精品解析：2025年山东省济宁市实验初中九年级中考三模数学试题

济宁市实验初中2024-2025学年度第二学期三模质量检测初四数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 四个数，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：， 最小的数是， 故选：A． 2. 下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形关于某点对称．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是 故选：D． 3. 若，则下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变为同分母分数相加，可判断A 选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D 选项． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 任意两个奇数的平方差总能（ ） A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 【答案】D 【解析】 【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，求出计算结果为，然后分析奇偶性即可求解． 本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为， 根据题意，得 ， m,n为整数， 和均为整数， 为奇数， 必为偶数，表示为, 原式, ∵因数是的倍数， ∴任意两个奇数的平方差总能被整除， 故选：D． 5. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 6. 如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ） A. 18 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 7. 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 8. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 圆锥的体积为， 故选：D． 9. 小明利用右图探究函数的性质，下列说法错误的是（ ） A. 自变量x的取值范围是 B. 函数值y的取值范围是 C. 函数的图象关于y轴对称 D. 函数值y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即自变量x的取值范围是，函数值y的取值范围是，故选项A，B正确，不符合题意； 由图象可知，函数的图象关于y轴对称，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；故选项C正确，选项D错误； 故选D． 10. 如图，等边的边长为2，点D在上，，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接交于点G．则点G到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过D作于M，得到，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过D作于M， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点C按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过G作于H， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、填空题（共5小题） 11. 计算：=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：原式==4． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 12. 如图，为的直径，，，则的度数是_______． 【答案】##37度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，直角三角形的性质等知识，连接，根据直径所对的圆周角是直角得，进而可求出，然后再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得出的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无缝拼接的条件，多边形的内角和，正多边形的定义，理解无缝拼接的条件和正多边形的定义，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键．由无缝拼接的条件得，由多边形的内角和公式和正多边形的定义，进行列式计算，即可求解； 【详解】解：由题意得：正m边形的内角为， ， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为________． 【答案】15 【解析】 【分析】依题意得点，则，，根据的面积为32得，即，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得，然后解方程组求出m，n的值，进而可得k的值． 【详解】解：点，点，AC和BC分别垂直于x轴和y轴， 点C的坐标为，且， ，， 的面积为32， ， ， 整理得：， 点，点在同一个反比例函数的图象上， ， 解方程组，得：， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，正确地表示出点C的坐标，灵活运用三角形的面积公式构造方程组是解决问题的关键． 15. 如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）解不等式：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得； 【小问2详解】 解： ． 17. 西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的函数图象，其中折线表示用快速充电器充电时与的函数关系；线段表示用普通充电器充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： （1）用快速充电器充电时，汽车电池电量从10充到70需 ． （2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． （3）该品牌汽车电池电量从10充到100，快速充电器比普通充电器少用 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象得到信息，待定系数法求一次函数解析式等． （1）通过函数图象可知段横坐标即为本题答案； （2）设一次函数解析式为，再将两点坐标代入即可； （3）由（2）问解析式求出点坐标，再分别计算快速充电器和普通充电器使用时间，再利用减法即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：根据图象可得用快速充电器充电时，汽车电池电量从10 kW·h充到70 kW·h需， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设一次函数解析式为， ∵， ∴将代入中得， ，解得：， ∴关于的函数解析式：， 将点纵坐标代入中得：， ∴自变量的取值范围：， ∴； 【小问3详解】 解：根据图象可得普通充电器从10充到100用时， 快速充电器从10充到100用时， ∴快速充电器比普通充电器少用：， 故答案为：． 18. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，具体涉及利用锐角三角函数求直角三角形的边长，解题的关键是抓住两种情况下拉杆把手距离地面高度相等这一等量关系，建立方程求解． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出值即可． 【详解】解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则， 所以； 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为， 所以． 由题意得， 则， 解得， 故每节拉杆的长度为． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若与交于点P，，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的右侧作，在的上方作，射线，交于点D即可； （2）设，，利用相似三角形的性质构建方程求解． 小问1详解】 解：如图所示： ； 【小问2详解】 解：设， ， ， ，， ， ， ， 解得，， 经检验，是分式方程的解， ． 20. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 21. 如图，是的外接圆，，是的直径，作直线，使，并与的延长线交于点E （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理及推论证出，进而即可得证； （2）由勾股定理得出，然后再证，得出，进而代入求值即可得解． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的直径， 是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得，， ， 为的直径， 是的直径， ，， 由勾股定理得，， 由（1）知， ， 又为公共角， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论，切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质解决此题的关键． 22. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 23. 已知抛物线． （1）若点在抛物线上， ①求此抛物线的解析式及顶点坐标． ②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围． （2）已知点，是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）①，顶点，②或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、顶点坐标计算、函数图象性质以及函数值大小比较等知识，解题的关键是熟练运用二次函数的相关性质进行计算和分析． （1）①将点坐标代入抛物线解析式求出，进而得到解析式并化为顶点式求顶点坐标；②先求出关于的表达式，再结合线段与抛物线的位置关系确定的取值范围； （2）先确定点坐标，再根据的正负性结合对称轴与给定区间分析函数单调性，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：①将已知点在抛物线上，将代入可得： ， 解得：， 所以抛物线解析式为， 将其化为顶点式：， 所以顶点坐标为； ②当时，代入得：， 当时，， 因为线段与抛物线只有一个公共点， 当时，线段过顶点，此时只有一个公共点； 当时，线段与抛物线也只有一个公共点， 所以或； 【小问2详解】 解：抛物线，对称轴为直线． 当时，． 因为对于都有． 当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大． 要满足条件，则， 解得：； 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 横坐标为3关于对称轴的对称点的横坐标为， 对于，（等号不同时成立），都有，则， 解不等式得：， 又∵， ∴ 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济宁市实验初中2024-2025学年度第二学期三模质量检测初四数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 四个数，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 10 2. 下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O中心对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 任意两个奇数的平方差总能（ ） A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 5. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ） A. 18 B. C. 9 D. 7. 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小． A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ） A B. C. D. 9. 小明利用右图探究函数的性质，下列说法错误的是（ ） A. 自变量x取值范围是 B. 函数值y的取值范围是 C. 函数的图象关于y轴对称 D. 函数值y随x的增大而减小 10. 如图，等边的边长为2，点D在上，，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接交于点G．则点G到的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题） 11. 计算：=_______． 12. 如图，为的直径，，，则的度数是_______． 13. 小芳用三个全等正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 14. 如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为________． 15. 如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）解不等式：． （2）化简：． 17. 西宁市城北客运站是我市“一芯双城”建设规划项目之一，依据规划要按一定比例配套建设新能源汽车充电设施．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的函数图象，其中折线表示用快速充电器充电时与的函数关系；线段表示用普通充电器充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： （1）用快速充电器充电时，汽车电池电量从10充到70需 ． （2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． （3）该品牌汽车电池电量从10充到100，快速充电器比普通充电器少用 ． 18. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若与交于点P，，，求的长度． 20. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 21. 如图，是的外接圆，，是的直径，作直线，使，并与的延长线交于点E （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长 22. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 23. 已知抛物线． （1）若点在抛物线上， ①求此抛物线的解析式及顶点坐标． ②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围． （2）已知点，是抛物线上两点，若对于，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $