精品解析：2025年河南省周口市沈丘县中考二模数学试题

2025年河南省中考仿真模拟考试（二） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. 0．300303 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：由无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数， 故选：D． 2. 《中国激光》杂志发表的一篇关于双光子聚合打印三维光子晶体的文章中介绍，这些光子晶体的图案分辨率高达，折射率为．数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键， 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此来解答即可． 【详解】， 故选：B． 3. 禹州钧瓷始于唐、盛于宋，是中国古代五大名瓷之一、如图是北宋钧窑月白釉紫红斑碗，其俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，根据俯视图是指从物体的上面看判断即可． 【详解】解：其俯视图为： ． 故选：D． 4. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 5. 2024年12月5日是第39个国际志愿者日，中国志愿服务联合会正式发布2024年国际志愿者日活动主题--“贡献志愿力量创造美好生活”．某校在这一天开展了志愿服务活动，如图是该校八年级六个班当天志愿服务活动总人次的统计图，则这组数据的平均数为（　　） 八年级“国际志愿者日”志愿服务活动总人次 A. 52 B. 59 C. 62 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平均数的计算，根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】解： ∴这组数据的平均数为59． 故选：B． 6. 如图，是一个弯曲管道，当时，，为方便维修，可以绕B点转动：（表示顺时针，表示逆时针），则在转动过程中，的度数不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质求角度，不等式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据平行线的性质求出，再根据可以绕B点转动：（表示顺时针，表示逆时针），求出在旋转的过程中，的范围，即可求解． 【详解】解：∵时，， ∴， ∵可以绕B点转动：， ∴转动过程中，的度数范围为：， 即， ∴的度数不可能是， 故选：D． 7. 用四张全等的含角的直角三角形纸片拼成一个图案，下列拼成的图案中，不含菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，含30度角的直角三角形的性质，根据含角的直角三角形的性质得到角所对直角边是斜边一半，结合四边相等的四边形是菱形逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项有两边是长直角边，两边是2个短直角边，四边不相等，不是菱形，符合题意； B选项中的四边形的四条边都是直角三角形斜边，故该四边形的四条边相等，是菱形，不符合题意； C选项2个角所对直角边刚好等于斜边，最大四边形的四边相等，是菱形，不符合题意； D选项中的四边形的四条边都是直角三角形斜边，故该四边形的四条边相等，是菱形，不符合题意； 故选A； 8. 如图，数轴上四点表示的数是不等式组的解的是（　　） A. a B. b C. c D. d 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法，求出每个不等式的解集，找出公共部分即可得到不等式组的解集，然后根据数轴上点的位置判断即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式的， ∴不等式组的解集为， 可得数轴上c的值满足不等式组， 故选：C． 9. 如图，半圆O的直径为4，交半圆O于点C，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，以点B为圆心，长为半径画弧交于点E，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查扇形中阴影部分的面积，根据“”求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵半圆O的直径为4，交半圆O于点C， ∴，点为的中点， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 10. 智能机器人在酒店可以辅助或替代人完成酒店的很多工作．图①为某款智能机器人送餐时的电路原理图，图中为可变电阻箱，R为餐盘下的压力传感器的电阻，阻值R随所受压力变化的函数图象如图②所示，下列说法不正确的是（　　） （1）电路中的 （2）智能机器人送餐一次最大 送餐量（餐盘质量不计）为， 其餐盘下的压力F为， 要求不低于． A. 餐盘下的压力F越大，传感器阻值R越小 B. 当餐盘下的压力为时，传感器阻值R大于 C. 当送餐量为时，餐盘下的压力传感器的阻值为 D. 为保护智能机器人不受损伤，电阻箱的阻值至少为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数图象可判断A、B、C，根据最大送餐量餐盘下的压力传感器的阻值为，而总电阻不少于即可判断D． 【详解】解：A、由函数图象可知，餐盘下的压力F越大，传感器阻值R越小，原说法正确，不符合题意； B、当餐盘下的压力为时，传感器阻值R大于，原说法正确，不符合题意； C、当送餐量为时，餐盘下的压力传感器的阻值为，原说法正确，不符合题意； D、为保护智能机器人不受损伤，电阻箱的阻值至少为，原说法错误，符合题意； 故选：D。 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了求绝对值，掌握正数的绝对值为它本身，零的绝对值为零，负数的绝对值为它的相反数是关键；根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解． 【详解】解：； 故答案：2025． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为___________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程的特点得当时，方程有两个相等的实数根，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，或， 故答案为：1或． 13. 随着“一带一路”的推进，中国茶文化越来越受国际友人喜爱，某茶店为了提升服务质量，决定对茶艺师进行茶艺技能考核，准备了相同重量的红茶、绿茶、白茶和黑茶四种茶品各一份，分别放置在封装后外观完全相同的四个不透明茶罐中，若从中随机抽取两种进行茶艺展示，则本次茶艺展示恰好抽到红茶和绿茶的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根据树状图求概率 ，分别用表示红茶、绿茶、白茶和黑茶，然后画树状图得出所有等可能的结果数和恰好抽到红茶和绿茶的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：分别用表示红茶、绿茶、白茶和黑茶， 画树状图如下： 由树状图得，共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到红茶和绿茶的结果数共有2种， 所以，本次茶艺展示恰好抽到红茶和绿茶的概率为， 故答案为：． 14. 如图，直线与坐标轴交于A，P两点，过点A作交y轴于点B，以为边在AB右侧作正方形，复制正方形并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，继续复制正方形（，并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，依此类推，复制平移2025次后，顶点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与一次函数有关的规律探索，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，先求出得到，则，进而得到，则是等腰直角三角形，则，，由正方形的性质可得，过点C作轴于D，则是等腰直角三角形，，可得，同理可得，，……，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由正方形的性质可得， ∴， 如图所示，过点C作轴于D，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，……， 以此类推可得，， 故答案为：． 15. 如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为___________°，当最小时，其度数为___________°． 【答案】 ①. 75 ②. 15 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质．此题综合性较强，解题关键是利用的轨迹圆确定出取最大值时的位置． 先分析出点轨迹为以为圆心的长为半径的圆，当与该圆相切时，最大，由此确定的最大值和最小值． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 由题意知，点轨迹为以为圆心的长为半径的圆， 当与该圆相切时，最大，此时， 若点E在外部时，如图1所示， ，此时最大， ∵，， ∴， ∴， ∴， 若点E在内部时，如图2所示， ，此时最小， 同理可得： 综上所述：若，则旋转过程中，当最大时，其度数为，当最小时，其度数为． 故答案为，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，分式的混合计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和负整数指数幂，再计算乘方和乘法，最后计算减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 17. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】（1）①，；② （2）甲， 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 ①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 18. 如图，已知反比例函数的图象经过点，P是第一象限内图象上一点，过点P作坐标轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点A，B，作直线分别交x，y轴于点D，C． （1）求k的值； （2）求的面积； （3）求证：． 【答案】（1）4 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，树脂反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键． （1）直接把点代入，求得k的值即可； （2）设点P的坐标为得点A的坐标为点B的坐标为根据三角形面积公式可求解； （3）延长PA，PB分别交y轴，x轴于点E，F，证明，可得出再证明，即可得出结论． 小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴设点P的坐标为 ∵轴，轴， ∴点A的纵坐标为点B的横坐标为a， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点A的坐标为点B的坐标为 【小问3详解】 证明：如图，延长分别交y轴，x轴于点E，F， ∴， 由（2）知 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 九年级数学兴趣小组利用所学知识测量路灯的高度（路灯的底部不可到达），如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆，测得此时的影长为0.5米，逆时针旋转标杆，观察影子的变化规律，发现当标杆旋转到的位置时，此时标杆的影长最大为，此时若此时测得．,请你据此求出路灯的高度（结果精确到0.1米，参考数据： 【答案】8.5米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先证明，得到设米，则米，米，得到，求出（米），继而得到，，解到，进而求出答案． 【详解】解：由题意知，， ， （米）， （米） 设米，则米，米， 在中，（米）， （米） 米， ， ， ， 解得 (米)， 答：路灯的高度约为米． 20 综合与实践 问题情境：春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用120元购买的草莓数量比乙用180元购买的草莓数量少． 问题解决：请按要求完成下列任务： （1）求这种草莓的单价； （2）甲、乙两人第二次再去购买该草莓时，单价比上次单价少5元，甲购买草莓的总价与上次相同，乙购买草莓的数量与上次相同，求甲、乙两次购买这种草莓的平均单价； （3）生活中，无论购买东西时单价如何变化，有人总按相同金额购买，有人总按相同数量购买，结合（2）的计算结果，建议按相同___________购买更合算．（填“金额”或“数量”） 【答案】（1）20元 （2）甲两次购买这种草莓的平均单价是元，乙两次购买这种草莓的平均单价是元 （3）金额 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用，有理数的大小比较的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设这种草莓的单价为x元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可； （3）比较得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设这种草莓的单价为x元． 根据题意，得 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际． 答：这种草莓的单价为20元； 【小问2详解】 解：第二次购买该草莓时的单价为（元）， 甲第二次购买该草莓的数量为， 乙第二次购买该草莓的总价为（元）， ∴甲两次购买这种草莓的平均单价为（元）， 乙两次购买这种草莓的平均单价为元）． 答：甲两次购买这种草莓的平均单价是元，乙两次购买这种草莓的平均单价是元； 【小问3详解】 解： ∴按相同金额购买更合算． 21. 如图，内接于，且是的直径，连接，过点A作的切线，过点C作交切线于点D． （1）求证： （2）请用无刻度的直尺和圆规过点C作交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，若求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，作一个角等于已知角，角所对直角边等于斜边一半，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）运用切线的性质证明，根据直径所对的圆周角是直角得，再由可得，从而可得结论； （2）根据“作一个角等于已知角”可解决问题； （3）求出，可得，从而得． 【小问1详解】 证明：∵是的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求作； 【小问3详解】 解：由（2）可知， 由（1）可知， ∵， ∴， ∵在中，， ∵在中，， ∴． 22. 科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案： 方案1：示意图如图①，家畜养殖区边靠着现有墙体； 方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且． 两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题： （1）对于方案1，设． ①求的长度（用含x的代数式表示）； ②求最大值； （2）科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由． 【答案】（1）①，②3600 （2）选择两种方案均可，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确表示出养殖区的总面积． （1）①根据矩形的性质表示即可； ②根据代入表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求出最大值，然后比较求解即可． 【小问1详解】 解：①由题可得，四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得； ②由题意得，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3600； 【小问2详解】 解：两种方案任选其一即可，理由如下： 设方案2中的， ∵， ∴， ∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍， ∴， ∴， ∴，即 ， ∵， ∴当时，y₂有最大值，最大值为3600． ∵， ∴两种方案养殖区总面积最大值相等， ∴选择两种方案均可． 23. 综合与实践 小唯根据学习轴对称的经验，利用矩形纸片折叠对线段之间的关系进行拓展探究． 第一步：在矩形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交射线于点F． 【观察发现】 （1）如图①，连接，则的度数为___________； 【拓展探究】 第二步：如图②，更换另一张矩形纸片，E仍然是中点，将沿折叠，此时点落在矩形的外部． （2）求线段，，之间的数量关系； 【拓展应用】 第三步：在探究过程中，小唯画出了延长交直线于点G的图形，当时，测得． （3）请直接写出的长． 【答案】（1）90；（2）；（3）4或2 【解析】 【分析】（1）首先得到，，然后结合折叠的性质得到，，证明出，得到，进而求解即可； （2）如解图①，连接，证明出，得到，，求出，然后证明出，得到，然后等量代换求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：①当点落在矩形内部时，②当点落在矩形外部时，然后分别求出，证明出，即可求出． 【详解】解：（1）∵E是边的中点， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 由折叠得，，， ∴， 又∵ ∴ ； （2）如解图①，连接， ∵E是边的中点， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴，都是直角三角形， 在和中， ， 又∵， ∴． ∴， ∴ ； （3）分两种情况讨论：①当点落在矩形内部时，如解图②，连接， 设， ∴． 由（1）得，则 在中，，， ∴ 解得，即． ∵E为的中点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴； ②当点落在矩形外部时，如解图③，连接， 由（2）知， 设，则， 解得（负值已舍去）， ∴． 同理可得， 综上所述，的长为4或2． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省中考仿真模拟考试（二） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. 0．300303 C. D. 2. 《中国激光》杂志发表的一篇关于双光子聚合打印三维光子晶体的文章中介绍，这些光子晶体的图案分辨率高达，折射率为．数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 禹州钧瓷始于唐、盛于宋，是中国古代五大名瓷之一、如图是北宋钧窑月白釉紫红斑碗，其俯视图为（　　） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 5. 2024年12月5日是第39个国际志愿者日，中国志愿服务联合会正式发布2024年国际志愿者日活动主题--“贡献志愿力量创造美好生活”．某校在这一天开展了志愿服务活动，如图是该校八年级六个班当天志愿服务活动总人次的统计图，则这组数据的平均数为（　　） 八年级“国际志愿者日”志愿服务活动总人次 A. 52 B. 59 C. 62 D. 63 6. 如图，是一个弯曲管道，当时，，为方便维修，可以绕B点转动：（表示顺时针，表示逆时针），则在转动过程中，的度数不可能是（　　） A. B. C. D. 7. 用四张全等的含角的直角三角形纸片拼成一个图案，下列拼成的图案中，不含菱形的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上四点表示的数是不等式组的解的是（　　） A. a B. b C. c D. d 9. 如图，半圆O的直径为4，交半圆O于点C，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，以点B为圆心，长为半径画弧交于点E，则图中阴影部分的面积是（　　） A. B. C. D. 10. 智能机器人在酒店可以辅助或替代人完成酒店的很多工作．图①为某款智能机器人送餐时的电路原理图，图中为可变电阻箱，R为餐盘下的压力传感器的电阻，阻值R随所受压力变化的函数图象如图②所示，下列说法不正确的是（　　） （1）电路中的 （2）智能机器人送餐一次最大 送餐量（餐盘质量不计）为， 其餐盘下的压力F为， 要求不低于． A. 餐盘下的压力F越大，传感器阻值R越小 B. 当餐盘下的压力为时，传感器阻值R大于 C. 当送餐量为时，餐盘下的压力传感器的阻值为 D. 为保护智能机器人不受损伤，电阻箱的阻值至少为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为___________． 13. 随着“一带一路”推进，中国茶文化越来越受国际友人喜爱，某茶店为了提升服务质量，决定对茶艺师进行茶艺技能考核，准备了相同重量的红茶、绿茶、白茶和黑茶四种茶品各一份，分别放置在封装后外观完全相同的四个不透明茶罐中，若从中随机抽取两种进行茶艺展示，则本次茶艺展示恰好抽到红茶和绿茶的概率为___________． 14. 如图，直线与坐标轴交于A，P两点，过点A作交y轴于点B，以为边在AB右侧作正方形，复制正方形并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，继续复制正方形（，并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，依此类推，复制平移2025次后，顶点的坐标为___________． 15. 如图，在等腰和等腰中，，，将绕点旋转，连接，若，则旋转过程中，当最大时，其度数为___________°，当最小时，其度数为___________°． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 某学校举办“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 18. 如图，已知反比例函数的图象经过点，P是第一象限内图象上一点，过点P作坐标轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点A，B，作直线分别交x，y轴于点D，C． （1）求k的值； （2）求面积； （3）求证：． 19. 九年级数学兴趣小组利用所学知识测量路灯的高度（路灯的底部不可到达），如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆，测得此时的影长为0.5米，逆时针旋转标杆，观察影子的变化规律，发现当标杆旋转到的位置时，此时标杆的影长最大为，此时若此时测得．,请你据此求出路灯的高度（结果精确到0.1米，参考数据： 20. 综合与实践 问题情境：春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用120元购买的草莓数量比乙用180元购买的草莓数量少． 问题解决：请按要求完成下列任务： （1）求这种草莓的单价； （2）甲、乙两人第二次再去购买该草莓时，单价比上次单价少5元，甲购买草莓的总价与上次相同，乙购买草莓的数量与上次相同，求甲、乙两次购买这种草莓的平均单价； （3）生活中，无论购买东西时单价如何变化，有人总按相同金额购买，有人总按相同数量购买，结合（2）的计算结果，建议按相同___________购买更合算．（填“金额”或“数量”） 21. 如图，内接于，且是的直径，连接，过点A作的切线，过点C作交切线于点D． （1）求证： （2）请用无刻度的直尺和圆规过点C作交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，若求的长． 22. 科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案： 方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体； 方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且． 两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题： （1）对于方案1，设． ①求的长度（用含x的代数式表示）； ②求的最大值； （2）科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由． 23. 综合与实践 小唯根据学习轴对称的经验，利用矩形纸片折叠对线段之间的关系进行拓展探究． 第一步：在矩形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交射线于点F． 【观察发现】 （1）如图①，连接，则的度数为___________； 【拓展探究】 第二步：如图②，更换另一张矩形纸片，E仍然是中点，将沿折叠，此时点落在矩形的外部． （2）求线段，，之间数量关系； 【拓展应用】 第三步：在探究过程中，小唯画出了延长交直线于点G的图形，当时，测得． （3）请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$