精品解析：2026年山东济宁学院附属中学初四年级下学期中考考前模拟考试数学试卷

2026年济宁学院附属中学初四年级下学期数学 第三次模拟考试数学试卷 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在，2，，9这四个实数中无理数的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 以下是历届冬奥会会标中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将两本相同的课本按如图所示的方式进行叠放，得到一个几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 据国家文物局统计，2026年春节假期全国博物馆接待观众8951.12万人次，同比增长27.6%，创历史新高．数据“8951.12万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C都在格点上，过A、B、C三点的圆与网格线交于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂计划生产1200个零件，但在实际生产时，···，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“···”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划多生产3个，结果延期12天完成 B. 每天比原计划少生产3个，结果延期12天完成 C. 每天比原计划多生产3个，结果提前12天完成 D. 每天比原计划少生产3个，结果提前12天完成 8. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径r为，高h为的圆锥体，那么这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 10. 如图，在中，，，，点D是斜边的中点，点E为边上任意一点，连接并延长至点F，使得，连接，，，，与交于点P，则下列结论一定正确的是 （ ） A. 四边形是菱形 B. 线段的最小值是 C. 当平分时，可得 D. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在实数范围内有意义，x的取值范围是 _________ 12. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心P在反比例函数的图象上，边在x轴上，点F在y轴上，已知，则反比例函数解析式为______ 13. 将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第22行从左至右的第5个数是________________． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 15. 如图1，四边形中，，平分，，（a为常数）且．记长为x，的值为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为________． 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 16. 计算： （1）． （2）先化简，再求值：，在，，，中选一个合适的值代入求值． 17. 利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （1）将纸片沿过点A的直线折叠，使点C恰好落在边上的点N处，在图中作出点N以及折痕与边的交点D． （2）若，，，求的长． 18. 今年央视春晚节目《武BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数万件 方差 型号 14和16 15 1.4 型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____，_____． （2）若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 19. 如图，在中，的平分线交于点O，以O为圆心的与相切于点D． （1）求证：与相切； （2）当时，求的半径． 20. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 21. 为了落实“五育并举”，全面发展素质教育，某中学准备开展丰富多彩的课后特色延时服务，计划购买排球及足球若干．某兴趣小组进行市场调查，发现购买2个足球和3个排球共需310元；购买7个足球所需的费用与购买5个排球所需的费用相同． （1）足球和排球的单价各是多少？ （2）该校根据需求打算购买足球和排球共30个，且足球数量不超过排球数量的某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买所需费用最少？ 22. 已知抛物线（，为常数）过点． （1）若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 23. 综合与实践： 【提出问题】 （1）如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． 【类比探究】 （2）如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． 【迁移运用】 （3）如图3，在矩形中，，，E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点F到的距离为时，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年济宁学院附属中学初四年级下学期数学 第三次模拟考试数学试卷 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在，2，，9这四个实数中无理数的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据定义逐个判断：∵ ，2，9都是整数，属于有理数，只有是无限不循环小数，属于无理数， ∴ 四个数中无理数的个数为1个． 2. 以下是历届冬奥会会标中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项，是轴对称图形，不是中心对称图形： 选项，是轴对称图形，也是中心对称图形： 选项，既不是轴对称图形，是中心对称图形： 选项，是轴对称图形，不是中心对称图形： 3. 将两本相同的课本按如图所示的方式进行叠放，得到一个几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合俯视图是从一个图形的上面看到的图形进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，该图形的俯视图是． 4. 据国家文物局统计，2026年春节假期全国博物馆接待观众8951.12万人次，同比增长27.6%，创历史新高．数据“8951.12万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，正整数． 【详解】解：数据“8951.12万”用科学记数法表示为． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相除，完全平方公式，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相除，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C都在格点上，过A、B、C三点的圆与网格线交于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为同弧所对的圆周角相等，可将求转化为求．根据网格的坐标特征，计算、、的长度，利用正弦的定义，即直角三角形中角的对边与斜边的比值，计算的值． 【详解】∵和都对弧， ∴，即． 根据每个小正方形边长为1，则 ，， 由勾股定理得：​， ∴， ∴． 7. 某工厂计划生产1200个零件，但在实际生产时，···，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“···”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划多生产3个，结果延期12天完成 B. 每天比原计划少生产3个，结果延期12天完成 C. 每天比原计划多生产3个，结果提前12天完成 D. 每天比原计划少生产3个，结果提前12天完成 【答案】C 【解析】 【分析】利用总工作量，工作效率和工作时间的关系，根据方程各部分的含义反推题目条件即可． 【详解】解：∵设实际每天生产x个零件，则原计划每天生产个零件， ∴实际每天比原计划多生产3个零件， ∵， ∴原计划完成工作的时间为，实际完成工作的时间为， ∵方程表示原计划时间比实际时间多12天， ∴题目中用“···”表示的条件应是：每天比原计划多生产3个，结果提前12天完成． 8. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径r为，高h为的圆锥体，那么这个扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到圆锥侧面扇形的半径R（即圆锥的母线长），圆锥底面圆的周长C（即扇形的弧长），代入扇形公式“×弧长×半径”计算即可． 【详解】解：∵底面半径r为，高h为， ∴圆锥侧面扇形的半径， 扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，, ∴S扇形． 9. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，证明是等边三角形，得出，在中，利用勾股定理求出，最后证明是等边三角形，从而求出的长度． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ，点恰好落在中点， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， ， ， 是等边三角形， ． 10. 如图，在中，，，，点D是斜边的中点，点E为边上任意一点，连接并延长至点F，使得，连接，，，，与交于点P，则下列结论一定正确的是 （ ） A. 四边形是菱形 B. 线段的最小值是 C. 当平分时，可得 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定、垂线段最短、角平分线的定义、平行四边形的性质与判定以及相似三角形的判定与性质等．对于A选项：可根据菱形的判定定理进行判断；对于B选项：可以根据垂线段最短并结合已知条件求出线段的最小值；对于C选项：根据角平分线的定义结合已知条件进行判断；对于D选项：可以通过平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质来判断等式是否成立． 【详解】解：对于A选项：∵点D是斜边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵由已知条件，无法进一步得出平行四边形是菱形，故A选项说法错误，不符合题意； 对于B选项：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵点D是斜边的中点， ∴． ∵点D是斜边的中点，点E为边上任意一点， ∴当且垂足为E时，线段的长度最小， 如图，此时， ∵， ∴， ∵， ∴，即线段的最小值是1， 故B选项说法错误，不符合题意； 对于C选项：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴． ∵由已知条件，无法进一步得出，即无法证得， 从而无法证得，故C选项说法错误，不符合题意； 对于D选项：∵点D是斜边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故D选项说法正确，符合题意． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在实数范围内有意义，x的取值范围是 _________ 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为零，二次根式有意义的条件是被开方数非负求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得且． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心P在反比例函数的图象上，边在x轴上，点F在y轴上，已知，则反比例函数解析式为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质得出，，则，，得出，，连接，推出为等边三角形，得出，据此求解即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形，， ∴， ， ∴，， ∴，， 连接， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数表达式为． 13. 将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第22行从左至右的第5个数是________________． 【答案】236 【解析】 【分析】先找到数的排列规律，求出第行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，即可解答． 【详解】由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数， ∴第n行从左向右的第5个数， ∴第22行从左向右的第5个数为． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根得到根的判别式的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将变形后代入建立关于的方程，求解后根据根的判别式的要求舍去不合理解，得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， ， 解得， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 代入得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， ∵， ∴舍去， 故． 15. 如图1，四边形中，，平分，，（a为常数）且．记长为x，的值为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到，进而可得，结合图2知，，求出（负值舍去），当时，求出或，根据得到，．过点作于点，利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵（a为常数），长为x，长为y， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 由图2知，， ∴（负值舍去）， ∴， 当时，则，即， 解得或， 当时，，，符合； 当时，，，不符合，舍去． 过点作于点， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形的面积为． 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 16. 计算： （1）． （2）先化简，再求值：，在，，，中选一个合适的值代入求值． 【答案】（1） （2），当时，原式的值为 【解析】 【分析】（1）利用零指数幂法则．二次根式化简方法．特殊角的三角函数值．负整数指数幂法则分别计算每一项，再合并同类项即可得到结果． （2）根据分式的混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可取值的，代入计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：      ． 【小问2详解】       ． 根据分式有意义的条件，可得，，， 因此只能取． 将代入得：原式． 17. 利用无刻度的直尺和圆规，按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （1）将纸片沿过点A的直线折叠，使点C恰好落在边上的点N处，在图中作出点N以及折痕与边的交点D． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）解：作图如图所示，点N，点D即为所求作的点． （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠性质，点C落在边上的点N处，满足，则运用圆规作一个以A点为圆心，的长为半径的圆弧，该圆弧与边的交点即为点N．又因为过点A的折痕平分，运用尺规作图的方法作出的平分线，并作出该角平分线所在的直线，即可作出该直线与边的交点D； （2）连接．先根据勾股定理，求出的长．设，运用翻折的性质结合勾股定理得到，并建立关于x的方程，解方程即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． 设， ∵， ∴． ∵，，， ∴， ∵纸片沿过点A的直线折叠，点C恰好落在边上的点N处， ∴，，， ∴． ∵，，，， ∴， 即， ∴， 整理得：， 解得：， 即． 18. 今年央视春晚节目《武BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数万件 方差 型号 14和16 15 1.4 型号 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____，_____． （2）若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 【答案】（1）， （2）（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人） （3）解：型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数及中位数都高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．（说明：只要提出一条合理建议即可） 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （3）可以从众数、平均数、中位数给出合理的建议． 【小问1详解】 解：分拣万件型号智能机器人有台，为出现次数最多的值， ， 型号智能机器人有台，按照分拣快递数量从小到大排序，位于第位和第位的数据均为万件， 中位数为． 【小问2详解】 解：记台型号智能机器人分别为，，台型号智能机器人分别为，，画树状图如图所示． 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种， （抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）； 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，的平分线交于点O，以O为圆心的与相切于点D． （1）求证：与相切； （2）当时，求的半径． 【答案】（1）证明：过点O作，垂足为F，连接， ∵是圆的切线， ∴， 又∵为的平分线， ∴， ∴与相切； （2）2 【解析】 【分析】（1）过点O作，垂足为F，连接，根据角平分线的性质可得出，继而可得出结论； （2）根据，可得出的半径． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， 即， 设， 则， 解得：． 即的半径为2． 20. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，再求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， 答：下折臂的长约为． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ， ， 由题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 21. 为了落实“五育并举”，全面发展素质教育，某中学准备开展丰富多彩的课后特色延时服务，计划购买排球及足球若干．某兴趣小组进行市场调查，发现购买2个足球和3个排球共需310元；购买7个足球所需的费用与购买5个排球所需的费用相同． （1）足球和排球的单价各是多少？ （2）该校根据需求打算购买足球和排球共30个，且足球数量不超过排球数量的某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买所需费用最少？ 【答案】（1）足球的单价是元，排球的单价是元； （2）购买足球个、排球个所需费用最少． 【解析】 【分析】（1）设足球的单价是元，排球的单价是元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买足球个，则购买排球个，根据已知可得，所需费用，由一次函数的性质，可得当时，的值最小，即可求解． 【小问1详解】 解：设足球的单价是元，排球的单价是元． 根据题意，得， 解得． ∴足球的单价是元，排球的单价是元． 【小问2详解】 解：设购买足球个，则购买排球个， 根据题意，得， 解得， 设所需费用为元，则， ∵， ∵随的增大而减小， ∴当时，的值最小， （个）． ∴购买足球10个，排球20个所需费用最少． 22. 已知抛物线（，为常数）过点． （1）若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 【答案】（1）①抛物线的解析式为；②； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出，利用函数图象增减性，得出或，列出不等式组，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线开口向上， ∵已知，在该抛物线上，， ∴，  ​ ∴或， 又∵． 当时，则，无解； 当时，则，解得，符合条件． 故的取值范围为 ． 【小问2详解】 解：∵抛物线过点， ， ∴， ∵对于任意实数，都有，即 ∴， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， 即抛物线与直线交点的横坐标为和， ． 23. 综合与实践： 【提出问题】 （1）如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． 【类比探究】 （2）如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． 【迁移运用】 （3）如图3，在矩形中，，，E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点F到的距离为时，求出的长． 【答案】（1），； （2）解：如图2，四边形是正方形，是对角线，过B作于点G， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴； （3）解：在中，，，则， ∴， ∵， ∴， 过B作于L，过F作于K，则， 在中，， ①当F在上方时，如图3， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当F在下方时，如图4， 同理， ∴； 综上所述，的长为． 【解析】 【分析】（1）先证和是等边三角形，再证，从而得到的度数为，； （2）过B作于点G．先证，从而得到，先解，求得的长，再求得的长，最后由，求得的长； （3）过B作于L，过F作于K，根据已知条件，求出，分两种情况进行讨论：①当F在上方时，证得，求出，从而求得的长；②当F在下方时，同理可得的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $