正态分布专项训练 -2026届高三数学一轮复习

正态分布 一、单项选择题 1．(2024·厦门四检)已知随机变量X～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.3，则P(X＜3)＝(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 2．(2024·阜阳一测)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有(　　) A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 3．(2024·石家庄二模)某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50 000名考生参加这次考试，数学成绩X近似服从正态分布，其正态密度函数为f(x)＝e－，x∈R且P(70≤X≤110)＝0.8，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为(　　) A．2 000 B．3 000 C．4 000 D．5 000 4．(2024·金华义乌三模)某市高中数学统考(总分150分)，假设考试成绩服从正态分布N(95，122)，并按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级．若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.95)(　　) A．A B．B C．C D．D 二、多项选择题 5．已知随机变量X～N(μ，σ2)，函数f(x)＝·e－ (x∈R)，则(　　) A．当x＝μ时，f(x)取得最大值 B．曲线y＝f(x)关于直线x＝μ对称 C．x轴是曲线y＝f(x)的渐近线 D．曲线y＝f(x)与x轴之间的面积小于1 6．(2024·聊城一模)在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀．令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|＜2σ)＝n，则(　　) A．μ＝80，σ＝400 B．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为 C．从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为 D．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为 三、填空题 7．(2024·佛山二模)统计学中通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，简称为3σ原则．假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(400，σ2)(单位：g)，某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修．由此可以得出，σ的最大值是___． 8．(2024·苏中苏北八市三调)已知随机变量X～N(4，42)．若P(X＜3)＝0.3，则P(3＜X＜5)＝____；若Y＝2X＋1，则Y的方差为___． 9．(2024·荆州模拟)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则＋(0＜x＜a)的最小值为____． 四、解答题 10．(2024·河南济、洛、平、许四模)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20 000名考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图． 附：≈2.4；若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5． (1) 根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为＝110．据此估计这20 000名考生数学成绩的标准差s(结果保留整数)． (2) 根据以往经验，可以认为这20 000名考生的数学成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中参数μ和σ可以分别用(1)中的和s来估计．记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y＝5X－10，试估计这20 000名考生中总成绩Y∈[600，660]的人数． 11．(2024·南昌二模)一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000，52)． 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4． (1) 生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间(995，1 000]和(1 005，1 010]内各一只的概率(精确到0.001)． (2) 根据统计学的知识，从服从正态分布N(μ，σ2)的总体中抽取容量为n的样本，则这个样本的平均数服从正态分布N．某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为1 000，1 007，1 012，1 013，1 013(单位：Ω)，你认为这时生产线生产正常吗？请说明理由． 1. C　【解析】 已知随机变量X～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.3，则P(X≥3)＝P(X≤1)＝0.3，故P(X<3)＝1－P(X≥3)＝0.7. 2. A　【解析】 正态分布N(μ，σ)密度函数的性质：正态分布曲线是一条关于x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭．故μ1<μ2，σ1<σ2. 3. D　【解析】 由题易知均值μ＝90，由正态密度曲线的对称性可知P(X>110)＝0.5－P(70≤X≤110)＝0.5－0.4＝0.1，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为0.1×50 000＝5 000. 4. B　【解析】 已知数学测试成绩服从正态分布N(95，122)，则μ＝95，σ＝12，由于A，D等级的概率之和为16%＋16%＝32%＝1－P(μ－σ<X<μ＋σ)，所以P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)＝＝0.16，即P(X≤83)＝P(X≥107)＝0.16，而P(μ－σ<X<μ)＝P(μ≤X<μ＋σ)＝0.34，即P(83<X<95)＝P(95≤X<107)＝0.34，故X≥107为A等级，95≤X<107为B等级，83<X<95为C等级，X≤83为D等级，故99分为B等级． 5. ABC　【解析】 因为随机变量X～N(μ，σ2)，函数f(x)＝e－(x∈R)，所以f(x)的对称轴为x＝μ，且当x＝μ时，f(x)取得最大值，故A，B正确．根据正态分布的曲线可知x轴是渐近线，且曲线y＝f(x)与x轴之间的面积等于1，故C正确，D错误． 6. BCD　【解析】 对于A，由E(X)＝80，D(X)＝400，知μ＝80，σ2＝400，故A错误；对于B，由μ＝80，σ2＝400，知X～N(80，202)，则μ－σ＝80－20＝60，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故有P(60≤X≤100)＝m，P(40<X<120)＝n，则P(100<X<120)＝，P(60≤X<120)＝＋m＝，即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为，故B正确；对于C，P(X≥120)＝，则从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为P＝C××＝，故C正确；对于D，P(X≥60)＝＋，又P(X≥120)＝，故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格的概率为＋，该生测试成绩优秀的概率为，则在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为＝，故D正确． 7. 5　【解析】 依题意，μ＝400，由3σ原则，得400＋3σ≤415，解得σ≤5，所以σ的最大值是5. 8. 0.4　64　【解析】 因为P(X<3)＝P(X>5)＝0.3，所以P(3<X<5)＝1－2P(X<3)＝0.4.由题意可知μ＝4，σ＝4，即D(X)＝16，又Y＝2X＋1，所以D(Y)＝4D(X)＝64. 9. 　【解析】 因为随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则＝1，可得a＝2，则＋＝＋＝(＋)[x＋(2－x)]＝(1＋4＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当x＝时等号成立，所以＋(0<x<a)的最小值为. 10. 【解答】 (1) 抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为s2＝(80－110)2×0.02＋(90－110)2×0.09＋(100－110)2×0.22＋(110－110)2×0.33＋(120－110)2×0.24＋(130－110)2×0.08＋(140－110)2×0.02＝150.故估计这20 000名考生数学成绩的方差为150，标准差s＝＝5≈5×2.4＝12. (2) 由(1)知μ可用x＝110来估计，σ2可用s2＝150来估计，故X～N(110，150).因为Y＝5X－10，所以P(600≤Y≤660)＝P(600≤5X－10≤660)＝P(122≤X≤134).又σ≈12，则P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝＝＝0.135 9，即P(122≤X≤134)＝0.135 9.故这20 000名考生中总成绩Y∈[600，660]的人数约为20 000×0.135 9＝2 718. 11. 【解答】 (1) 因为电阻阻值X服从正态分布N(1 000，52)，所以μ＝1 000，σ＝5，所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这只电阻阻值在(995，1 000]和在(1 005，1 010]的概率分别为P1＝P(995<X≤1 000)＝P(μ－σ<X≤μ)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.341 3，P2＝P(1 005<X≤1 010)＝P(μ＋σ<X≤μ＋2σ)＝[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]≈0.135 9.因此这两只电阻的阻值在区间(995，1 000]和(1 005，1 010]内各一只的概率P＝2P1P2≈2×0.341 3×0.135 9≈0.093. (2) 生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布N，即N(1 000，()2)，记σ′＝，计算可得x＝1 009，而1 009>1 000＋3，即x>μ＋3σ′，因为在一次试验中，小概率事件发生了，所以认为这时生产线生产不正常． 学科网（北京）股份有限公司 $