专题06图形的轴对称期末复习讲义（23大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题06图形的轴对称期末复习讲义 期末复习◆重点 厘清轴对称图形与两个图形成轴对称的区别，掌握图形轴对称性的判定方法，能够确定对称轴数量。熟练绘制对称轴与轴对称图形，掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图步骤。 掌握等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质；理解并运用线段垂直平分线、角平分线的相关性质，完成几何计算与推理证明。 掌握折叠变换、镜面对称、光线反射、最短路径等常见题型的解题方法。灵活运用轴对称相关知识，求解线段、角度、面积类综合几何问题。 核心题型◆归纳 题型1.轴对称图形的识别 题型2.成轴对称的两个图形的识别 题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断 题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解 题型5.求对称轴条数 题型6.折叠问题 题型7.画对称轴 题型8.画轴对称图形 题型9.设计轴对称图案 题型10.车牌号码的镜面对称 题型11.电子钟示数的镜面对称 题型12.台球桌面上的轴对称问题 题型13.轴对称中的光线反射问题 题型14.等边对等角 题型15.三线合一 题型16.线段垂直平分线的性质 题型17.作已知线段的垂直平分线 题型18.角平分线的性质定理 题型19.作角平分线(尺规作图) 题型20.最短路径问题 题型21.线段问题(轴对称综合题) 题型22.面积问题(轴对称综合题) 题型23.角度问题(轴对称综合题) 题型24.其他问题(轴对称综合题) 重点知识◆梳理 【知识点一、轴对称图形】 一个平面图形沿一条直线折叠，直线两侧部分能完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线为对称轴。 【知识点二、两个图形成轴对称】 一个图形沿某直线折叠，能与另一个图形完全重合，则两图形关于这条直线成轴对称；该直线叫对称轴，折叠重合的点为对称点。 【知识点三、轴对称图形与两图形成轴对称的区别与联系】 区别：轴对称图形是一个图形自身对称；成轴对称是两个图形的位置对称关系。 联系：都能沿直线折叠重合，遵循相同的轴对称性质。 【知识点四、轴对称基本性质】 成轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角分别相等； 对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线； 轴对称图形的对称轴，也是图形上任意一对对应点连线的垂直平分线； 对应线段、角相等，对应线段延长线交点必在对称轴上。 【知识点五、常见轴对称图形】 轴对称图形 对称轴条数 对称轴位置 线段 2 条 线段所在直线、垂直平分线 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边高 / 中线 / 顶角平分线所在直线 等边三角形 3 条 各边高、中线、角平分线所在直线 长方形 2 条 对边中点连线所在直线 正方形 4 条 对边中点连线、对角线所在直线 圆 无数条 任意过圆心的直线 等腰三角形（重中之重） 等腰三角形为轴对称图形，仅有一条对称轴，即底边上的高、顶角平分线、底边中线所在直线。 核心性质：① 等边对等角：等腰三角形两腰相等，对应的两个底角相等，多用于角度运算；② 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线相互重合，可用于证明垂直关系、线段相等、角相等。 等边三角形：作为特殊的等腰三角形，拥有三条对称轴，三边长度相等，三个内角均为60°。 【知识点六、线段垂直平分线】 性质：垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等； 几何语言：∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 几何语言：∵ PA = PB∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 作用：轴对称核心推论，常用于证线段相等、找对称点。 【知识点七、角平分线】 角平分线的定义：将一个角分成相等的两个角的射线叫这个角的角平分线 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 几何语言：∵ OP 平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，P 在 OP 上， ∴ PM = PN 角平分线的判定：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上. 几何语言：∵ PM⊥OA，PN⊥OB，PM = PN ∴ OP 为∠AOB 的角平分线 【知识点八、轴对称作图步骤】 作轴对称图形 ① 找原图形关键点；② 过关键点作对称轴垂线，截取等长，作出对称点；③ 顺次连接对称点，即成所求图形。 找对称轴① 取一组对应点；② 作对应点连线的垂直平分线，即为对称轴。 【知识点九、期末常考题型】 基础辨析：轴对称图形识别、对称轴数量判定； 几何计算：依托轴对称、垂直平分线、角平分线性质，求解线段长度与角度数值； 几何证明：利用等腰、等边三角形的性质完成逻辑推理与几何证明； 几何作图：网格轴对称图形补画、标准尺规作图、最短路径作图； 实际应用：镜面对称场景下时间、数字的还原计算； 原理说理：轴对称最短路径问题的原理分析与标准化解答。 题型解析◆精准备考 题型1.轴对称图形的识别 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 2．下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 【答案】 4 【分析】根据轴对称图形的概念，对各图形逐一分析判断，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：①角，沿角平分线所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ②直角三角形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，普通直角三角形不是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； ③等边三角形，一定是轴对称图形，有三条对称轴； ④线段，沿过中点的垂线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑤等腰三角形，沿底边上的高所在直线折叠可重合，一定是轴对称图形； ⑥平行四边形，普通平行四边形不是轴对称图形，只有特殊的平行四边形才是轴对称图形，因此不一定是轴对称图形； 综上，一定是轴对称图形的共4个． 3．观察下列各种图形，分别判断是不是轴对称图形． 【答案】①⑥⑧⑨⑪是轴对称图形，②③④⑤⑦⑩⑫不是轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的特征进行判定即可得解． 【详解】略． 题型2.成轴对称的两个图形的识别 1．视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键． 根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线对折后能否完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、两个字母沿直线对折后能够完全重合，所以组合中的两个字母关于直线成轴对称，符合题意； B、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； C、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； D、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意． 故选：A． 2．窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 3．图中三角形4与图中哪些三角形成轴对称？整个图形中有几条对称轴？ 【答案】三角形4与图中三角形1、三角形3成轴对称，整个图形共有两条对称轴； 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义即可得到结果． 【详解】解：三角形4与图中三角形1、三角形3成轴对称，整个图形共有两条对称轴； 题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断 1．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ， ， ，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 2．等腰三角形有_______条对称轴，则其对称轴在_______． 【答案】 一条或三条 底边的垂直平分线上 【分析】本题主要考查了求几何图形对称轴的条数． 先判断等腰三角形的类型(一般等腰三角形或等边三角形)，确定对称轴的数量，再说明对称轴的位置． 【详解】解：一般等腰三角形有一条，即底边上的中线所在的直线； 若是特殊的等腰三角形即等边三角形，则有三条，即每条边上的中线所在的直线． 等腰三角形的对称轴在底边的垂直平分线上， 故答案为：一条或三条，底边的垂直平分线上． 3．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 【答案】(1)点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是 (2)直线垂直平分线段 (3)对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上 【分析】（1）根据所给对称关系，写出对称点即可； （2）根据轴对称的性质即可解决问题； （3）根据题意进行画图，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是； （2）解：连接， 则直线垂直平分线段； （3）解：若延长与， 它们的交点在直线上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线上， 规律：对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上． 题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，与关于直线对称，连接、，以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：与关于直线对称， ∴，，，，故B、C正确 ， 即，故D正确． 不能得出，故A选项错误，符合题意． 2．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 【答案】 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度最小， 当时，， ∴，解得：， ∴， 即线段长度的最小值是． 3．如图，已知，分别作出关于、、对称的三角形． 【答案】 即为关于对称的三角形 即为关于对称的三角形 即为关于对称的三角形 【分析】过点作于点，延长至点，使，分别连接，，则与关于对称，同理可作关于、对称的三角形． 【详解】略 题型5.求对称轴条数 1．下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】解：选项A有四条对称轴，选项B有四条对称轴，选项C有三条对称轴，选项D有无数条对称轴， ∴对称轴数量最多的是选项D． 故选：D． 2．如图，由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有_______（填序号）． 【答案】②④⑥ 【分析】本题考查的是确定轴对称图形的对称轴，根据轴对称图形的定义可得对称轴的位置即可得到答案. 【详解】解：由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有：②④⑥； 故答案为：②④⑥ 3．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 【答案】(1)三角形①分别与三角形②④成轴对称 (2)整个图形是轴对称图形，有两条对称轴 【分析】本题考查了轴对称和轴对称图形，解决本题的关键是能根据定义识别轴对称和轴对称图形； （1）根据轴对称图形的定义即可解答； （2）根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：根据图形可得：三角形①分别与三角形②④成轴对称． （2） 解：根据图形可得：整个图形是轴对称图形，有横竖两条对称轴． 题型6.折叠问题 1．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点D与点C分别落在点和点的位置上，与的交点为G，若，则为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得到，由平行线的性质得到，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，，为折痕，点，，的对应点分别为点，，，点在上，点在上，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据折叠性质可得：，，再根据邻补角性质得出：，即可得出的度数，由可得的度数，再根据即可得出答案． 【详解】解：由折叠性质可得：，， ， ， ， ， ． 3．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数； (2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处． ①若与互为“美妙角”，求的度数； ②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则 ． 【答案】(1)或 (2)或；或或 【分析】（1）根据定义得出，从而求得结果； （2）①设，则，根据定义得出，进而求得结果； ②设，当在或内时，，进一步得出结果； 当在外部时，可得出方程，进一步得出结果． 【详解】（1）解：和互为“美妙角”， ， ， ， 或； （2）解：①设，则， 与互为“美妙角”， ， 或； ②设， 如图1﹣1和图1﹣2 当在或内时， ， ， 与互为“美妙角”， ， 或， 如图2， 当在外部时， ， ， ， ， 综上所述：或或． 题型7.画对称轴 1．下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的性质及相关概念，轴对称图形的对称轴是直线，据此可判断（1）（3），轴对称图形的轴对称可能不止一条，据此可判断（2）；根据轴对称的性质可判断（4）（5）． 【详解】解：（1）角平分线所在的直线是角的对称轴，原说法错误； （2）轴对称图形可能有多条对称轴（如圆有无数条），原说法错误； （3）等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，而非高本身，原说法错误； （4）两个图形成轴对称，则它们全等，原说法正确； （5）若A、B关于直线对称，则垂直平分，而非垂直平分，原说法错误 综上，正确说法有（4），共1个， 故选：A． 2．角的对称轴是_________，线段的对称轴是_________． 【答案】 角平分线所在的直线 垂直平分线 【分析】分别利用各图形，结合对称轴的定义得出答案． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线，线段的对称轴是垂直平分线， 故答案为：角平分线所在的直线，垂直平分线． 【点睛】本题考查了轴对称图形，得出其对称轴位置是解题的关键． 3．指出下列图形中的轴对称图形，作出它们的对称轴． （1）   （2）   （3）       （4） （5）   （6）          （7）     （8） 【答案】（2）（3）（4）（5）都是轴对称图形， 对称轴，如图所示： 【详解】略 题型8.画轴对称图形 1．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】如图所示，对称轴有五种位置，与成轴对称的格点三角形有5个． 2．请在下面的这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处，填上适当的图形________． 【答案】 【分析】根据已知可以得出此图形是连续的数字，得出空白处是6并且是轴对称图形，据此即可解答． 【详解】解：根据已知可以得出此图形是连续的数字并且是轴对称图形，则横线上的空白处的图形是：． 故答案为：． 3．四边形在正方形网格中的位置如图所示，四边形的顶点都在格点上．四边形与四边形关于直线对称，请在图中画出四边形（点、、、的对应点分别是点、、、）． 【答案】解：四边形如图所示： 【分析】根据轴对称的性质确定对应点的位置，再顺次连接即可． 【详解】略 题型9.设计轴对称图案 1．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义和网格的特点画图求解即可． 【详解】解：如图所示， 即满足条件的点D的个数为2个． 2．如图是一个的网格，网格中每个格子均为边长相等的小正方形．若在网格中再涂一格阴影，使阴影部分变为轴对称图形，则共有______种不同的涂法． 【答案】3 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称定义进行解答即可． 【详解】解：如图，在网格中再涂一格阴影，使阴影部分变为轴对称图形，共有3种不同的涂法． 3．如图，在正方形网格中，点，，均是格点．用无刻度直尺按要求画图（不写画法，保留画图痕迹）； (1)如图1，画出关于直线对称的图形： (2)如图2，方格纸上有两条线段，请在图2中补画一条线段，将其补成一个轴对称图形（画出所有符合条件的线段）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，线段、、即为所求． 题型10.车牌号码的镜面对称 1．小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称，是常见基础考点，联系生活实际，掌握镜面对称的性质是解题关键．根据镜面对称性质解题，可将四个数子写在全白纸上，再观察纸的背面即可得到答案． 【详解】解：∵5对称图形是2，1对的是1，如果是51号，5在前1在后，对应为5对的是2，1对的是1， ∴实际号码是12． 故选：C． 2．从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，则该车的后5位号码实际上___________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质进行判定即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形的性质，如图所示， ∴该车的后5位号码实际上， 故答案为： ． 3．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 【答案】不正确，M80908 【分析】此题主要考查了镜面对称，易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：晓华的猜测不正确．如图所示． 故该车的车牌号应是M80908． 题型11.电子钟示数的镜面对称 1．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51． 故选：C． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 2．东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是______． 【答案】 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解． 【详解】 解：∵平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称， ∴东东醒来时的正确时间是“”， 故答案为：． 3．如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______．    【答案】3265 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 题型12.台球桌面上的轴对称问题 1．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 【答案】C 【分析】根据题意画出图示可直接得到答案． 【详解】解：如图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，解题的关键是掌握每次的入射角总是等于反射角． 2．如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 【答案】675 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：根据题意，得到如下反射图， 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， 因为， 故它与边的碰撞次数是 （次）． 3．如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积为______． (3)顶点在格点，找出为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出______个． (4)在对称轴l上找到一点P，使最短． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)1 (4)见解析 【分析】（1）利用网格特点作的垂直平分线即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积； （3）利用全等三角形的判定方法作图； （4）连接，与直线l的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线l为所作； ； （2）解：的面积； 故答案为：3； （3）解：如图，以为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内能画1个． 故答案为：1． （4）解：如图所示，点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：作对称点的连线段的垂直平分线得到对称轴．也考查了全等三角形的判定． 题型13.轴对称中的光线反射问题 1．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，故③错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，错误的个数为1个． 2．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【答案】有，捷径见解析 【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线就是捷径． 【详解】解：如下图， 假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点． 因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度， 连接，则， 在中，由三角形三边故选可得：， 所以折线的长， 即折线就是捷径． 【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点，，连接，得出 C，D两点． 题型14.等边对等角 1．如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．已知一个等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，通过内角和减去顶角度数后除以2即可求解底角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，等腰三角形的两底角相等，三角形内角和为， ∴底角的度数为， 故答案为：． 3．如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 题型15.三线合一 1．过直线外一点C，用尺规作的垂线，如图所示，其中点F是分别以点D和点E为圆心，为半径的两弧的交点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定等；理解作法是解题的关键．由作图得，，，由等边三角形的判定得，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：由作图得，，， 是等边三角形， ，， ， ， ． 故选：D． 2．浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，于点，是上一点，连接，已知．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质及平行线的判定定理．关键是利用等腰三角形的性质找到相等的内错角，进而证明两直线平行．先根据等腰三角形“三线合一”的性质，由且推出；再由，利用“等边对等角”得到；通过等量代换得到，最后依据“内错角相等，两直线平行”证明． 【详解】证明：∵，， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴． 题型16.线段垂直平分线的性质 1．在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据垂直平分线得到，然后根据等边对等角和外角的知识，即可求解； 【详解】解：∵在中，点D在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 故选：D； 2．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 3．尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （3）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：的角平分线如图所示， （2）解：的垂直平分线如图所示， （3）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 题型17.作已知线段的垂直平分线 1．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】D 【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， 即， 故选项D符合题意． 2．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图—作线段和作线段的垂直平分线，由作图知，，垂直平分线段，则，则由即可求得周长． 【详解】解：由作图知，，垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：12． 3．如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 【答案】(1)如图，直线即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为直线； （2）作出的平分线即为直线． 【详解】（1）略 （3） 略 题型18.角平分线的性质定理 1．如图，中，，利用尺规在，上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由垂线段最短可得，当时，的值最小，再结合角平分线的性质定理即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：平分， 由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴由角平分线的性质定理可得，即的最小值为． 2．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 3．如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，证明出是解题的关键． （1）先利用证明，再根据全等三角形的对应角相等即可得出； （2）根据全等三角形的对应角相等得出，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，垂足为E，，垂足为F， ∴， ∵， ∴． 题型19.作角平分线(尺规作图) 1．如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图得到，，以及为公共边，则可利用证明，即可求解． 【详解】解:由作法得，，而为公共边， 所以． 所以． 2．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为___________． 【答案】/28度 【分析】如图，连接，证明即可得到答案. 【详解】解：如图，连接，通过尺规作图可知， ， 又， ， ∴. 3．如图，点E是直线上一点，是的平分线． (1)作的平分线； (2)求的度数； (3)直接写出的余角． 【答案】(1)见解析 (2) (3)和 【分析】（1）根据角平分线的作法画图； （2）根据角平分线的性质求出角之间的关系； （3）根据余角定义进行求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴； （3）解：∵，且， ∴的余角为和． 【点睛】重点掌握角平分线的作法和性质，余角的定义． 题型20.最短路径问题 1．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 2．如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 【答案】② 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 3．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1)作图见解析 (2)5 (3)作图见解析 【分析】（1）作点B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （3）根据“两点之间线段最短”解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：连接交直线l于点P，则点P即为所求． 连接，可知， ∴， 根据两点之间线段最短可得连接交直线l于点P，此时最短，即最短． 题型21.线段问题(轴对称综合题) 1．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，线段沿着射线折叠得到，可得，求解，当共线时，，此时周长最短；再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵线段沿着射线折叠得到， ∴， ∵， ∴， 当共线时， ，此时周长最短； ∴， ∴； 故选C 2．如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，，， ， ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小， 最小值为， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 3．如图，在正方形网格中有一个． (1)作关于直线对称的轴对称图形； (2)请在直线上找一点，使的长最短． 【答案】(1)如图即为所求； (2)如图所示，点即为所求． 【分析】（1）利用轴对称的性质画图； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时的长最短． 【详解】（1）略； （2） 略． 题型22.面积问题(轴对称综合题) 1．如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 【答案】8 【分析】连接，过点O作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，，从而得出，然后根据三角形的面积公式得．可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案． 【详解】解：连接， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴，，， ∵， ∴当在线段上时，， 当在左侧时，， 当在右侧时，， 综上所述是等腰直角三角形， ∴， 过点O作，交的延长线于点H， ，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 2．如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线MN的对称（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画轴对称图形，熟练掌握画轴对称图形的方法是关键． （1）根据网格结构找出点、、关于的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）． 3．如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)或 (3)①；②或 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，进行线段的和差运算，即可作答． （2）先算出长方形的面积为，则或的面积为，结合平分或的面积，列式进行计算可作答． （3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． ②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则 ∵ ∴ ∴当时，则 ∴ 故答案为：2 （2）解：∵长方形中， ∴等于的面积， 即， ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∴或 （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ∴最短时，即最短 此时（垂线段最短），即点与点重合 ∴ ②∵边形的面积是长方形的面积 ∴ ∵ ∴ 当点P在上时    ∴ 解出； 当点P在上时    ∴ 解出； 综上：或． 题型23.角度问题(轴对称综合题) 1．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 2．矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【答案】/12度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，角的和差，解题关键是根据折叠梳理相等关系． 根据折叠的性质得，，结合进而得出，再求出即可求解． 【详解】解：根据折叠性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)或． 【分析】（）根据题意，确定，，的位置，然后顺次连接即可； （）根据网格及等腰直角三角形的性质作图即可； 此题考查了轴对称图形的作法及等腰三角形的定义，理解题意，结合图形求解是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，确定，，，的位置如图所示，然后顺次连接， ∴即为所求； （2）取，连接，， ∵为小正方形的对角线， ∴； 取，连接，， 由图得，， ∴， ∴点的坐标为或． 题型24.其他问题(轴对称综合题) 1．如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是：_____________． 【答案】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【分析】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【详解】解：如图，点C，点D即为所求． 故答案为：作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小； (3)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标与轴对称变换、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握轴对称变换是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，，，再顺次连接即可得； （2）先作点A关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点P； （3）依据割补法即可求得的面积． 【详解】（1）解：即为所求，如图：   ； （2）解：作点关于x轴对称的点，    由两点之间线段最短得：当点、、共线时，取得最小值， 连接，则， 的值最小， 点P即为所求； （3）解： ． 3．如图，每一个小正方形的边长为a． (1)画出格点△ABC关于直线DE的对称的； (2)在DE上画出点P，使PA+PC最小； (3)在DE上画出点Q，使|QA-QB|最大； (4)请直接写出△ABC的面积＝　 　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）作点A关于DE的对称点，连接，交DE于点P，点P即为所求； （3）延长AB，交DE于点Q，点Q即为所求； （4）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）作点A关于DE的对称点，连接，交DE于点P，点P即为所求． （3）延长AB，交DE于点Q，点Q即为所求， （4）． 【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，根据轴对称的性质求最短路径，掌握轴对称的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06图形的轴对称期末复习讲义 期末复习◆重点 厘清轴对称图形与两个图形成轴对称的区别，掌握图形轴对称性的判定方法，能够确定对称轴数量。熟练绘制对称轴与轴对称图形，掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图步骤。 掌握等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质；理解并运用线段垂直平分线、角平分线的相关性质，完成几何计算与推理证明。 掌握折叠变换、镜面对称、光线反射、最短路径等常见题型的解题方法。灵活运用轴对称相关知识，求解线段、角度、面积类综合几何问题。 核心题型◆归纳 题型1.轴对称图形的识别 题型2.成轴对称的两个图形的识别 题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断 题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解 题型5.求对称轴条数 题型6.折叠问题 题型7.画对称轴 题型8.画轴对称图形 题型9.设计轴对称图案 题型10.车牌号码的镜面对称 题型11.电子钟示数的镜面对称 题型12.台球桌面上的轴对称问题 题型13.轴对称中的光线反射问题 题型14.等边对等角 题型15.三线合一 题型16.线段垂直平分线的性质 题型17.作已知线段的垂直平分线 题型18.角平分线的性质定理 题型19.作角平分线(尺规作图) 题型20.最短路径问题 题型21.线段问题(轴对称综合题) 题型22.面积问题(轴对称综合题) 题型23.角度问题(轴对称综合题) 题型24.其他问题(轴对称综合题) 重点知识◆梳理 【知识点一、轴对称图形】 一个平面图形沿一条直线折叠，直线两侧部分能完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线为对称轴。 【知识点二、两个图形成轴对称】 一个图形沿某直线折叠，能与另一个图形完全重合，则两图形关于这条直线成轴对称；该直线叫对称轴，折叠重合的点为对称点。 【知识点三、轴对称图形与两图形成轴对称的区别与联系】 区别：轴对称图形是一个图形自身对称；成轴对称是两个图形的位置对称关系。 联系：都能沿直线折叠重合，遵循相同的轴对称性质。 【知识点四、轴对称基本性质】 成轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角分别相等； 对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线； 轴对称图形的对称轴，也是图形上任意一对对应点连线的垂直平分线； 对应线段、角相等，对应线段延长线交点必在对称轴上。 【知识点五、常见轴对称图形】 轴对称图形 对称轴条数 对称轴位置 线段 2 条 线段所在直线、垂直平分线 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边高 / 中线 / 顶角平分线所在直线 等边三角形 3 条 各边高、中线、角平分线所在直线 长方形 2 条 对边中点连线所在直线 正方形 4 条 对边中点连线、对角线所在直线 圆 无数条 任意过圆心的直线 等腰三角形（重中之重） 等腰三角形为轴对称图形，仅有一条对称轴，即底边上的高、顶角平分线、底边中线所在直线。 核心性质：① 等边对等角：等腰三角形两腰相等，对应的两个底角相等，多用于角度运算；② 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线相互重合，可用于证明垂直关系、线段相等、角相等。 等边三角形：作为特殊的等腰三角形，拥有三条对称轴，三边长度相等，三个内角均为60°。 【知识点六、线段垂直平分线】 性质：垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等； 几何语言：∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 几何语言：∵ PA = PB∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 作用：轴对称核心推论，常用于证线段相等、找对称点。 【知识点七、角平分线】 角平分线的定义：将一个角分成相等的两个角的射线叫这个角的角平分线 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 几何语言：∵ OP 平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，P 在 OP 上， ∴ PM = PN 角平分线的判定：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上. 几何语言：∵ PM⊥OA，PN⊥OB，PM = PN ∴ OP 为∠AOB 的角平分线 【知识点八、轴对称作图步骤】 作轴对称图形 ① 找原图形关键点；② 过关键点作对称轴垂线，截取等长，作出对称点；③ 顺次连接对称点，即成所求图形。 找对称轴① 取一组对应点；② 作对应点连线的垂直平分线，即为对称轴。 【知识点九、期末常考题型】 基础辨析：轴对称图形识别、对称轴数量判定； 几何计算：依托轴对称、垂直平分线、角平分线性质，求解线段长度与角度数值； 几何证明：利用等腰、等边三角形的性质完成逻辑推理与几何证明； 几何作图：网格轴对称图形补画、标准尺规作图、最短路径作图； 实际应用：镜面对称场景下时间、数字的还原计算； 原理说理：轴对称最短路径问题的原理分析与标准化解答。 题型解析◆精准备考 题型1.轴对称图形的识别 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形．其中一定是轴对称图形的有_____ 个． 3．观察下列各种图形，分别判断是不是轴对称图形． 题型2.成轴对称的两个图形的识别 1．视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 2．窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 3．图中三角形4与图中哪些三角形成轴对称？整个图形中有几条对称轴？ 题型3.根据成轴对称图形的特征进行判断 1．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2．等腰三角形有_______条对称轴，则其对称轴在_______． 3．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 题型4.根据成轴对称图形的特征进行求解 1．如图，与关于直线对称，连接、，以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 3．如图，已知，分别作出关于、、对称的三角形． 题型5.求对称轴条数 1．下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有_______（填序号）． 3．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 题型6.折叠问题 1．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点D与点C分别落在点和点的位置上，与的交点为G，若，则为（     ）． A． B． C． D． 2．将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，，为折痕，点，，的对应点分别为点，，，点在上，点在上，若，则的度数为______． 3．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数； (2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处． ①若与互为“美妙角”，求的度数； ②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则 ． 题型7.画对称轴 1．下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．角的对称轴是_________，线段的对称轴是_________． 3．指出下列图形中的轴对称图形，作出它们的对称轴． （1）   （2）   （3）       （4） （5）   （6）          （7）     （8） 题型8.画轴对称图形 1．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．请在下面的这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处，填上适当的图形________． 3．四边形在正方形网格中的位置如图所示，四边形的顶点都在格点上．四边形与四边形关于直线对称，请在图中画出四边形（点、、、的对应点分别是点、、、）． 题型9.设计轴对称图案 1．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图是一个的网格，网格中每个格子均为边长相等的小正方形．若在网格中再涂一格阴影，使阴影部分变为轴对称图形，则共有______种不同的涂法． 3．如图，在正方形网格中，点，，均是格点．用无刻度直尺按要求画图（不写画法，保留画图痕迹）； (1)如图1，画出关于直线对称的图形： (2)如图2，方格纸上有两条线段，请在图2中补画一条线段，将其补成一个轴对称图形（画出所有符合条件的线段）． 题型10.车牌号码的镜面对称 1．小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 2．从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，则该车的后5位号码实际上___________． 3．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 题型11.电子钟示数的镜面对称 1．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 2．东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是______． 3．如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______．    题型12.台球桌面上的轴对称问题 1．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 2．如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 3．如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积为______． (3)顶点在格点，找出为一边且与全等（不与重合）的三角形，这样的三角形在网格内共能画出______个． (4)在对称轴l上找到一点P，使最短． 题型13.轴对称中的光线反射问题 1．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 3．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 题型14.等边对等角 1．如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．已知一个等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角的度数为________． 3．如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 题型15.三线合一 1．过直线外一点C，用尺规作的垂线，如图所示，其中点F是分别以点D和点E为圆心，为半径的两弧的交点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 3．如图，在中，于点，是上一点，连接，已知．求证：． 题型16.线段垂直平分线的性质 1．在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 3．尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：在中． (1)作的角平分线交于点D； (2)作边上的垂直平分线l交于点E； (3)连接，若，，则________． 题型17.作已知线段的垂直平分线 1．如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 2．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为________． 3．如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 题型18.角平分线的性质定理 1．如图，中，，利用尺规在，上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．无法确定 B． C．1 D．2 2．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 3．如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 题型19.作角平分线(尺规作图) 1．如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为___________． 3．如图，点E是直线上一点，是的平分线． (1)作的平分线； (2)求的度数； (3)直接写出的余角． 题型20.最短路径问题 1．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 2．如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 3．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 题型21.线段问题(轴对称综合题) 1．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 2．如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是________． 3．如图，在正方形网格中有一个． (1)作关于直线对称的轴对称图形； (2)请在直线上找一点，使的长最短． 题型22.面积问题(轴对称综合题) 1．如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 2．如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线MN的对称（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积． 3．如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 题型23.角度问题(轴对称综合题) 1．如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．矩形，若按如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为；若按如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 题型24.其他问题(轴对称综合题) 1．如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是：_____________． 2．如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小； (3)计算的面积． 3．如图，每一个小正方形的边长为a． (1)画出格点△ABC关于直线DE的对称的； (2)在DE上画出点P，使PA+PC最小； (3)在DE上画出点Q，使|QA-QB|最大； (4)请直接写出△ABC的面积＝　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $