湖北武汉市第二中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟卷

**基本信息** 聚焦选择性必修第二、三册内容，以现实情境（如广告利润回归、商品销售分析）与文化素材（积化和差公式历史）为载体，分层考查数学抽象、运算推理及数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|等比数列、导数计算、排列组合、统计概率|基础题（如等比数列a₄计算）与创新题（如函数零点问题）梯度分布| |填空题|3题/15分|二项式定理、函数恒成立、概率应用|第14题结合双盒取球情境，考查复杂概率计算| |解答题|5题/77分|回归分析、数列求和、独立性检验、导数综合、条件期望|15题回归分析结合利润优化，19题生物实验情境下的期望证明，体现数学建模与逻辑推理|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （测试范围：选择性必修第二册+选择性必修第三册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知数列{an}是等比数列，若a1＝1，a2a3＝8，则a4的值为（　C　） A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】 因为数列{an}是等比数列，可得a2a3＝a1a4，又因为a1＝1，所以a2a3＝a1a4＝8，则a4＝8． 2．若函数f（x）满足f（x）x3﹣f′（1）•x2﹣x，则f'（2）的值为（　A　） A．3 B．1 C．0 D．﹣1 【解析】 根据题意，，则其导数f′（x）＝x2﹣2f′（1）x﹣1，令x＝1可得：f′（1）＝1﹣2f′（1）x﹣1，变形可得f′（1）＝0，则f′（x）＝x2﹣1，则f'（2）＝4﹣1＝3 3．将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（　B　） A．24 B．36 C．64 D．72 【解析】 将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则有一名学生分得2本，先从4本书中任选两本捆绑在一起，看作一本书，有种选法，再把3本书分配给3名学生，有种分配方法，所以不同的分配方法数为•36． 4．某产品的广告费用x与销售利润y的统计数据如下表，由表中数据用最小二乘法求得广告费用x与销售利润y满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（　C　） x 5 7 8 9 11 y 16 22 24 27 31 A．x与y有正相关关系 B．a＝4 C．当x＝9时，残差为﹣0.5 D．当广告投入金额为10万元时，该产品的销售利润y大约为29万元 【解析】 对于A：由回归方程，可得回归系数2.5＞0，所以x与y有正相关关系，故选A正确；对于B：由表格中的数据，可得，，所以数据的样本中心为（8，24），将（8，24）代入回归方程，可得，解得，故B正确；对于C：当x＝9时，可得，所以残差为27﹣26.5＝0.5，故C错误；对于D：当广告投入金额为10万元时，可得万元，故D正确． 5．已知函数f（x）＝sin2x+cosx，则f（x）在区间（0，π）上的极大值点为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 由f′（x）＝2sinxcosx﹣sinx＝sinx（2cosx﹣1），因为x∈（0，π），所以由f'（x）＝sinx（2cosx﹣1）＝0，得，即，当时，f'（x）＝sinx（2cosx﹣1）＞0，所以f（x）在上单调递增，当时，f′（x）＝sinx（2cosx﹣1）＜0，所以f（x）在上单调递减，即f（x）在区间（0，π）上的极大值点为． 6．从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球．若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（　D　） A． B．2 C． D． 【解析】 记得分为随机变量X，易知X的所有可能取值为4，3，2，根据古典概型可以求得：，，，则X的分布列为： X 4 3 2 P 将表格数据代入期望公式可得：． 7．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（　D　） A．1﹣α+β B．1+α﹣β C． D． 【解析】 根据题意，设A＝“发送信号0”，B＝“接收到0”，“发送信号1”，则P（A）＝P（），P（B|A）＝1﹣α，P（B|）＝β，则P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）（1﹣α+β）． 8．已知函数，若函数g（x）＝[f（x）]2+3af（x）﹣e2﹣2ae恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　A　） A． B． C． D．（﹣∞，﹣e） 【解析】 如图所示，已知函数，其定义域为（0，1）∪（1，+∞），那么导函数，令f′（x）＝0，即，那么lnx﹣1＝0，解得x＝e．当x＞e时，lnx﹣1＞0，导函数f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜1或1＜x＜e时，lnx﹣1＜0，导函数f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，因此函数f（x）在x＝e处取得极小值，也是最小值，． 令t＝f（x），那么函数g（t）＝t2+3at﹣e2﹣2ae，因此g（x）恰有3个不同的零点，即t2+3at﹣e2﹣2ae＝0（e不是方程的根）有两个不同的实数根t1，t2，且其中一个根为t1＜0，另一个根t2＞e．那么，解得．实数a的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法中，正确的命题是（　ACD　） A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1 B．E（2X+3）＝2E（X）+3，D（2X+3）＝2D（X） C．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好 D．随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，设Y＝2X﹣1，则P（Y＝﹣1）＝0.7 【解析】 对于A：两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；对于B：E（2X+3）＝2E（X）+3，D（2X+3）＝4D（X），故B错误；对于C：残差平方和越小的模型拟效果越好，故C正确；对于D：因为随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，所以P（X＝0）＝0.7，因为Y＝2X﹣1，所以P（Y＝﹣1）＝P（X＝0）＝0.7，故D正确． 10．若，则下列结果正确的是（　ABD　） A．a0+a1+a2+…+a2022＝1 B． C． D．a1+2a2+3a3+…+2022a2022＝4044 【解析】 对于A：令x＝1，则a0+a1+a2+…+a2022＝（1﹣2）2022＝1，故A正确；对于B：令x＝﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2022＝（1+2）2022＝32022，结合选项A可得，故B正确；对于C：令x＝0，得a0＝1，令x，则（1）2022﹣1＝﹣1，故C错误；对于D：由，则（﹣2）×2022（1﹣2x）2021＝a1+2a2x，令x＝1得a1+2a2+3a3+…+2022a2022＝4044，即选项D正确， 11．已知可导函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，若f（x）是奇函数，f（2）＝﹣f（1）≠0，且对任意x，y∈R，恒有f（x+y）＝f（x）f′（y）+f′（x）f（y），则一定有（　ABD　） A． B．f（9）＝0 C． D． 【解析】 因为f（x+y）＝f（x）f'（y）+f'（x）f（y），f（2）＝﹣f（1）≠0，令x＝y＝1，得f（2）＝2f（1）f'（1），所以，故A正确；因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x），则f'（x）＝f'（﹣x），即f'（x）是R上的偶函数，令y＝1，由f（x+y）＝f（x）f'（y）+f'（x）f（y）得f（x+1）＝f（x）f′（1）+f′（x）f（1）①，令x取﹣x，得f（﹣x+1）＝f（﹣x）f'（1）+f'（﹣x）f（1），结合f（x）是R上的奇函数，f'（x）是R上的偶函数，得f（﹣x+1）＝﹣f（x）f′（1）+f（x）f（1）②，结合，由①﹣②可得：f（x+1）﹣f（﹣x+1）＝﹣f（x），即f（x+1）＝f（﹣x+1）﹣f（x），所以f（x+2）＝f（﹣x）﹣f（x+1），f（x+3）＝f（﹣x﹣1）﹣f（x+2）＝f（﹣x﹣1）﹣[f（﹣x）﹣f（x+1）]，又因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x+3）＝f（x），则f'（x+3）＝f'（x），所以函数f（x），f′（x）是周期为3的函数，因为f（x）是R上的奇函数，所以f（9）＝f（0）＝0，故B正确；对于选项C：因为f（2）＝﹣f（1）≠0，f（3）＝f（0）＝0，所以，故C错误；对于选项D：因为f'（x）是R上的偶函数，周期为3，所以，令x＝0，y＝1，由f（x+y）＝f（x）f'（y）+f'（x）f（y）得f（1）＝f（0）f'（1）+f'（0）f（1），解得：f'（0）＝1，所以，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若，则n＝　　 ．4或6 【解析】 由组合数的性质可得，n＝3n﹣8或n+3n﹣8＝16，解得n＝4或6． 13．已知函数f（x）＝ax+b﹣lnx，若f（x）⩾0恒成立，则a2+2b的最小值为 　　 ．﹣1 【解析】 函数f（x）＝ax+b﹣lnx，x∈（0，+∞），f′（x）＝a，a≤0时，f′（x）＜0，则函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，x→+∞时，f（x）→﹣∞，不符合题意，舍去．a＞0时，令f′（x）＝0，解得x．则函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．∴x时，函数f（x）取得极小值f（），则f（）＝1+b﹣ln1+b+lna≥0，∴a2+2b≥a2﹣2﹣2lna，令g（a）＝a2﹣2﹣2lna，a∈（0，+∞），g′（a）＝2a，可得a＝1时，函数g（a）取得极小值即最小值，∴g（1）＝1﹣2﹣0＝﹣1，∴a2+2b≥﹣1，则a2+2b的最小值为﹣1． 14．已知有A，B两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中．按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是 　　 ． 【解析】 若两次取球后，B盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜，若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为，第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球，B盒装有4个黑球和2个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为，此时B盒中恰有7个球的概率为，若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为，第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，B盒装有3个黑球和3个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为，此时B盒中恰有7个球的概率为，所以B盒中恰有7个球的概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）某商店为调查某种商品销售单价对销售量的影响，统计了5天的销售单价x（元/千克）和销售量y（千克）之间的一组数据如表所示： 第i天 1 2 3 4 5 销售单价xi 18 19 20 21 22 销售量yi 22 18 16 14 10 （1）试根据这5天的销售数据，建立y关于x的回归直线方程； （2）若该商品进货单价为15元/千克，试确定销售单价，使每天销售该商品的利润最大．（精确到0.1元/千克） 参考公式：经验回归直线方程，其中． 【解析】 （1）由题意可知，20，16，（﹣2）×6+（﹣1）×2+0×0+1×（﹣2）+2×（﹣6）＝﹣28，（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22＝10，所以2.8，所以16﹣（﹣2.8）×20＝72，所以y关于x的回归直线方程为2.8x+72； （2）设每天销售该商品的利润为L（x），则L（x）＝（x﹣15）（﹣2.8x+72）＝﹣2.8x2+114x﹣1080，所以当x20.4时，L（x）取得最大值，即销售单价为20.4元/千克时，每天销售该商品的利润最大． 16．（本小题满分15分）已知公差为﹣2的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝﹣5． （1）求{an}的通项公式； （2）若数列的前n项和为Tn，证明：为定值． 【解析】 （1）由题意得，解得a1＝3，故an＝3﹣2（n﹣1）＝﹣2n+5． （2）证明：因为，设，所以Tn＝b1+b2+b3+⋯+bn ，所以，即为定值． 17．（本小题满分15分），，，这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中．在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算．在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数．为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表： 合格 不合格 合计 高三年级的学生 54 高一年级的学生 16 合计 100 （1）请完成2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？ （2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，n＝a+b+c+d α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】 （1）由100名学生中高三年级的学生占，可知高三年级的学生有60人，高一年级的学生有40人．补充完整的2×2列联表，如下： 合格 不合格 合计 高三年级的学生 54 6 60 高一年级的学生 24 16 40 合计 78 22 100 提出零假设H0：“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”无关，根据列联表中的数据，得，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001； （2）由（1）得，高一年级的学生对公式的掌握情况合格的频率为，依题意，得，则，，，，所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P ． 18．（本小题满分17分）已知函数f（x）＝lnax+b（x﹣1）3． （1）若b＝0，且f′（x）≥0，求a的最小值； （2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形； （3）若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围． 【解析】 （1）由，解得0＜x＜2，所以函数f（x）的定义域为（0，2），当b＝0时，，所以，对∀0＜x＜2恒成立，又，当且仅当x＝1时取“＝”，所以只需2+a≥0，即a≥﹣2，所以a的最小值为﹣2． （2）证明：x∈（0，2），f（2﹣x）+f（x），所以f（x）关于点（1，a）中心对称． （3）因为f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，所以x＝1为f（x）＝﹣2的一个解，所以f（1）＝﹣2，即a＝﹣2，先分析1＜x＜2时，f（x）＞﹣2恒成立，此时f（x）＞﹣2，即为ln2（1﹣x）+b（x﹣1）3＞0在（1，2）上恒成立，设t＝x﹣1，t∈（0，1），则ln2t+bt3＞0在（0，1）上恒成立，设g（t）＝ln2t+bt3，t∈（0，1），则g′（t）2+3bt2，当b≥0时，﹣3bt2+2+3b＞﹣3b+2+3b＝2＞0，所以g′（t）＞0恒成立，所以g（t）在（0，1）上为增函数，所以g（t）＞g（0）＝0，即f（x）＞﹣2在（1，2）上恒成立，当b＜0时，﹣3bt2+2+3b＞2+3b≥0，所以g′（t）＞0恒成立，故g（t）在（0，1）上为增函数，故g（t）＞g（0）＝0，即f（x）＞﹣2在（1，2）上恒成立，当b，即当0＜t1时，g′（t）＜0，所以在（0，）上g（t）为减函数，所以g（t）＜g（0）＝0，不合题意，舍去，综上所述，f（x）＞﹣2在（1，2）上恒成立时，b，而b时，由上述过程可得g（t）在（0，1）单调递增，所以g（t）＞0的解为（0，1），即f（x）＞﹣2的解为（1，2），综上所述，b，所以b的取值范围为[，+∞）． 19．（本小题满分17分）设离散型随机变量X，Y的取值分别为{x1，x2，…，xp}，{y1，y2，…，yq}（p，q∈N*）．定义X关于事件“Y＝yj”（1≤j≤q）的条件数学期望为E（X|Y＝yj），已知条件数学期望满足全期望公式E（X）． 解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的． 设第n天上午培养皿中A的个体数量为Xn．规定E（X1）＝10，D（X1）＝0． （1）求P（X2＝4），E（X4|X3＝4）； （2）证明E（Xn）＝10； （3）已知E（|Xn﹣1＝t）＝t2+t（t∈N*），求D（Xn），并结合（2）说明其实际含义． 附：对于随机变量X，D（X）＝E（X2）﹣[E（X）]2． 【解析】 （1）事件X2＝4发生当且仅当在第1天内A个体有2个分裂，8个死亡．∴．在事件X3＝4发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有k个个体分裂，则X4的取值为4+k﹣（4﹣k）＝2k，∴X4的取值集合为{0，2，4，6，8}，，∴． （2）由（1）可类似得到：在事件Xn﹣1＝t发生的条件下，如果在第n﹣1天下午加入药物之后，有k个个体分裂，则Xn的取值为t+k﹣（t﹣k）＝2k．在事件Xn﹣1＝t发生的条件下，令随机变量Z表示第n﹣1天下午加入药物之后分裂的个体数目，则且Xn＝2Z．因此．设Xn﹣1的取值集合为{x1，x2，⋯，xr}，则由全期望公式可知．这表明{E（Xn）}是常数列，∴E（Xn）＝E（X1）＝10． （3）由（2）可知．这表明是公差为10的等差数列．又∵，∴，从而．可以看出，D（Xn）随着n的增大而增大，而E（Xn）为定值．这表明药物的介入会使得微生物A的种群数量越来越不稳定，种族灭绝的风险越来越大． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （测试范围：选择性必修第二册+选择性必修第三册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知数列{an}是等比数列，若a1＝1，a2a3＝8，则a4的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 2．若函数f（x）满足f（x）x3﹣f′（1）•x2﹣x，则f'（2）的值为（　　） A．3 B．1 C．0 D．﹣1 3．将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（　　） A．24 B．36 C．64 D．72 4． 某产品的广告费用x与销售利润y的统计数据如下表，由表中数据用最小二乘法求得广告费用x与销售利润y满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（　　） x 5 7 8 9 11 y 16 22 24 27 31 A． x与y有正相关关系 B．a＝4 C．当x＝9时，残差为﹣0.5 D．当广告投入金额为10万元时，该产品的销售利润y大约为29万元 5．已知函数f（x）＝sin2x+cosx，则f（x）在区间（0，π）上的极大值点为（　　） A． B． C． D． 6．从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球．若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（　　） A． B．2 C． D． 7． 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（　　） A．1﹣α+β B．1+α﹣β C． D． 8．已知函数，若函数g（x）＝[f（x）]2+3af（x）﹣e2﹣2ae恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D．（﹣∞，﹣e） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法中，正确的命题是（　　） A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1 B．E（2X+3）＝2E（X）+3，D（2X+3）＝2D（X） C．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好 D．随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，设Y＝2X﹣1，则P（Y＝﹣1）＝0.7 10．若，则下列结果正确的是（　　） A．a0+a1+a2+…+a2022＝1 B． C． D．a1+2a2+3a3+…+2022a2022＝4044 11．已知可导函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，若f（x）是奇函数，f（2）＝﹣f（1）≠0，且对任意x，y∈R，恒有f（x+y）＝f（x）f′（y）+f′（x）f（y），则一定有（　　） A． B．f（9）＝0 C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若，则n＝　 　 ． 13．已知函数f（x）＝ax+b﹣lnx，若f（x）⩾0恒成立，则a2+2b的最小值为 　 　 ． 14．已知有A，B两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中．按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）某商店为调查某种商品销售单价对销售量的影响，统计了5天的销售单价x（元/千克）和销售量y（千克）之间的一组数据如表所示： 第i天 1 2 3 4 5 销售单价xi 18 19 20 21 22 销售量yi 22 18 16 14 10 （1）试根据这5天的销售数据，建立y关于x的回归直线方程； （2）若该商品进货单价为15元/千克，试确定销售单价，使每天销售该商品的利润最大．（精确到0.1元/千克） 参考公式：经验回归直线方程，其中． 16．（本小题满分15分）已知公差为﹣2的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝﹣5． （1）求{an}的通项公式； （2）若数列的前n项和为Tn，证明：为定值． 17．（本小题满分15分），，，这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中．在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算．在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数．为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表： 合格 不合格 合计 高三年级的学生 54 高一年级的学生 16 合计 100 （1）请完成2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？ （2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，n＝a+b+c+d α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 18．（本小题满分17分）已知函数f（x）＝lnax+b（x﹣1）3． （1）若b＝0，且f′（x）≥0，求a的最小值； （2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形； （3）若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围． 19．（本小题满分17分）设离散型随机变量X，Y的取值分别为{x1，x2，…，xp}，{y1，y2，…，yq}（p，q∈N*）．定义X关于事件“Y＝yj”（1≤j≤q）的条件数学期望为E（X|Y＝yj），已知条件数学期望满足全期望公式E（X）． 解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的． 设第n天上午培养皿中A的个体数量为Xn．规定E（X1）＝10，D（X1）＝0． （1）求P（X2＝4），E（X4|X3＝4）； （2）证明E（Xn）＝10； （3）已知E（|Xn﹣1＝t）＝t2+t（t∈N*），求D（Xn），并结合（2）说明其实际含义． 附：对于随机变量X，D（X）＝E（X2）﹣[E（X）]2． ( 1 ) 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