专题05 空间几何体的表面积与体积期末真题专练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 汇编多地区24-25高一下期末试题，聚焦空间几何体表面积与体积，融合古建筑（须弥座）、传统数学（牟合方盖、刍甍）等文化情境，分层设计基础计算与动态综合问题。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |空间几何体的表面积|5|圆台、组合体、圆锥表面积计算|结合“蘑菇”形组合体表面积，考查空间图形分解能力| |空间几何体的体积|12|圆锥、正方体、圆台、刍甍体积|引用《九章算术》刍甍体积公式，体现文化传承| |与球有关的切、接问题|17|圆柱外接球、三棱锥外接球、折叠体球心|通过翻折、动态旋转（如矩形折起）考查空间想象与球心定位|

专题05 空间几何体的表面积与体积 目录 题型1：空间几何体的表面积 2 题型2：空间几何体的体积 6 题型3：与球有关的切、接问题 19 题型1：空间几何体的表面积 【例1.1.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则圆台的表面积为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】求出上、下圆的面积，作出截面，利用勾股定理求出母线的长，进而求出圆台的侧面积，即可求出圆台的表面积. 【详解】由题意， 圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为， ∴上下圆面积分别为：，， 作出截面图，并作出截面上端点对底边的垂线，如下图所示， 由几何知识得， ，，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，， ∴圆台的侧面积为：， ∴圆台的表面积为：， 故答案为：. 【例1.2.】 （24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、求组合旋转体的表面积 【分析】根据给定的组合体，结合球的表面积公式、圆柱的侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为. 故答案为： 【例1.3.】 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有________． ①圆锥母线与底面所成的角为     ②圆锥PO的侧面积为 ③挖去圆柱的体积为         ④剩下几何体的表面积为 【答案】①③④ 【难度】0.65 【知识点】圆锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求线面角 【分析】根据题意利用勾股定理可求圆锥的母线长，挖去圆柱的半径和高，然后根据体积公式以及表面积公式即可逐项求解． 【详解】如下图： 因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故①正确； 圆锥的侧面积，故②错误； 设圆柱底面与圆锥母线交于点，与圆锥底面直径交于两点， 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故③正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故④正确； 故答案为：①③④ 【例1.4.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．2 B．48 C．50 D．96 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】由题可求圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时，顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则， 当截面过中心轴时，所以， 所以， 由三角形面积公式得当时，截面面积最大，最大为. 故选：C. 【例1.5.】 （多选）（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、圆锥的展开图及最短距离问题、圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解判断B；用极限的思想求出的范围，再利用，求得的范围判断C；利用图形展开及两点之间线段最短判断D. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积，A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为，B错误； 对于C，在中，，又，则， 当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值， 又与不重合，则，又，得，C错误； 对于D，由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图知， 由， 得， 所以，D正确. 故选：D 题型2：空间几何体的体积 【例2.1.】 （24-25高一下·北京房山·期末）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】由条件底面积和侧面积建立方程，求出圆锥的底面半径和母线，再求出高，然后再求体积即可. 【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为，，，已知底面周长，解得；侧面积，代入可得到母线长；由勾股定理可得高；则体积. 故选： 【例2.2.】 （24-25高一下·江苏常州·期末）已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据正方体、圆柱、球的表面积相等设出相应的量，然后用相同的量表示出它们的体积，比较即可. 【详解】设正方体的棱长为，等边圆柱底面圆的半径为，球体的半径为， 所以正方体的表面积为， 等边圆柱的表面积为， 球的表面积为， 因为，即， 由，， 所以正方体的体积为， 等边圆柱的体积为， 球的体积为， 因为， 所以， 故选：C. 【例2.3.】 （24-25高一下·广东汕尾·期末）在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】根据圆锥和球的体积公式求解. 【详解】旋转形成的几何体的体积是球的体积减去两个圆锥的体积. 