精品解析：2026年甘肃凉州区洪祥镇九年制学校中考模拟预测二数学试卷

2026年甘肃省武威市凉州区洪祥镇九年制学校数学中考模拟预测二试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 丙午马年春节，中国科技再次震惊全球，下列科技公司logo是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断各选项即可． 【详解】解：选项A：是轴对称图形； 选项B：不是轴对称图形； 选项C：不是轴对称图形； 选项D：不是轴对称图形． 2. 如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知，在某一时刻，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作，根据得到，即可得到，，即可得到答案 【详解】解：过作， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 3. 已知小明和小红进行千米跑步练习，两人沿着同一条公路同时从甲地出发，到达乙地后折返甲地，两人全程保持匀速运动，若两人距离甲地的路程（米）与跑步时间（分钟）的函数图象如图所示，则小明完成练习比小红早（ ） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，解题的关键是正确理解图象信息． 根据函数图象，求出两人的速度，进一步计算，求解即可． 【详解】解：由函数图象得， 小红跑步的速度为（米/分钟）， 小明跑步的速度为（米/分钟）， 则小明比小红早（分钟） 故选：． 4. 如图，为正方形的边上一动点，，连接，过作交于，交于，连接，当为最小值时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理和相似三角形的性质与判定等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 以AB为直径画圆，G在圆O上，当O、G、C共线时，CG为最小值，然后运用勾股定理和相似三角形的知识解答即可． 【详解】解：如图：以AB为直径画圆，G在圆O上， ∵∠AGB=90°， ∴当O，G，C共线时，CG有最小值， ∵CG= 又∵∠CGH=∠AGO=∠OAG=∠CBF， ∴∠CBF=∠CGH， 又∵∠BCD=∠BCD， ∴△CGH∽△CBG， ∴ ∴ 故答案为C． 5. 规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（ ） ①是函数的融值区间； ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间； ④若是函数的融值区间，则． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】明确融值区间的定义，对四个结论逐一验证，根据函数性质求出给定区间内的取值范围，对比定义要求的范围即可判断正误． 【详解】解：对于①，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即， ∵在上单调递增， ∴的范围是，存在，不满足定义，故①错误； 对于②，假设存在融值区间 ，， ∵，在单调递减， ∴的范围是，要求满足， 整理得 ，左边分子分母都为正，故左边为正数，右边，正数不可能小于等于负数，假设不成立， 若，上式得，与假设矛盾； 故不存在融值区间，②正确； 对于③，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即 ， ∵开口向上，对称轴为，在上单调递增，的范围是，全部满足 ，符合定义，故③正确； 对于④， ，函数， ，要求满足 ， ∵开口向上，顶点在， 当 时，最小值为，可得，解得， 当时，最小值为，要求得，矛盾无解， ∴的范围是，不是 ，故④错误； 综上，正确结论为②③． 6. 如图，为的直径，为上的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，注意：同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两锐角互余．连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据直角三角形两锐角互余，得出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7. 如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】过点作的平行线交于点，利用平行线分线段成比例得到为的中点，再结合相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：过点作交于点， 四边形是平行四边形， 是的中点，， ， ∴， 是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 8. 云南省大力发展绿色能源产业，光伏产品销量稳居西南地区前列．年，在技术创新、政策扶持、市场需求扩大等多重因素推动下，云南省某企业光伏产品销量持续攀升．假设年该企业光伏产品全年销量为万台，年该企业光伏产品全年销量为万台，设该企业光伏产品销量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据年销量年销量，列方程即可． 【详解】解：年该企业光伏产品全年销量为万台，年平均增长率为， 年该企业光伏产品全年销量为万台， 年该企业光伏产品全年销量为万台， 年该企业光伏产品全年销量为万台， ． 9. 如图所示，工人师傅用边长均为a的正三角形、正六边形和一个角为的菱形地砖绕着点O进行铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得：，正六边形的内角为， ∴， ∴这块正多边形地砖的边数为． 10. 如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（   ） A. B. C. 点，，三点在同一条直线上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得到位似比，，进而得到，根据相似比得到两个三角形的面积比即可． 【详解】解：以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ，，点、、三点在同一条直线上， ， ；则选项B和C正确； ， ， ， 则选项A、B、C正确，D错误； 故选：D． 二、填空题 11. 若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的情况求参数． 解分式方程得到，根据解为非负数且分母不为零的条件，列出不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：解方程， 两边同乘，得， ∴， ∴， ∴． 由于原方程中分母， ∴， ∴， 解得． 又∵解为非负数， ∴， ∴， 解得． 因此，的取值范围是且． 故答案为：且． 12. 若，是一元二次方程的两根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可直接求出两根之和．对于一元二次方程，两根之和满足． 【详解】，是一元二次方程的两根， ． 13. 已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点，判断开口方向，再逐一验证各结论即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为， 又∵抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即， ① 关于的方程可变形为， ∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标， ，直线与抛物线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而减小，故②错误； ③设抛物线的交点式为，展开得： ， 当时，， 即， ∵， ， 解得：，故③正确； ④是时的函数值， ∵，抛物线开口向下，且和处函数值为， 当时，， 时，，故④错误； ⑤ 由对称轴公式，可得， 将代入式子左边： ∵，， ，即对任意实数，总有，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①③⑤． 14. 如图，矩形和正方形面积相等，点在边上，点在上，交于点，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】证明得，，．由矩形和正方形面积相等，得，结合可得，证明，求出，再证明，利用相似形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，． ∵矩形和正方形面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 15. 如图，点是平行四边形的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则平行四边形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，先由平行四边形得到，然后得到，然后利用，，得到，，从而得到的长，最后得到平行四边形的周长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， ，， ， ， 的周长， 故答案为：． 16. 小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口恰好遇到绿灯的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，根据概率公式：随机事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有可能的总结果数，先算出交通信号灯亮灯的总时长，然后直接代入数据计算即可． 【详解】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒， ∴该路口交通信号灯亮灯的总时长为：（秒）， 又∵绿灯时间为25秒， ∴根据概率公式，小明过该路口恰好遇到绿灯的概率为． 故答案为：． 17. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得，由切线的性质得，则，由，根据圆周角定理得，由，根据垂径定理得，则，求得，即可由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵边与相切于点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∵于点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，切线的性质，平行线的性质，垂径定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，扇形的面积公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 18. 如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当时，可测得，保持此时的形状不变，当平分时，点B到的距离是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，先运用勾股定理得出，再由等面积法求出，由平分，，则． 【详解】解：过点B分别作，垂足分别为D，E，如图所示： ∵平板宽度为，支架脚的长度为，， ∴， ∵， ∵， ∵平分，， ∴，即点到的距离是， 故答案为：． 三、解答题 19. （1）计算： （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示． 【答案】（1）；（2）数轴上表示见解析， 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值和实数的混合运算，求不等式组的解集． （1）先计算零指数幂，去绝对值，开方和特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①，得：； 由②，得：； 在数轴上表示这个解集如图所示： 所以原不等式组的解集为． 20. 如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）30 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 21. 如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”． （1）如图1，是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长； （2）如图2，是的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点，使得是以为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）过点作于点，设，则，根据正切的定义，得出，进而求得，在中，勾股定理建立方程，即可求解； （2）作的垂直平分线交于点，在的垂直平分线上截取，过点作交于点，则是以为“半底”的“半高底”三角形． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 依题意 设，则 ∵ ∴ ∴， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 【小问2详解】 解：如图所示，作的垂直平分线交于点，在的垂直平分线上截取，过点作交于点，则点，即为所求 22. 如图，矩形中，，，在边上取一点E，将翻折，使点C落在点P处，折痕为，交于点Q． 【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边上，求证：； 【变式求异】（2）如图2，若点E是的中点，点P落在矩形内部，求点P到的距离； 【化归探究】（3）如图3，若，交于点F，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，证明是解题的关键． （1）先证明，再由，即可证明． （2）如图，作于点H，同理可证明，则可推出，设，，则，由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）如图，作交于点H，连接，先求出，，同理可证明，得到，设，，则，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，解方程求出，再证明，即，可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）如图，作于点H， 同理可证明， ∴， ∴， 设，， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴（舍）， ∴， ∴点P到的距离为； （3）如图，作交于点H，连接， ∵， ∴，， 同理可证明， ∴， ∴， 设，， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴（舍），． ∴， ∵平行， ∴，， ∴，即 ∴． 23. 教育部2026年全面推进健康学校建设，深入实施学生体质强健计划，倡导中小学生“每天锻炼不少于2小时”，促进学生全面发展．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____；扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为_____度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校有2400名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3）人． 【解析】 【分析】（1）先求出随机抽取部分学生的总人数，再求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比，用乘以抽取学生中最喜爱羽毛球运动的学生数的百分比即可得到答案； （2）求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数，补全统计图即可； （3）用该校学生总数乘以抽取学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：随机抽取部分学生的总人数为（人）， ∴， 即， “羽毛球”对应扇形的圆心角为， 故答案为：， 【小问2详解】 随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 （人） 答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有人． 24. 小华将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的斜边落在轴上，，直角顶点的坐标为，反比例函数（）的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点是否会落在此反比例函数图象上？请说明理由． 【答案】（1） （2）点不在反比例函数图象上，理由见详解 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，结合含30度角的直角三角形的性质，正切值的计算得到，根据旋转的性质，等面积法得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：直角顶点的坐标为，反比例函数（）的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：点不在反比例函数图象上，理由如下， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，则， 同理，， ∵，，， ∴， ∵将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点， ∴，， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点不在反比例函数图象上． 25. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC=16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E． 　　 （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时，求AE的长； （3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）12 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠CDE，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质求出BD，根据平行线分线段成比例定理列式求出AE； （3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N，从而判断点F的运动路径为线段，再分别找出当点D与点B重合时，F点在F1的位置，当点D与点C重合时，F点在F1的位置，求出AF1与AF2，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD，∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠CDE， 又∵∠B＝∠ACB， ∴△BAD∽△DCE； （2）解：∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∵△CDE∽△ABD， ∴△ABD∽△CBA， ∴，即， 解得，BD＝， ∵DE∥AB， ∴，即， 解得，AE＝； （3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥MA交MA的延长线于点N， ∵AB=AC， ∴BM=CM=16÷2=8， 又∵AB=10， ∴AM=， ∴tanB= ∵∠ADE＝∠B， ∴tan∠ADE=， ∵∠ANF=∠AMD=∠DAF=90°， ∵∠FAN+∠AFN=∠FAN+∠MAD=90°， ∴∠AFN=∠MAD， ∴∆AFN~∆DAM， ∴，即：NF=MA=×6=， ∴点F到AM所在直线的距离=， ∴点D从点B运动到点C的过程中，点F的运动路径是线段， 当点D与点B重合时，F点在F1的位置，此时，∠BAF1=90°， ∵tanB=， ∴AF1=AB×tanB=10×=， 当点D与点C重合时，F点在F1的位置，此时，AF2= AC×tan∠ACF2= AB×tanB=， 连接F1F2， ∵∠BAF1=∠CAF2， ∴∠F1AF2=∠BAC， ∵AF1=AF2，即∆A F1 F2是等腰三角形， ∴∆A F1 F2~∆ABC， ∴，即：， ∴F1 F2=12，即：点F运动的路径长为12． 　　 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题、正确添加辅助线、构造直角三角形解决问题． 26. 如图，是的内接等腰三角形，，点E是劣弧上的动点（与点A，点C均不重合），连接，连接并延长交的延长线于点D，过点A作直线． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）探究、发现与证明：是否存在常数m和n，使等式成立？若存在，请直接写出m和n的值，并证明成立；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ∵， ∴点O、A在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3） 解：存在；，此时； 证明如下： 如图，延长交于点F， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 即， ∴， ∴当，成立． 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形的性质即可求解； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得，再由即可求证； （3）存在；；延长交于点F，分别在中，利用勾股定理即可证明． 【小问1详解】 解：∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为． （1）求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． （2）若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）①见解析；②存在，，点G的坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法先求出函数解析式，再根据函数图象与坐标轴的交点坐标的特征即可求解． （2）①设直线的函数解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，由中点的性质可求得，进而可求得点，即，由，则，根据，，，可得，再由平行线的性质可得，进而可得，进而可求解；②过点G作轴于点H，设点，利用相似三角形的判定及性质可得，解出方程即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴； 把代入得：， 解得：， ∴． 【小问2详解】 ①如图： 设直线的函数解析式为：， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为：， ∵，，点N运动到的中点， ∴， 把代入得：， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； ②过点G作轴于点H， 由①可得：， ∴， ∴，则， 设点， ∵， ∴，，则， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 令，则， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 当时，解得：，， 此时，或（舍）， 综上：存在，，点G的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，借助恰当的辅助线，构造相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年甘肃省武威市凉州区洪祥镇九年制学校数学中考模拟预测二试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 丙午马年春节，中国科技再次震惊全球，下列科技公司logo是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知，在某一时刻，，那么等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知小明和小红进行千米跑步练习，两人沿着同一条公路同时从甲地出发，到达乙地后折返甲地，两人全程保持匀速运动，若两人距离甲地的路程（米）与跑步时间（分钟）的函数图象如图所示，则小明完成练习比小红早（ ） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 4. 如图，为正方形的边上一动点，，连接，过作交于，交于，连接，当为最小值时，的长为（ ） A. B. C. D. 5. 规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（ ） ①是函数的融值区间； ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间； ④若是函数的融值区间，则． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 6. 如图，为的直径，为上的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 云南省大力发展绿色能源产业，光伏产品销量稳居西南地区前列．年，在技术创新、政策扶持、市场需求扩大等多重因素推动下，云南省某企业光伏产品销量持续攀升．假设年该企业光伏产品全年销量为万台，年该企业光伏产品全年销量为万台，设该企业光伏产品销量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，工人师傅用边长均为a的正三角形、正六边形和一个角为的菱形地砖绕着点O进行铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（   ） A. B. C. 点，，三点在同一条直线上 D. 二、填空题 11. 若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________． 12. 若，是一元二次方程的两根，则________． 13. 已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 14. 如图，矩形和正方形面积相等，点在边上，点在上，交于点，，若，则___________． 15. 如图，点是平行四边形的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则平行四边形的周长为________． 16. 小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口恰好遇到绿灯的概率为______． 17. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______． 18. 如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当时，可测得，保持此时的形状不变，当平分时，点B到的距离是_______． 三、解答题 19. （1）计算： （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示． 20. 如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为30，且，求四边形的面积． 21. 如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”． （1）如图1，是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长； （2）如图2，是的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点，使得是以为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）． 22. 如图，矩形中，，，在边上取一点E，将翻折，使点C落在点P处，折痕为，交于点Q． 【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边上，求证：； 【变式求异】（2）如图2，若点E是的中点，点P落在矩形内部，求点P到的距离； 【化归探究】（3）如图3，若，交于点F，求的长． 23. 教育部2026年全面推进健康学校建设，深入实施学生体质强健计划，倡导中小学生“每天锻炼不少于2小时”，促进学生全面发展．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____；扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为_____度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校有2400名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 24. 小华将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的斜边落在轴上，，直角顶点的坐标为，反比例函数（）的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点逆时针旋转，则点的对应点是否会落在此反比例函数图象上？请说明理由． 25. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC=16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E． 　　 （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时，求AE的长； （3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长． 26. 如图，是的内接等腰三角形，，点E是劣弧上的动点（与点A，点C均不重合），连接，连接并延长交的延长线于点D，过点A作直线． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）探究、发现与证明：是否存在常数m和n，使等式成立？若存在，请直接写出m和n的值，并证明成立；若不存在，请说明理由． 27. 已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为． （1）求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． （2）若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $