精品解析：2026年河南商水县谭庄镇联合中学等校中考数学模拟试卷（二模）

2026年河南省中考数学模拟试卷 考试时间：100分钟满分：120分 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分），下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a与b互为相反数．若点A在原点左侧，且到原点的距离为，则b的值是（ ） A. B. C. D. 2. 第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大家喜爱．某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个．经调查发现，售价每上涨1元，每周少卖10个．若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 3. 2025年10月，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．科研人员在监测飞船运行轨迹时，需要确定飞船在太空中的位置．在平面直角坐标系中，若飞船A的位置表示为，飞船B的位置表示为，则飞船A与飞船B关于（ ）对称 A. 原点 B. x轴 C. y轴 D. 直线 4. 如图，将一块含有角的直角三角板按如图方式摆放，其中，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点E是的中点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 32 C. 48 D. 64 7. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 8. 为弘扬中华优秀传统文化，学校举办了“汉字听写大赛”．小红和小丽从“甲骨文”、“金文”、“小篆”、“隶书”四种字体中随机各选一种进行研究．若两人恰好选到同一种字体的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 10. 在矩形中，，．动点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动到点C，设运动时间为x秒，的面积为y．则y与x之间的函数图象路线大致是（ ） A. 先上升后下降的折线，转折点在 B. 先水平后上升的折线 C. 一条直线 D. 先上升后水平的折线 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算__________． 12. 不等式组的整数解有_____个． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为．将正方形绕原点O逆时针旋转，得到正方形；再将正方形绕原点O逆时针旋转，得到正方形；依此类推，连续旋转2026次后得到正方形，则点的坐标为__________． 14. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、D均在格点上．以点A为圆心，长为半径画弧，交直线于点C；连接，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留π） 15. 如图，在中，，，．点D是边上一点，将沿折叠，点B的对应点为．若，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简： 17. 某校为了解学生对“二十四节气”知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，将成绩分为五个等级：A．；B．；C．；D．；E．．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 组别 频数 频率 A 10 0.1 B 20 0.2 C m 0.3 D 30 n E 10 0.1 （1）本次共调查了__________名学生， __________， ________； （2）扇形统计图中，等级D所对应的扇形圆心角的度数为________； （3）若该校共有2000名学生，请估计成绩在80分以上（含80分）的学生人数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 19. 如图，是的直径，点C在上，于点E，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 2026年春节期间，哈尔滨旅游火爆出圈．某景区有两种观光车：甲种车每辆可坐10人，乙种车每辆可坐5人．已知租用1辆甲种车和2辆乙种车共需100元；租用2辆甲种车和3辆乙种车共需180元． （1）甲、乙两种观光车每辆租金各是多少元？ （2）若该景区计划租用甲、乙两种观光车共15辆，且总载客量不少于120人，问如何租车才能使租金最少？最少租金是多少？ 21. 数学"综合与实践"小组的同学想测量校园内一棵大树的高度．他们制定了如下测量方案： 课题测量善济塔的高度 方案一：将测角仪放置在与塔底端水平的B处测得塔顶A的仰角为，向前走12米到达点D处架起测角仪，测得塔顶的仰角为，测角仪（）的高度为2米 方案二：将测角仪放置在善济塔附近的某一高台顶部测得塔顶A的仰角为，测得塔底端B处的俯角为，高台的高度为2米，测角仪的高度为2米 参考数据： ， ， ，， ，， ， ． 说明：所有的点均在同一平面内． （1）请判断上述哪种方案的误差较小； （2）请你帮小组的同学求出善济塔的高度．（结果精确到0.1） 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点P作轴于点Q，交线段于点D．当时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点E，使得以点B、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 在正方形中，点E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点E在边上时，__________； （2）如图2，连接，若，求证：点E是的中点； （3）若，当时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中考数学模拟试卷 考试时间：100分钟满分：120分 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分），下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a与b互为相反数．若点A在原点左侧，且到原点的距离为，则b的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：点A在原点左侧，且到原点的距离为， ， 与互为相反数， ． 2. 第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大家喜爱．某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个．经调查发现，售价每上涨1元，每周少卖10个．若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用总利润单个玩偶的利润销售量，分别表示出单个玩偶的利润和销售量，即可得到y与x的函数关系式． 【详解】解：设每个涨价元，则现在的售价为元，单个利润为元， 由于售价每上涨元，每周少卖个， 则涨价元后，每周的销售量为个， 根据题意得：． 3. 2025年10月，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．科研人员在监测飞船运行轨迹时，需要确定飞船在太空中的位置．在平面直角坐标系中，若飞船A的位置表示为，飞船B的位置表示为，则飞船A与飞船B关于（ ）对称 A. 原点 B. x轴 C. y轴 D. 直线 【答案】A 【解析】 【详解】解：由于点A与点B的横纵坐标都互为相反数，符合关于原点对称的点的坐标特征， 则飞船A与飞船B关于原点对称． 4. 如图，将一块含有角的直角三角板按如图方式摆放，其中，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求出的度数，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：是直角三角形， ， ， ， ． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算法则，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法、积的乘方的法则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：和不是同类项，不能合并，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点E是的中点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，菱形面积的求解，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关性质，正确求得的长度． 根据菱形的性质可得，，，，由点E是的中点可得，求得，由勾股定理可得，从而得到，再根据菱形面积公式求解即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴，则， 由勾股定理可得，， ∴， 由菱形面积公式可得，菱形的面积为，A选项符合． 7. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的最简公分母为，方程两边同乘最简公分母，即可将分式方程化为整式方程，求解整式方程即可，记得必须要验根. 【详解】解：两边同时乘以得：， 解得， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解为 故选：D. 8. 为弘扬中华优秀传统文化，学校举办了“汉字听写大赛”．小红和小丽从“甲骨文”、“金文”、“小篆”、“隶书”四种字体中随机各选一种进行研究．若两人恰好选到同一种字体的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出所有等可能的结果总数，再找出满足两人恰好选到同一种字体的结果数，代入概率公式即可求解． 【详解】解：设“甲骨文”、“金文”、“小篆”、“隶书”分别为A、B、C、D， 画树状图如下： 则共有种等可能结果， 两人选到同一种字体的结果有：（A，A）、（B，B）、（C、C）、（D、D），共有4种， 则两人恰好选到同一种字体的概率为． 9. 如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 10. 在矩形中，，．动点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动到点C，设运动时间为x秒，的面积为y．则y与x之间的函数图象路线大致是（ ） A. 先上升后下降的折线，转折点在 B. 先水平后上升的折线 C. 一条直线 D. 先上升后水平的折线 【答案】A 【解析】 【分析】分情况讨论：点P在上和点P在上两种情况，分别求出y关于x的函数解析式，再根据函数增减性判断图像变化即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，，点P速度为每秒1个单位长度， 当点P运动到点B时，，即， 当点P运动到点C时，， 分两种情况讨论： ①当时，点P在边上，， ， 即， ， 随增大而增大，此段函数图象呈上升趋势； ②当时，点P在边上，， 则， ， ， ， 随增大而减小，此段函数图象呈下降趋势； 与之间的函数图象路线大致是先上升后下降的折线，转折点在． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 不等式组的整数解有_____个． 【答案】3 【解析】 【分析】首先解每个不等式，把解集在数轴上表示出来即可得到不等式组的解集，然后确定解集中的整数，便可得到整数解得个数． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式的解集是， 则整数解是：，共个整数解. 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分.解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到. 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为．将正方形绕原点O逆时针旋转，得到正方形；再将正方形绕原点O逆时针旋转，得到正方形；依此类推，连续旋转2026次后得到正方形，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到规律：正方形旋转一周需要8次，则，即点与点重合，根据旋转的性质得到的坐标，据此求解即可． 【详解】解：根据题意得：旋转角为， 旋转一周需要的次数为，即与点重合， ， 点与点重合， 由题意可知，点旋转2次得到点，即， 四边形是正方形， 、、， ， ， 四边形是正方形， 、、， 如图，旋转后的正方形中顶点与点重合， 由旋转的性质知，、，， ， ． 14. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、D均在格点上．以点A为圆心，长为半径画弧，交直线于点C；连接，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形方格和勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，再用的面积减去扇形的面积求解． 【详解】解：根据正方形网格可得： ∵， ∴是等腰直角三角形，， ， ， ∴． 15. 如图，在中，，，．点D是边上一点，将沿折叠，点B的对应点为．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，勾股定理等内容，解题的关键是画出图形，利用平行线的性质得到，再利用勾股定理求解． 根据题意，画出图形，根据折叠的性质以及平行线的性质得到，利用等面积法求得，从而得到，勾股定理求得，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用有理数的乘方、负整数指数幂的运算法则及绝对值的性质进行计算即可； （2）先计算括号里的减法运算，再利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某校为了解学生对“二十四节气”知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，将成绩分为五个等级：A．；B．；C．；D．；E．．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 组别 频数 频率 A 10 0.1 B 20 0.2 C m 0.3 D 30 n E 10 0.1 （1）本次共调查了__________名学生， __________， ________； （2）扇形统计图中，等级D所对应的扇形圆心角的度数为________； （3）若该校共有2000名学生，请估计成绩在80分以上（含80分）的学生人数． 【答案】（1）100；30；0.3 （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系求解即可； （2）用乘以占比即可求解； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：调查人数：人；；； 【小问2详解】 解：等级D圆心角：； 【小问3详解】 解：估计人数：人 答：估计成绩在80分以上（含80分）的学生人数为人． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，得到点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出直线与x轴交点的坐标，利用求出结果； （3）即一次函数在反比例函数的上方，根据图象直接得到不等式的解集． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴反比例函数解析式为， 将点坐标代入，得， ∴点， 将点A、B的坐标代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于， 当时，，解得， ∴点， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：观察图象得：不等式的解集为或． 19. 如图，是的直径，点C在上，于点E，交于点D，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角进行证明即可； （2）求出，，在中利用勾股定理进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴，， ∵于点E， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，， ∴ 20. 2026年春节期间，哈尔滨旅游火爆出圈．某景区有两种观光车：甲种车每辆可坐10人，乙种车每辆可坐5人．已知租用1辆甲种车和2辆乙种车共需100元；租用2辆甲种车和3辆乙种车共需180元． （1）甲、乙两种观光车每辆租金各是多少元？ （2）若该景区计划租用甲、乙两种观光车共15辆，且总载客量不少于120人，问如何租车才能使租金最少？最少租金是多少？ 【答案】（1）甲种观光车每辆租金60元，乙种观光车每辆租金20元 （2）租用甲种观光车9辆，租用乙种观光车6辆时，租金最少，最少租金为660元 【解析】 【分析】（1）设甲种观光车每辆租金元，乙种观光车每辆租金元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设租用甲种观光车辆，则租用乙种观光车辆，根据题意列出不等式，求出的取值范围，设租车的租金为，求出与的关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种观光车每辆租金元，乙种观光车每辆租金元， 根据题意得： 解得： 答：甲种观光车每辆租金60元，乙种观光车每辆租金20元； 【小问2详解】 解：设租用甲种观光车辆，则租用乙种观光车辆， 根据题意得：， 解得：， 设租车的租金为元， 则， ， 随的增大而增大， 为整数， 当时，租金最少，即元， ， 答：租用甲种观光车9辆，租用乙种观光车6辆时，租金最少，最少租金为660元． 【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式及一次函数的应用，根据已知条件列出方程组和不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 21. 数学"综合与实践"小组的同学想测量校园内一棵大树的高度．他们制定了如下测量方案： 课题测量善济塔的高度 方案一：将测角仪放置在与塔底端水平的B处测得塔顶A的仰角为，向前走12米到达点D处架起测角仪，测得塔顶的仰角为，测角仪（）的高度为2米 方案二：将测角仪放置在善济塔附近的某一高台顶部测得塔顶A的仰角为，测得塔底端B处的俯角为，高台的高度为2米，测角仪的高度为2米 参考数据： ， ， ，， ，， ， ． 说明：所有的点均在同一平面内． （1）请判断上述哪种方案的误差较小； （2）请你帮小组的同学求出善济塔的高度．（结果精确到0.1） 【答案】（1）方案一 （2）24.3米 【解析】 【分析】（1）分析两个方案的测量步骤，判断方案中需要测量的未知量个数，结合实际测量的误差来源，比较哪个方案的测量误差更小． （2）选择误差较小的方案一，过测角仪顶部向塔作水平线，构造直角三角形，将塔的总高度拆分为测角仪高度与直角三角形中仰角对边的长度之和． 设塔在测角仪水平线上方的高度为未知数，结合已知的两个仰角、水平移动的距离，利用锐角三角函数的正切定义，分别表示出两个直角三角形的水平直角边，根据两条水平直角边的差等于移动距离列方程，求解未知数后加上测角仪高度得到塔的总高度．方案二，过点E作于点F，由，得，代入，，得，由，即得．计算结果约为13．2米，取误差更小，最终结果取24．3米． 【小问1详解】 解：方案一误差更小，理由：方案一所有测量都在同一水平面完成，测量长度、角度都是直接测量，测量步骤少，累积误差小于方案二（方案二需要额外测量高台高度，累积误差更大）． 【小问2详解】 解：方案一：设塔顶到测角仪所在水平线的垂直高度米： ∵在B处测得仰角为， ∴水平距离米； ∵两次测角仪的水平距离米， ∴D处测角仪到塔的水平距离米； 在中，仰角为， 由三角函数得：， 代入得：， 解得米． ∵测角仪高度为2米， ∴善济塔总高度为米． 方案二： 过点E作于点F，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 计算结果约为13.2米，但由于方案一误差更小，最终结果取24.3米． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点P作轴于点Q，交线段于点D．当时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点E，使得以点B、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）不存在，理由如下： 设点，由（2）知，，分情况讨论： ①该平行四边形以、为对角线时： 、， 的中点坐标为，即，的中点坐标为，即， ， 此平行四边形不存在； ②该平行四边形以、为对角线时：的中点坐标为，即，的中点坐标为，即， ， 此平行四边形不存在； ③该平行四边形以、为对角线时： 的中点坐标为，即，的中点坐标为，即， ， 此平行四边形不存在； 综上所述，在y轴上不存在点E，使得以点B、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，令求出点C的坐标； （2）设，则，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点坐标，进而求出长，利用求解即可； （3）设点，分情况讨论：①该平行四边形以、为对角线或②以、为对角线或③以、为对角线时，利用平行四边形的两条对角线的中点坐标相同进行求解即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为， 令得：， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：设， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得， 解得， 直线的解析式为， 将代入直线的解析式得：， ， ， ， ， ， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ， 将代入抛物线解析式得：， 点坐标为； 【小问3详解】 略． 23. 在正方形中，点E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点E在边上时，__________； （2）如图2，连接，若，求证：点E是的中点； （3）若，当时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知：，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， 作，则， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，即点是的中点. （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，证明为等腰直角三角形，得到，根据三角形的外角的性质，即可得出结果； （2）先证明为等腰直角三角形，作，三线合一，得到，证明四边形为矩形，得到，进而得到，得到，即可得证； （3）利用（1）中的部分结论，结合三角形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：作交的延长线于点，则， ∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $