第六章：平行四边形2025-2026学年山东滕州市南沙河中学周末作业八年级数学下册

**基本信息** 2025-2026学年山东省滕州市南沙河中学八年级数学第六章平行四边形单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖平行四边形性质与判定、中位线定理等核心知识，融合几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|平行四边形判定依据、对角线性质、坐标表示|结合图形变换考查判定定理（如第1题对角线互相平分）| |填空题|6题|面积计算、坐标求解、规律探究|融入动态几何（如第16题平行四边形最小值问题）| |解答题|6题|证明推理、面积等分线、动点综合|突出转化思想（如18题面积等分线构造）和应用意识（如22题中位线实践应用）|

· 2025-2026学年山东省滕州市南沙河中学周末作业 八年级数学第六章：平行四边形 一、单选题 1．如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 2．如图，的对角线、交于点O，且，则的长可能是（   ） A．12 B．16 C．10 D．8 3．如图平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，，，，设交于点，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（   ） A．3 B． C． D． 8．如图，在中，E为的中点，恰好平分，若，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 9．如图，在平行四边形中，点E是的中点，作交于F，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，点P是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 二、填空题 11．如图，E是平行四边形内部一点，连接，，，，若，则平行四边形的面积为____． 12．如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，若，，点B的坐标为，则点D的坐标为______． 13．如图，中，，，，，，则平行四边形的面积 ________． 14．在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 15．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第100个图中平行四边形的个数___． 16．如图，中，，，，则______，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值______． 三、解答题 17．如图，已知平行四边形，是的平分线，交于点E． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，求的度数． 18．面积等分线是指能将图形分成面积相等两部分的直线，是平面几何中图形分割的重要概念，其背后蕴含着图形变换、转化等核心数学思想．请结合所学知识完成以下问题： (1)平行四边形有________条面积等分线； (2)如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形得到组合图形，请画出该图形的一条面积等分线； (3)如图②，四边形中，，．请分别画出四边形的两条面积等分线，并阐述构造思路． 19．如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，平分，，求四边形的周长． 20．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)的长为 　　 (2)用含的代数式表示线段的长，并写出t的取值范围 (3)当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 21．在平面直角坐标系中，直线的解析式为：，分别交轴，轴于点， (1)直接写出点，的坐标； (2)如图，过点的直线与轴交于点，与直线交于点，且，求点的坐标；（温馨提示：若思考有困难，可尝试通过平移直线，求出直线的解析式，进而求出点的坐标．） (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C C A A C C A 1．D 【详解】解：∵在锐角三角形中，是边上的中线 ∴ 由作图得， ∴四边形是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2．D 【分析】先求出的值，再根据三角形的三边关系可得，据此解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由三角形的三边关系得：，即， 观察四个选项可知，只有选项D符合． 3．A 【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，可知平行且等于，结合点的坐标和的长度，利用平移规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵在轴上，， ∴轴，， ∵， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，都为，点的横坐标为， ∴点的坐标是． 4．C 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、，可能是等腰梯形，不能判定四边形为平行四边形，符合题意； D、，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意 5．C 【分析】根据中位线定理可得，，，进而判定四边形是平行四边形，结合即可求解． 【详解】点，，分别是边，，的中点， 、、为的中位线， ，，， 故A正确，不符合题意； ， ， 故B正确，不符合题意； ，是边的中点， 不是的平分线，即， 故C错误，符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ， 故D正确，不符合题意． 6．A 【分析】延长交于点，先证明，得出，，求出，再证明是的中位线，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴． 7．A 【分析】延长，交的延长线于点M，然后再结合已知条件证明，根据全等三角形的性质，求解即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点M， ∵是边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是边上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 8．C 【分析】根据平行四边形的性质（平行四边形的对边平行）、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和线段中点的性质，进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵E为的中点， ∴， ∴，， ∴的周长为． 9．C 【分析】延长、交于点M，结合平行线的性质和中点利用可证，得到，，再结合根据垂直平分线的性质可得，进一步可得，，即可判断①②④正确；③缺少条件证明． 【详解】解：如图，延长、交于点M， 在中，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 由现有条件无法证明，故③不一定正确， 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 10．A 【分析】根据点运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键．根据点运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：在平行四边形中， ， 根据点运动，可得 当时，点P在点D处， ∴ 当时，点P在点C处， ∴， 设与间的距离是， 当点在上时，， 解得． 11．16 【分析】根据平行四边形的性质得到，，作，交AB于点F，延长交于点G，可知，根据面积法得到，即可求出平行四边形的面积． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 如图，作，交AB于点F，延长交于点G， ∴， ∴ ， ∴平行四边形的面积为． 12． 【分析】先利用勾股定理求出的长度，构造直角三角形，利用已知点的坐标点和勾股定理求出点的坐标，再利用平行四边形的性质证三角形全等，从而求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形，， 在中，， 如图所示，分别过点向作垂线，垂足分别为， 则， ， ∵点B的坐标为， ∴， 在中，， 在和中，， ∴，， 又∵点D在第二象限， ∴点D的坐标为． 13． 【分析】由直角三角形的性质可得，由平行四边形的性质可得，，，再由直角三角形的性质可得，从而求出，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 15． 【分析】找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是． 16． 5 【分析】根据勾股定理可得的长，设与交于点，过点作，由题意易得，要使的值为最小，则需满足的值也为最小，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的值为最小，即为的长，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设与交于点，过点作，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， 要使的值为最小，则需满足的值也为最小，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的值为最小，即为的长， 连接，设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 17．(1)见解析 (2)55° 【分析】（1）由平行四边形和平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得，即可得出； （2）由平行四边形和平行线的性质得出，利用（1）中结论通过等量代换得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 18．(1)无数 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查中心对称图形的性质，组合图形的面积等分方法（割补法、分块法），梯形（特殊四边形）的面积等分方法等知识点． （1）根据平行四边形是中心对称图形，得出平行四边形有无数条面积等分线． （2）根据这种 “大矩形剪去小正方形” 的组合图形，可通过将图形分割为两个规则矩形，分别找到两个矩形的对称中心，过两个中心的直线即为面积等分线． （3）①根据连接两底中点连线，即可找到梯形的面积等分线，并在①的基础上作平行四边形，继而得到两侧等面积的三角形，再根据平行四边形的中心对称性作过对称中心且与线段相交的任意直线均可满足要求． 【详解】（1）解：∵根据平行四边形的中心对称性，过对称中心（对角线交点）的任意一条直线都能将它分成面积相等的两部分， ∴过平行四边形的对角线交点的直线都是平行四边形的面积等分线； 故答案为：无数； （2）解：如图所示，作矩形和正方形的对角线，连接两对角线的交点的直线，即为所求的面积等分线（答案不唯一）； （3）解：①如图，分别取，的中点，，作直线，直线即是四边形的面积等分线， ∵，， 分别作梯形和梯形的高和，则， ∵，， ∴， ∴直线即是四边形的面积等分线， ②如图，在图①作图的基础上，取线段的中点，在边上任选一点（不与点重合），作直线， 过点，分别作的平行线，分别交于点，， ∴四边形、、是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴根据平行四边形的中心对称性，过对称中心且与线段相交（不与重合）的直线都符合要求， ∴直线是四边形的面积等分线．（答案不唯一） 19．(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先推导出，再根据，可证明四边形为平行四边形； （2）先求出，得到，推导出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形为平行四边形 （2）解：在中，， 又平分， ， ， 在中，， ， 由（1）知，四边形为平行四边形， ． 20．(1)8 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分两种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点E， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，点Q在线段上，此时， 当时，点Q在线段的延长线上，此时； （3）解：∵以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴， ∴或， 解得：或； （4）解：当点Q在上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 当点Q在线段的延长线上时，当时，点P在上，，不能为钝角，不合题意； 当点Q在线段的延长线上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 综上所述：或时为钝角三角形． 21．(1) (2) (3)或 【分析】（1）如果求x轴上点B的坐标，那么令直线解析式中求解x；如果求y轴上点C的坐标，那么令直线解析式中求解y． （2）过点O作，交于点F，作于点G，设（），可得，面积法求得，由勾股定理求得，得，，得，得，由，得，得，，得，得直线的解析式，得直线解析式，联立，解得，即得． （3）因为平行四边形的顶点顺序不固定，所以分为边、为对角线两种情况，结合平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质，设G、F的坐标，根据坐标关系列方程求解点F坐标． 【详解】（1）解：∵x轴上点纵坐标为， ∴代入，得， 解得， 故； ∵y轴上点横坐标为， ∴代入得， ∴． 故． （2）解：过点O作，交于点H，作于点I，设（）， 则， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边与的边上的高相等， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设直线解析式为， 代入，得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴． （3）解：存在或． 由（1）、（2）知，直线解析式为，，． 设，， ∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时， 向上平移，使点B落在y轴上的点，点D落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 向下平移，使点D落在y轴上的点，点B落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 当对角线时，取的中点P，过P作直线交y轴于点，交直线于点，使，连接， 则四边形是平行四边形， 由中点坐标公式得， 解得， ∴． 综上，存在满足条件的点，坐标为或． 22．(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 答案第12页，共21页 答案第13页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $