2025-2026学年下学期高二数学期末模拟试题

**基本信息** 本试卷为高二数学期末模拟试题，以数列、概率统计、导数等核心知识为载体，通过AI工具使用、农作物海水浓度影响等现实情境设计问题，融合数学眼光、思维与语言，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|等差等比数列、正态分布、排列组合、导数切线|基础概念辨析，如第4题正态分布概率计算| |多选题|3|概率性质、回归分析、导数应用|多维度能力考查，如第10题回归直线与百分位数| |填空题|3|独立事件概率、正态分布对称性、等比数列求和|知识迁移应用，如第13题正态分布对称中心| |解答题|5|导数综合应用、等比数列证明与求和、回归分析、独立性检验、函数极值|现实情境与逻辑推理结合，如17题农作物产量回归分析、18题AI工具使用独立性检验|

2025-2026学年度下学期高二数学期末模拟试题 一、单选题 1．已知等差数列满足，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知等比数列为1，2，4，8，…．若数列满足，且是与的等比中项，则的值为（     ） A．8 B．10 C．12 D．16 3．已知随机变量，，若，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 4．为了调查某梨园中梨的生长情况，在梨园中随机采摘了个梨．经整理分析后发现，梨的重量（单位：kg）近似服从正态分布，且，．若从该梨园中随机采摘个梨，则该梨的重量在内的概率为（    ） A． B． C． D． 5．从0，1，2，3，4这五个数中随机选取4个不同的数，组成的四位偶数有（     ）个 A．36 B．48 C．60 D．68 6．在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B． C． D． 7．若直线是曲线的切线，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．抛掷一枚均匀的骰子两次，将两次朝上的点数分别记为随机变量和，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（     ） A．样本相关系数越大，则线性相关性越强 B．回归直线必过样本中心点 C．数据8，6，4，11，3，7，9，10的第75百分位数为 D．若随机变量，则越大越小 11．已知函数，是其导函数，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为 三、填空题 12．设随机事件满足，，且和相互独立，则______. 13．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象对称中心为_____． 14．已知等比数列的前项和为，则函数的最大值为______. 四、解答题 15．已知函数. (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 16．在正项数列中，已知. (1)证明：为等比数列；(2)若，，求的前项和. 17．某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，将海水稀释后对其进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度对亩产量的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表． 海水浓度 3 4 5 6 7 亩产量 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 残差 0.02 0 绘制散点图发现，可以用一元线性回归模型拟合与的相关关系，用最小二乘法计算得关于的经验回归方程为． (1)求，，的值； (2)请计算该回归模型的决定系数（精确到0.01），并评价其拟合效果．（若，就认为拟合效果好；若，就认为拟合效果一般；若，就认为拟合效果差） 附：决定系数，其中． 18．随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 (1)根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ (2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．已知函数． (1)当时，证明：； (2)当时，求的极大值点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高二数学期末模拟试题解析版 一、单选题 1．已知等差数列满足，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】数列为等差数列，所以，得又有，得.所以等差数列的公差，则. 2．已知等比数列为1，2，4，8，…．若数列满足，且是与的等比中项，则的值为（     ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B【详解】由题意得等比数列的通项公式为，， 又是与的等比中项，，即，解得. 3．已知随机变量，，若，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B【详解】由，，则，，由，则，，由，则，故，则，故. 4．为了调查某梨园中梨的生长情况，在梨园中随机采摘了个梨．经整理分析后发现，梨的重量（单位：kg）近似服从正态分布，且，．若从该梨园中随机采摘个梨，则该梨的重量在内的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为，所以， 又，所以．故C正确． 5．从0，1，2，3，4这五个数中随机选取4个不同的数，组成的四位偶数有（     ）个 A．36 B．48 C．60 D．68 【答案】C【详解】四位偶数要求个位为偶数，且千位不能为0，按个位是否为0分两类计算： 情况1：个位为0. 只需从剩余的1,2,3,4这4个数中选3个排列在千位、百位、十位， 排列数为； 情况2：个位为2或4. 个位有种选择；千位不能为0，也不能与个位重复，共种选择； 剩余百位、十位从剩下的3个数中选2个排列，排列数为； 该情况总个数为.两类相加，总共有个符合要求的四位偶数. 6．在的展开式中，含有项的系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由二项式展开的通项公式， 令，得，含有项的系数为. 7．若直线是曲线的切线，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C【详解】设，则．设直线与曲线相切于横坐标为的点．因为直线的斜率为，所以，即．因此，解得．切点同时在直线和曲线上，所以当时，两者的函数值相等，即．整理得，解得． 8．已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】A选项，取，则令，解得：，其中，即：和轴有无数个交点，所以A错误；B选项，取，则，令，得或，令，得，故在和上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，，所以B正确； C选项，取，则函数定义域为，且，所以是偶函数，所以C错误；D选项，，由可得，由图知，D错误. 二、多选题 9．抛掷一枚均匀的骰子两次，将两次朝上的点数分别记为随机变量和，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC【详解】选项A：为第一次抛掷骰子的点数，共6种等可能结果，即取3、4、5、6，共4种结果，故，A正确； 选项B：的情况为 ，共6种基本事件，故，B错误； 选项C： 即 ，符合的事件为 ，共4种基本事件，故，C正确；选项D：服从1到6的均匀分布，期望 ，D错误. 10．下列说法正确的是（     ） A．样本相关系数越大，则线性相关性越强 B．回归直线必过样本中心点 C．数据8，6，4，11，3，7，9，10的第75百分位数为 D．若随机变量，则越大越小 【答案】BCD【详解】A：因为样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，故A不正确； B：因为回归直线必过样本中心点，故B正确； C：数据8，6，4，11，3，7，9，10从小到大排列为：3，4，6，7，8，9，10，11， 因为，所以这组数据的第75百分位数为，故C正确； D：根据正态分布的性质可知：越大，正态曲线越矮胖，所以越小，故D正确. 11．已知函数，是其导函数，则（     ） A． B．的单调递减区间为 C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为 【答案】ABD 【详解】，故A正确；当或时，；当时，， 故的单调递减区间为，故B正确；由符号变化可得是的极大值点，故C错误； 又 ，故的图象的对称中心为，故D正确. 三、填空题 12．设随机事件满足，，且和相互独立，则 . 【答案】# 【详解】因.又因与相互独立，所以，则.所以. 13．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象对称中心为 . 【答案】 【详解】因为，所以，因为，所以对任意实数，有，所以的图象对称中心为. 14．已知等比数列的前项和为，则函数的最大值为 . 【答案】/0.5 【详解】因为，故，而，故，故，故，故，故，故.而，故当时，；当时，；当时，；故，计算得，故. 四、解答题 15．已知函数. (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【详解】（1）当时，，，设点的坐标，由题意得：，解得：，所以，因此点的坐标为. （2），令，则， 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以，即：a的取值范围是. 16．在正项数列中，已知. (1)证明：为等比数列；(2)若，，求的前项和. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为，所以，，所以为等比数列. （2）设公比为，因为，，所以， 所以，所以，所以，所以的前项和为. 17．某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，将海水稀释后对其进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度对亩产量的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表． 海水浓度 3 4 5 6 7 亩产量 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 残差 0.02 0 绘制散点图发现，可以用一元线性回归模型拟合与的相关关系，用最小二乘法计算得关于的经验回归方程为． (1)求，，的值； (2)请计算该回归模型的决定系数（精确到0.01），并评价其拟合效果．（若，就认为拟合效果好；若，就认为拟合效果一般；若，就认为拟合效果差） 附：决定系数，其中． 【详解】（1），， 将 代入可得，即．所以经验回归方程为 因，则 又因，则 （2），所以决定系数，故该模型拟合效果良好. 18．随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 (1)根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ (2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关，由统计表得， 则，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关. （2）男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为， 按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4， 因此的可能取值为，，，所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 19．已知函数． (1)当时，证明：； (2)当时，求的极大值点． 【详解】（1）当时，，定义域为.求导得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此在处取得最小值，故. （2）函数的定义域为.求导得.对分子因式分解得.令，解得或，由知. 当时，.此时时，，单调递减；时，，单调递增； 时，，单调递减.故的极大值点为.当时，，此时，当且仅当时取等号.因此在上单调递减，无极值点.当时，. 此时时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减.故的极大值点为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $