2025-2026学年苏科版八年级下册数学第14周《二次根式拓展》

**基本信息** 聚焦二次根式概念、运算及拓展应用，通过“概念辨析-性质化简-综合建模”三级体系，融合反证法、数形结合等思想，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|1-8题|被开方数非负性判定、最简根式条件分析|从定义到有意义条件，构建概念应用逻辑| |性质运算|9-29题|√(m±2√n)化简法、分母有理化技巧、同类根式合并规则|性质推导→运算技巧→综合计算，形成运算能力链| |拓展应用|30-32题|反证法证无理数、勾股定理建模求最值|代数推理与几何直观结合，提升模型观念与创新意识|

八下数学第14周《二次根式拓展》 1．已知x为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是（　　） A．B． C． D． 2．若是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是 　 　 ． 3．下列各数中，可使式子有意义的x的取值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ． 5．若二次根式有意义，且关于x的分式方程2有正整数解，则符合条件的整数m的和是 　 　 ． 6．使代数式有意义，则x的取值范围是　 　 ． 7．已知x和y是实数，且，则x+y＝　 　 ． 8．若x，y为实数，且y．求的值． 9．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（　　） A．﹣2a B．2b C．0 D．2b﹣2a 10．已知1＜x＜2，化简的结果正确的是（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x 11．若，写出一个符合条件的a的值 　 　 ． 12．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•，那么便有±（a＞b）例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•， ∴2 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 13．下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 144．若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（　　） A．6.5 B．3 C．2 D．4 15．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 16．如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则a+b＝　 　 ． 17．观察下列各式： ①2； ②3； ③4． （1）根据你发现的规律填空： 　 　 ＝　 　 ； （2）猜想（n≥2，n为自然数）等于什么，并通过计算证实你的猜想． 18．阅读下列解题过程：2； 22； 请解答下列问题： （1）观察上面解题过程，计算； （2）请直接写出的结果．（n≥1） （3）利用上面的解法，请化简：． 【典型例题】 1．阅读下列材料： 材料1：“为什么不是有理数”． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得， 于是有2m2＝n2． ∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数． 设n＝2t（t是正整数），则n2＝4t2，即4t2＝2m2， ∴2t2＝m2， ∴m也是偶数， ∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾． ∴假设错误， ∴不是有理数． 材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分． 请解答： （1）用类似的方法，请证明是无理数； （2）你能求出的整数部分a和小数部分b吗？并求ab的值； （3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，试求出x﹣y的相反数． 2．像（2）（2）＝1、•a（a≥0）、（1）（1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，1与1，23与23等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）化简：； （2）计算：； （3）比较与的大小，并说明理由． 3．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求3﹣2的算术平方根． 解：3﹣2，∴3﹣21． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1） （2） （3）． 4．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，其中AB＝c，AF＝a，BF＝b，请你利用以下图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC（使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　 　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）则AC的长为　 　 （用含x的代数式表示），CE的长为　 　 （用含x的代数式表示）； （2）当点C在BD上运动时，求AC+CE的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为　 　 ； （4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为　 　 ． 6．综合探究： “在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中△ABC的面积是 　 　 ； （2）若△MNP的边长分别为，试运用构图法在图2中画出相应的△MNP，并求出△MNP的面积． （3）拓展应用：求代数式的最小值． 【巩固练习】 1．下列运算正确的是（　　） A．（﹣a3）2＝a6 B．a3•a3＝2a3 C． D．a12÷a2＝a6 2．若，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的　 　 段． 3．已知，求的值． 4．某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．计算的结果等于　 　 ． 6．计算的结果是 　 　 ． 7．计算： （1）； （2）（）×（3）． （1）； （2）． 8．已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“关联数”． （1）﹣2与 　 　 是关于1的一组“关联数”； （2）与 　 　 是关于3的一组“关联数”； （3）若，判断a2与b2是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由． ∴0， ∴m＞﹣5， 又∵x＝1是增根，当x＝1时，1，即m＝﹣3， ∴m≠﹣3， ∵有意义， ∴2﹣m≥0， ∴m≤2， 因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3， ∵m为整数， ∴m可以为﹣1，1，其和为﹣1+1＝0． 故答案为：0． 6．使代数式有意义，则x的取值范围是x≥4　 ． 【解答】解：根据分式分母不为零，二次根式被开方数非负可得， 则x≥4， 故答案为：x≥4． 7．已知x和y是实数，且，则x+y＝　3　 ． 【解答】解：根据题意，得x﹣5≥0且5﹣x≥0， ∴x＝5． ∴y2， ∴x+y＝5+（﹣2）＝5﹣2＝3． 故答案为：3． 8．若x，y为实数，且y．求的值． 【解答】解：依题意得：x，则y， 所以，2， 所以． 四．二次根式的性质与化简（共5小题） 9．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（　　） A．﹣2a B．2b C．0 D．2b﹣2a 【解答】解：由数轴可知a﹣b＜0， ∴原式＝﹣a+b﹣b+a＝0， 故选：C． 10．已知1＜x＜2，化简的结果正确的是（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x 【解答】解：（1）∵①2， ②3， ③4， ∴5， 故答案为：，5； （2）猜想：n， 验证如下：当n≥2，n为自然数时， 原式 ＝n． 五．分母有理化（共2小题） 14．下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵， ∴与的积为有理数的是， 故选：C． 15．阅读下列解题过程：2； 22； 请解答下列问题： （1）观察上面解题过程，计算； （2）请直接写出的结果．（n≥1） （3）利用上面的解法，请化简：． 【解答】解：（1）原式； （2）归纳总结得：（n≥1）； （3）原式110﹣1＝9． 六．同类二次根式（共3小题） 16．若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（　　） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【解答】解：2，而与最简二次根式能合并成一项， 所以2t﹣1＝3， 解得t＝2， 故选：C． 17．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、，与是同类二次根式，故B符合题意； C、，与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、2，与不是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 18．如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则a+b＝　2　 ． 【解答】解：∵最简二次根式和是可以合并的二次根式， ∴3b＝2b﹣a+2， ∴a+b＝2． 故答案为：2． 七．无理数（共1小题） 19．阅读下列材料： 材料1：“为什么不是有理数”． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得， 于是有2m2＝n2． ∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数． 设n＝2t（t是正整数），则n2＝4t2，即4t2＝2m2， ∴2t2＝m2， ∴m也是偶数， ∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾． ∴假设错误， ∴不是有理数． 材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分． 请解答： （1）用类似的方法，请证明是无理数； （2）你能求出的整数部分a和小数部分b吗？并求ab的值； （3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，试求出x﹣y的相反数． 【解答】（1）证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得， 于是有5m2＝n2． ∵5m2是5的倍数， ∴n2也是5的倍数， ∴n是5的倍数． 设n＝5t（t是正整数），则n2＝25t2，即25t2＝5m2， ∴5t2＝m2， ∴m也是5的倍数， ∴m，n都是5的倍数，不互质，与假设矛盾， ∴假设错误， ∴不是有理数； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分a为4，小数部分b为：42， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴2的整数部分x为3，小数部分y为：2﹣31， ∴， ∴x﹣y的相反数是． 八．二次根式的加减法（共3小题） 20．下列运算正确的是（　　） A．（﹣a3）2＝a6 B．a3•a3＝2a3 C． D．a12÷a2＝a6 【解答】解：由题知， 因为（﹣a3）2＝a6， 所以A选项符合题意； 因为a3•a3＝a6， 所以B选项不符合题意； 因为， 所以C选项不符合题意； 因为a12÷a2＝a10， 所以D选项不符合题意． 故选：A． 21．若，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的　②　 段． 【解答】解：由条件可得， ∵， ∴表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的②段， 故答案为：②． 22．已知，求的值． 【解答】解：由题意得：0，0， 解得：a2，b2， 5． 九．二次根式的混合运算（共8小题） 23．某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算逐项分析判断如下： ①，正确，不符合题意； ②，正确，不符合题意； ③，正确，不符合题意； ④，错误，符合题意； 故选：A． 24．计算的结果等于　12　 ． 【解答】解： ＝12． 故答案为：12． 25．计算的结果是 　　 ． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 26．像（2）（2）＝1、•a（a≥0）、（1）（1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，1与1，23与23等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）化简：； （2）计算：； （3）比较与的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）； （2） ＝2 ＝2+2； （3）， 理由：∵， ， ， ∴， ∴． 27．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求3﹣2的算术平方根． 解：3﹣2，∴3﹣21． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1） （2） （3）． 【解答】解：（1）1； （2）4； （3）原式， ， ， 122， 1． 28．计算： （1）； （2）（）×（3）． 【解答】解：（1） ＝2 ； （2）（）×（3） ＝3 ＝3． 29．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） 2 ＝3； （2） ＝3﹣4+3+44 ＝6+4． 30．已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“关联数”． （1）﹣2与 　4　 是关于1的一组“关联数”； （2）与 　5　 是关于3的一组“关联数”； （3）若，判断a2与b2是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由． 【解答】解：（1）设﹣2与x是关于1的一组“关联数”， ∴1， 解得：x＝4， ∴﹣2与4是关于1的一组“关联数”， 故答案为：4； （2）设1与y是关于3的一组“关联数”， ∴3， 解得：y＝5， ∴1与5是关于3的一组“关联数”， 故答案为：5； （3）a2与b2是关于3的一组“关联数”， 理由：∵， ∴ ＝3， ∴a2与b2是关于3的一组“关联数”． 十．勾股定理的应用（共3小题） 31．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，其中AB＝c，AF＝a，BF＝b，请你利用以下图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC（使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　13　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【解答】解：（1）如图，设CF＝12，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝3，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝2，对于CF任意一点B，过点D作DG⊥AC，交AC延长线于点G，连接AD， 则CG＝DF＝2，DG＝CF＝12， ∴代数式表示AB+DB， ∵AB+DB的最小值为AD的长， 即代数式的最小值为AD的长， 在Rt△ADG中，由勾股定理得AD13， 即的最小值为13； 故答案为：13． （2）设CF＝5，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝2，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝1，对于CF任意一点B，过点D作DH⊥AC，交AC延长线于点H，连接AD， 则AH＝2+1＝3，DH＝CF＝5， ∴代数式表示AB+BD， ∵AB+DB的最小值为AD的长， ∴代数式的最小值为AD的长， ∵AD， 即代数式的最小值为． 32．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． （1）则AC的长为　　 （用含x的代数式表示），CE的长为　　 （用含x的代数式表示）； （2）当点C在BD上运动时，求AC+CE的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为　13　 ； （4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为　　 ． 【解答】解：（1）由AB＝5，DE＝1，BD＝8， ∵CD＝x， ∴BC＝8﹣x， 在Rt△ABC中，， 在Rt△CDE中，． 故答案为：；． （2）当A、C、E三点共线时，AC+CE最小，作EF⊥AB的延长线于F， ， 依题意得：BF＝DE＝1， ∴AE． ∴AC+CE的最小值为10． （3）如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C， ， 设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值， 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F， 得矩形ABDF， 则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5， 所以， 即的最小值为13． 故代数式 的最值为13， 故答案为：13； （4）如图，作OA＝4．过点A作AB⊥OA，使AB＝3．OC＝2，连接BC交x轴负半轴于点D， ， 设D的坐标为（x，0）， 则BC的长即为代数式的最大值， 过点C作CE⊥AB， 则AE＝OC＝2，CE＝OA＝4， ∴BE＝1， 在Rt△CBE中， 根据勾股定理，得BC， 求代数式的最小值，就是求AP+BP的最小值，当AP与BP共线时，AP+BP为最小，最小值为AB的长． ∵AE＝AC+CE＝1+2＝3，BE＝CD＝4， ∴由勾股定理，得AB5， ∴代数式的最小值是5． 学科网（北京）股份有限公司 $