球的体积为：. 圆锥的体积为：. 所以所得几何体的体积为：. 故答案为： 【例2.4.】 （24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 【例2.5.】 （24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的小圆锥，则所得圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、台体体积的有关计算 【分析】作出图形的轴截面，利用勾股定理及相似比求出圆台的高，再根据圆台的体积公式即可得解． 【详解】设圆锥底面半径为， 由题意可得：圆锥底面圆周长等于侧面展开图的圆弧长，即，解得， 如图，作出图形的轴截面，其中E，B分别为圆台的上下底面圆的圆心， 其中，则， 由，可得， 则所得圆台的体积为． 故选：A． 【例2.6.】 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为6m，下底面边长为8m，侧面积为，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】利用台体侧面积求斜高，再由斜高求台体的高，最后利用台体体积公式求体积即可. 【详解】 取上、下底面中心分别为，取一个侧面等腰梯形的上、下中点分别为， 连接，由底面是正六边形性质可得：， 由上底面边长为，下底面边长为，可得， 则， 再由侧面积为，可得， 根据勾股定理得， 所以正六棱台的体积为 ， 故选：B. 【例2.7.】 （多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、正棱锥及其有关计算、棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正三角形置于同一平面内，求出最短路程判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正三角形，将它们置于同一平面内， 连接，如图，取中点，连接， 则，而， 所以最短路程为，故D正确． 故选：ACD． 【例2.8.】 （24-25高一下·四川成都·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等．图1为棱长为r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为r的正方体的八分之一，图3是底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖暅原理计算知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据题意，列等式，套用正方体，锥体体积公式求解. 【详解】设正方体的边长为，则， 由，则， 所以牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为. 故选：B． 【例2.9.】 （24-25高一下·四川眉山·期末）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（2上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为24m，广为12m，上袤是下袤的，斜脊与底面所成角均为，则该刍甍的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求组合体的体积、证明线面垂直、求线面角 【分析】过点F作于点Q，过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OQ，证明平面，得到。利用相关条件求出高FO，代入体积公式求可. 【详解】如图， 已知，，， 过点F作于点Q，过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OQ， 因为，，平面，所以平面，平面，所以， 因四条斜脊长度相等，则，， 又斜脊与底面所成角均为，则，即该五面体的高度为10m． 所以其体积． 故选：C 【例2.10.】 （24-25高一下·山东德州·期末）已知中，，将顶点绕棱AB旋转到，当时，三棱锥的体积为___________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】由旋转的性质确定三棱锥的特征，求出其高即可求得体积. 【详解】在三棱锥中，， 由，得，则， 取中点，连接，则， 显然，则，又，平面， 因此平面，三棱锥的体积. 故答案为： 【例2.11.】 （24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知正四棱台的上底面的四个顶点都在圆锥的侧面上，下底面的四个顶点都在圆锥的底面圆周上，且，则圆锥的体积为__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正棱台及其有关计算、圆锥中截面的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据题意作出图形，利用正四棱台的相关边长与圆锥的关系，结合图形即可求得圆锥的底面圆半径和高，从而可求其体积. 【详解】 如图，设正四棱台的上底面中心为点，则点在上， 连接 ，则点在上，点在上，因， 由，可得， 因，， 在直角梯形中，， 又由可得. 故圆锥的体积为. 故答案为：. 【例2.12.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水， ，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点．现在固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． (1)如图2，当底面水平放置时，水面高为多少? (2)当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? (3)试分析容器围绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算、面积、体积最大问题 【分析】（1）求得，假设水面高为，利用计算； （2）求得，作出图形，利用面面垂直判定定理可得平面平面，然后求得，最后可得水面到地面的距离为； （3）方法一；作图，假设，根据计算可得，并于联立，然后表示，记，构建函数，根据二次函数性质计算.方法二：作图，假设，得到，整理，联立，结合，化简得，令，构建函数，然后根据二次函数性质可得. 【详解】（1）记水面与棱分别交于点， ，为等腰直角三角形，，分别为棱的中点， ， 当底面ABC水平放置时，设水面高为， ，解得， 当底面ABC水平放置时，水面高为. （2）三棱柱体积为64，三棱锥的体积为 空气部分的体积为， 当水面经过线段时，水面与棱交于点，如图： ，得 记的中点为，连接，则， ， 平面，平面 ， ，平面，平面 平面，平面平面 直线在平面内的投影为 ，为直线与水平面所成角 ， ， ，水面到地面的距离为 （3）解法一：由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图： 记的中点分别为，在上，且，， 易知，为等腰直角三角形，设， ， 整理得，平方得① 平面，平面，平面平面， 与的交点必在上，为棱台， ，整理得② 联立①②可得， ，为平行四边形 易知为等腰梯形，为等腰梯形的高 水面面积 则 当水面刚好过点时，，解得， 此时， 由题意可知，则 记， 由二次函数性质可知，，即 ，所以，即水面面积S的取值范围为.解法二：由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱相交，如图： 记的中点分别为，在上，且，， 易知，为正三角形，设， 整理得，平方得① 平面，平面，平面平面 与的交点必在上，为棱台 ，整理得② 联立①②可得， ，为平行四边形， 当水面刚好过点时，，解得 此时，，令， ， 由二次函数性质可知，，即， ，所以，即水面面积S的取值范围为. 题型3：与球有关的切、接问题 【例3.1.】 （24-25高一下·四川泸州·期末）已知某圆柱的外接球的表面积为，则该圆柱的侧面积的最大值为_______________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据球的表面积求出半径，建立圆柱高和半径的方程，求出圆柱侧面积解析式，利用基本不等式求解最大值. 【详解】设圆柱的底面半径为、高为，球的半径为， 由题知，解得，由圆柱的轴截面性质知， 所以该圆柱的侧面积为， 当且仅当时等号成立，即该圆柱的侧面积的最大值为. 故答案为：. 【例3.2.】 （24-25高一下·四川眉山·期末）已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用正弦定理求出的外接圆直径，利用公式可计算得出三棱锥的外接球直径，然后利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为， 取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于， 则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得. 平面，设的外接圆为圆， 可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示： 设的外接圆直径为，，又， 由正弦定理可得， 该三棱锥的外接球直径为，则. 因此，三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 【例3.3.】 （24-25高一下·甘肃天水·期末）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】将正四面体放置在正方体中，由此可得正方体的内切球即满足条件的球，根据正方体的性质求球的半径，结合球的表面积公式求结论.. 【详解】设题中正四面体为，将它放置于正方体内，使、位于上、下底面的异面的面对角线处， 如图所示．由正方体的性质可得，该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切， 设该正方体的棱长为， 正四面体的棱长为， ，解得， 可得正方体的内接球直径，得， 故球的表面积为． 故答案为：.    【例3.4.】 （24-25高一下·河北石家庄·期末）在三棱锥中，平面，，，，三棱锥的所有顶点均在球的表面上，若点、分别为与的重心，直线与球的表面相交于、两点，则________ 【答案】 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】将三棱锥放入边长为1的正方体中，故三棱锥的外接球球心即为正方体的中心，且为的中点，作出辅助线，得到，外接球半径为，由勾股定理逆定理得到⊥，求出点到直线的距离，从而求出，从而得到答案. 【详解】如图所示，将三棱锥放入边长为1的正方体中， 故三棱锥的外接球球心即为正方体的中心，且为的中点， 取的中点，的中点，连接，，则与的交点即为， 连接，，则与的交点即为，连接， 因为，所以，且， 连接，则，且，故， 因为，所以，所以，， 又，由勾股定理得， ，， 故外接球半径为，故， 因为，由勾股定理逆定理得⊥， 则⊥，故点到直线的距离为， 则，故. 故答案为： 【例3.5.】 （24-25高一下·河北雄安·期末）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正棱锥及其有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，确定外接球球心位置，利用球的截面小圆性质求出球半径即可. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，取线段的中点，连接， 则，，设点在底面的射影为点， 则为正的中心，，则， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，设球的半径为R， 则，由勾股定理得，即，解得， 所以该正三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 【例3.6.】 （24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设，由长方体体积可得，即而求出四面体的外接球的半径，结合球的体积公式以及基本不等式，即可求得答案. 【详解】设，由于，故； 结合长方体性质可知四面体的外接球即为长方体的外接球， 则外接球半径为， 则外接球的表面积为 ，当且仅当时取等号， 即的最小值为， 故答案为： 【例3.7.】 （24-25高一下·广东汕头·期末）如图1，长方体容器置于水平地面上，内灌进一些水，水面高为，，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，容器内的水形成新的几何体，如图2，当时，该几何体的外接球表面积为________． 【答案】41π 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用等体积法求出，利用可求出外接球半径，最后求出表面积. 【详解】依题意，图1和图2中容器内的水形成的几何体都为直棱柱，图2底面△HCG为直角三角形， 由于水的体积及BC不变，故图2中的面积等于图1中矩形的面积，即图2中，，因，则， 此时直三棱柱CHG-BEF可补形为以CH、CG、BC为棱的长方体，则所求外接球直径等于此长方体体对角线长， 即， 故所求外接球表面积为． 故答案为：41π. 【例3.8.】 （24-25高一下·福建南平·期末）如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点．若三棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，利用长方体的对角线长求得外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意可得且两两垂直， 所以三棱锥可补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，如图所示， 设长方体的外接球的半径为，可得，所以， 所以外接球的表面积为， 故答案为：. 【例3.9.】 （24-25高一下·四川成都·期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为_____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆锥的结构特征辨析、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，由此作出圆锥的外接球的草图，根据勾股定理即可求出外接球半径，然后再根据球的体积公式，即可求出结果． 【详解】由于圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆， 所以圆锥的底面圆周长为，母线长为2， 所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面为边长为2的正三角形， 作出圆锥的外接球的草图，如下： 则，设外接球的半径为，则， 在中，， 所以，解得， 所以圆锥的外接球的体积为． 故答案为：. 【例3.10.】 （24-25高一下·四川成都·期末）如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______．若二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】分别确定外接球球心的位置，再求外接球半径，进而可得外接球的表面积. 【详解】对第一种情况，如下图： 取的中点，连接，，在线段上取点，使得，则为正三角形的重心. 因为，所以为的外心，即. 又为等边三角形，所以，又平面，平面平面，平面平面， 所以平面. 所以. 又为正三角形的重心，所以也是正三角形的外心，所以. 所以为的外接球球心. 因为，所以，所以外接球半径. 所以外接球表面积为：. 对第二种情况：如图： 因为为的外接圆圆心，为正的外接圆圆心. 过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线交于点，则为三棱锥外接球的球心. 因为二面角的余弦值为， 所以，所以. 又，所以. 所以三棱锥外接球. 所以此时三棱锥外接球的表面积为：. 故答案为：； 【例3.11.】 （24-25高一下·山东临沂·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，外接球的球心为，若点S是正四棱锥的表面上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】利用勾股定理求出外接球的半径，然后根据图形求解的最小值. 【详解】设，连接，则平面， 依题意可得，， 所以，且球心在直线上， 连接，设外接球的半径为，则，解得， 因为，故球心在线段上， 又S是正四棱锥的表面上的一点，当S在底面上时， 的最小值即球心到平面的距离，且； 取BC的中点H，连接PH，EH，则平面，点E到PH的距离即为点E到平面PBC的距离， 由可得，所以点E到PH的距离为， 当S在底面上时，的最小值即球心到平面的距离； 综上，的最小值为. 故选：B 【例3.12.】 （24-25高一下·海南海口·期末）已知四边形为矩形，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为________；当三棱锥的体积最大时，其内切球的半径为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】空：取中点，由几何知识可得，则为外接球的球心，从而可求解；空：过作于，然后再利用等体积法即可求解. 【详解】空：取中点，则，所以为外接球的球心， 所以外接球的半径为，由球的表面积公式. （2）当三棱锥的体积最大时，平面垂直于平面，用等体积的方法求该三棱锥内切球的半径， 即过作于，则面， 在中可解，，， 在中，由，由余弦定理可得解得， 在中用勾股定理得， 因为，， 代入公式 即，解得. 故答案为：；. 【例3.13.】 （24-25高一下·辽宁·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆台的结构特征辨析、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据几何图形相似求出内切球的半径，进而根据球的表面积公式可求出结果. 【详解】连接，如图所示. 根据题意可知，， 所以，因为. 所以. 因为，所以. 所以，所以， 所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为. 故答案为：. 【例3.14.】 （24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据球的性质结合条件可得直三棱柱外接球半径，然后根据直三棱柱的底面三角形内切圆半径结合条件可得内切球半径，进而得解. 【详解】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故； 内切球半径为，故， 因此. 故答案为： 【例3.15.】 （24-25高一下·山东聊城·期末）已知中，，，若将绕直线旋转一周，所得几何体的内切球半径等于，则该内切球的表面积为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据“筝形”内切圆半径的求法，确定几何体的内切球半径，再求内切球的表面积. 【详解】如图： 作旋转体的轴截面，为如图筝形，设筝形的内切圆半径为， 因为中，，， 则；. 由. 又，可得. 由可得. 所以. 所以旋转体的内切球表面积为：. 故答案为： 【例3.16.】 （24-25高一下·山东威海·期末）已知三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，平面，，，，则该三棱锥的体积为_______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为，由题意先求，利用正弦定理求，利用勾股定理求，进而得，利用余弦定理求，最后利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为， 所以，又，， 由正弦定理有， 过作平面，则，所以， 所以， 在中，由余弦定理有， 即，化简整理有，解得， 所以， 所以， 故答案为：. 【例3.17.】 （24-25高一下·天津·期末）设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为______. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】正弦定理求外接圆半径、球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算 【分析】利用球的截面圆的性质得球心到所在平面的距离，进而得到所在平面的距离的最大值，再根据三棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】设的边长为，由题知，解得， 设外接圆的半径为，由正弦定理， 得到，解得， 设球心到所在平面的距离为，由球的截面圆的性质知， 要使三棱锥体积的最大，则在所在平面的投影为的中心， 且到所在平面距离的最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 【例3.18.】 （24-25高一下·吉林·期末）已知菱形的各边长为4，．如图所示，将沿折起，使得点D到达点S的位置，连接，得到三棱锥，此时．若E是线段的中点，点F在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点F轨迹的面积为______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】取中点M，连接，，作于H，设点F轨迹所在平面为，则平面经过点H且，设三棱锥外接球的球心为O，，的中心分别为，，则平面，平面，且O，，，M四点共面，求出外接球半径，截面圆半径后可得结论. 【详解】取中点M，连接，， 则，，，，平面， ∴平面，， 由题意，又， 所以， 是三角形内角，因此， 作于H，设点F轨迹所在平面为， 则平面经过点H且， 设三棱锥外接球的球心为O，，的中心分别为，， 易知平面，平面，且O，，，M四点共面， ，由球的性质知，从而，即是的角平分线， 所以，，， 又， 则三棱锥外接球半径， 易知O到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为，即点F轨迹的面积为． 故答案为：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 空间几何体的表面积与体积 目录 题型1：空间几何体的表面积 2 题型2：空间几何体的体积 3 题型3：与球有关的切、接问题 6 题型1：空间几何体的表面积 【例1.1.】 （24-25高一下·安徽合肥·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则圆台的表面积为_________． 【例1.2.】 （24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 【例1.3.】 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有________． ①圆锥母线与底面所成的角为     ②圆锥PO的侧面积为 ③挖去圆柱的体积为         ④剩下几何体的表面积为 【例1.4.】 （24-25高一下·山东青岛·期末）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．2 B．48 C．50 D．96 【例1.5.】 （多选）（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 题型2：空间几何体的体积 【例2.1.】 （24-25高一下·北京房山·期末）已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 （24-25高一下·江苏常州·期末）已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 （24-25高一下·广东汕尾·期末）在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为__________. 【例2.4.】 （24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 （24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的小圆锥，则所得圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【例2.6.】 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为6m，下底面边长为8m，侧面积为，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【例2.7.】 （多选）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 【例2.8.】 （24-25高一下·四川成都·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等．图1为棱长为r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为r的正方体的八分之一，图3是底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖暅原理计算知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【例2.9.】 （24-25高一下·四川眉山·期末）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（2上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为24m，广为12m，上袤是下袤的，斜脊与底面所成角均为，则该刍甍的体积为（   ） A． B． C． D． 【例2.10.】 （24-25高一下·山东德州·期末）已知中，，将顶点绕棱AB旋转到，当时，三棱锥的体积为___________. 【例2.11.】 （24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知正四棱台的上底面的四个顶点都在圆锥的侧面上，下底面的四个顶点都在圆锥的底面圆周上，且，则圆锥的体积为__________. 【例2.12.】 （24-25高一下·福建福州·期末）如图1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水， ，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点．现在固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同． (1)如图2，当底面水平放置时，水面高为多少? (2)当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少? (3)试分析容器围绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动. 题型3：与球有关的切、接问题 【例3.1.】 （24-25高一下·四川泸州·期末）已知某圆柱的外接球的表面积为，则该圆柱的侧面积的最大值为_______________． 【例3.2.】 （24-25高一下·四川眉山·期末）已知，在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为_________． 【例3.3.】 （24-25高一下·甘肃天水·期末）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是_____. 【例3.4.】 （24-25高一下·河北石家庄·期末）在三棱锥中，平面，，，，三棱锥的所有顶点均在球的表面上，若点、分别为与的重心，直线与球的表面相交于、两点，则________ 【例3.5.】 （24-25高一下·河北雄安·期末）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为_________. 【例3.6.】 （24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为______. 【例3.7.】 （24-25高一下·广东汕头·期末）如图1，长方体容器置于水平地面上，内灌进一些水，水面高为，，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，容器内的水形成新的几何体，如图2，当时，该几何体的外接球表面积为________． 【例3.8.】 （24-25高一下·福建南平·期末）如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点．若三棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为__________． 【例3.9.】 （24-25高一下·四川成都·期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为_____________. 【例3.10.】 （24-25高一下·四川成都·期末）如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为______．若二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【例3.11.】 （24-25高一下·山东临沂·期末）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，外接球的球心为，若点S是正四棱锥的表面上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【例3.12.】 （24-25高一下·海南海口·期末）已知四边形为矩形，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为________；当三棱锥的体积最大时，其内切球的半径为________． 【例3.13.】 （24-25高一下·辽宁·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 【例3.14.】 （24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【例3.15.】 （24-25高一下·山东聊城·期末）已知中，，，若将绕直线旋转一周，所得几何体的内切球半径等于，则该内切球的表面积为______. 【例3.16.】 （24-25高一下·山东威海·期末）已知三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，平面，，，，则该三棱锥的体积为_______． 【例3.17.】 （24-25高一下·天津·期末）设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为______. 【例3.18.】 （24-25高一下·吉林·期末）已知菱形的各边长为4，．如图所示，将沿折起，使得点D到达点S的位置，连接，得到三棱锥，此时．若E是线段的中点，点F在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点F轨迹的面积为______． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $