湖南长沙市南雅中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 注重基础巩固与能力梯度设计，通过真实情境考查数学眼光、思维与语言，适配高中月考阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6题82分|函数应用、立体几何、概率统计|以科技实验数据为背景设计综合题，考查抽象能力与模型意识，体现推理能力梯度|

高一数学6月限时训练 时量：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.己知集合M={L,3,7,9},N={2,3,4,9},则M∩N=() A.{3,9y B.{1,2,3} C.{1,2,4,7} D.{1,2,4,7,9} 2.在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件.其中为必然事件的 是(). A.3件都是正品B.至少有1件是次品C.3件都是次品D.至少有1件是正品 3.己知x,x2…,x均值为10，方差为1，则2x+1,2x,+1,,2x。+1均值和方差分别为() A.20,2 B.21,2 C.21,4 D.20,4 lgx,x>9 4.已知函数f(x)= /(x+),x≤9'则f0=() A.0 B.1 C.1g9 D.1g2 5.如图所示，梯形AB'CD是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D=2, B'C'=AB=1,则平面图形ABCD中对角线AC的长度为() B A.5 B.5 C.2 D.2 D' 6.已知向量ā=(1+1,2)，6=(-2,2)，若a-2=a+28,则元=() A.1 B.2 C.-1 D.-2 7.若直线y=k与函数f(x)=3-3的图象有两个不同交点，则k的取值范围是() A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3) 8.如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边 AB、BC上，且AE=2,BF=I,将此正方形沿DE、DF 折起，使点A、C重合于点P.记三棱锥P-DEF的体积 为，其外接球的体积为.则上=（) (1) (2) A.15/5x B.255x C.2557 D.25/5z 4 4 8 24 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设函数f()-2sm2x-引，则下列结论正确的是() A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于直线x=-对称 6 C.的一个零点为x=召 D.f(x)的值域为[-l, 10.己知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，BM=BA+B,C,其中元，4∈[0，]，且 入+4=1，则下列选项正确的是() D M A.BMI∥平面AD,C B B.异面直线AD,与AC所成的角为45° D“ C.M的轨迹长度为√2 D.AM+BM取最小值VG 11.把向量AB=(x,y)绕其起点沿逆时针方向旋转0角得到AP=(xcos0-ysin0,xsin0+ycos), 叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转0角得到点P.已知平面内点A(1,2),点B(1+1,2-2), AB=V而，ABOA<0(其中O为坐标原点)，点B绕点A沿逆时针方向旋转严得到点P, 则() A.B1-V2,2+2V2) B.AB=（N2,-22 C.P(4,1) D.AB·AP=10 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知复数z=(2-i)i,则复数z的模为 13.第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅 在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征.现工厂决定从20只“喜 洋洋”，15只“乐融融和10个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的 样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了4只，则n= 14.在A4BC中，角ARC所对的边分别是ahc,已知，cosA=sin2B ，则0-62 1+sin A 1+cos2B 03 的取 值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知复数z=(m2-16)+(m-4)i(m∈R) (1)如果复数z是纯虚数，求m的值： (2)如果复数：在复平面上所对应的点在第四象限，求m的取值范围 16.(15分)某学校举办了一场趣味知识竞赛活动，共有500名学生参加了此次活动.为了解 本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进 行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60,70)， 第二组[70,80)，第三组80,90)，第四组[90,100]，得到如下的频率分布直方图. (1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第75百分位数： (2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值若对得分不低于平均值的同 学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖 频率 「组距 0.04 0.02 0.01 060708090100得分 17.(15分)如图，己知正三棱柱ABC-ABC中，AB=A4=2,点P为BC的中点 A (1)证明：AB/平面APC: (2)求CC与平面APC所成角的余弦值 B B 18.(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C,且2c·c0SB=2a+b (1D求角C的大小(2)若c=5,D为AB的中点，CD),求△ABC的面积 19.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，D为BC中点，平面PAD⊥平面ABC,PB=PC, BC=2PD=2,AD=√5，三棱锥P-ABC的体积为二.Q,R分别是直线AB,AC上一点， 3 且BC∥平面PQR,记平面PBC∩平面POR=I (1)证明：平面PBC⊥平面PAD: (2)求二面角P-BC-A的平面角的正弦值： (6洁1与cQ所成角的余弦值为号求%的值 AO 高一数学6月限时训练【教师版】 时量：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题所给的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合M={L3,7,9},N={2,3,4,9},则M∩N=(A) A.{3,9月 B.{1,2,3} C.{12,4,7} D.{1,2,4,7,9y 解：N={2,3,4,9},M={L,3,7,9},则M∩N={39}.故选：A. 2.在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件.其中为必然事件的是(). A.3件都是正品 B.至少有1件是次品 C.3件都是次品 D.至少有1件是正品 【答案】D 3.已知x,x2,x,均值为10，方差为1，则2x,+1,232+1,…2+1的均值和方差分别为() A.20,2 B.21,2 C.21,4 D.20,4 【答案】C [lgx,x>9 4.己知函数f(x)= /(x+1),x≤9'则f0=() A.0 B.1 C.1g9 D.lg2 【答案】B 5.如图所示，梯形A'BCD是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D=2,B'C=A'B=1, 则平面图形ABCD中对角线AC的长度为(A) D A.5 B.√5 c.√5 D.2 解：由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD, 如图，由斜二测画法可知AB=2AB=2,BC=B'C'=1,所以AC=√AB+BC2=√4+I=√5 6.已知向量ā=(2+1,2)，6=(-2,2)，若5-2=5+2，则2=() A.1 B.2 C.-1 D.2 【答案】A 7.若直线y=k与函数(x)=3-3引的图象有两个不同交点，则k的取值范围是() A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3) 【答案】C 8.如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上， 且AE=2,BF=I,将此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合 于点P.记三棱锥P-DEF的体积为Y,其外接球的体积为'？ 则上=(c) A.15x B.25V5 C.25x D.255z 4 4 8 24 解：易得PD⊥平面PEF,PE=2,EF=V5,PF=3=PE2+EF2=PF2=PE⊥EF 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设函数f()=2sim2x-石) π】 则下列结论正确的是() A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于直线x=-对称 6 C.()的一个零点为x= 12 D.f(x)的值域为[-l, 【答案】ABC 【详解】对于A:函数f(x)=2sim2x- 根据周期公式可得T==元，故A正确： 6 2 对于B:令2x-若登+ae,解得x=号+行eZ。 当k=0时，x=交 当太时，x一所沙线x一是函数⑧的对称抽，故B正确 6 对于C:令2x-爱点keZ,解得后+红低e, 当k=0时，=登，所以x=是是/儿)的一个等点，故C正确 对于D:对于函数)-2sm2x-君引因为sm2x-君的值城为-1 所以f(x)的值域为[-2,2]，故D错误 D C M 10.己知正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为1，B,M=2B4+4B,C,其 A 中元，4∈[0，】，且入+4=1，则下列选项正确的是(AC) A.BMI∥平面ADC B.异面直线AD与4C所成的角为45 C.M的轨迹长度为√瓦 D.AM+BM取最小值√6 解：由B☑=1RA+uBC其中元，μ∈[0，刂，且2+H=1,可得A,M,C三点共线，即M在线段AC上， 对于A,连接AC,A,B,BC,在正方体ABCD-ABCD,可得AC /IAC,AB//CD, 因为AC文平面ACD,ACc平面ACD,所以AC/I平面ACD, 同理可证：AB/平面ACD,又因为AC∩AB=A, 且ACC平面ABC,ABc平面ABC,所以平面ABC/1平面ACD, 因为BMc平面ABC,所以BMI/平面ACD,所以A正确： 对于B,异面直线AD与A,C,所成的角为60°，所以B错误： D 对于C,因为M在线段AC上，即点M的轨迹为线段AC, C 在直角△4C中，可得4C=√4B+BC=V2,C正确： 对于D,又因为M在线段AC上，将等边△ABC和矩形AACC 展开在一个平面上，如图所示，设点B展开后为点B,连接AB, 在△ABB中，可得A4=1,AB=√2，∠A4B=150°， 由余弦定理得4B2=4+4B2-244Bcos150=P+(V2-2x1×V2x仁，)=3+6 因为3+√6<6，可得AB<V6,即AM+BM取最小值为V3+√6，所以D错误 11.把向量AB=(x,y)绕其起点沿逆时针方向旋转0角得到AP=(xcos0-ysin0,xsin+ycos),叫做把 点B绕点A沿逆时针方向旋转0角得到点P.己知平面内点4L,2),点B1+1,2-2),AB=V而， AB.OA<0(其中O为坐标原点)，点B绕点A沿逆时针方向旋转T得到点P,则(BC) A.B1-V2,2+2N5 B.AB=(5,-22 C.P(4, D.AB.AP=10 解：由题意可知，AB=(化，-20)，因为A=而，故2+(-2)}2=10，∴2=2， 又AB.0A<0,即，-2)-1,2)<0,1>0，故1=√2， 所以AB=(5,-2√2，B1+√互，2-25)，故A错误，B正确： 因为点B绕点A沿逆时针方向旋转严得到点P, 所以币-5cos+2w5sin年5sn牙25cos习=(6-l, 可得点P(4,1),C正确：又ABAP=55,D错误，故选BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.己知复数z=(2-i)i,则复数：的模为 13.第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中 扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征.现工厂决定从20只“喜洋洋”，15只“乐融融”和10 个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了 4只，则n= 【答案】9 14在A4BC中，角ABC所对的边分别是ahc,已知，cosA=,sin2B ,则-b2 1+sin A 1+cos2B c的取值范 围是 (-1,) cosA 解：因为 sin2B 2sin B cos B sin B 2cos2 B cos B' 即 1+sin A 1+cos2B sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=-cosC,sin B=-cosC>0, 所以T<C<元，0<B<, 而snB=-csC=nC-孕，所以C=受+B, 即有42B,可得B∈0，cosBe() 2 4 g产--n4-smB_snA+BsnA-AnA-B》sm-2B-) sin'C sin2C sinC sin(径+B) cos3B=4c0sB3 cosB 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.己知复数z=（m2-16+(m-4)i(m∈R) (1)如果复数：是纯虚数，求m的值： (2)如果复数Σ在复平面上所对应的点在第四象限，求m的取值范围 (1)解：由复数：=(m2-16+(m-4)i(m∈R), m2-16=0 因为复数：为纯虚数，则满足 m-4≠0， 解得m=-4】 (2)解：由复数：=（-16)+(m-4)i在复平面内对应的点为Z(m2-16,m-4), 因为复数：在复平面上所对应的点在第四象限， m2-16>0 则满足 m-4<0，解得m<4,所以实数m的取值范围为(-0，-4)】 16.(15分)某学校举办了一场趣味知识竞赛活动，共有500名学生参加了此次活动.为了解 本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进 行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60,70)， 第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100]，得到如下的频率分布直方图 (1)求图中m的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第75百分位数： (2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值若对得分不低于平均值的同 学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖. 频率 组距 0.04 乡 0.02 0.01 060708090100得分 【答案】(1)m=0.03,第75百分位数为88.75分 (2)平均值为82分，260名学生获奖 【分析】(1)根据频率和为1可求得；由频率分布直方图估计百分位数的方法可求得结果： (2)根据频率分布直方图估计平均值的方法可求得乳，进而估计得到得分不低于平均值的频率，由频率和频数关系可求得估计值， 【详解】(1)由频率分布直方图知：(0.01+m+0.04+0.02)×10=1,解得：m=0.03: 设此次竞赛活动学生得分的第75百分位数为x0分 :数据落在[60,80)内的频率为(0.01+0.03)×10=0.4，落在[60,90)内的频率为(0.01+0.03+0.04)×10=0.8,80<x0<90, 0.4+(x0-80)×0.04=0.75,解得：x0=88.75, 即此次竞赛活动学生得分的第75百分位数为88.75分. (2)由频率分布直方图及(1)知：数据落在[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的频率分别为0.1,0.3,0.4,0.2， ∴此次竞赛活动学生得分的平均值x=65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82, “此次竞赛活动学生得分不低于82分的领率为02+19.2×04=0.52， 在参赛的500名学生中，估计有500×0.52=260名学生获奖. 17.如图，已知正三棱柱ABC-AB,C中，AB=A4=2,点P为BC的中点 C B (1)证明：AB/1平面APC: (2)求CC1与平面APC,所成角的余弦值」 【详解】(1)连接AC交AC于点O,连接PO 因为三棱柱ABC-ABC为正三棱柱，所以侧面ACCA为矩形，所以O为 B 4C的中点 又因为点P为BC的中点，所以在△ABC中，PO为中位线，故PO/1AB B 因为POc平面APC,AB文平面APC,所以AB/I平面APC. (2)过C点作CM⊥GP A 在正三棱柱ABC-ARC中，CC⊥平面ABC,AB=AC=BC B 因为APc平面ABC,所以CC⊥AP 又P为BC的中点，所以AP⊥BC 因为BCOCC=C,BC,CCC平面BBCC,所以AP⊥平面BB,CC」 因为CMc平面BBCC,所以AP⊥CM 又因为CM⊥CP,AP,CPc平面APC,APOCP=P,所以CM⊥平面APC 所以∠MCC为CC与平面APC所成角】 因为AB=A4=2,点P为BC的中点在RtPCC中，PG=√PC2+CC=VP+2=√5 所以cos∠MCC=cos∠PCC=CS-二-25即cG,与平面AG,所成角的余弦值为25 18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C,且2c·cosB=2a+b ()求角C的大小：(2)若c=5,D为AB的中点，CD=行，求△ABC的面积 解(1)由余弦定理知，2c×。+c2- -=2a+b,化简为a2+c2-b2=2a2+ab, 2ac 化简为a2+b2-c2=-ab,a2+b2-c2=2 abcosC, cosc=-克Ce0,.C=2 3 (2)因为C而=@+C丽)，所以c而-4@+C-1@+2C.C西+C） 即片r+2as号+ 得a2+b2-ab=1, △ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcos 2π 3 ,即a2+b2+ab=3, 联立 a2+b2-ab=1 1 C+公+ab=3可得ab=l，六5ac=2si im2红=5x1x5.日 3224 19.如图，在三棱锥P-ABC中，D为BC中点，平面PADL平面ABC,PB=PC,BC=2PD=2,AD=√5， 三棱锥P-ABC的体积为.Q,R分别是直线AB,4C上一点，且BC∥平面PQR,记平面PBCn平面 3 POR=1. (1)证明：平面PBC⊥平面PAD: (2)求二面角P-BC-A的平面角的正弦值： (3)若1与CQ所成角的余弦值为，求职的值。 3 AO 【详解】(1)如图，过P作PE L AD,垂足为E. D B 因为平面PAD⊥平面ABC,平面PADO平面ABC=AD,PEc平面PAD,，所以PE⊥平面ABC, 因为BCc平面ABC,所以PE⊥BC, 因为PB=PC,D为BC中点，所以PD⊥BC, 因为PDO PE=P,PD,PEC平面PAD,所以BC⊥平面PAD, 又BCC平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAD. (2)因为BC⊥平面PAD,ADC平面PAD,所以AD⊥BC, 因为PD⊥BC,所以∠PDA为二面角P-BC-A的平面角. 因为三校锥P-AC的体积为， 所以V=PES=PE号BCAD=PE×2x5=子，解得PE.25 3 3 21 6 3 所以二面角P-BC-A的正弦值为sin∠PDA=sim∠PDE=PE_25 PD 5 (3)因为BC∥平面POR,BCc平面PBC,平面PBC∩平面POR=I,所以BC∥I, 故I与CQ所成角等于BC与CQ所成角 由(2)知AD⊥BC,所以AB=AC= 2+传8c=i-6. 2 由愿意得cos∠BCQ=子sn∠BCQ=cs∠BCQ-5 3 ①如图，当Q在线段AB上时， B 因为sn∠ABc=D-5=面，s∠ABC-BD.-5 AB 66 AB6 6 所以sin∠BQC=sin(π-∠ABC-∠BCQ)=sin(∠ABC+∠BCQ) =sim∠4 BCcos∠BCQ+cos∠ABCsin.∠BCQ=V5o×2+5,5.Bo 63636 在△BCQ中，由正弦定理得， BC BO 2BO sn∠B0 c sin ZBCO,即V3o店， 63 解得BO= 2w6 3 所以0=5， 3 故B=2 AO ②如图，当Q在线段AB的延长线上时， 因为sin∠ABC= 30 6 cos∠ABC=V6 6 所以sin∠B0C=sin(∠ABC-∠BCg)=sin∠ABC∠BCQ-cos∠ABCsin∠BCQ= 18 在△BCQ中，由正弦定理得， BC 2 BO BO sm∠B0 sin ZBCO,即Bo5 183 解得B0=26,所以40=36,0亏 B2-2 综上得，0 =2或子 3