第11章 二次根式 专项训练 2025--2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 以“概念-性质-方法-应用”为主线，系统整合二次根式化简求值、应用及分母有理化，提炼5类核心方法，凸显数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式的化简求值|13题（5类型）|非负性列不等式组、√a²性质化简、整体代入、构造法（平方/分式）、双重根式构造完全平方|从被开方数非负性（概念）到√a²性质（性质），延伸至整体代入等化简技巧（方法）| |二次根式的应用|2题|海伦公式计算面积、角平分线性质求距离、数形结合转化线段和|结合几何图形，体现模型意识与几何直观，实现代数与几何融合| |分母有理化|2题|规律归纳（√n+1-√n）、分母有理化整体代换|通过等式观察抽象规律，培养运算能力与推理意识，形成从特殊到一般的认知|

2026年苏科版数学八年级下册二次根式专项训练 (满分：100分 时间：60分钟) 二次根式的化简求值 类型一根据被开方数的非负性求值 1.若V(a-5)7+V(2b+3)7-0,则a6=- 2.若y=V1-8x+V⑧x-1+,则灯.昏+}= 3.若实数x满足1V2026-x+Vx-2027=x,则x= 4.已知x,y为实数，且V4-x+y2-6y+9=0. (1)分别求出x,y的值； @求底+号的值， 5已知x为奇数，且满足等式层=僵求+2x++Vx1的值 类型二根据√a2=Ial求值 6.若实数m满足V(2-m)2+Vm-4=Vm2,则m= 7.如图，化简V反-1b-al+V(a+b).Ib+c的结果为 a b o 8.已知m是V5的小数部分，求V2+点-2的值. 类型三整体代入求值 9.已知x=2+V3,y=2-V3,求代数式多-发的值. 10.已知xy=8,x+y=-4,求+V层的值. 类型四构造法求值 1.已知x=5,求22+6x-3的值。 12.已知区在=2求区+去的值。 类型五双重二次根式的化简求值 13.像V4-23,VW48-√45这样的根式叫作复合二次根式.有一些复合二次根式可以借助构造完全 平方式进行化简： 如4-23=3-23+1=V(W3)-2×5×1+12=V(5-1)2-5-上 5+26=3+26+2=√(5)2+2W5×V2+(V2)=V(5+2)2=5+2 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：V9+214= (2)化简：V8-45= 3)若(V2m-n)=k-62,且k,m,n为正整数，求k的值. 二次根式的应用 14.综合与实践阅读：若一个三角形的三边长分别为a,b,c,设p=专(a+b+c),则这个三角形的 面积SVp(p-a)(p-b)(p-c). 应用：(1)如图1，在△ABC中，AB=6,AC=5,BC=4,求△ABC的面积； 拓展：(2)如图2，在(1)的条件下，AD,BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I,求点I到AB 的距离. 图1 图 15.数形结合思想是数学中重要的思想方法，其核心是将抽象的数学语言与几何图形直观地结合起来. 例如，求V2+9+√(6-x)2+25的最小值，我们可以借助如图所示的图形求得原代数式的最 小值为V62+82=10 请仿照以上方法，求Vx2+y2+√x-2W3x+3+y2+Vx2+y2.4y+4的最小值， 0- 分母有理化 16.观察下列等式： i+W两=5.1 2-1 5-E 5+2=3+2N8- =3-v2 45 中-4有=车5， 回答下列问题： (1)万本= (2)m1+= (n为正整数) 3)利用上面所揭示的规律计算市+++3++…+ V2024+W2025 √2025+W2026 2 (4④若X=5y=5求x2-xw+y2的值. 17,在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：已知a=+,求2a-8a+1的 值.他们是这样解答的： :a=1 2-V5 24= 2h32⑤=2V5, ÷a-2=5, （a-2)2=3,即-4a+4=3, 2-4a=-1, ÷22-8a+1=2(-4a)+1=2×(-1)+1=-1 请你根据小华所在小组的解题方法和过程，解决以下问题： (10本 1 (2)化简：2+1+5++4++.+20+m9+21+20 3)若a=求： ①a2.4a的值： ②2at-83-8a+4的值. 答案 【a-5=0, a=5, 15 :a-5)2+2b+3)=0,2b十30，解得 b=- vab2=5 1-8x≥0， 2.0 由题意，得{8x1≥0，解得x=言“y=京V网-唇+ =帽x眉÷+=+ =专-克+寺=0. 3.4053 由题意.知x≥2027，V2026-x<0,÷x-V2026+Vx-2027=x,Vx-2027=V2026, .x-2027=2026,x=4053. 4.解：(1)：4-x+y2-6y+9=0,∴V4-x+(y-3)2=0,∴4-x=0.且y-3=0,解得x=4,y3. ②当49时原武=应+治=导+5-华 x-6≥0， 5.解：由题意，得9-x>0,解得6≤x<9.“×为奇数.x=7∴原式：=V1+x)7+V3x-1 =1+7+V3×7-1=8+2W5. 6.8由题意，得m-4≥0，解得m≥4，则原等式=m-2+√m-4=m,整理，得√m-4=2,解得m=8. 7.-3b由题中数轴，知a<b<0<c,b|<|cl,∴.b-a>0,a+b<0,b+c>0,∴原式=c-(b-a)+(-ab)-(b+c) =c-b+a-a-b-b-c=-3b. 8解m是5的小数部分，2<5<3，m=5-2,“合=2=5+2，扁>m ∴原式=V(m-帝)2=1m-帝1=m+帝=-(V5-2)+V5+2=4 9.解 :x=2+V3,y=2-V5, x+y=(2+v5)+(2-5)=4,w=(2+5)(2-5)=22-(5)2=1, xy=(2+5)-(2-V5)=25,∴多￥-=-w=25=85 0w84aaF+医=悟+要-孚+每=回型-9-5 y 8 1.解：：x=5,2x+3=5.两边平方，得4x2+12x十9=5整理，得2x2+6x=-2 .2x2+6x-3=-2-3=-5. 12解收去=2（去）=(+言)月-4=4(G+去)=8 +法>0+店=25 13.解：(1)9+2W14=V(W)+2×V万×2+(2)-V(W万+2)-万+V2.故答案为 万+2 (2)8-45=6-2×2+2=V(W6)2-2×6×E+(2)2=V(6-V2)=6-5.故答 案为6-2 (3):(2m-n)2=k-62,“2m2-22mn+n2=k-6瓦， ÷k=2m2+n2,2mn=6,∴.mn=3. :h,m,n为正整数，.m=1,n=3或m=3,n=1,.当m=1,n=3时，k=2m2+n2=2×12+32=11,当m=3,n=1时 k=2m2+n2=2×32+12=19,k的值为11或19. 14,解：1)由题意得a=4,b5,o=6,“p=些=号，“S=受×（号4）×（要-5）×（受-6 2 =x×号× -中，△ABG的面积是 4 (2)如图，过点I作IF⊥AB,IG⊥AC,IH⊥BC,垂足分别为F,G,H,连接CI. DH ·AD,BE分别为△ABC的角平分线，∴.IF=H=IG.:S△ABc=S△ABI十S△4a十S△BC :15=支×61P+×51G+×41H:3IP+1R+21F=1,解得1R=号。 故点I到AB 的距离为号 15.解 Vk2+y2+2-23x+3+y2+k2+y2.4y+4=k2+y+N(x-V5)+y2+2+(y-2) 设P(x,y),A0,0,B(V5,0),c(0,2),则Vk2+y2=P.A√(x-V5)+y2=PB,Vx2+(y-2)2=PC ∴原式的值为PA+PB+PC的长. 如图1，将△APB绕点B逆时针旋转0°得到△A'P'B,连接AA',A'C,PP',则△AA'B,△PP'B是等边三角形， ·PA+PB+PC=PA+PP+PC≥CA, ∴.当C,P,P',A'四点共线时，PA+PB+PC取得最小值，最小值为A'C的长. y Y个 图1 图2 如图2，过点A'作AML×轴 :B(V5,0), N(9,0）,AM=9,∠AAN=30 AM=AA, :A'M=AA2-AM2=3AM= A(ξ) Ac=)+(2+)2-, :Vx2+y2+x2-23x+3+y2+Vx2+y2-4y+4的最小值为V13 6架（山应-0防6雨5-6万6 7-6 Nr1-6 (2)石=+=+1-五故答案为h+1-V回， 3)原式=V2-1+N3-2+V4-5+…+V2025-V2024+2026-V2025=V2026-1 〔x=间=55y=6恩=5- W5⑤ x-y=5-55+5=25,xw=(5-同(5-5)=2 x2-xy+y2=(x-y)2+xy=(-25)+(-2)=20-2=18. 以(a-能丽单-5孩为5石 (2)原式=V2-1+V5-V2+V4-V5+…+V120-V119+V121-V120=V121-1=11-1=10. (3)①：a=高=5+2a-2=5,(a-2)2=5即a2-4a+4=5,2-4a=1 ②：a2-4a=1,2a4-8a3-8a+4=2a2(a2-4a)-8a+4=2a2-8a+4=2(a2-4a)+4 =2+4=6.