专题2.1 函数概念及定义域-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数概念及定义域这一高考核心考点，涵盖基础函数定义、三要素、定义域求法（分式、根式、对数等）、抽象函数定义域及参数范围问题，按“概念梳理-方法提炼-应用突破”逻辑架构知识点，通过考点精讲、典例剖析、分层训练环节，帮助学生系统构建知识网络，精准突破定义域求解难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如抽象函数定义域教学中，通过“括号内范围相同”法则引导学生逻辑推理，设计从基础辨析到综合参数的梯度练习，配合即时纠错反馈，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习进度、提升学生应考能力提供实用教学资源。

专题02 函数与基本初等函数 专题2.1 函数概念及定义域 2.1.1 基础函数概念及定义域 1.函数的定义：一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：，.集合A叫做函数的定义域，记为D，集合叫做值域，记为C. 2.函数三要素：定义域、值域、对应关系. 同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 3.求函数的定义域 （1）分式的分母不为零. （2）偶次方根的被开方数大于或等于零. （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1. （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零. （5）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 例1.下列对应关系中，能构成从集合到集合的函数的是（） A.，对应法则 B.，对应法则 C.，对应法则 D.，对应法则 例2.已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.其中是同一个函数的是(　　) A．没有 B．仅有② C．②④ D．②③④ 例3.函数的定义域是 . 例4.函数的定义域是 . 例5.若, 则的定义域为 . 1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A.， B.， C.， D.， 2.在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝； ②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25； ④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2； ⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y； ⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0. A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤ 3.函数的定义域为 . 4.函数的定义域为 . 5.函数的定义域为 . 6.已知函数，则该函数的定义域为 . 7.函数的定义域为 . 8.函数的定义域为 . 9.函数的定义域是 . 10.函数的定义域为 . 11.函数的定义域为 . 12.已知函数，则该函数的定义域为 . 2.1.2 抽象函数的定义域 已知f(x)的定义域求解的定义域，或已知的定义域求f(x)的定义域抽象函数求定义域，遵循两点： ①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则f下，括号内的范围相同. 例1.已知函数的定义域为，则的定义域为 . 例2.已知定义域为，且，则的定义域为 . 例3.设函数, 则函数的定义域为 . 例4.已知函数，则y＝f（2x+1）的定义域为 ． 1.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 2.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 3.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 4.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 5.若函数的定义域为,则函数的定义域为 . 6.已知定义域为，则的定义域为 . 7.已知定义域为，则的定义域为 . 8.已知定义域为，则的定义域为 . 9.设则的定义域为 ． 10.已知函数的值域为,则函数的定义域为 ． 11.已知定义域为，若定义域存在，则实数的取值范围为 ． 2.1.3 已知函数定义域求参数范围 函数定义域是指自变量x的取值范围（或集合），使得函数表达式有意义（如分母不为0、偶次根式下非负、对数真数为正等）.当函数中含参数时，若已知函数的定义域，需通过定义域的限制条件反推参数的取值或取值范围，这类问题称为“已知函数定义域求参数”. 例1.函数的定义域为R，求实数的取值范围. 例2.函数的定义域为R，求实数的取值范围. 例3.函数的定义域为R，求实数的取值范围. 例4.函数的定义域为R，求实数的取值范围. 1.函数y的定义域为R，则实数k的取值范围为 ． 2.若函数的定义域为，则的取值范围为 ． 3.函数的定义域为R，则实数的取值范围为 ． 4.函数的定义域为，则实数的值为 ． 5.函数的定义域为R，则实数的取值范围为 ． 6.函数的定义域为，求实数的取值范围. 7.函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是 ． 8.已知函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围 ． 9.函数的定义域为，则的取值范围为 ． 10.若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 11.函数的定义域为R，求实数的取值范围. 12.函数的定义域为R，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数与基本初等函数 专题2.1 函数概念及定义域 2.1.1 基础函数概念及定义域 1.函数的定义：一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：，.集合A叫做函数的定义域，记为D，集合叫做值域，记为C. 2.函数三要素：定义域、值域、对应关系. 同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 3.求函数的定义域 （1）分式的分母不为零. （2）偶次方根的被开方数大于或等于零. （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1. （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零. （5）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 例1.下列对应关系中，能构成从集合到集合的函数的是（） A.，对应法则 B.，对应法则 C.，对应法则 D.，对应法则 解：函数要求集合中每一个元素在中有唯一元素对应 B中时，；C中时分式无意义； D中时分式无意义，均不满足只有A符合函数定义 故选：A. 例2.已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 其中是同一个函数的是(　　) A．没有 B．仅有② C．②④ D．②③④ 解：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同．故选：C. 例3.函数的定义域是 . 解：联立条件，解得故答案为： 例4.函数的定义域是 . 解：由题意得：，解得：-3≤x≤1故答案为：. 例5.若, 则的定义域为 . 解：，所以定义域为. 1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A.， B.， C.， D.， 解：同一函数需定义域、对应法则完全相同A定义域不同；B对应法则不同；D定义域不 同；C定义域均为，化简后解析式一致，是同一函数故选：C. 2.在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝； ②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25； ④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2； ⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y； ⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0. A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤ 解：①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．故答案选:D. 3.函数的定义域为 . 解：要使函数有意义,则,解得,即函数的定义域为. 4.函数的定义域为 . 解：要使函数有意义，需，解得，所以定义域为. 5.函数的定义域为 . 解：分式根式要求，等价于，解得或 故答案为：. 6.已知函数，则该函数的定义域为 . 解：联立，即，得定义域 故答案为： 7.函数的定义域为 . 解：联立条件，解得且故答案为： 8.函数的定义域为 . 解：零次幂底数不为0：；分式分母不为0： 综上且故答案为： 9.函数的定义域是 . 解：试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以，解得.故函数的定义域为. 10.函数的定义域为 . 解：由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件： ，解之得，即函数的定义域为. 11.函数的定义域为 . 解：由已知得，即或，解得或.故函数的定义域为. 12.已知函数，则该函数的定义域为 . 解：联立，得且，即故答案为： 2.1.2 抽象函数的定义域 已知f(x)的定义域求解的定义域，或已知的定义域求f(x)的定义域抽象函数求定义域，遵循两点： ①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则f下，括号内的范围相同. 例1.已知函数的定义域为，则的定义域为 . 解：，即定义域为；由，解得.故答案为： 例2.已知定义域为，且，则的定义域为 . 解：联立，即结合，取交集得.故答案为： 例3.设函数, 则函数的定义域为 . 解：要使函数有意义，则需，解得：，则所求定义域为: .故答案为：. 例4.已知函数，则y＝f（2x+1）的定义域为 ． 解：由f（x），得﹣x2+2x+3≥0，即x2﹣2x﹣3≤0，解得﹣1≤x≤3， 令﹣1≤2x+1≤3，解得﹣1≤x≤1，所以函数y＝f（2x+1）的定义域为[﹣1，1]． 故答案为：[﹣1，1]． 1.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 解：同一对应法则，括号内代数式取值范围一致由，解得 故答案为： 2.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 解：由，解得故答案为： 3.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 解：，则，故定义域为故答案为： 4.已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 解：，即定义域为再由，解得故答案为： 5.若函数的定义域为,则函数的定义域为 . 解：根据已知可得函数的定义域需满足：，解得：,即函数定义域为.故答案为：. 6.已知定义域为，则的定义域为 . 解：联立，得，交集只有故答案为：. 7.已知定义域为，则的定义域为 . 解：需满足，即，得.故答案为： 8.已知定义域为，则的定义域为 . 解：联立，解得：.故答案为： 9.设则的定义域为 ． 解：要使函数有意义，则解得：，有意义，须确保两个式子都要有意义，则.则的定义域为. 故答案为：. 10.已知函数的值域为,则函数的定义域为 ． 解：由值域为,得，所以，解得：，即的定义域为,由，得,故的定义域为. 故答案为：. 11.已知定义域为，若定义域存在，则实数的取值范围为 ． 解：不等式组有解，解得.故答案为：. 2.1.3 已知函数定义域求参数范围 函数定义域是指自变量x的取值范围（或集合），使得函数表达式有意义（如分母不为0、偶次根式下非负、对数真数为正等）.当函数中含参数时，若已知函数的定义域，需通过定义域的限制条件反推参数的取值或取值范围，这类问题称为“已知函数定义域求参数”. 例1.函数的定义域为R，求实数的取值范围. 解：定义域为R等价于恒成立. 当时，恒成立； 当时，需，解得.综上，. 例2.函数的定义域为R，求实数的取值范围. 解：定义域为R等价于恒成立. 当时，恒成立； 当时，需，解得. 综上，. 例3.函数的定义域为R，求实数的取值范围. 解：定义域为等价于恒成立. 当即时，恒成立； 当时，需，解得.综上，. 例4.函数的定义域为R，求实数的取值范围. 解：定义域为R需同时满足：， 由①得：； 由②得：当时，恒成立； 当时，； 当时，开口向下，不满足恒正，舍去；联立得. 综上：实数的取值范围为[0，2). 1.函数y的定义域为R，则实数k的取值范围为 ． 解：函数y的定义域为R等价于kx2﹣2kx+4≥0恒成立， 当k＝0时，显然成立；当k≠0时，由Δ＝4k2﹣16k≤0，得0＜k≤4， 综上，实数k的取值范围为[0，4]．故答案为：[0，4]． 2.若函数的定义域为，则的取值范围为 ． 解：恒成立恒成立 故答案为：[-1，0]. 3.函数的定义域为R，则实数的取值范围为 ． 解：定义域为R等价于恒成立，且底数. 则，解得.综上，.故答案为：. 4.函数的定义域为，则实数的值为 ． 解：定义域为，说明的解集为，则，且方程的两根为和，由韦达定理：， 解得（验证：， 解集为，成立）.故答案为：. 5.函数的定义域为R，则实数的取值范围为 ． 解：定义域为等价于恒成立. 当时，恒成立； 当时，需，解得.综上，. 故答案为：. 6.函数的定义域为，求实数的取值范围. 解：定义域为R等价于恒成立. 当时，恒成立； 当时，需，解得.综上，. 故答案为：. 7.函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是 ． 解：由已知得ax2+4ax+3＝0无解，当a＝0时，3＝0，无解，满足； 当a≠0时，Δ＜0即16a2﹣12a＜0，解得0，综上，0，故答案为：[0，）． 8.已知函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围 ． 解：f（x）， 当m+1＝0，即m＝﹣1时，x﹣2≥0不恒成立，不符合题意， 当m+1＜0时，二次函数开口向下，显然不符合题意， 当m+1＞0，即m＞﹣1时，由题意可知，Δ＝（﹣m）2﹣4（m+1）（m﹣1）≤0，解得m， 综上所述，m的取值范围为[）. 9.函数的定义域为，则的取值范围为 ． 解：由函数的定义域为，得对，恒成立. 当时，恒成立; 当时，，解得：.综上所述的取值范围为.故选：C. 10.若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 解：函数的定义域为，可知的解集为， 若，则不等式恒成立，满足题意； 若，则，解得.综上可知，实数的取值范围是. 11.函数的定义域为R，求实数的取值范围. 解：定义域为R等价于恒成立. 当即时，恒成立； 当时，需，解得.综上，. 12.函数的定义域为R，求实数的取值范围. 解：定义域为R等价于恒成立（分子恒成立）. 当时，恒成立； 当时，需，解得.综上，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $