的面积即可解答； （2）①利用即可解答；②设，则，由公式即可解答； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可得，，，，即，，利用完全平方公式变形，即可解答． 【详解】（1）解：图甲中，由图可知，， 也可以表示为， ∴，即， 图乙中，由图可知，， 也可以表示为， ∴，即， 图丙中，由图可知，， 也可以表示为， ∴， ∴甲，乙，丙3个图形按顺序排列为①③②； （2）解：①∵，， ； ②设，则， 由公式，得， 即； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵，， ∴， 即四边形为正方形，且边长为， 由题意可得，，，， 即，， ∴， ∴， 即四边形的面积836． 48．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）【探究】若满足，求的值． 设，， 则，， ∴； 【应用】请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，则的值为________； (2)若满足，则的值为________． (3)【拓展】已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形． ①________，________；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)13 (3)①，；②20 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，根据已知等式确定出所求即可； （2）设，得到，根据完全平方公式变形计算即可； （3）①设正方形边长为x，进而根据图象可以表示出与； ②根据，阴影部分面积，运用题中方法求出阴影部分面积即可． 【详解】（1）解：设， 则， ； （2）解：设， 则， ； ∵ ； （3）①∵四边形是长方形、、，四边形是正方形、 ， ，； ②∵长方形的面积是 24， ， 阴影部分面积， 设， 则， ， ， 又， ， ． 即阴影部分的面积是 20． 题型十三 通过对完全平方公式变形求值 49．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）若，，则的值为（   ） A． B． C．15 D．不存在 【答案】C 【分析】利用完全平方公式进行变形，将已知条件代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ． 又∵， ∴， ， ∴． 50．（25-26八年级上·江苏·期末）已知，则的值为（   ） A．89 B．74 C．64 D．49 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式的应用能力，代数式求值，关键是完全平方公式能进行准确变形． 运用完全平方公式将原式变形为，再将代入求解． 【详解】解：∵， ∴当时， 原式， 故选：A． 51．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，，则的值为______． 【答案】17 【分析】将两个已知等式利用完全平方公式展开，再将两个展开式相加，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴根据完全平方公式得： ①， ②， 得：， 两边同除以得：． 52．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． (1)如图可以得到乘法公式是______， (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3)13 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积，即可得出结果； （2）利用完全平方公式进行求解即可； （3）设，，利用完全平方公式变形计算即可. 【详解】（1）解： ；                                                （2）解：∵，， ∴， ∴．     （3）解：设，， 由，得， 则， ∵，， ∴， ∴． ∴． 题型十四 求完全平方式中的字母系数 53．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式左边展开后，对比等式两边同类项的系数，即可求出的值． 【详解】解：左边：， 右边：， ， 故． 54．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）若关于x的多项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的定义，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方式的定义，多项式可表示为的形式，通过比较系数求解． 【详解】解：是完全平方式， 可表示为， 比较系数，得：，， 或， 当时，或， 当时，或， 综上所述，或， 故选：B． 55．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）已知多项式（为常数）是一个完全平方式，则__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 56．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式是重要的数学公式之一，它在代数式的化简、运算、因式分解等方面广泛应用. (1)请用字母、表示完全平方公式：________； (2)填空：； (3)已知，，求的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式应用． （1）直接用、表示出完全平方公式即可； （2）根据完全平方公式的展开式，推算出未知项； （3）利用完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ， 故答案为：，； （3）因为，， 所以 ． 题型十五 乘法公式中配方法求最值问题 57．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知代数式，当=____时，代数式的值最小，最小值是____． 【答案】 1 【分析】利用完全平方公式的最小值为0求出代数式的最小值，以及此时的值即可． 【详解】解：当，即时，的值最小，最小值为1， 故答案为：；1 【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 58．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (2)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)， (2)，大， (3) 【分析】（1）根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值； （2）将等式右边配方后即可确定当取何值时能取到最小值； （3）首先得到有关的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴当时有最大值； 故答案为：，大，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 【点睛】本题考查完全平方公式及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 59．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）阅读材料：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解： ∵， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 根据阅读材料解决下列问题： (1)填空：_________________； (2)求代数式最小值． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是掌握的运用，即可． （1）根据，即可； （2），对变形为：，即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：，． （2）∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 60．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为______． (2)求出代数式的最小值． (3)比较代数式和的大小． 【答案】(1) (2)代数式的最小值是5； (3)． 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． （1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）求差，再按照题中的方法求解即可． 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是5； （3）解：∵ ， ∵， ∴， ∴． 题型十六 乘法公式中的新定义问题 61．（25-26七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)计算； (2)若是一个完全平方式，求常数的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)14 (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算求出，然后再根据完全平方公式，即可求出k的值； （3）原式利用题中的新定义计算得出，根据，得出，求出的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 62．（25-26七年级下·江西抚州·期末）若我们规定三角“”表示为：；方框“”表示为：．例如：．请根据这个规定解答下列问题： (1)计算：＝       ； (2)代数式为完全平方式，则            ； (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解； （2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解； （3）根据新定义运算代入数据得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ． 故答案为：； （2） ， 代数式为完全平方式， ， 解得． 故答案为：； （3） ，， 解得． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①，②． 63．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，完全平方公式的运用，整式的运算，熟练掌握相关运算方法，准确计算为解题关键． （1）根据题目中给出的定义代入计算即可； （2）根据题目中给出的定义代入得到式子，再根据完全平方公式求解即可； （3）先根据题目中给出的定义得到，再利用完全平方公式得出，代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：10； （2） ， 是一个完全平方式， ， ， ， 故答案为：； （3） ， ， ， ． 64．（24-25八年级上·江西上饶·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)若整式关于对称，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称； （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴关于对称， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026·江苏无锡·三模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘除法法则，逐一判断运算正误即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意． D、当时，，故该选项不符合题意； 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）下列各式可以利用平方差公式计算的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，平方差公式的结构为，要求相乘的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A:，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可得，可以用平方差公式计算，此项符合题意． 选项B:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 选项C:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 选项D:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先按照多项式乘法运算法则求出，再根据乘积不含x的一次项，得到一次项系数为0，即可求解m的值． 【详解】∵， 又乘积中不含x的一次项， 一次项系数为0，即， 解得：． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 5．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知代数式是一个完全平方式，则常数m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】B 【分析】根据完全平方公式即可求出常数m的值． 【详解】解：∵代数式 是完全平方式， ∴． 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则_____． 【答案】5 【分析】将所求多项式展开整理，整体代入已知和的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 7．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）对于任意实数，定义一种新运算“”，规定，若为实数，则的化简结果为______． 【答案】 【分析】根据新定义以及平方差公式进行计算即可． 【详解】解：． 8．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若是一个完全平方式，则______________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，将原式变形后对应完全平方的展开形式，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：∵是完全平方式，且， ， ． 9．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要______张． 【答案】6 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要（张）． 10．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式：①，②，③，④中，是完全平方式的有_____．（填序号） 【答案】③④ 【分析】根据完全平方式的定义，逐个判断所给多项式是否符合完全平方式的结构特征，即可得到结果． 【详解】解：① 对于，不是完全平方式； ② 对于，不是完全平方式； ③ 对于，整理得，是完全平方式； ④ 对于，整理得，是完全平方式． 11．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）先化简，再求值： ，其中． 【答案】化简为，结果为9 【分析】根据完全平方公式，单项式乘以多项式，整式的加减，化简，再求代数式的值即可； 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）原式. （2）原式. 13．（25-26七年级下·江苏南京·期中）求代数式的值，其中，． 【答案】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行化简，将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 14．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图是某住宅的平面结构示意图（单位：m）． (1)现要把屋内地面（含阳台）都铺上地砖，需要多少平方的地砖？ (2)如果阳台地砖的价格是x元，房间地砖的价格是元，那么购买地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）把房间面积和阳台面积相加即可； （2）把房间面积和阳台面积分别乘以单价相加即可． 【详解】（1）解：需要地砖：； （2）解：购买地砖需要∶（元）． 15．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的等式是_______；（请选择正确的一个） A．B． C．D． (2)应用：利用（1）中选出的等式，完成下列问题：已知，，求的值． 【答案】(1)B (2) 【分析】（1）通过计算图①、图②阴影部分的面积，利用面积相等的关系验证平方差公式． （2）利用（1）中验证的平方差公式，将因式分解，再整体代入已知条件求解． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积：． 图②拼成的矩形的长为，宽为． 图②阴影部分的面积：． ． ． 故选：B． （2）解：， ， ， ， ． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 16．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的结构特征判断，平方差公式要求两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特征才能用平方差公式计算． 【详解】解：A、∵，没有相同的项，不符合平方差公式的结构特征，故不符合要求； B、在中，与互为相反数，与也互为相反数，没有相同的项，不符合平方差公式的结构特征，故不符合要求； C、∵中，相同项为a，b与互为相反数，符合平方差公式的结构，∴符合要求； D、∵，两项都相同，∴不符合要求． 17．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，为杨辉三角的一部分，下图给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是杨辉三角与二项式展开式，灵活运用杨辉三角的系数规律及代入法展开是解题的关键．根据杨辉三角给出的的展开式系数规律，得到的展开式，再将，代入，进而求出展开式的第二项． 【详解】解：由图可得，， 将，代入得：， 化简得，， 的展开式中第二项是． 故选：． 18．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其阴影部分面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为．若，，则的值为（    ） A．72 B．45 C．36 D．30 【答案】B 【分析】先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式． 19．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，是的中点，是上一点，分别以、为边，作正方形和正方形，连接和．设，，且，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．64 B．82 C．59 D．57 【答案】D 【分析】根据题意知，阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，由给出的条件即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵，， ∴正方形的面积，正方形的面积， ∵点是的中点，    ∴， ∴， ， ∴ ． 20．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）阅读与运用：例如：若，求的值． 解：则，我们可以得到：．若，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】将原式变形为，利用偶次方的非负性求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 21．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为_______． 【答案】27 【分析】利用完全平方公式变形，将所求代数式转化为含已知代数式的形式，再代入计算求值． 【详解】解： ． 22．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要A、B、C类卡片共_____张． 【答案】9 【分析】根据长方形的面积来判断各需要多少张A、B、C类卡片，最后计算卡片总和． 【详解】解：长方形的面积长宽， 且A、B、C类卡片面积分别为， 故需要2张A，5张B，2张C，共9张． 23．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）利用平方差公式计算：的结果为______． 【答案】1012 【分析】将每个分式的分子利用平方差公式分解因式，约分化简后得到每一项的值，再统计项数计算最终结果． 【详解】解：原式 24．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图中周长为的长方形裁成长方形A（边长为和x）和长方形B，并拼成图．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为．据此可得，代数式的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， 的最大值为． 25．（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知，，，那么式子的值为______． 【答案】 【分析】利用恒等式将原式转化为平方和的形式，结合，，计算即可． 【详解】解：，，， ，，， ，，， ， ∴原式． 26．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】利用平方差及完全平方公式，多项式乘多项式法则将原式展开，然后去括号，合并同类项，最后把已知数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ， ， 原式 ． 27．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1)B (2)①1；②5050 【分析】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）利用平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：① ； ② ． 28．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （3）令，，则，，根据计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 解得； （2）解：由图可得，阴影部分的面积， ，， ， 阴影部分的面积； （3）解：令，， 则，， ． 29．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下面是小丽和小真同学进行整式运算的部分过程，请认真阅读并完成相应的任务．化简并求值：，其中x＝－1，． 小丽同学的解法 解： 小真同学的解法 解： (1)任务一：仔细检查小丽同学解题的过程，回答下列问题． （ⅰ）第 处正确（填序号），用到的乘法公式是 ；（用含a、b的式子表示） （ⅱ）第 处错误（填序号），错误的原因是 ； (2)任务二：小真同学逆用乘法分配律，但过程不完整，请你将小真的化简过程完整的写出来，并代入求值． 【答案】(1)（ⅰ）①；；（ⅱ）②；完全平方公式使用错误，缺中间项2ab (2) 【分析】（1） 根据平方差公式和完全平方公式即可得解； （2） 先化简，再代入计算即可得解． 【详解】（1）解：（ⅰ）①处正确，用到了平方差公式：； （ⅱ）因为完全平方公式为,所以②处错误；错误原因为完全平方公式使用错误，缺中间项． （2）解： ． 当 , 时， 原式 ． 30．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）小亮和小红学习了课本页的“探索研究”了解到：两个连续奇数的平方差是的倍数．那么两个连续偶数的平方差会不会也是某个整数的倍数？ 【猜想】 (1)小红先列举了几个例子：___________，…… 小亮在此基础上进行了猜想：两个连续偶数的平方差是的倍数，请你帮助小亮完成证明． 【证明】： 【延伸】 (2)任意两个偶数的平方差是不是也是的倍数？ 请帮助小亮从“数”的角度说明理由； (3)小红看到如图所示的正方形景观广场的地砖，最中心的灰色地砖称为第层，它外面的一圈白色地砖称为第层，再外面一圈灰色地砖称为第层，以此类推．她统计了地砖的数量，发现了一些规律； 请结合小红的发现从“形”的角度说明理由． 【应用】 (4)若为正整数，且大于，若可以表示成两个偶数的平方差，求的最小值． 【答案】(1)，两个连续偶数的平方差是的倍数，见解析 (2)任意两个偶数的平方差是的倍数，见解析 (3)任意两个偶数的平方差都对应着若干圈地砖的数量，每圈砖的数量都是的倍数，见解析 (4) 【分析】（1）利用代数式表示连续的偶数，并通过平方差公式化简证明； （2）利用代数式表示两个偶数，并通过平方差公式化简证明； （3）观察图形中地砖数量的变化规律，结合面积与边长的关系进行解释； （4）根据若可以表示成两个偶数的平方差，可得 是的倍数，设（为整数），当时，即时，可得的最小值为． 【详解】（1）解：； 证明：设较小的偶数为，则较大的偶数为，为整数， ， ∵为整数，是整数， ∴是的倍数， 即：两个连续偶数的平方差是的倍数； （2）答：两个任意偶数的平方差是的倍数； 设两个偶数分别为（为整数且）， ∴任意两个偶数的平方差为， 为整数， 可以被整除， ∴两个任意偶数的平方差是的倍数； （3）解：由图可知：∵第圈是边长为的正方形，内部是边长为的正方形， ∴第圈地砖数量为：，为正整数，圈地砖总数为， ∴任意两个偶数的平方差都对应着若干圈地砖的数量，每圈砖的数量都是的倍数； （4）解：由题意得：， 是任意两个偶数的平方差， 是的倍数， ∴设（为整数）， 则， 为正整数且大于， 为正数，且为正整数， 当时，即时， 的最小值为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知，则的值是（    ） A．5 B．9 C．13 D．17 【答案】C 【分析】利用完全平方公式把所给等式的左边展开，然后合并同类项推出，根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼成长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法运算及图形面积的理解．先计算出长为、宽为的长方形面积，再分析该面积表达式中与C类卡片面积相关项的系数，从而确定C类卡片的张数． 【详解】解：∵大长方形的长为、宽为， ∴大长方形面积为， 而A类正方形卡片的面积为，B类正方形卡片的面积为，C类长方形卡片的面积为， 由大长方形的面积可知，对应A类卡片的面积，对应B类卡片的面积，对应C类卡片的面积， ∴需要C类卡片的张数为， 故选：B． 33．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值．可通过换元法结合完全平方公式的变形求解，核心是利用完全平方公式中与、的关系推导计算． 【详解】解：设，， ∵， 又∵，且由完全平方公式得， ∴将，代入得：， 即， 解得， ∴， 即， 故选：D． 34．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为、、，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为、、，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可得三个正方形上的数字之和为48，而到这个数字之和为36，据此可得，由，，可得，即可解决问题． 【详解】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16， ∴三个正方形顶点上的数字之和为， 到这个数字之和为， ∵、、都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， 而， ∵三个正方形交点处的三个数字的平方都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∴． 35．（25-26七年级下·江苏南京·期中）18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”．如记；，已知，则m的值是（   ） A．20 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可得： ， ∴， ∴． 36．（2026·江苏扬州·二模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为____． 【答案】8 【分析】设甲，乙两个正方形的边长分别为a，b，由题意可得，再由图1得，进而得出，接下来解一元二次方程求出b，然后讨论可得答案． 【详解】解：设甲，乙两个正方形的边长分别为a，b，且，则， 由图1，得， ∴， ∴（不符合题意舍去）， 即， ∴， 解得， 当时，； 当时，，不合题意舍去． 综上所述，阴影部分面积是8． 37．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：，，则8与24都是奇妙数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼接到正方形的边长为79，则阴影部分的面积为_________． 【答案】3200 【分析】根据题意，易得第1个阴影部分的面积为，第2个阴影部分的面积为，第3个阴影部分的面积为，第4个阴影部分的面积为，每个阴影部分的面积比上一个增加了16；最后一个阴影部分的面积为，这是第20个阴影的面积；所有阴影部分的面积之和即可求得． 【详解】解：根据题意，第1个阴影部分的面积为， 第2个阴影部分的面积为， 第3个阴影部分的面积为， 第4个阴影部分的面积为，， 最后一个阴影部分的面积为，因此这是第20个阴影部分， 所有阴影部分的面积为：． 故答案为：3200． 38．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续正奇数的平方差，并且这两个连续正奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”．例如：，且，所以8是“差方数”．则从小到大排列后，第20个“差方数”是__________． 【答案】3200 【分析】本题考查平方差公式与新定义运算，设两个连续正奇数为和，其中为正整数，根据“差方数”的定义推导得到“差方数”的一般表达式，再代入对应参数计算第20个“差方数”即可． 【详解】解：设两个连续正奇数为 和 ，其中 为正整数． 由平方差公式可得： ． 两个连续正奇数的和为 ． 根据“差方数”的定义， 为某个正整数的平方． 设 ，则 ． 为正整数， 必为偶数． 令 ，其中为正整数，可得 ． 将 代入 ，得 ． 即从小到大排列后，第个“差方数”为． 当求第个“差方数”时，， 则 ． 39．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形），其中3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积是______． 【答案】93 【分析】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积. 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为. 40．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）为落实“双减”政策，我校八年级开展“无书面作业周”研学实践活动，本次活动共开设三条研学路线，参与三条路线的学生人数分别为；这三条路线分别租用三种不同型号的大巴车，每种车型各租10辆，已知路线车辆每辆可乘坐人，路线车辆每辆可乘坐人，路线车辆每辆可乘坐人．活动结束后统计发现，A路线车辆共空余14个座位，B路线车辆共空余16个座位，C路线车辆共空余18个座位．则______． 【答案】192 【分析】本题考查了完全平方公式的应用， 用每辆车可坐人数乘10辆，减去空余座位数，分别表示出；计算、、的值；利用公式 代入计算． 【详解】解：因为每种车型租10辆，A路线每辆坐人，空余14个座位， 所以； B路线每辆坐人，空余16个座位， 所以； C路线每辆坐人，空余18个座位， 所以， ∴； ； ； 所以 ． 41．（25-26七年级下·江苏常州·期中） …… (1)根据规律可得________（其中n为正整数）； (2)根据规律可得________（其中n为正整数）； (3)计算：________； (4)计算：________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题中所给的式子即可得到规律，从而确定答案； （2）由（1）中所得的规律直接求解即可得到答案； （3）由（2）中所得的规律直接求解即可得到答案； （4）由（2）中所得的规律直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）中规律可知：， ； （3）解：由（2）中规律可知，， ∴ ； （4）解： ． 42．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在数学兴趣活动中，同学将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为P，Q，判断P与Q的大小并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】先根据多项式乘多项式求出，根据甲、乙两个长方形周长相等，求出乙长方形的另外一条边长，根据多项式乘多项式再求出，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意得 ， 图乙中长方形的长为： ， ， ． 43．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）利用拼图常常可以得到一些有应用价值的等式，方法是把所给的图形以不同的方式拼成不同形状的图形，把图形面积用不同的代数式表示，由于拼图前后的面积相等，从而相应的代数式的值也相等，进而得到等式． (1)【初步应用】 如图，通过计算阴影部分面积，写出一个等式：________（用图中字母表示）． (2)【深入探究】 ①构造图形计算； ②计算________．（直接写出结果） (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）阴影部分的面积等于4个长方形的面积之和，阴影部分的面积又等于大正方形的面积减去小正方形的面积，据此用两种方法分别表示出阴影部分的面积即可得到答案； （2）①把边长为的正方形分割成三个边长为a、b、c的正方形，2个长为b，宽为a的长方形，2个长为c，宽为a的长方形，2个长为c，宽为b的长方形，根据图形面积之间的关系列式求解即可；②把中的换成，c换成3，再根据（2）①的结论求解即可； （3）根据（2）所求可得，则可求出，进而得到，则可推出；证明，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，阴影部分的面积等于4个长为a，宽为b的长方形面积之和，则阴影部分的面积为； 阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去边长为的正方形的面积，则阴影部分的面积为， ∴； （2）解：①如图所示，最大的正方形面积等于三个边长为a、b、c的正方形的面积之和加上2个长为b，宽为a的长方形面积，加上2个长为c，宽为a的长方形的面积，再加上2个长为c，宽为b的长方形面积， ∴． ②由（2）①可得 ． （3）解：∵， ∴，即， ∵， ∴，即 ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 44．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【问题背景】同学们一定都熟悉月历吧，月历中有很多奥秘．下面以年1月份的月历(图1)为例，进行数学探究活动． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (图1) 探究一 （1）如图2的“十字型”可以框住月历中的5个数，若将位置，，，上的数按逆时针方向依次两两相乘，再把它们的积相加，所得的和叫做这个“十字型”的“美好数”．例如，图1中阴影部分所示“十字型”的“美好数”，请直接写出计算结果________； （2）在月历中移动“十字型”，可以发现每个“美好数”都与字母位置上的数有关．设这个位置上的数为，请用的代数式表示该“十字型”的“美好数”=________； 探究二 （3）“型”可以框住7个数，其中四个数，，，的位置如图3所示，求的值； 探究三 （4）“十字型”和“型”在月历上可以上下左右移动，也可以重叠覆盖，但覆盖的区域都要有数字．设“十字型”框出来的五个数字之和为，“型”框出来的七个数字之和为．在年1月份的月历中，若，则的最大值是________． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【分析】（1）直接按照有理数混合运算法则计算“美好数”的结果； （2）设位置的数为，用表示出、、、的数，根据“美好数”的定义列出代数式并化简； （3）设型中间数为，用表示出的数，代入进行整式的乘法与减法运算并化简； （4）分别用字母表示出和，根据建立方程，结合月历中数的取值范围确，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：； （2）解：设位置的数为，根据月历数字规律，得，，，， 则该“十字型”的“美好数”为： ； （3）解：设型中间位置的数为，根据月历数字规律，得，，，， 则 28； （4）解：设十字型中间数为，则十字型五个数之和， 设型中间数为，则型七个数之和， 由，得，变形为， 又∵为正整数，需为正整数， ∴是5的倍数， 当时，型中间数为5，月历中不存在这种情况； 当时，型中间数为，月历中不存在这种情况； 当时，，型中间数为，十字型中间数为， 此时； 当时，，型中间数为，十字型中间数为7，月历中不存在这种情况； 当时，，月历中不存在这种情况； 综上，的最大值为． 45．（25-26八年级上·福建泉州·期末）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）填空：若，，则_____； 【类比应用】 （2）若关于的方程满足，求的值； 【思维拓展】 （3）“幻方”是中国古代数学的智慧结晶，最早记载于春秋《大戴礼记》．现将数字填入如图所示的三个两两相交的圆圈中，三个交点处（即两个圆圈的重叠部分）填入的数字分别记为，，． 若每个圆圈上的三个数字之和都相等，求的值； 在的条件下，若每个圆圈上的三个数字的平方和分别记为，，，且，求的值． 【答案】（）；（）；（）或；． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）因为，显然，所以，即，然后两边平方即可求解； （）设每个圆圈上的三个数字之和为，则得，因为为整数，且，解得，然后通过为的倍数即可求解； 因为，所以，即，然后分（）当，（）当两种情况求解即可． 【详解】解：（）由完全平方公式：， 因此， 因为，， 所以， 故答案为：； （）因为，显然， 所以， 即， 所以； （）设每个圆圈上的三个数字之和为， ∴， ， ， 因为为整数，且， 解得， 又因为为的倍数， 所以或； 因为， 所以， 即， （）若，则， 所以（不合题意，舍去）； （）若，则， 所以． 所以的值为． 46．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题呈现】 （）借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图是用边长分别为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图中的阴影部分面积，请直接写出来．（结果不用化简，保留原式） 方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：______； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：______； 因此，可以得出等式______．（填序号） ①；② 【数学应用】 （）根据图所得的等式，若，，求的值． 【拓展应用】 （）如图，某市会展中心展厅内有一处展示区域（），已知米，点在上且米，在边上取一点，使．为了突出地域特色，分别以为边在外部修建正方形绿植花坛和正方形花卉展示区，连接形成景观步道．若的面积等于平方米，设米，求两个正方形和区域的面积和． 【答案】（），，②；（）；（）平方米 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）利用（）得到的等式计算即可求解； （）由题意得米，米，米，即得，得到，又由图可得正方形和区域的面积和为，设，，则，，利用（）得到的等式求出的值即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形运算及其应用，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加：； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：； 因此，可以得出等式， 故答案为：，，②； （）∵，，， ∴； （）由题意得，米，米，米， ∵的面积等于平方米， ∴， 即， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和区域的面积和为， 设，，则，， ∵， ∴， 即， ∴两个正方形和区域的面积和为平方米． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $