精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区武威二十五中联片教研中考二模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级二模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图标不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图标是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图标不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图标既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 将数据“145亿”用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：“145亿”用科学记数法表示为． 故选：B 3. 如果实数、（）分别满足，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键． 由，可得 ，可得，可得，是方程的两个根，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴，而，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴； 故选：C． 4. 已知二次函数，将其函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的抛物线所对应的解析式应是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移规律，以及通过顶点式或变量替换法求平移后的解析式．把抛物线解析式化为顶点式可求得顶点坐标，根据平移规律∶上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式． 【详解】解：二次函数变为顶点式为． 顶点坐标为． 由题意得平移后顶点坐标为，即． 新顶点坐标为． 新顶点式为． 新解析式展开为． 故选：C． 5. 如图，是的一条弦，直径于点．若，，则的直径为（　　） A. 5 B. 6 C. D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．连接，设的半径为，则 ，，然后根据垂径定理求得，利用勾股定理，解得即可得到直径． 【详解】解：连接，如图所示， 设的半径为，则， ， ， 是的一条弦，直径于点，， ， ，即， 解得， 的直径为， 故选：D． 6. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，一枚质地均匀的骰子有个面，点数为偶数的面有个，据此即可求解． 【详解】解：∵一枚均匀的骰子有个面，点数为偶数的面有个， ∴抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得点数为偶数的概率为：， 故选：D． 7. 下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键．分别求出当时，当 时，当时，当时y的值即可得到答案． 【详解】解：当时，， ∴在反比例函数的图象上，A选项不符合题意； 当 时，， ∴不在反比例函数的图象上，B选项符合题意； 当时，， ∴在反比例函数的图象上，C选项不符合题意； 当时，， ∴在反比例函数的图象上，D选项不符合题意； 故选：B． 8. 如图，D为中边上的中点， ，若，与交于点F，，则的长是（　　） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，利用相似三角形的性质求解线段长是解答的关键．先利用全等三角形的性质得到 ， ，，，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定与性质得到，进而得到，证明 ，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ∴ ， ， ， ， ， ∴， ∵D为中边上的中点， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在 中，，，与交于点C，与相切，过点C作，交于点D，M是边上一动点，则当的周长最小时，的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，延长交于点E，连接，交于点M，此时周长最小．设，，证明得到 ，由正切定义和勾股定理求得，，根据切线性质得，证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E，连接，交于点M， ∵， ， ∴垂直平分，则， ∴，此时周长最小． 设，， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 设于相切于点F，连接， 则，又， ∴， ∴，即， 解得， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、轴对称求最短路线、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等问题，解题的关键在于正确找到M点位置． 10. 在下列四个几何体中，三视图都是圆的是（ ） A. 立方体 B. 球 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三视图，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．根据几何体的三视图进行判断即可． 【详解】解：在长方体、图柱、圆锥、球四个几何体中，三视图都是圆的是球， 故选：B． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查主要了根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：，则k为任意实数，方程恒有两个不等的根， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得： ，， 故答案为：或． 12. 对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点 为此函数的不动点．则二次函数的不动点为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念． 根据题意得出，代入函数求解即可． 【详解】解：根据题意得：当时，若函数值，称为此函数的不动点， 即， ∴ ，整理得：， 解得：或， ∴二次函数的不动点为或， 故答案为：或． 13. 如图，将绕点A顺时针旋转，得到，且点B的对应点M恰好落在上，则的度数为______度． 【答案】108 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等角对等边，三角形的内角和定理，由旋转得，，根据等角对等边以及三角形的内角和定理，可得，进而根据邻补角的定义即可求解． 【详解】解：由旋转得， ∴， ∴， 故答案为：108． 14. 如图，点、、、都在上，若，，则的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据已知可得，根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 设等腰直角的斜边为，斜边上的高为，与满足的反比例函数关系如图所示，则 的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数的应用，等腰直角三角形的性质可得，由反比例函数的定义可得 ，从而求出，，即可得解． 【详解】解：∵等腰直角的斜边为，斜边上的高为， ∴， 由题意可得： ， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，与交于点O，F为．上一点，且，连接与交于点M，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，过点作，交的延长线于点，则 ，根据含角的直角三角形得出，根据勾股定理求出，，证明，求出，证明，，证明，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，则 ， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，是边上的高，，交的延长线于点E，交边的延长线于点F．若，，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：作延长线于G，易得，则；设 ，则 ，根据勾股定理可得，即、 ；根据等角对等边可得；设，则，再根据勾股定理可得 ，即；由，即，设 ，则 ，，证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，即；然后再根据正弦的定义求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：作延长线于G， ∵是边上的高，即， ∴， ∴， ∵在 中，， ∴设 ，则 ， ∵，即，解得：（舍弃负值）， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴，解得： ， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 设 ，则 ，，， ∵， ∴， ∴，即，解得：（经检验不是增根）， ∴， ∵在中，， ∴在中，，即，解得：， ∴． 故答案为：． 18. 一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，其侧面展开图的面积是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积计算公式是解题关键． 根据视图的意义得知此圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形的面积公式为，为扇形的弧长，为扇形的半径，即扇形的母线长，分别代入即可求解． 【详解】解：根据题意，得：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的半径为，底面圆的周常即弧长为， 这个圆锥的侧面展开图的面积为． 故答案为： ． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将绕原点逆时针旋转，画出旋转后的； （2）若是内部的任意一点，则其在内部的对应点的坐标为_____； （3）画出关于点成中心对称的 ． 【答案】（1） 如下图所示： （2） （3）如图所示． 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形以及关于原点对称的图形． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据（1）的结论写出点的坐标即可； （3）先找出的顶点关于点成中心对称的位置，然后再顺次连接即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：若是内部的任意一点，则其在内部的对应点的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 略 20. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算以及分式的化简求值，掌握运算法则是关键． （1）根据二次根式的性质，负整数指数幂，零次幂的运算法则，特殊三角函数值先化简，再计算； （2）先化简分式，再将代入求值． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式 21. 为了增加同学们体育活动的场地，学校准备将一块长和宽分别为21米和12米的长方形区域改造成一块排球场，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．若排球场地和小路的总面积为400平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设小路的宽度为 ，那么四周外围环绕着宽度相等的小路的长方形的长、宽分别为、，根据长方形的面积公式和已知条件即可列出方程，解方程即可求出小路的宽度． 【详解】解：设小路的宽度为 ，依题意得， 整理：， 解之： ， (不合题意，舍去)． 答：小路的宽度为 ． 22. 如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点 ． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：是等边三角形 ， ， 由旋转的性质得 ∴ ． （2） 证明：由旋转的性质得， 是等边三角形， ，， ， ， 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再由，，可得． （2）先根据证明，即可得到，然后证明即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，是⊙O的直径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是⊙O的切线，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若， ，求的半径． 【答案】（1）证明：连接、，如图， ∵是的切线， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵点D是弧的中点，是的直径， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理． （1）连接、，如图，先根据切线的性质得到 ，根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，再证明 ，然后利用∠ 得到 ，即可得出结论； （2）设的半径为r，则 ，在 中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r，则 ， 在 中，∵，， ， ∴， 解得， 即的半径为3． 24. 如如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． （1）若 ，求的值： （2）连接，若 ，求的长． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 解：作，垂足为， ，， ． 在中，，， ， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 【小问2详解】 解：如图， 设点的坐标为 ， ，， ， 由（1）知，， ，两点的坐标分别为：，． 点，都在反比例函数的图象上， ， ， 点的坐标为：， ． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，反比例函数图象的性质，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键． 25. 如图，是的直径，C是劣弧的中点，与相交于点E．连接与的延长线相交于点F． （1）证明：是的切线； （2）证明：． 【答案】（1） 证明：连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） 证明：如图： 由上知：， 点C是中点， ， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论； （2）由圆周角定理以及弧与圆心角的关系得到，则 ，然后证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查的是圆周角定理、切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，弧，弦，圆心角的性质，正确作出辅助线是解决此题关键． 26. 如图，为了测量河对岸，两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点，测得A，B均在的北偏东方向上，沿正东方向行走60米至观测点，测得在的北偏西 方向上，在的北偏西方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据： ， ， ，，，，） 【答案】42米． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出的长是解题的关键． 先求出，进而得到，解 求出米，然后再解求出的长即可． 【详解】解：如图， ∵A，B均在的北偏东方向上，在的北偏西 方向上， ∴， ∴， 在 中，， ∴（米） ∵在的北偏西方向上，在的北偏西 方向上， ∴， 在中，， ∴（米）； 答：A，B两点间的距离约为42米． 27. 抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标； （3）如图2，直线 交抛物线于，两点，直线 和交于点，若点在直线上，求的值． 【答案】（1） （2）点的横坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可； （3）设，，，由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线，从而可得，，求出直线 的解析式为，同理可得直线的解析式为，结合题意可得，由①可得，由②可得，从而得出，整理可得，即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线 与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：在 中，令，则，即， ∵，， ∴，， ， ∴为等边三角形，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为 ， 连接、， ∵与相似， ∴当时，， ∴ ， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为 ， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为； 当时，，即， ∴， 过点作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为 ， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）； 此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或； 【小问3详解】 解：设，，， 由题意可得轴，抛物线的对称轴为直线， ∴，， 设直线 的解析式可得， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线 的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵直线 和交于点， ∴， 由①可得：，由②可得：， ∴， 整理可得： ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级二模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 将数据“145亿”用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 3. 如果实数、（）分别满足，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 2025 4. 已知二次函数，将其函数图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的抛物线所对应的解析式应是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的一条弦，直径于点．若，，则的直径为（　　） A. 5 B. 6 C. D. 13 6. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，D为中边上的中点， ，若，与交于点F，，则的长是（　　） A. 4 B. 3 C. D. 9. 如图，在 中，，，与交于点C，与相切，过点C作，交于点D，M是边上一动点，则当的周长最小时，的值为（　　） A. B. C. D. 10. 在下列四个几何体中，三视图都是圆的是（ ） A. 立方体 B. 球 C. 圆柱 D. 圆锥 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为______． 12. 对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点 为此函数的不动点．则二次函数的不动点为_____． 13. 如图，将绕点A顺时针旋转，得到，且点B的对应点M恰好落在上，则的度数为______度． 14. 如图，点、、、都在上，若，，则的度数为_______． 15. 设等腰直角的斜边为，斜边上的高为，与满足的反比例函数关系如图所示，则 的值为___________． 16. 如图，在菱形中，与交于点O，F为．上一点，且，连接与交于点M，则的长为___________． 17. 如图，在中，是边上的高，，交的延长线于点E，交边的延长线于点F．若，，，则的长为________． 18. 一个圆锥的主视图是边长为的等边三角形，其侧面展开图的面积是__． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将绕原点逆时针旋转，画出旋转后的； （2）若是内部的任意一点，则其在内部的对应点的坐标为_____； （3）画出关于点成中心对称的 ． 20. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 21. 为了增加同学们体育活动的场地，学校准备将一块长和宽分别为21米和12米的长方形区域改造成一块排球场，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．若排球场地和小路的总面积为400平方米，求小路的宽度． 22. 如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点 ． （1）求证：； （2）求证：． 23. 如图，是⊙O的直径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是⊙O的切线，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若， ，求的半径． 24. 如如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，． （1）若 ，求的值： （2）连接，若 ，求的长． 25. 如图，是的直径，C是劣弧的中点，与相交于点E．连接与的延长线相交于点F． （1）证明：是的切线； （2）证明：． 26. 如图，为了测量河对岸，两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点，测得A，B均在的北偏东方向上，沿正东方向行走60米至观测点，测得在的北偏西 方向上，在的北偏西方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据： ， ， ，，，，） 27. 抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，为第二象限内抛物线上一点，交于点，若与相似，求点的横坐标； （3）如图2，直线 交抛物线于，两点，直线 和交于点，若点在直线上，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $