考点17 二次根式道计算题专训11大题型（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 以“性质-运算-应用”为逻辑主线，系统整合二次根式11大题型，通过法则归纳、易错提示及多维度解题方法（如平方法、分母有理化）培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|4大考点|双重非负性等3性质，“一化二找三合并”加减口诀，分母有理化分步方法|从概念（性质）到法则（化简、运算），构建“定义-推导-应用”链条| |题型突破|11类64题|大小比较（作差/平方法）、复合根式化简（完全平方公式）、新定义运算（迁移法则）|基础运算→综合应用→创新拓展，覆盖中考高频考法与易错点|

考点17 二次根式道计算题专训11大题型 考点一：二次根式的性质 二次根式的性质 1、式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3）、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 考点二：二次根式的化简 二次根式的化简：1、利用二次根式的基本性质进行化简； 2、利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 考点三：二次根式的加减乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 考点四：分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 题型一：二次根式的加法 1．化简：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质先化简再计算即可． 【详解】． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，解题方法一般先化简再合并同类二次根式． 2．已知，则（   ） A．14 B．21 C．28 D．49 【答案】C 【分析】合并同类二次根式可得，再对等式两边同时平方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．计算：________. 【答案】 【分析】先将化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果. 【详解】解：原式 . 4．计算：_______． 【答案】 【分析】直接根据二次根式的加法运算计算即可． 【详解】解：． 5．计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加法，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算二次根式的加法即可得． 【详解】解：原式， 故答案为：． 6．计算的结果为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减法，先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减法运算求解即可． 【详解】解： 故答案为： 7．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加法，解答时先将各式化成最简二次根式再进行合并即可． 【详解】解：， 故答案为： 8．计算的结果是______． 【答案】 【分析】先进行二次根式的化简，再合并二次根式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确化简二次根式是解决此类问题的关键． 题型二：二次根式的减法 9．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 10．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减计算，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 去绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： 11．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的加减运算，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则， 根据实数的加减运算法则计算即可； 【详解】解： 12．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式加减法法则是解题的关键． 13．计算： 【答案】 【分析】先化除为乘，然后根据二次根式的混合运算，进行计算，即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的混合运算． 14．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】原式 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的加减运算的运算法则与运算顺序是解题的关键． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先利用算术平方根对二次根式化简，然后利用有理数的加减混合运算法则进行计算按即可； （2）先去括号，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题主要考查二次根式化简、二次根式和有理数的加减混合运算法则；熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 16．计算：． 【答案】 【分析】把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可． 【详解】解：原式 【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型三：二次根式的乘法 17．计算：． 【答案】5 【分析】按照分配律进行二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟记二次根式的乘法的运算法则是解本题的关键． 18．计算：． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟练的利用平方差公式进行简便运算是解本题的关键． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)8 【分析】（1）把被开方数相乘即可， （2）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可， （3）把被开方数相乘即可， （4）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键． 20．计算：． 【答案】 【分析】根据平方差公式结合二次根式的乘法法则可以解答本题． 【详解】解： 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式乘法运算的计算方法． 21．计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1)6 (2)10 (3)1 (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：． 22．计算：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式计算多项式乘积，再计算二次根式的乘法，最后计算减法得到最终结果． 【详解】解： ． 23．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． 先计算平方差公式和二次根式的乘法，再计算减法即可． 【详解】解： ． 24．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题关键在于对二次根式的化简能力； （1）利用二次根式的性质化简并计算即可． （2）利用二次根式的性质化简并计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型四：二次根式的除法 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 26．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算除法，再进行分母有理化，最后化简，即可作答． 【详解】解： ． 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． （1）根据二次根式的除法运算法则即可求出答案； （2）根据二次根式的乘除运算法则运算即可求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 28．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可． 【详解】解：原式 ． 29．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，利用二次根式的除法运算法则计算即可，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 31．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的乘法和除法法则，是解题的关键： （1）利用除法法则进行计算即可； （2）利用乘除法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则计算即可； （2）利用二次根式的除法法则计算即可； （3）利用二次根式的除法法则计算即可； （4）利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型五：二次根式的混合运算 33．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．先将非最简二次根式化为最简形式，再根据二次根式的混合运算法则进行运算即可解答． 【详解】（1）解： （2） 34．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 36．计算：． 【答案】15 【分析】根据二次根式的乘法，平方差公式，加减混合运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 37．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各项，再进行加减运算即可解答； （2）先根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 39．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 40．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六：二次根式的化简求值 41．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再代数求值即可； 【详解】解：原式 ； 将代入，原式． 42．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 43．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 44．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）________的解法是错误的； 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：________； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）小亮；；（2）；． 【分析】（1）根据二次根式的性质判断即可； （2）根据二次根式的性质先将原式化简，再把a=-2021代入化简结果，进行计算即可． 【详解】解：（1）小亮的解法是错误的， 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：， 故答案为：小亮，； （2）原式， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 45．有这样一道题：先化简，再求值：a+，其中a＝1000．小亮和小芳分别给出了不同的解答过程． 小亮的解答是：原式＝a+＝a+1﹣a＝1． 小芳的解答是：原式＝a+＝a﹣（1﹣a）＝2a﹣1＝2×1000﹣1＝1999． (1)______的解答是错误的； (2)先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣200． 【答案】(1)小亮 (2)6-a；206 【分析】（1）根据二次根式的性质判断即可； （2）由知，据此可将原式转化为，再进一步化简计算即可． 【详解】（1）解：∵a=1000， ∴1-a=1-1000=-999＜0， ∴， ∴小亮的解法是错误的， 故答案为：小亮； （2）解：∵， ∴， 则原式=a+ =a+2|a-3| =a-2a+6 =6-a， 当a=-200时， 原式=6+200=206． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质=|a|． 46．先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)________的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮； (2)，2030． 【分析】本题考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简与化去绝对值的方法是解题关键． （1）原式，根据的符号化去绝对值可判断小亮解法出现问题； （2）原式，根据的符号化去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴小亮的解答过程是错误的； 故答案为：小亮 （2）解： ， ∵， ， ∴原式． 47．先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮 解：原式 小芳 解：原式 (1)_____的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_______； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮； (2)；8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值是解题的关键． （1）根据二次根式的性质判断即可； （2）根据二次根式的性质将原式化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮； （2）解： ， ∵， ∴原式． 48．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 ； ∴当时，原式. 题型七：数轴中的二次根式化简问题 49．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数的值是 ； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了实数与数轴的关系、算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题的关键． （1）通过点A的数加上蚂蚁爬行的距离来计算点B所表示的数； （2）通过算术平方根的化简和去绝对值进行计算求解即可． 【详解】（1）解：蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B， 所以点B所表示的数为点A的数加上蚂蚁爬行的距离，即 故答案为：． （2）解：由（1）知，， 答：的值为1． 50．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简以及数轴，熟练掌握一个数的绝对值和算术平方根一定是非负数是解题的关键． 先根据数轴确定、的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由实数，在数轴上的位置得：， ， ； 故答案为：． 51．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简： (2)若 求（1）中代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式、立方根的化简，合并同类项，二次根式的运算等知识，根据字母的取值范围正确化简是解题的关键． （1）由题意可得到，，据此化简原式即可； （2）把字母的值代入（1）中的化简结果即可得到答案． 【详解】（1）解：观察数轴得：，， （2）当时， 原式 52．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示. (1)比较下列各式与0的大小（用“＞、＜”连接）：a 0， 0， 0； (2)化简：． 【答案】(1)＞；＞；＜ (2) 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质、绝对值的化简，利用数轴判断实数的正负性是解题的关键． （1）根据数轴可得，则，，，即可得出答案； （2）根据二次根式和绝对值的性质化简，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴，，， 故答案为：＞；＞；＜； （2）解： ． 53．已知实数，，在数轴上的位置如图所示， (1) 0， 0， 0；（在横线上填“”或“”） (2)化简． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据数轴得， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得， ∴ ． 54．我们知道形如的式子叫二次根式．二次根式有性质，已知数在数轴上的位置如图所示，请化简： 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值和二次根式，整式的加减法，根据题意得出相应式子的符号是解题关键． 先根据数轴判断实数的符号，式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ，，， ∴ ． 55．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)<；>；> (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根． （1）由数轴可得：，，，从而即可得解； （2）由（1）可得，，再根据绝对值的性质、二次根式的性质、立方根化简即可得解． 【详解】（1）解：由图可知，，， 则，， 故答案为：<；>；>； （2）解：∵，，， ∴，， ∴ ． 56．已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图 (1)判断正负，用“”“”填空：________0，________0，________0． (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查算术平方根及根据数轴判断式子的值、绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握根式的性质及根据数轴得到且． （1）根据数轴得到且，结合有理数运算法则直接计算即可得到答案． （2）根据数轴得到且，根据根式的性质及绝对值的性质直接化简求值即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴得：，且， ，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 题型八：复合二次根式的化简 57．化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 58．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 59．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则___________，___________． 【答案】 2 2 【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把变形为，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：2,2 60．化简：____________________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 61．阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式”______． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 62．综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 63．小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 或 【分析】（1）根据题意，得解答即可． （2）根据所学方法求解即可； （3）利用完全平方公式，等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 且，故，． （2）解：根据题意，得 ， 故； （3）解：， ， 或， 或， 故或． 64．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为8或16． 【分析】（1）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （2）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （3）将等式右边展开，根据对应项系数相等，结合、为整数的条件，求出、的值，进而求出的值． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解：∵，， ， ∵、均为整数，且， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 题型九：分母有理化的计算 65．可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化． 例如：， (1)分母有理化的结果是___________，分母有理化的结果是___________；分母有理化的结果是___________ (2)利用以上知识计算： 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用分母有理化的定义进行计算； （2）先分母有理化，然后合并计算． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，，； （2） ． 66．二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式化简，掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可； （2）分子分母直接乘以分母的有理化因式，化简即可； （3）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：， ， 故． 67．阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小：（在横线上填“>”、“<”或“=”） ________； _________（，且n为整数）； (3)化简：． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，解题的关键是能正确进行分母有理化． （1）根据平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案； （2）先分母有理化，求出后进行判断即可； （3）先分母有理化，最后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，，， ， ∵，， ∴， 故答案为：，； （3）解： ． 68．阅读材料，然后作答： 在化简二次根式时，有时会碰到形如这一类式子，通常进行这样的化简： ，，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化： 例如： 请仿照上述方法解决下面问题： （1）分母有理化的结果是 ． （2）分母有理化的结果是 ． （3）分母有理化的结果是 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）把分子1变形为，然后用平方差公式分解因式即可求的答案； （2）把分子2变形为，然后用平方差公式分解因式即可求的答案； （3）把分子变形为，然后用平方差公式分解因式即可求的答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，把分子变形为平方差的形式再用平方差公式分解因式是解决本题的关键． 69．【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 【答案】（1）；；（2）①；②；（3）2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化： （1）根据有理化因式定义求解； （2）①②利用分母有理化计算； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是. 故答案为：（答案不唯一）；； （2）①. ②.     （3） . 70．阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化，例如： ； (1)将分母有理化． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化． （1）仿照题干分母有理化即可； （2）将各二次根式分母有理化，进而相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 71．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是________（写出一个即可），的有理化因式是________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：________． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化，比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．（写出比较大小的过程） 【答案】（1）（答案不唯一），（答案不唯一）；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据分母有理化计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）的有理化因式是（答案不唯一），的有理化因式是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）； （2） ； （3）， ， ， ， ． 72．阅读材料： 通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如： ， 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： __________，__________； (2)比较大小：__________（填，或） (3)定义：两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于2的“友好二次根式”，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是解题的关键． （1）根据题意分母有理化即可求解． （2）先分母有理化，再比较大小即可求解． （3）由新定义可得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：； ； 而， ∴． （3）解：∵与是关于2的“友好二次根式”， ∴， ∴， ∴． 题型十：二次根式的大小比较计算 73．比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，掌握实数大小的比较方法是解题的关键． （1）运用穿墙术进行比较即可； （2）运用作差法进行比较即可． 【详解】解：（1）因为， ， 而， 则， 所以； （2） ， 因为，，， 所以，， 所以，， 即， 所以，． 74．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如：比较和的大小，我们可以把和分别平方，因为，所以，所以． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)猜想之间的大小，并说明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）利用 “平方法” 比较二次根式的大小即可； （2）利用 “平方法” 进行比较即可． 【详解】（1）解：根据平方法，分别计算与的平方， ∵，且 ∴当两个正数的平方大时，数本身也大， 故答案为：． （2）解： ∵ ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴ 【点睛】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， 75．在数学综合与实践课上，有一个这样的问题：比较与的大小，引发了师生的讨论． 小辰的思考： 两个二次根式的和比较大小，如果其中一个二次根式相同，那么只需要比较另外的两个二次根式的大小即可．如：比较与的大小，只需要比较与的大小即可．而与中含的二次根式互为相反数，怎样把含的二次根式变为相同的呢？我想到求倒数．因此，可以通过比较这两个式子的倒数的大小，来得到它们本身的大小关系．小钦想通过构造函数来解决此问题． 下面是两位同学的解答过程，请补充完整． （1）小辰的解答过程： 解：___________，___________， ___________，． 又， ___________． （2）小钦的解答过程： 解：①构造函数，其中自变量的取值范围是___________； ②画出的图象； 列表（计算并填写下表）： 0 1 2 3 4 9 16 ．．． 0 1 3 4 ．．． 其中的值为___________； 建立平面直角坐标系，根据表中数值描点并连线： ③根据图象，解决问题：___________，___________． 【答案】（1），，，； （2）①；②，图见解析；③，． 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式大小比较，二次根式有意义的条件，函数图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先化简和，即可得出答案； （2）①根据二次根式有意义的条件填空即可； ②代入求值，并描点画图即可； ③在图象中找出相应的点，比较纵坐标的差即可． 【详解】解：（1），， ， 又， ， 故答案为：，，，； （2）①， ， 故答案为：； ②当时，， ， 故答案为：2； 建立如图所示的平面直角坐标系，图象如下图为所求： ③根据图象可判断， ，， 故答案为：，． 76．项目式学习： 课题名称 平方法比较实数的大小 参与人员 八下第（3）小组  日期：2025年××月××日 原理解读 对于任意两个正数a，b，若，则． 典例展示 比较和的大小．解：，，12<18，． 任务解答 （1）比较和的大小； （2）比较和的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查实数的估算，比较大小，二次根式的计算，熟练掌握实数的估算是解题的关键． （1），，进行比较大小即可； （2）利用完全平方公式求出，，得出，即可比较大小． 【详解】解：（1），， ， ． （2），． 又，，， ， ， ， ． 77．阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： (1)填空： ； (2)①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； (3)延伸拓展：直接判断与的大小． 【答案】(1) (2)①为直角三角形，见解析，② (3) 【分析】（1）利用完全平方公式求解即可； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据三角形三边关系进行判断即可． （3）将，两个式子分别平方后，再进行比较． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； ②三角形任意两边之和大于第三边， ． （3）解：，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． 78．阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】(1)①； ② (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由，  ， 又∵， ∴．         ∴， （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 79．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：； 例如：比较与2的大小． ∵又∵则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是________； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 【答案】(1)5， (2) (3) 【分析】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键． （1）首先估算出，据此问题即可求解； （2）根据“比差法”比较两个数大小即可； （3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解． 【详解】（1）解：， 的整数部分是5；小数部分为， 故答案为：5；； （2）解：， ； （3）解： ， ， ． 80．（1）比较与的大小； （2）比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的加减运算，做题关键是要掌握一些比较大小的方法． （1）先求出，再确定的正负，即可比较； （2）先求出，再确定的正负，即可比较． 【详解】解：（1）． ， ，即， ； （2）． ， ， ，即， ． 题型十一：二次根式的新定义运算 81．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 82．定义运算“☆”的运算法则为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意列式后利用二次根式的性质即可求得答案． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶ ． 83．定义一种新的运算“”：，其中、为常数，且使得等式恒成立，那么________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的意义，幂的运算，求代数式的值，正确理解二次根式的意义是解答本题的关键．先根据二次根式的意义列出不等式组并求解，得到，再代入方程求出b的值，从而得到，依此即可求得答案． 【详解】根据题意得， ， ， 将代入得， 解得， ， ． 故答案为：1． 84．定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，新定义运算的含义，分三种情况：①；②；③，再进一步计算并检验即可. 【详解】解：若多项式，，，（是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时：舍去， ② ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时，符合题意； ③ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时； 综上所述，的值为． 故答案为： 85．对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为________． 【答案】 【分析】先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键． 86．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握“友好二次根式”的定义，是解题的关键： （1）根据定义，得到，求解即可； （2）根据定义，得到：，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）由题意： ∴， ∴． 87．定义：形如“”的数称为“族数”（其中m，n为有理数，），并规定：两个“族数”之间可以进行“，，，”等运算，运算法则符合二次根式的相关要求． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在和中，属于“族数”的是_________； (2)已知（其中b为有理数，）均为“族数”，判断是否为“族数”，并说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】（1）化简二次根式，再根据定义判断即可．              （2）把代入，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在和中，属于“族数”的是； （2）解： ，              ∵b为有理数，， 是有理数，且不为0， 是“族数”． 88．定义：若二次根式可以表示成的形式（其中a，b，m，n都是正整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是的完整平方根，并说明理由； (2)已知完整根式的完整平方根是，求x的值； (3)若的完整平方根是，证明：是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，理由见解析 (2)x的值为4 (3)证明见解析 【分析】（1）根据完整平方根的定义，计算出即可判断； （2）由完整根式的定义，，进而即可求出，则，则可求出x； （3）由，可得，，将其代入，计算得，进而即可证明． 【详解】（1）解：是的完整平方根，理由如下： 由题意得， ， ∴是的完整平方根； （2）解：由题意得， ， ∴ ∴，即， ∵为正整数， ∴或， ∴或， ∴； （3）证明：由题意得， ∴， ∴ ， ∵为正整数， ∴是完全平方数， ∴是完全平方数． 【点睛】本题为二次根式新定义题型，以“完整根式”为载体，融合完全平方公式、对应相等、代数变形等知识，考查对新定义的理解与应用，体现化归的数学思想． 1．计算下列各式的值． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先将带分数化为假分数，再计算二次根式的乘除即可； （3）先计算括号里面和除法，再计算加减即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式和二次根式的性质计算，然后去绝对值后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： 当时，原式 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘除法，再计算加法即可； （2）先化简二次根式，计算除法和乘法，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．先将原式中的分子、分母因式分解，利用完全平方公式化简和二次根式的性质把原式化简，然后代入计算得到答案． 【详解】解：， ， 原式 ， 当时， 原式 ． 6．阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 7．根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）仿照例题对二次根式进行分母有理化，合并即可； （2）对、进行分母有理化，分别求出和，利用完全平方公式的变形，代入求值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：，， ，， ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由二次根式除法运算及二次根式乘法运算公式计算，再由二次根式性质化简，最后由二次根式加减运算法则计算即可得到答案； （2）先由平方差公式、完全平方公式展开，再分别计算括号里的运算，然后去括号，由二次根式加减运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式乘除运算、利用二次根式性质化简、二次根式加减运算、平方差公式、完全平方公式等知识，熟记二次根式性质及相关运算法则是解决问题的关键． 9．计算或化简： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查实数混合运算，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）分别化简二次根式，先算小括号里面的，然后再算括号外面的． （3）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，二次根式性质进行计算即可；（4）根据完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 10．阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如：． 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)________________，________________． (2)比较大小：（用，，填空） ①________，________； ②________． (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)①，；② (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式，准确的计算是解决本题的关键。 （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）①根据有理化因式的定义进行比较即可；②根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， 故答案为：，； ② ， ， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ， 又， ． 11．观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，猜想： (1)__________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）先将化为，再根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解：； 故答案为：； （3）解：原式 ． 12．我们知道式子不是最简结果，我们可以这样进行化简，如：，． 这样的化简过程叫做分母有理化我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______； (2)请你尝试化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据有理化因式的定义进行解答即可； （）分子分母同时乘以化简即可； 本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解题的关键． 【详解】（1）解：的有理化因式是，的有理化因式是， 故答案为：，； （2）解：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点17 二次根式道计算题专训11大题型 考点一：二次根式的性质 二次根式的性质 1、式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3）、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 考点二：二次根式的化简 二次根式的化简：1、利用二次根式的基本性质进行化简； 2、利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 考点三：二次根式的加减乘除法 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1、结果要化为最简二次根式或整式； 2、如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 考点四：分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1、分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2、分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 题型一：二次根式的加法 1．化简：． 2．已知，则（   ） A．14 B．21 C．28 D．49 3．计算：________. 4．计算：_______． 5．计算：____________． 6．计算的结果为______． 7．计算：______． 8．计算的结果是______． 题型二：二次根式的减法 9．计算：． 10．计算：． 11．计算： 12．计算：． 13．计算： 14．计算：． 15．计算： (1)； (2)． 16．计算：． 题型三：二次根式的乘法 17．计算：． 18．计算：． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．计算：． 21．计算： (1)． (2) (3)． (4)． 22．计算：． 23．计算：． 24．计算： (1) (2) 题型四：二次根式的除法 25．计算： (1)； (2)． 26．计算：． 27．计算： (1)； (2)． 28．计算：． 29．计算：． 30．计算： (1)； (2)． 31．计算： (1)； (2)． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五：二次根式的混合运算 33．计算： (1)； (2)． 34．计算： (1)； (2)． 35．计算 (1) (2) (3) 36．计算：． 37．计算： (1) (2) 38．计算： (1)； (2)． 39．计算： (1) (2) (3) 40．计算： (1)； (2)． 题型六：二次根式的化简求值 41．先化简，再求值：，其中． 42．先化简，再求值：，其中． 43．先化简，再求值：，其中． 44．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）________的解法是错误的； 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：________； （2）先化简，再求值：，其中． 45．有这样一道题：先化简，再求值：a+，其中a＝1000．小亮和小芳分别给出了不同的解答过程． 小亮的解答是：原式＝a+＝a+1﹣a＝1． 小芳的解答是：原式＝a+＝a﹣（1﹣a）＝2a﹣1＝2×1000﹣1＝1999． (1)______的解答是错误的； (2)先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣200． 46．先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)________的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 47．先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮 解：原式 小芳 解：原式 (1)_____的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_______； (2)先化简，再求值：，其中． 48．先化简，再求值：，其中． 题型七：数轴中的二次根式化简问题 49．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数的值是 ； (2)求的值． 50．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值． 51．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简： (2)若 求（1）中代数式的值． 52．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示. (1)比较下列各式与0的大小（用“＞、＜”连接）：a 0， 0， 0； (2)化简：． 53．已知实数，，在数轴上的位置如图所示， (1) 0， 0， 0；（在横线上填“”或“”） (2)化简． 54．我们知道形如的式子叫二次根式．二次根式有性质，已知数在数轴上的位置如图所示，请化简： 55．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 56．已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图 (1)判断正负，用“”“”填空：________0，________0，________0． (2)化简：． 题型八：复合二次根式的化简 57．化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 58．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 59．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则 请你仿照小明的方法解决下列问题： 若则___________，___________． 60．化简：____________________． 61．阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式”______． 62．综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 63．小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 64．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 题型九：分母有理化的计算 65．可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化． 例如：， (1)分母有理化的结果是___________，分母有理化的结果是___________；分母有理化的结果是___________ (2)利用以上知识计算： 66．二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 67．阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小：（在横线上填“>”、“<”或“=”） ________； _________（，且n为整数）； (3)化简：． 68．阅读材料，然后作答： 在化简二次根式时，有时会碰到形如这一类式子，通常进行这样的化简： ，，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化： 例如： 请仿照上述方法解决下面问题： （1）分母有理化的结果是 ． （2）分母有理化的结果是 ． （3）分母有理化的结果是 ． 69．【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 70．阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化，例如： ； (1)将分母有理化． (2)计算：． 71．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是________（写出一个即可），的有理化因式是________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：________． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化，比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．（写出比较大小的过程） 72．阅读材料： 通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如： ， 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： __________，__________； (2)比较大小：__________（填，或） (3)定义：两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于2的“友好二次根式”，求的值． 题型十：二次根式的大小比较计算 73．比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 74．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如：比较和的大小，我们可以把和分别平方，因为，所以，所以． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)猜想之间的大小，并说明你的猜想． 75．在数学综合与实践课上，有一个这样的问题：比较与的大小，引发了师生的讨论． 小辰的思考： 两个二次根式的和比较大小，如果其中一个二次根式相同，那么只需要比较另外的两个二次根式的大小即可．如：比较与的大小，只需要比较与的大小即可．而与中含的二次根式互为相反数，怎样把含的二次根式变为相同的呢？我想到求倒数．因此，可以通过比较这两个式子的倒数的大小，来得到它们本身的大小关系．小钦想通过构造函数来解决此问题． 下面是两位同学的解答过程，请补充完整． （1）小辰的解答过程： 解：___________，___________， ___________，． 又， ___________． （2）小钦的解答过程： 解：①构造函数，其中自变量的取值范围是___________； ②画出的图象； 列表（计算并填写下表）： 0 1 2 3 4 9 16 ．．． 0 1 3 4 ．．． 其中的值为___________； 建立平面直角坐标系，根据表中数值描点并连线： ③根据图象，解决问题：___________，___________． 76．项目式学习： 课题名称 平方法比较实数的大小 参与人员 八下第（3）小组  日期：2025年××月××日 原理解读 对于任意两个正数a，b，若，则． 典例展示 比较和的大小．解：，，12<18，． 任务解答 （1）比较和的大小； （2）比较和的大小． 77．阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： (1)填空： ； (2)①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； (3)延伸拓展：直接判断与的大小． 78．阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①；②； (2)比较和的大小，并说明理由； (3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 79．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：； 例如：比较与2的大小． ∵又∵则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是________； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 80．（1）比较与的大小； （2）比较与的大小． 题型十一：二次根式的新定义运算 81．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 82．定义运算“☆”的运算法则为，则______． 83．定义一种新的运算“”：，其中、为常数，且使得等式恒成立，那么________． 84．定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为_____． 85．对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为________． 86．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 87．定义：形如“”的数称为“族数”（其中m，n为有理数，），并规定：两个“族数”之间可以进行“，，，”等运算，运算法则符合二次根式的相关要求． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在和中，属于“族数”的是_________； (2)已知（其中b为有理数，）均为“族数”，判断是否为“族数”，并说明理由． 88．定义：若二次根式可以表示成的形式（其中a，b，m，n都是正整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是的完整平方根，并说明理由； (2)已知完整根式的完整平方根是，求x的值； (3)若的完整平方根是，证明：是完全平方数． 1．计算下列各式的值． (1) (2) (3) (4) 2．计算： (1)； (2)． 3．先化简，再求值：，其中 4．计算： (1)； (2)． 5．已知，求的值． 6．阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 7．根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 8．计算： (1)； (2)． 9．计算或化简： (1) (2) (3) (4)． 10．阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 例如：． 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)________________，________________． (2)比较大小：（用，，填空） ①________，________； ②________． (3)已知，求的值． 11．观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，猜想： (1)__________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； (3)利用上述规律计算：． 12．我们知道式子不是最简结果，我们可以这样进行化简，如：，． 这样的化简过程叫做分母有理化我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______； (2)请你尝试化简：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $