专题09 期末真题百练通关（65题10大解答压轴题型）（期末复习专项训练）六年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦10大期末压轴题型，通过65道真题构建代数几何综合突破体系，强化实际问题解决与空间想象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|21题|圆与扇形阴影面积、圆柱圆锥体积、旋转体问题|从平面图形面积到立体体积计算，渗透转化思想与空间观念| |代数应用|23题|二元一次方程组特殊解法、参数问题、实际应用|从方程解法到参数探究，构建数学模型解决实际问题| |统计与实践|21题|三大统计图综合、生活情境应用题|数据整理分析与数学建模结合，培养数据观念与应用意识|

专题09 期末真题百练通关（65题10大解答压轴题型） 题型1 折扣利润、圆周长（压轴） 题型6 圆柱圆锥体积综合（压轴） 题型2 圆、扇形组合阴影面积（必考压轴） 题型7 旋转体问题（压轴） 题型3 扇形实际应用题（压轴） 题型8 二元一次方程组的特殊解法（压轴） 题型4 三大统计图综合大题（期末必考大题） 题型9 二元一次方程组参数问题（压轴） 题型5圆柱表面积与体积（高频压轴） 题型10 二（三）元一次方程组的实际应用（压轴） 题型1 折扣利润、圆周长（压轴）（共4小题） 1．（23-24六年级下·上海崇明·期末）某文具商店从文具厂购进、两种文具共套，种文具的数量是种文具数量的． (1)求、两种文具各购进多少套？ (2)种文具每套进价元，该文具商店在种文具进价的基础上提高出售，种文具的进价比售价少，两种文具全部售出后共获利元．求种文具每套的进价为多少元？ (3)在（2）的条件下，文具商店再次从文具厂购进、两种文具共套，文具厂把、两种文具都打八折出售给文具商店，文具商店将种文具在原售价降低后出售，文具商店将种文具在原售价七折后出售．该文具商店将此次购进的套文具全部售出．此次销售共获利多少元？ 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）阅读材料： 2022年11月12日，长征七号遥六运载火箭，搭载着天舟五号货运飞船在我国文昌航天发射场发射成功．天舟五号货运飞船将与在轨运行的中国空间站（天宫空间站，是中华人民共和国建设中的一个空间站系统）组合体进行自主快速交会对接．中国空间站先后迎接问天、梦天两个实验舱，天和核心舱、问天实验舱、梦天实验舱三舱形成“”字基本构型，将在空间生命科学与人体研究、微重力物理科学、空间天文与地球科学、空间新技术与应用等个重要领域开展多项研究项目，更可支持空间生命、空间材料、基础物理、燃烧等科学实验研究．    已知中国空间站沿着地球同步卫星轨道飞行，同步轨道近似为圆形．中国空间站在绕地球飞行一圈的时间、飞行速度和轨道高度等方面都与国际空间站相同，绕地球一圈的时间为分钟，飞行速度每小时千米． (1)地球的半径长约为千米，空间站距离地球表面多少千米？（结果保留整数） (2)有人说空间站运行一天相当于从地球往返月球一次，你觉得这种说法正确吗？请说明理由．（地球到月球的距离约为万千米） 3．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）如图（1）是某车模中车的底盘结构，图（2）是模拟发动机齿轮组的部件，整个部件由若干个齿轮组成，三个齿轮的齿间距相同．其中齿轮的齿数是8，它与马达共轴，即马达转动一周，齿轮以相同方向转动一周；齿轮与齿轮啮合，它的齿数是24；齿轮的齿数是32，它与齿轮啮合且与车后轮共轴，即齿轮转动一周，车后轮以相同方向转动一周；齿轮、主要联动前后轮，使得前轮与后轮同时有动力．    (1)当马达顺时针旋转时，齿轮的旋转方向是_____①______，齿轮的旋转方向是_____②______；车轮与马达的旋转方向_____③_____．（①②填“顺时针”或“逆时针”，③填“一致”或“不一致”） (2)齿轮与齿轮的转速比为______④_____，车轮比马达的转速______⑤_____．（⑤填“快”或“慢”） (3)马达转速为12000转/分钟，后车轮直径为30毫米，求车模的行驶速度理论值．（单位：米/秒） 4．（24-25六年级下·上海崇明·期末）我们可以用标准体重法来判断是否肥胖： 岁少年儿童的标准体重的计算方法：标准体重（千克）年龄； 肥胖程度的计算公式：． 一般的，我们可以按照肥胖程度将肥胖分为三种类型，如表所示： 肥胖程度 以上 肥胖类型 轻度肥胖 中度肥胖 重度肥胖 (1)小胖今年12岁，体重40千克，请你判断一下小胖是否肥胖？如果是，那么他属于哪一类的肥胖？ (2)为了管理体重，小胖决定每天在学校操场上沿着跑道跑步进行锻炼，跑道的长度是一个由长方形和两端的半圆组成的图形的周长（如图）．经过测试，小胖在第一个10分钟内，跑步的平均速度为120米/分钟；从第二个10分钟开始，每个10分钟内的平均速度都比上一个10分钟内的平均速度降低．小胖咨询医生后得知，如果要达到减重的目的，跑步需要同时满足以下两个条件： ①每天跑步的总路程不少于3千米； ②每天连续跑步时间不少于30分钟． 现在小胖计划每天放学后在操场上连续跑8圈，这个计划是否能满足减重的条件？请通过计算加以说明（取3.14）． (3)小胖想自己既然已经运动健身，那么吃一点自己喜欢的零食应该没啥问题．于是他买了一包100克的薯片，包装袋上显示总热量为550千卡．他上网查了一下，跑步热量消耗公式如下： 跑步消耗的热量（千卡）体重（千克）跑步距离（千米） 请你帮助小胖估算一下，按照现在40千克的体重，要完全消耗掉这包薯片的热量。他至少需要在操场上跑几圈？（结果保留整数） 题型2 圆、扇形组合阴影面积（必考压轴）（共3小题） 5．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图，在长方形中，，，是直角三角形，，取的中点，以为半径画弧、以为半径画弧． (1)求图中阴影部分面积(取) (2)求图中阴影部分周长(取) 6．（24-25六年级下·上海长宁·期末）在一空旷场地上设计一个落地为长方形的小屋，边长边长，拴住小狗的绳子长，其中一端固定在点B处．小狗在不能进入小屋内的条件下活动，设小狗活动的区域面积为（结果保留） (1)如图1，若，求此时S的值； (2)如图2，现考虑在图1中的矩形小屋的右侧以为边拓展一个正三角形区域．使之变成一个落地为五边形的小屋，其他条件不变，在（1）的条件下，求此时S的值． 7．（24-25六年级下·上海闵行·期末）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角n和扇形所在圆的半径R，可以推的公式：①______，并通过比较扇形面积公式与弧长公式②______，得出扇形面积的另一种计算方法③______．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知和所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． （1）另一种扇形面积的计算方法③______．请你解答问题I； （2）在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） （3）乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形（如图3）所示，经测量杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出在图3中其侧面展开的图形面积． （4）丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中和所在的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，所在圆的半径________；它所对的圆心角的度数为______． 题型3 扇形实际应用题（压轴）（共2小题） 8．（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，一个边长是1的等边三角形，等边三角形的每个内角为，将它沿直线作若干次顺时针方向的滚动，如从三角形滚动到三角形为一次滚动． (1)求第一次滚动的过程中，点所经过的路程（结果保留）； (2)求滚动七次的过程中，点所经过的总路程（结果保留）． 9．（24-25六年级下·上海虹口·期末）阅读材料： （Ⅰ）在学习扇形的面积公式时，已知扇形圆心角和所在圆的半径，可以推得扇形面积公式：______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式______②，得出扇形面积的另一种计算方法______③．有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式，扇形有人也叫它“曲边三角形”． （Ⅱ）两个数的平方的差可以表示为这两个数的和与这两个数的差的积．即：，例如． （Ⅲ）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，如图，底面与截面之间的部分叫做圆台，圆台可以看成是以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴旋转一周而成的立体图形．直角梯形上、下底旋转而成的圆面称为圆台的上、下底面，另一腰旋转所成的曲面称为圆台的侧面，侧面上各个位置的直角梯形的腰叫作圆台的母线．解决问题： (1)补全（Ⅰ）的空白部分的公式． (2)甲同学受“曲边三角形”面积公式的启发，猜测折扇扇面部分的面积应该类似梯形面积公式，如图1，已知弧和弧所在圆的圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，他猜想折扇扇面部分的面积（如图1中的阴影部分）．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由． (3)乙同学发现家中的台灯灯罩是一个有上底面无下底面的圆台，如图2的阴影部分为灯罩的侧面展开图，经测量，，，，若欲在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？若欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，则新灯罩所需环保材料的面积为多少平方厘米？（结果保留） 题型4 三大统计图综合大题（期末必考大题）（共8小题） 10．（24-25六年级下·上海闵行·期末）小刚想了解某中学学生喜欢运动的情况，于是他通过调查，形成了如下表的调查报告（不完整）． 目的 1．了解某中学学生最喜爱的球类运动项目； 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议． 方式 随机抽样调查 调查对象 该中学部分学生 内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选）： A．篮球    B．乒乓球     C．足球     D．排球     E．羽毛球 调查结果       建议 结合小刚调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了多少名学生； (2)通过计算补全调查报告中的条形统计图； (3)请你估计该校1200名学生中最喜爱篮球项目的人数是多少名； (4)请帮助小刚对该校提出一条更合理地配置体育运动器材和场地的建议． 11．（24-25六年级下·上海宝山·期末）请阅读以下材料，并解决下列问题： 调查主题 某中学六年级春季社会实践活动需求 调查人员 每个班级男生和女生若干人 调查方法 抽查 背景介绍 某中学组织六年级学生前往上海5个活动场所中的一个参加社会实践活动，这5个活动场所为A：上海野生动物园；B上海千古情；C上海海昌海洋公园；D上海欢乐谷；E上海冰雪大世界雪上活动．被抽查学生针对六年级学生的意向目的地开展抽查并出具如下调查报告（注：每位被抽查的学生选择且只能选择1个意向前往的场所）． 报告内容（说明：以下仅展示部分内容） 问： （1）求本次被抽查的学生人数； （2）在扇形统计图中，表示D的扇形的圆心角是多少度； （3）请把条形图补充完整，意向去往A的学生人数比去往D的学生人数多百分之几． 12．（24-25六年级下·上海金山·期末）科技兴则民族兴，科技强则国家强．为激发学生科学兴趣、培养创新精神和实践能力，学校组织了形式各样的科技节活动，为了解同学们对校园科技节中“航模制作、编程体验、机器人展示、科幻绘画”四项活动的参与情况，学校从全校学生中随机抽取了部分学生进行调研，并绘制了如下统计图，请回答以下问题并补齐条形统计图． (1)本次调查一共调查了________名同学，其中参与编程体验的同学占调查同学总数的________．（填百分数） (2)参与科幻绘画的同学在扇形统计图中所占的圆心角是________度． (3)若全校共有800名学生，估计全校参与“机器人展示”活动的学生人数为________名． 13．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）小丽学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图： 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： (1)小丽同学共调查了 名居民的年龄； (2)扇形统计图中 ， （填写百分数），并补全条形统计图； (3)扇形统计图中，表示“年龄在0~14岁的居民”的扇形的圆心角度数是 ． 14．（24-25六年级下·上海崇明·期末）笑笑想比较自己所在六（1）班的男生和女生跳绳成绩．体育课上，笑笑随机记录了六（1）班男生和女生各20名同学一分钟跳绳的个数．（单位：个/1分钟） 男生：89，96，103，92，77，87，109，97，45，92，76，128，98，57，112，79，91，104，164，198； 女生：132，120，118，97，102，127，91，115，104，114，131，56，165，98，72，137，150，98，159，148． (1)请按分数段整理数据表，并补全条形统计图．（注：这里的60～80表示大于等于60同时小于80） 个数/1分钟 60个以下 60～80 80～100 100～120 120～140 140个以上 男生 2 1 2 女生 1 5 (2)如果一分钟跳绳在120个以上（含120个/1分钟）算优秀，那么男生和女生的优秀率分别是多少？ (3)如果一分钟跳绳在100个以上（含100个/1分钟）算合格，那么合格的男生数比合格的女生数少百分之几？ (4)笑笑了解到上海中考体育跳绳评分标准为：男生4分钟内完成400个得满分（女生为405个），那么如何提高跳绳成绩，你有什么建议吗？ 15．（24-25六年级下·上海闵行·期末）六（4）班学生在综合与实践“中国的能源生产与消费”的探究活动后，班级分组开展“新能源车”的探索项目． 第一小组项目：新能源车的续航里程 新能源车的续航里程是指汽车在动力电池完全充电（仪表显示充满）的状态下，以一定的行驶情况连续行驶的最大距离．为调查1年及以内纯电动新能源车的续航里程，兴趣小组在社区内随机对纯电动新能源车的车主进行了问卷调查，并对这些纯电车的续航里程进行了收集、整理、描述和分析，对续航里程（单位：公里）数据分为5组（A：，，，D：，E：），绘制出新能源纯电车续航里程情况扇形统计图（图1）和新能源纯电动车续航里程条形统计图（图2）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）这次被调查的纯电车数量是________辆； （2）请将条形统计图补充完整并标上数字； （3）扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角度数为_________； （4）若该小区有500辆电动车，请估计续航里程满足公里的电动车数量为________辆． 第二小组项目：新能源车的充电基础设施 我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础设施布局也日渐完善，截至2024年底，我国新能源汽车保有量达3140万辆，占汽车总量的．以下是我国年公共充电桩数量情况统计图（图3）和2024年全国部分省份公共充电桩数量统计表． 2024年全国部分省份公共充电桩数量统计表 省份 数量（单位∶万台） 广东省 65.3 浙江省 27.9 江苏省 27.1 上海市 21.3 湖北省 16.6 北京市 14.3 根据查阅的信息，解答下列问题： （5）2024年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电数量的_______%（精确到1%）； （6）2024年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比值约为________（精确到0.1）； （7）小海说：2024年全国公共充电桩数量较前几年相比增加的数量最多，所以2024年全国公共充电桩数量的年增长率比2023年高，你同意他的说法吗？请结合统计图表说明你的理由． 16．（24-25六年级下·上海黄浦·期末） 2024年8月14日，安徽省教育厅印发《关于做好义务教育阶段学校每天开设一节体育课的通知》，要求全省义务教育阶段所有公民办学校从2024年秋季学期开始必须每天开设一节体育课，上下午各开设一次30分钟大课间体育活动，保障学生每天两个小时体育活动时间．某校为贯彻落实该项政策，在日常课程中开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（A：篮球；B：足球；C：排球；D：羽毛球；E：乒乓球），学校随机对该校部分学生的选课情况进行调查，绘制成两幅不完整的统计图（如图所示）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次调查的学生总数是 人，选择羽毛球的学生人数为 人；请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，求B项目所对应的扇形圆心角的度数； (3)若该校有学生950人，请估计有多少学生选修了排球． 17．（24-25六年级下·上海青浦·期末）国务院发布《全民健身计划》后，某校兴趣小组为了解该校学生健身锻炼情况，通过调查，形成了如下调查报告． 调查目的 1．了解本校初中生每天健身活动的总时长；2．给同学提出更合理的健身活动建议． 调查方式 抽查 调查对象 部分初中生 调查内容 同学，你每天健身活动的总时长为（   ） A．小时；B．小时；C．小时；D．小时及以上 （每组含最小值，不含最大值）请根据自身情况选择最符合的一项，感谢参与！ 调查结果 AI      结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了_______名学生； (2)______；选择“”的扇形的圆心角为______； (3)根据以上信息，学校开展了丰富多彩的健身活动，一段时间后对原参与调查的同学追踪调查，数据发生了一定的变化，选“”的学生比原来增加了人，且选“”的学生和选“”的学生人数比为，求选“”的学生现有多少人？ 题型5圆柱表面积、体积（高频压轴）（共3小题） 18．（24-25六年级下·上海宝山·期末）生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1），当把它的底面（包含上底面和下底面）和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆，侧面是一个长方形（如图2）． (1)一个有盖的圆柱形易拉罐，底面半径为，高为，做这个易拉罐至少需要多少面积的材料？（不计接缝，结果保留） (2)如图3，把一张长的长方形纸板剪成一个长方形和两个圆，正好可以做成一个有盖的圆柱形笔筒，那么这个圆柱形笔筒的底面半径是______；（不计接缝，取） (3)有一批铝材和塑料板，它们都是边长为的正方形，现用于制作底面半径为，高为的有盖圆柱形盒子，铝材用于制作圆柱形盒子的侧面，塑料板用于制作圆柱形盒子的底面．如果最大限度利用这批材料，且全部裁剪完这批材料后剪成的侧面和底面正好配套，则铝材张数与塑料板张数之比是______．（取） 19．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）． (1)小欣家直身杯的杯口直径为，她要制作高度为的杯套，则此杯套的面积为___________（结果保留）； (2)小欣发现阔口杯近似为圆台形状，如图3①所示，通过测量，杯子上口径，下底面直径，母线长、均为，为了制作此杯套，如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分． ①证明：弧与的长之比等于与之比． ②求圆心角的度数及杯套的面积．（结果保留） 20．（24-25六年级下·上海普陀·期末）综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器 实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分） 【任务一】如图，已知长方形铁皮的长为，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（取） 【任务二】如图1，用一块长为，宽为的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器． 方案A：如果以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图1上画出裁剪示意图．（标注尺寸，取3） 方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图2上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，取3） 【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，取3） 题型6 圆柱圆锥体积综合（压轴）（共10小题） 21．（24-25六年级下·上海·期末）如图1，有一圆柱形容器，该容器的底面半径为，高为．如图2，有一实心铁圆柱，实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的，实心铁圆柱的底面半径与圆柱形容器的底面半径比是． (1)求该实心铁圆柱的体积．（结果保留π） (2)现有一底面半径为的注满水的圆锥容器，如图3，现将实心铁圆柱体放入圆柱形容器，将圆锥容器中的水全部注入圆柱形容器，注入的水刚好将实心铁圆柱体全部浸没，求该圆锥容器的高． 22．（24-25六年级下·上海青浦·期末）（1）如图1，求阴影部分面积．（结果保留） （2）如图2是从圆柱体中挖去一个圆锥后的剩余部分，请计算它的体积．（结果保留） 23．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为的扇形，如图，母线长． (1)求该圆锥形环保纸杯的底面直径； (2)如果该圆锥形环保纸杯的高为，求该圆锥形环保纸杯的体积（结果保留）． 24．（24-25六年级下·上海·期末）某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体．如图，圆柱底面的直径是8米，高是3米，圆锥的高是3米，母线长5米．如果每立方米小麦约重750千克； (1)为确保粮食的安全性，需为粮囤定制外部防护材料，一个粮囤，要定制多大面积的外部包裹材料？（不含粮囤底部面积，不考虑损耗，π取3） (2)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库需要多少个这样的粮囤存储这些小麦？（π取3） 25．（24-25六年级下·上海长宁·期末）蒙古包，作为蒙古族传统的居住形式，承载着浓厚的游牧文化和历史底蕴．它的上面近似于圆锥形，下面近似于圆柱形．如图，一个蒙古包圆柱底面的周长是米，高是米，圆锥的高是米． (1)蒙古包的上面圆锥部分的侧面展开图是_______（填图形名称）；下面圆柱部分的侧面展开图是_______（填图形名称），圆柱部分的侧面展开图的面积是_____平方米（结果保留）． (2)这个蒙古包的体积是多少立方米？（结果保留） 26．（24-25六年级下·上海闵行·期末）学生活动节乐乐使用塑料制作了一个水火箭模型（如图），它的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要多少塑料（模型的底部是封闭的，取3.14，结果精确到）？ (2)模型的最大注水量大约是多少（取3.14，结果精确到）？ 27．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民的传统居所，它简单实用，易于搭建和拆卸，极具民族特色，下图是“蒙古包”的示意图，其顶部为圆锥形，下半部分为圆柱形，已知圆柱的底面半径米，高米，圆锥的高米，母线米． (1)该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第______幅图绕其轴旋转一周而成；（填序号） (2)为了阻挡寒冷空气进入，蒙古包的侧面和顶部都由毛毡覆盖，若拼接处忽略不计，求制作一顶这样的蒙古包所需要毛毡的面积（结果保留）； (3)求这顶蒙古包的容积（结果保留）． 28．（24-25六年级下·上海金山·期末）阿基米德是古希腊著名的数学家．他发现当“圆柱容球”时，球的体积正好是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱表面积的．（此题取） (1)已知，求圆柱的体积； (2)在（）的基础上，现有一规格大小与该圆柱完全相同的玻璃杯，置入一与图中球同样大小的冰球，冰球完全融化成水后，水与之前冰的体积比是，则融化后水的高度是多少厘米？ (3)若往（）中杯里垂直放入一个圆锥形铅锤，已知铅锤的底面半径是厘米，铅锤的高是厘米，求圆柱形杯中水面上升的高度是多少厘米？ 29．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某施工场地有一条宽的道路需要用石子临时铺设，在另一处有一个圆锥形石堆，石堆的底面积是，石堆的高是．现在准备安排若干辆卡车去运回这堆石子来铺设道路． (1)用这堆石子在这条宽的道路上铺厚的路面，能铺这条道路多少？（结果保留两位小数） (2)一辆型卡车从施工场地出发前往石堆所在地，出发1.5小时后，一辆型卡车也从施工场地出发前往石堆所在地，当这辆型卡车又行驶1.2小时到达石堆所在地时，型卡车行驶的路程比施工场地与石堆所在地路程的少，已知型卡车与型卡车的速度比为，求施工场地与石堆所在地之间的路程是多少？ (3)在（2）的条件下，所有车辆均在施工场地，已知型卡车每辆满载可装石子，D型卡车每辆满载可装石子，每辆型卡车每油费0.6元，每辆型卡车每油费0.75元，现在施工场地有足够多的型卡车和型卡车，为了确保运石总油费支出最少，并且能够将石子全部运回施工场地铺路，应该怎样派卡车？ 30．（24-25六年级下·上海青浦·期末）某地要修建一个如图1所示足球场，足球场的中间是一个长为宽为的长方形、两边为两个半圆形，建设过程中足球场场地要铺上一层厚的石灰土做垫层，如图2，石灰土堆放近似于一个圆锥，底面圆的直径为，高为．（π取3） (1)通过计算说明这堆石灰土是否够用？ (2)压路机的前轮直径是2米，轮宽是米，前轮每分钟转动2周，若4台压路机同时工作，将的长方形区域压完一次至少需要多少时间？（压路机掉头时间忽略不计，压路时无缝隙、无重叠） (3)计划由甲、乙两个工程队来共同铺设石灰土垫层，已知甲、乙两个工程队每天所铺设的面积之比为，实际铺设时，甲、乙两个工程队一起铺了7天后，乙工程队因故离开，由甲工程队又单独铺了2天，恰好将这足球场的石灰土垫层全部铺完，求甲、乙两个工程队每天各铺多少平方米？ 题型7 旋转体问题（压轴）（共3小题） 31．（24-25六年级下·上海闵行·期末）计算： (1)如图圆柱的表面积．（取） (2)如图图形旋转一周后形成图形的体积．（取） 32．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）我们知道将一个直角三角形以它的一条直角边所在直线为轴顺时针（或逆时针）方向旋转一周所得到的立体图形是圆锥．如图（1）直角三角形中，． (1)直角三角形以它的一条直角边所在直线为轴顺时针（或逆时针）方向旋转一周得到一个立体图形，求这个图形的表面积；（本题结果保留） (2)直角三角形以边所在直线为轴顺时针（或逆时针）方向旋转一周得到一个立体图形如图（2），求这个图形的体积．（本题结果保留） 33．（24-25六年级下·上海金山·期末）在炎炎夏日，椰青含有丰富的电解质，清热解渴，可改善干咳无痰，肺热等症状．一般采摘后会切成图1的样子，商家会用保鲜膜包装后装箱售卖，图2是“椰青”的形状图． (1)该“椰青”的形状图可以由图3中的图________旋转一周后得到； (2)商家用保鲜膜对每个椰青表面进行包装，9个椰青为一箱，考虑到保鲜膜在包装过程中会出现损耗，需要多准备，包装一箱椰青需要至少准备多少平方厘米保鲜膜？（精确到个位） 题型8 二元一次方程组的特殊解法（压轴）（共4小题） 34．（24-25六年级下·上海虹口·期末）解方程组由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单．，得，所以③，，得④，，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请运用上述方法解方程组：； (2)请直接写出关于、的方程组（，是常数，）的解：______． 35．（24-25六年级下·上海·期末）对于任意一个三位数正整数（各个数位上的数字互不相同且都不为零），将三个数位上的数字交换顺序，可以得到5个不同的数，把这6个数的和与111的商记为的星河数．例如，可以得到243、324、342、423、432这5个不同的数，这6个数的和为，因为，所以234的星河数． (1)计算的值是________； (2)若和都是各个数位上的数字互不相同且都不为零的三位正整数，的十位和个位上的数字分别是6和3，3和7分别是的百位和个位上的数字，且的百位上的数字比的十位上的数字大3．若，则的值________． 36．（24-25六年级下·上海宝山·期末）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 37．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 题型9 二元一次方程组参数问题（压轴）（共4小题） 38．（24-25六年级下·上海·期末）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 39．（24-25六年级下·上海·期末）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． (1)方程组的解x与y________（填“具有”或“不具有”）“邻好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； (3)未知数为x，y的方程组其中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 40．（24-25六年级下·上海青浦·期末）对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）； ；； (2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值； (3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值． 41．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）阅读材料；对于未知数为的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差”．例如：方程组的解为，由于，所以其解距为2；方程组的解为，由于，所以其解具有“单位差”． (1)判断方程组的解是否具有“单位差”并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解距是整数，写出所有满足条件的整数． 题型10 二（三）元一次方程组的实际应用（压轴）（共3小题） 42．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）中国足球超级联赛是中国大陆地区最高级别的职业足球联赛．本联赛的积分规则采用国际通行的胜一场积3分、平局各积1分、负者积0分的标准． (1)A球队以不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分，该球队胜负各多少场； (2)B球队完成了13场比赛，获得了32分，求该球队胜、平、负各多少场． 43．（24-25六年级下·上海金山·期末）阅读下列材料：名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 44．（24-25六年级下·上海松江·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某体育用品商场销售、两款足球．该商场3月份购进20个款足球和40个款足球共需4400元；4月份购进10个款足球和30个款足球共需花费3000元．            素材2 该商场决定5月份再购进一批、款足球（、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款为4800元．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 （1）求该商场购进款、款足球的单价分别为多少元？ 任务2 （2）如果5月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，那么5月份该商场购进、、款足球各多少个？（写出所有的购买方案） 45．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 46．（24-25六年级下·上海闵行·期末）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解3棵A种树木、4棵B种树木的售价共计155元；4棵A种树木、3棵B种树木的售价共计160元． (1)求A、B两种树木每棵的售价分别为多少元？ (2)若该学校计划用400元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且400元全部用完），问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． 47．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 48．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某商场销售、两种商品，若购买种商品3件和种商品2件，需花费60元，若购买种商品5件和种商品3件，共需花费95元． (1)求、两种商品单价各是多少元？ (2)学校开运动会准备购买、两商品共100件，现种商品单价不变，种商品打八折出售，为此学校共花费1100元，求购买种商品的数量． 49．（24-25六年级下·上海宝山·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 50．（24-25六年级下·上海闵行·期末）今年五一假期，学校号召大家开展丰富的小队活动．六（3）班小海团队共16人（包含部分家长及学生）一起到某景区游览，小海负责在网上进行预约，并提前购票． 网络提示购票信息有如下4条： A．成人票：全价票，每张80元； B．学生票：是全价票的一半； C．团体票：20人及以上，按全价票的六折优惠； D．若退票，将扣除购票款的． (1)小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元．问小海团队家长和学生各几名？ (2)小海支付1000元购票价后，碰到还没有购票的乐乐团队，他们是2名家长和4名学生．他们发现退票后所有人都购买团体票更合算，请计算小海团队重新购票能节省多少元． 51．（24-25六年级下·上海闵行·期末）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 52．（24-25六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 53．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 54．（24-25六年级下·上海·期末）现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”． 例如，，则称“关联”了 (1)下列数对中被“关联”的有______； ①，②，③，④ (2)若同时被和“关联”，请求出p，q； (3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对． 55．（24-25六年级下·上海·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 56．（24-25六年级下·上海宝山·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3） 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 1．你知道“木桶效应”吗？它是指一只平放的木桶能装多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板．如图能直观形象地说明“木桶效应”蕴含的道理． (1)从木桶内部测量的数据，如下图所示．当木桶平放时最多能装水多少立方厘米？ (2)“新木桶效应”则是一只木桶能够装多少水，并不完全取决于短板，而是可以创新地发挥长板的作用，比如把木桶斜放能装的水更多．如果把这个木桶斜放（如图），这时水桶最多能装水多少立方厘米？ 2．某同学在两家超市发现他看中的复读机的单价相同，书包单价也相同，复读机和书包的单价之和是452元，且复读机的单价比书包的单价的4倍少8元． (1)这种复读机和书包的单价各是多少元？ (2)某一天，该同学上街，恰好赶上商家促销：超市所有商品打八折销售，超市全场购物每满100元，返回购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用）．但他只带了400元钱，他能买下这两样物品吗？在哪一家超市购买更省钱？ 3．某区投入一笔资金改善某中学办学条件，计划拆除一部分旧校舍，另建一批新校舍．拆除旧校舍每平方米需500元，建造新校舍每平方米需2000元．计划在年内拆除的旧校舍面积与建造的新校舍面积共，在实施中为了扩大绿化面积，拆除的旧校舍的面积比原计划增加了，建造的新校舍的面积为原计划的，结果实际拆除的旧校舍和建造的新校舍的总面积和原计划相等． (1)原计划拆除旧校舍和建造新校舍各多少平方米？ (2)已知绿化需300元，如果将在实际完成的拆、建工程中比原计划节约的资金用来增加绿化面积，那么可增加绿化面积多少平方米？ 4．为弘扬中华优秀传统文化，某校决定开设民族器乐选修课．为了更贴合学生的兴趣，该校对学生最喜欢的一种民族乐器进行抽查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图：请根据图（1）和图（2）提供的信息，回答下列问题（前3问直接写出结果，第4问写出解答过程）： (1)在这次抽查中，共抽查了___________名学生； (2)扇形统计图中，“古琴”部分所对应的扇形的圆心角为___________．； (3)选择“古筝”的学生比选择“琵琶”的学生多___________%； (4)该校计划将喜爱“古琴”的学生按的比例分配到校民乐社团的演奏组和创作组，同时从喜爱“其他”乐器的学生中调若干人到创作组，使创作组总人数比演奏组的总人数少，求从“其他”乐器中调到创作组的人数． 5．定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值． 6．某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体，如图，圆柱底面的半径是8米，高是3米，圆锥的高是3米．如果每立方米小麦约重750千克． (1)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库至少需要多少个这样的粮囤存储这些小麦（取3）? (2)由于粮囤使用多年，需要对所有粮囤进行翻新维修，粮库将此工程承包给甲乙两个队，甲工程队单独修需要8天，甲工程队单独完成需要的时间比乙工程队单独完成时间少，现在两队同时进行维修几天后，乙队因有其他任务调走，余下的工程量甲工程队需要3天时间完成，乙工程队维修了几天？ (3)若在（2）的条件下，已知每天甲工程队的费用是900元，每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，维修所有粮囤后，请你计算出甲乙两队的总费用． 7．【综合与实践】 如图甲，这是地理模型中的“三球运动模型”，该模型是通过齿轮连杆传动来模拟地球、月球、太阳之间的运动关系．通过地理课的学习，我们知道地球绕太阳旋转的方向与月球绕地球旋转的方向是一致的．地球绕太阳公转一圈为一年，月球绕地球公转一圈为一月． (1)通过图乙的结构介绍，我们发现该模型主要由两组齿轮模型组成，分别是图丙和图丁． 【剖析原理】 齿轮传动方式 转动圈数比 转动方向 外啮合传动（图丙） 例如：大齿轮为120齿，小齿轮为10齿，则大小齿轮转动圈数比为__________ 大小齿轮转动方向__________（填“相同”或“相反”） 同轴联动传动（图丁） 大小齿轮转动圈数比为 大小齿轮转动方向始终一致 (2)【制作模型】学生根据原理制作了以下A、B、C三种不同的齿轮传动模型根据展示的三种齿轮传动模型方案，请回答： A．B．C． ①根据A、B、C三张图中标注的齿轮齿数，在连杆逆时针转动时（轴固定在底座上），则B图中地球模型与月球模型的转速比为__________； C图中地球模型与月球模型的转速比为__________． ②根据地、月公转比为1∶12的地理知识，A、B、C三张图中既能正确模拟地、月公转周期比，又能正确模拟地、月公转方向的是__________（填字母）． 8．请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮，前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进，变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为，后齿轮齿数为，后轮直径厘米． (1)计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿________． 若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)小明想在上坡时调到最省力的齿轮组合，应选择前齿轮齿数为________，后齿轮齿数为________；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动________圈． 小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明每分钟蹬多少圈？ 9．在大自然中，藏着一组神奇又和谐的数字规律，从花朵的花瓣排布，贝壳的纹路，蕨类植物的生长，到建筑物，艺术作品的大小设计，都能找到它的身影．如图，以中间最小的边长为1的两个正方形为起点，依次按图中规律画出另外5个正方形，以O为圆心，1为半径画出两段长度相同的弧，，再分别以点A、B、C、D、E为圆心依次画出弧，、、、，按此规律继续画下去，就能得到著名的“黄金螺旋”． (1)请求出图中已画出的黄金螺旋线的长度（结果保留）； (2)如图，将此图形裁切下来，剪掉阴影部分，请求出剪出的“贝壳”图形的面积（结果保留）； (3)为什么将此曲线称为“黄金螺旋”？请按要求填空并完成猜想： ，，，，，，______（填分数）=______（填小数，小数点后保留三位，，信息自己推导），以此类推，我们猜测第n条弧长与第条弧长的比值逐渐接近于______（保留2位小数），此数接近于著名的黄金分割数，它广泛应用于建筑、艺术等领域，可以使作品达到最和谐的视觉效果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 期末真题百练通关（65题10大解答压轴题型） 题型1 折扣利润、圆周长（压轴） 题型6 圆柱圆锥体积综合（压轴） 题型2 圆、扇形组合阴影面积（必考压轴） 题型7 旋转体问题（压轴） 题型3 扇形实际应用题（压轴） 题型8 二元一次方程组的特殊解法（压轴） 题型4 三大统计图综合大题（期末必考大题） 题型9 二元一次方程组参数问题（压轴） 题型5圆柱表面积与体积（高频压轴） 题型10 二（三）元一次方程组的实际应用（压轴） 题型1 折扣利润、圆周长（压轴）（共4小题） 1．（23-24六年级下·上海崇明·期末）某文具商店从文具厂购进、两种文具共套，种文具的数量是种文具数量的． (1)求、两种文具各购进多少套？ (2)种文具每套进价元，该文具商店在种文具进价的基础上提高出售，种文具的进价比售价少，两种文具全部售出后共获利元．求种文具每套的进价为多少元？ (3)在（2）的条件下，文具商店再次从文具厂购进、两种文具共套，文具厂把、两种文具都打八折出售给文具商店，文具商店将种文具在原售价降低后出售，文具商店将种文具在原售价七折后出售．该文具商店将此次购进的套文具全部售出．此次销售共获利多少元？ 【答案】(1)种文具购进套，种文具购进套 (2)种文具每套的进价为元 (3)此次销售共获利元 【详解】（1）解：（套）， （套）， 答：种文具购进套，种文具购进套． （2）解：（元）， （元）， （元）， 种文具的进价与售价的比为， （元）， 答：种文具每套的进价为元． （3）解：打折后种文具的进价：（元）， 打折后种文具的进价：（元）， 降价后后种文具的售价：（元）， 打七折后种文具的售价：（元）， 种文具的每套利润：（元），种文具的每套利润：（元）， 所以销售一套种文具与销售一套种文具都是获利元， 所以销售共获利（元） 答：此次销售共获利元． 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）阅读材料： 2022年11月12日，长征七号遥六运载火箭，搭载着天舟五号货运飞船在我国文昌航天发射场发射成功．天舟五号货运飞船将与在轨运行的中国空间站（天宫空间站，是中华人民共和国建设中的一个空间站系统）组合体进行自主快速交会对接．中国空间站先后迎接问天、梦天两个实验舱，天和核心舱、问天实验舱、梦天实验舱三舱形成“”字基本构型，将在空间生命科学与人体研究、微重力物理科学、空间天文与地球科学、空间新技术与应用等个重要领域开展多项研究项目，更可支持空间生命、空间材料、基础物理、燃烧等科学实验研究．    已知中国空间站沿着地球同步卫星轨道飞行，同步轨道近似为圆形．中国空间站在绕地球飞行一圈的时间、飞行速度和轨道高度等方面都与国际空间站相同，绕地球一圈的时间为分钟，飞行速度每小时千米． (1)地球的半径长约为千米，空间站距离地球表面多少千米？（结果保留整数） (2)有人说空间站运行一天相当于从地球往返月球一次，你觉得这种说法正确吗？请说明理由．（地球到月球的距离约为万千米） 【答案】(1)空间站距离地球表面千米 (2)不正确；理由见解析 【详解】（1）解：空间站同步轨道的周长为千米， 所以同步轨道的半径为千米， 所以空间站距离地球表面千米， 答：空间站距离地球表面千米； （2）解：不正确，理由如下， 空间站飞行速度每小时千米， 天小时， 所以空间站一天的路程为：千米， 万千米=千米， 千米， ， ∴空间站运行一天相当于从地球往返月球一次，这种说法不正确 3．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）如图（1）是某车模中车的底盘结构，图（2）是模拟发动机齿轮组的部件，整个部件由若干个齿轮组成，三个齿轮的齿间距相同．其中齿轮的齿数是8，它与马达共轴，即马达转动一周，齿轮以相同方向转动一周；齿轮与齿轮啮合，它的齿数是24；齿轮的齿数是32，它与齿轮啮合且与车后轮共轴，即齿轮转动一周，车后轮以相同方向转动一周；齿轮、主要联动前后轮，使得前轮与后轮同时有动力．    (1)当马达顺时针旋转时，齿轮的旋转方向是_____①______，齿轮的旋转方向是_____②______；车轮与马达的旋转方向_____③_____．（①②填“顺时针”或“逆时针”，③填“一致”或“不一致”） (2)齿轮与齿轮的转速比为______④_____，车轮比马达的转速______⑤_____．（⑤填“快”或“慢”） (3)马达转速为12000转/分钟，后车轮直径为30毫米，求车模的行驶速度理论值．（单位：米/秒） 【答案】(1)①顺时针，②顺时针，③一致 (2)④4：1，⑤慢 (3)米/秒 【详解】（1）解：因为齿轮与马达共轴，当马达顺时针旋转时，齿轮的旋转方向是顺时针，齿轮与齿轮啮合，故齿轮B的旋转方向是逆时针，齿轮与齿轮啮合且与车后轮共轴，故齿轮的旋转方向是顺时针，车轮的旋转方向是顺时针，与马达的旋转方向一致； 故答案为：①顺时针，②顺时针，③一致 （2）齿轮与齿轮的转速比为，因为马达与齿轮同轴，它们转速一致，齿轮与车后轮共轴，齿轮与车后轮转速一致，故车轮比马达的转速慢， （3）解：因为马达转速为12000转/分钟， 即齿轮转速为12000转/分钟， C转速为（转/分钟） 车轮的周长为：（毫米） 此时的理论速度：（米/秒） 4．（24-25六年级下·上海崇明·期末）我们可以用标准体重法来判断是否肥胖： 岁少年儿童的标准体重的计算方法：标准体重（千克）年龄； 肥胖程度的计算公式：． 一般的，我们可以按照肥胖程度将肥胖分为三种类型，如表所示： 肥胖程度 以上 肥胖类型 轻度肥胖 中度肥胖 重度肥胖 (1)小胖今年12岁，体重40千克，请你判断一下小胖是否肥胖？如果是，那么他属于哪一类的肥胖？ (2)为了管理体重，小胖决定每天在学校操场上沿着跑道跑步进行锻炼，跑道的长度是一个由长方形和两端的半圆组成的图形的周长（如图）．经过测试，小胖在第一个10分钟内，跑步的平均速度为120米/分钟；从第二个10分钟开始，每个10分钟内的平均速度都比上一个10分钟内的平均速度降低．小胖咨询医生后得知，如果要达到减重的目的，跑步需要同时满足以下两个条件： ①每天跑步的总路程不少于3千米； ②每天连续跑步时间不少于30分钟． 现在小胖计划每天放学后在操场上连续跑8圈，这个计划是否能满足减重的条件？请通过计算加以说明（取3.14）． (3)小胖想自己既然已经运动健身，那么吃一点自己喜欢的零食应该没啥问题．于是他买了一包100克的薯片，包装袋上显示总热量为550千卡．他上网查了一下，跑步热量消耗公式如下： 跑步消耗的热量（千卡）体重（千克）跑步距离（千米） 请你帮助小胖估算一下，按照现在40千克的体重，要完全消耗掉这包薯片的热量。他至少需要在操场上跑几圈？（结果保留整数） 【答案】(1)是肥胖，属于轻度肥胖 (2)能满足减重条件 (3)至少要跑圈 【详解】（1）解：是肥胖，属于轻度肥胖， 标准体重为：（千克）， 肥胖程度为：，属于轻度肥胖； （2）解：跑道周长：（米）， 总路程为：（米）， 满足大于3千米， 第1个10分钟跑的路程：米， 第2个10分钟跑的路程：米， 第3个10分钟跑的路程：米， 米米， 故能满足减重条件； （3）解：跑步距离千米， 米， 圈， 故至少要跑圈． 题型2 圆、扇形组合阴影面积（必考压轴）（共3小题） 5．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图，在长方形中，，，是直角三角形，，取的中点，以为半径画弧、以为半径画弧． (1)求图中阴影部分面积(取) (2)求图中阴影部分周长(取) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：依题意，， ， 图中阴影部分面积为： （2）解：图中阴影部分周长为： 6．（24-25六年级下·上海长宁·期末）在一空旷场地上设计一个落地为长方形的小屋，边长边长，拴住小狗的绳子长，其中一端固定在点B处．小狗在不能进入小屋内的条件下活动，设小狗活动的区域面积为（结果保留） (1)如图1，若，求此时S的值； (2)如图2，现考虑在图1中的矩形小屋的右侧以为边拓展一个正三角形区域．使之变成一个落地为五边形的小屋，其他条件不变，在（1）的条件下，求此时S的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗可以活动的区域如图所示： 由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、8为半径的圆的，以C为圆心、5为半径的圆的和以A为圆心、3为半径的圆的的面积和， ； （2）如图， 由图可知，小狗活动的区域面积为以为圆心、8为半径的圆的，以为圆心、5为半径、圆心角为的扇形，以为圆心、3为半径的圆的的面积和， ，则， ． 7．（24-25六年级下·上海闵行·期末）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角n和扇形所在圆的半径R，可以推的公式：①______，并通过比较扇形面积公式与弧长公式②______，得出扇形面积的另一种计算方法③______．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知和所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． （1）另一种扇形面积的计算方法③______．请你解答问题I； （2）在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） （3）乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形（如图3）所示，经测量杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出在图3中其侧面展开的图形面积． （4）丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中和所在的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，所在圆的半径________；它所对的圆心角的度数为______． 【详解】解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 故答案为：． 问题I：，圆心角为， 即， ∴， ∴； （2）他的猜想正确．理由如下： 设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由得 ∴花坛的面积 ； （3）∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为； （4）∵，， ∴， 由∵，即， 解得： ∴即 故答案为：，． 题型3 扇形实际应用题（压轴）（共2小题） 8．（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，一个边长是1的等边三角形，等边三角形的每个内角为，将它沿直线作若干次顺时针方向的滚动，如从三角形滚动到三角形为一次滚动． (1)求第一次滚动的过程中，点所经过的路程（结果保留）； (2)求滚动七次的过程中，点所经过的总路程（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． 答：第一次滚动的过程中，点所经过的路程为． （2）解：如图，滚动七次的过程中，点移动了5个弧形长度， 答：滚动七次的过程中，点所经过的总路程为． 9．（24-25六年级下·上海虹口·期末）阅读材料： （Ⅰ）在学习扇形的面积公式时，已知扇形圆心角和所在圆的半径，可以推得扇形面积公式：______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式______②，得出扇形面积的另一种计算方法______③．有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式，扇形有人也叫它“曲边三角形”． （Ⅱ）两个数的平方的差可以表示为这两个数的和与这两个数的差的积．即：，例如． （Ⅲ）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，如图，底面与截面之间的部分叫做圆台，圆台可以看成是以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴旋转一周而成的立体图形．直角梯形上、下底旋转而成的圆面称为圆台的上、下底面，另一腰旋转所成的曲面称为圆台的侧面，侧面上各个位置的直角梯形的腰叫作圆台的母线．解决问题： (1)补全（Ⅰ）的空白部分的公式． (2)甲同学受“曲边三角形”面积公式的启发，猜测折扇扇面部分的面积应该类似梯形面积公式，如图1，已知弧和弧所在圆的圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，他猜想折扇扇面部分的面积（如图1中的阴影部分）．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由． (3)乙同学发现家中的台灯灯罩是一个有上底面无下底面的圆台，如图2的阴影部分为灯罩的侧面展开图，经测量，，，，若欲在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？若欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，则新灯罩所需环保材料的面积为多少平方厘米？（结果保留） 【详解】（1）解：①， 弧长公式②， ∴③． 故答案为：①；②；③． （2）解：正确，推导如下： 设弧所对的半径为，弧所对的半径为，， 根据题意， 故折扇扇面部分的面积 ． （3）解：根据题意灯罩的上边缘花边长， 灯罩的下边缘花边长， 故至少需要花边； 新灯罩所需环保材料的面积． 题型4 三大统计图综合大题（期末必考大题）（共8小题） 10．（24-25六年级下·上海闵行·期末）小刚想了解某中学学生喜欢运动的情况，于是他通过调查，形成了如下表的调查报告（不完整）． 目的 1．了解某中学学生最喜爱的球类运动项目； 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议． 方式 随机抽样调查 调查对象 该中学部分学生 内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选）： A．篮球    B．乒乓球     C．足球     D．排球     E．羽毛球 调查结果       建议 结合小刚调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了多少名学生； (2)通过计算补全调查报告中的条形统计图； (3)请你估计该校1200名学生中最喜爱篮球项目的人数是多少名； (4)请帮助小刚对该校提出一条更合理地配置体育运动器材和场地的建议． 【详解】（1）解：本次调查共抽查的学生人数为： （名）， 答：本次调查共抽查的学生人数是名； （2）解：被抽查学生中最喜爱篮球运动项目的学生人数为： （名）， 补全后的条形统计图如图所示， ， （3）解：估计该校名学生中最喜爱篮球项目的人数为： （名）， 答：估计该校名学生中最喜爱篮球项目的人数是名； （4）解：建议：因为最喜爱篮球项目的学生人数较多，建议学校适当增加篮球训练的器材和场地． 11．（24-25六年级下·上海宝山·期末）请阅读以下材料，并解决下列问题： 调查主题 某中学六年级春季社会实践活动需求 调查人员 每个班级男生和女生若干人 调查方法 抽查 背景介绍 某中学组织六年级学生前往上海5个活动场所中的一个参加社会实践活动，这5个活动场所为A：上海野生动物园；B上海千古情；C上海海昌海洋公园；D上海欢乐谷；E上海冰雪大世界雪上活动．被抽查学生针对六年级学生的意向目的地开展抽查并出具如下调查报告（注：每位被抽查的学生选择且只能选择1个意向前往的场所）． 报告内容（说明：以下仅展示部分内容） 问： （1）求本次被抽查的学生人数； （2）在扇形统计图中，表示D的扇形的圆心角是多少度； （3）请把条形图补充完整，意向去往A的学生人数比去往D的学生人数多百分之几． 【详解】（1）（人）， 答：本次被抽查的学生人数为100人； （2）在扇形统计图中，表示的扇形的圆心角是： ； （3）去往的学生人数为：（人）， 意向去往的学生人数比去往的学生人数多： ， ． 12．（24-25六年级下·上海金山·期末）科技兴则民族兴，科技强则国家强．为激发学生科学兴趣、培养创新精神和实践能力，学校组织了形式各样的科技节活动，为了解同学们对校园科技节中“航模制作、编程体验、机器人展示、科幻绘画”四项活动的参与情况，学校从全校学生中随机抽取了部分学生进行调研，并绘制了如下统计图，请回答以下问题并补齐条形统计图． (1)本次调查一共调查了________名同学，其中参与编程体验的同学占调查同学总数的________．（填百分数） (2)参与科幻绘画的同学在扇形统计图中所占的圆心角是________度． (3)若全校共有800名学生，估计全校参与“机器人展示”活动的学生人数为________名． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：（名）， 故答案为：，． （2）参与科幻绘画的同学在扇形统计图中所占的圆心角是 故答案为：． （3） 故答案为：． 13．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）小丽学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图： 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： (1)小丽同学共调查了 名居民的年龄； (2)扇形统计图中 ， （填写百分数），并补全条形统计图； (3)扇形统计图中，表示“年龄在0~14岁的居民”的扇形的圆心角度数是 ． 【详解】（1）解：被调查的居民的总人数：(人)． 故答案为：500． （2）解：岁居民所占的百分率：； 60岁以上居民所占的百分率：． 故答案为：，． 岁居民人数为：． 条形统计图如下： （3）解：扇形统计图中，表示“年龄在岁的居民”的扇形的圆心角度数是． 故答案为：． 14．（24-25六年级下·上海崇明·期末）笑笑想比较自己所在六（1）班的男生和女生跳绳成绩．体育课上，笑笑随机记录了六（1）班男生和女生各20名同学一分钟跳绳的个数．（单位：个/1分钟） 男生：89，96，103，92，77，87，109，97，45，92，76，128，98，57，112，79，91，104，164，198； 女生：132，120，118，97，102，127，91，115，104，114，131，56，165，98，72，137，150，98，159，148． (1)请按分数段整理数据表，并补全条形统计图．（注：这里的60～80表示大于等于60同时小于80） 个数/1分钟 60个以下 60～80 80～100 100～120 120～140 140个以上 男生 2 1 2 女生 1 5 (2)如果一分钟跳绳在120个以上（含120个/1分钟）算优秀，那么男生和女生的优秀率分别是多少？ (3)如果一分钟跳绳在100个以上（含100个/1分钟）算合格，那么合格的男生数比合格的女生数少百分之几？ (4)笑笑了解到上海中考体育跳绳评分标准为：男生4分钟内完成400个得满分（女生为405个），那么如何提高跳绳成绩，你有什么建议吗？ 【详解】（1）解： 个数/1分钟 60个以下 60～80 80～100 100～120 120～140 140个以上 男生 2 3 8 4 1 2 女生 1 1 4 5 5 4 （2）解：一分钟跳绳在120个以上（含120个/1分钟）的男生有3人、女生有9人， 男生的优秀率， 女生的优秀率， 答：男生和女生的优秀率分别是、； （3）解：一分钟跳绳在100个以上（含100个/1分钟）的男生有7人、女生有14人， 答：合格的男生比合格的女生少； （4）①坚持跳绳训练，②注重节奏和基础技巧，③强化核心肌肉（答案不唯一）． 15．（24-25六年级下·上海闵行·期末）六（4）班学生在综合与实践“中国的能源生产与消费”的探究活动后，班级分组开展“新能源车”的探索项目． 第一小组项目：新能源车的续航里程 新能源车的续航里程是指汽车在动力电池完全充电（仪表显示充满）的状态下，以一定的行驶情况连续行驶的最大距离．为调查1年及以内纯电动新能源车的续航里程，兴趣小组在社区内随机对纯电动新能源车的车主进行了问卷调查，并对这些纯电车的续航里程进行了收集、整理、描述和分析，对续航里程（单位：公里）数据分为5组（A：，，，D：，E：），绘制出新能源纯电车续航里程情况扇形统计图（图1）和新能源纯电动车续航里程条形统计图（图2）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）这次被调查的纯电车数量是________辆； （2）请将条形统计图补充完整并标上数字； （3）扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角度数为_________； （4）若该小区有500辆电动车，请估计续航里程满足公里的电动车数量为________辆． 第二小组项目：新能源车的充电基础设施 我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础设施布局也日渐完善，截至2024年底，我国新能源汽车保有量达3140万辆，占汽车总量的．以下是我国年公共充电桩数量情况统计图（图3）和2024年全国部分省份公共充电桩数量统计表． 2024年全国部分省份公共充电桩数量统计表 省份 数量（单位∶万台） 广东省 65.3 浙江省 27.9 江苏省 27.1 上海市 21.3 湖北省 16.6 北京市 14.3 根据查阅的信息，解答下列问题： （5）2024年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电数量的_______%（精确到1%）； （6）2024年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比值约为________（精确到0.1）； （7）小海说：2024年全国公共充电桩数量较前几年相比增加的数量最多，所以2024年全国公共充电桩数量的年增长率比2023年高，你同意他的说法吗？请结合统计图表说明你的理由． 【详解】解：（1）这次被调查的纯电车数量为， 故答案为：50； （2）组人数为（人）， 补全图形如下： （3）扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角度数为 故答案为：； （4）估计续航里程满足公里的电动车的数量为 （辆）， 故答案为：190． （5）2024年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的：， 故答案为：6； （6）2024年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比值约为万：万； （7）不同意，理由如下： 2023年的全国公共充电桩数量的增长率为：， 2024年的全国公共充电桩数量的增长率为：， 年全国公共充电桩数量的增长率比2024年高． 16．（24-25六年级下·上海黄浦·期末） 2024年8月14日，安徽省教育厅印发《关于做好义务教育阶段学校每天开设一节体育课的通知》，要求全省义务教育阶段所有公民办学校从2024年秋季学期开始必须每天开设一节体育课，上下午各开设一次30分钟大课间体育活动，保障学生每天两个小时体育活动时间．某校为贯彻落实该项政策，在日常课程中开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（A：篮球；B：足球；C：排球；D：羽毛球；E：乒乓球），学校随机对该校部分学生的选课情况进行调查，绘制成两幅不完整的统计图（如图所示）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次调查的学生总数是 人，选择羽毛球的学生人数为 人；请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，求B项目所对应的扇形圆心角的度数； (3)若该校有学生950人，请估计有多少学生选修了排球． 【详解】（1）解：（人）， 样本中喜欢“D：羽毛球”的人数为（人），补全条形统计图如图所示： 故答案为：50，12； （2）解：， 答：扇形统计图中扇形B的圆心角度数是； （3）解：（人）， 答：该校950名学生中喜欢C排球的学生大约有304人． 17．（24-25六年级下·上海青浦·期末）国务院发布《全民健身计划》后，某校兴趣小组为了解该校学生健身锻炼情况，通过调查，形成了如下调查报告． 调查目的 1．了解本校初中生每天健身活动的总时长；2．给同学提出更合理的健身活动建议． 调查方式 抽查 调查对象 部分初中生 调查内容 同学，你每天健身活动的总时长为（   ） A．小时；B．小时；C．小时；D．小时及以上 （每组含最小值，不含最大值）请根据自身情况选择最符合的一项，感谢参与！ 调查结果 AI      结合调查信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽查了_______名学生； (2)______；选择“”的扇形的圆心角为______； (3)根据以上信息，学校开展了丰富多彩的健身活动，一段时间后对原参与调查的同学追踪调查，数据发生了一定的变化，选“”的学生比原来增加了人，且选“”的学生和选“”的学生人数比为，求选“”的学生现有多少人？ 【答案】(1) (2)， (3)选“”的学生现有人 【详解】（1）解：（名） 故答案为：． （2）解：， ∴， ， ∴选择“”的扇形的圆心角为， 故答案为：，． （3）解：（人） 答：选“”的学生现有人． 题型5圆柱表面积、体积（高频压轴）（共3小题） 18．（24-25六年级下·上海宝山·期末）生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1），当把它的底面（包含上底面和下底面）和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆，侧面是一个长方形（如图2）． (1)一个有盖的圆柱形易拉罐，底面半径为，高为，做这个易拉罐至少需要多少面积的材料？（不计接缝，结果保留） (2)如图3，把一张长的长方形纸板剪成一个长方形和两个圆，正好可以做成一个有盖的圆柱形笔筒，那么这个圆柱形笔筒的底面半径是______；（不计接缝，取） (3)有一批铝材和塑料板，它们都是边长为的正方形，现用于制作底面半径为，高为的有盖圆柱形盒子，铝材用于制作圆柱形盒子的侧面，塑料板用于制作圆柱形盒子的底面．如果最大限度利用这批材料，且全部裁剪完这批材料后剪成的侧面和底面正好配套，则铝材张数与塑料板张数之比是______．（取） 【答案】(1) (2)3 (3) 【详解】（1）解：侧面积底面积得，， 答：制作这样一个易拉罐需要面积为平方厘米的材料； （2）解：设底面半径为， 长方形纸长是圆直径，是底面圆周长）， 因为，则， 解得， 故答案为： 3 ； （3）解：∵， ∴圆柱侧面积， 正方形铝材边长，一张铝材可做侧面个数：（取整）， 一个底面面积， 一个有盖圆柱需 2 个底面， 边长的正方形一行可剪圆的个数：，一列也 6 个， 一张塑料板可做底面个数：（ 2 个底面为一套）， 设铝材张，塑料板张， ∵侧面总数和底面总数配套，侧面总数，底面总数（一个盒子 2 个底面）， 则， ∴， 故答案为：． 19．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）． (1)小欣家直身杯的杯口直径为，她要制作高度为的杯套，则此杯套的面积为___________（结果保留）； (2)小欣发现阔口杯近似为圆台形状，如图3①所示，通过测量，杯子上口径，下底面直径，母线长、均为，为了制作此杯套，如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分． ①证明：弧与的长之比等于与之比． ②求圆心角的度数及杯套的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2)①见解析；②； 【详解】（1）解：， ∴此杯套的面积为． 故答案为：． （2）①证明：设圆心角， ， 则， ∴弧与的长之比等于与之比． ②解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴圆心角的度数为， ， ∴杯套的面积为． 20．（24-25六年级下·上海普陀·期末）综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器 实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分） 【任务一】如图，已知长方形铁皮的长为，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（取） 【任务二】如图1，用一块长为，宽为的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器． 方案A：如果以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图1上画出裁剪示意图．（标注尺寸，取3） 方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图2上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，取3） 【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，取3） 【答案】任务一：；任务二：见详解；任务三：方案B利用率更高 【详解】解：任务一：设圆柱底面圆半径为， 根据题意可得， 即， 解得：， 则这个圆柱形容器的体积． 任务二：方案A：根据题意可得， 故圆柱形容器的高， 该圆柱形容器的体积， 示意图如下： 方案B：以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长， 则， 故圆柱形容器的高， 示意图如下： 该圆柱形容器的体积， ， 故以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长时体积最大． 任务三：如图1，方案A剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，， ∵， ∴该半圆的半径为， ∴该半圆的面积， 利用率； 如图2，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，， ∵， ∴该半圆的半径为， ∴该半圆的面积， 利用率； ∵， 故方案B利用率更高． 题型6 圆柱圆锥体积综合（压轴）（共10小题） 21．（24-25六年级下·上海·期末）如图1，有一圆柱形容器，该容器的底面半径为，高为．如图2，有一实心铁圆柱，实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的，实心铁圆柱的底面半径与圆柱形容器的底面半径比是． (1)求该实心铁圆柱的体积．（结果保留π） (2)现有一底面半径为的注满水的圆锥容器，如图3，现将实心铁圆柱体放入圆柱形容器，将圆锥容器中的水全部注入圆柱形容器，注入的水刚好将实心铁圆柱体全部浸没，求该圆锥容器的高． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 答：该实心铁圆柱的体积为； （2）解：， ， 答：该圆锥容器的高为． 22．（24-25六年级下·上海青浦·期末）（1）如图1，求阴影部分面积．（结果保留） （2）如图2是从圆柱体中挖去一个圆锥后的剩余部分，请计算它的体积．（结果保留） 【答案】 （1） （2） 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： 答：阴影部分的面积为． （2）圆柱（圆锥）的底面积： 圆柱的体积：， 圆锥的体积：， 剩余部分的体积：， 答：剩余部分的体积为． 23．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为的扇形，如图，母线长． (1)求该圆锥形环保纸杯的底面直径； (2)如果该圆锥形环保纸杯的高为，求该圆锥形环保纸杯的体积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：（1）根据题意，得： 解得， 答：该圆锥形环保纸杯的底面直径d为； （2） 答：该圆锥形环保纸杯的体积为． 24．（24-25六年级下·上海·期末）某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体．如图，圆柱底面的直径是8米，高是3米，圆锥的高是3米，母线长5米．如果每立方米小麦约重750千克； (1)为确保粮食的安全性，需为粮囤定制外部防护材料，一个粮囤，要定制多大面积的外部包裹材料？（不含粮囤底部面积，不考虑损耗，π取3） (2)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库需要多少个这样的粮囤存储这些小麦？（π取3） 【答案】(1)要定制的外部包裹材料 (2)粮库需要10个这样的粮囤存储这些小麦 【详解】（1）解：圆柱和圆锥的底面圆的半径为：， ∴圆柱和圆锥的侧面积之和为：； 故要定制的外部包裹材料； （2）， ， （个）； 答：粮库需要10个这样的粮囤存储这些小麦． 25．（24-25六年级下·上海长宁·期末）蒙古包，作为蒙古族传统的居住形式，承载着浓厚的游牧文化和历史底蕴．它的上面近似于圆锥形，下面近似于圆柱形．如图，一个蒙古包圆柱底面的周长是米，高是米，圆锥的高是米． (1)蒙古包的上面圆锥部分的侧面展开图是_______（填图形名称）；下面圆柱部分的侧面展开图是_______（填图形名称），圆柱部分的侧面展开图的面积是_____平方米（结果保留）． (2)这个蒙古包的体积是多少立方米？（结果保留） 【答案】(1)扇形，长方形， (2)立方米 【详解】（1）解：蒙古包的上面圆锥部分的侧面展开图是扇形，下面圆柱部分的侧面展开图是长方形， ∵圆柱底面的周长是米，高是米， ∴圆柱部分的侧面展开图的面积为平方米， 故答案为：扇形，长方形，； （2）解：∵圆柱底面的周长是米， ∴底面圆的半径为米， ∴底面圆的面积为平方米， ∴蒙古包的体积 立方米， 答：这个蒙古包的体积是立方米． 26．（24-25六年级下·上海闵行·期末）学生活动节乐乐使用塑料制作了一个水火箭模型（如图），它的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要多少塑料（模型的底部是封闭的，取3.14，结果精确到）？ (2)模型的最大注水量大约是多少（取3.14，结果精确到）？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为圆柱的底面积为， 所以由可得：， 所以， 圆锥侧面积：， ， 圆柱侧面积： ， 总面积； 答：至少需要的塑料． （2）解：圆柱体积：， 圆锥体积：． 注水量：， 答：最大注水量大约为． 27．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民的传统居所，它简单实用，易于搭建和拆卸，极具民族特色，下图是“蒙古包”的示意图，其顶部为圆锥形，下半部分为圆柱形，已知圆柱的底面半径米，高米，圆锥的高米，母线米． (1)该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第______幅图绕其轴旋转一周而成；（填序号） (2)为了阻挡寒冷空气进入，蒙古包的侧面和顶部都由毛毡覆盖，若拼接处忽略不计，求制作一顶这样的蒙古包所需要毛毡的面积（结果保留）； (3)求这顶蒙古包的容积（结果保留）． 【答案】(1)② (2) (3) 【详解】（1）解：该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第②幅图绕其轴旋转一周而成； 故答案为：②； （2）解：圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， ． 答：制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要毛毡； （3）解：这顶蒙古包的容积． 28．（24-25六年级下·上海金山·期末）阿基米德是古希腊著名的数学家．他发现当“圆柱容球”时，球的体积正好是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱表面积的．（此题取） (1)已知，求圆柱的体积； (2)在（）的基础上，现有一规格大小与该圆柱完全相同的玻璃杯，置入一与图中球同样大小的冰球，冰球完全融化成水后，水与之前冰的体积比是，则融化后水的高度是多少厘米？ (3)若往（）中杯里垂直放入一个圆锥形铅锤，已知铅锤的底面半径是厘米，铅锤的高是厘米，求圆柱形杯中水面上升的高度是多少厘米？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴， 答：圆柱的体积为； （2）解：∵球的体积正好是圆柱体积的， ∴， ∵冰球完融化成水后，水与之前冰的体积比是， ∴， ∵圆柱的底面积为， ∴融化后水的高度是， 答：融化后水的高度是； （3）解：圆锥形铅锤体积为， 放入铅锤后，水的总体积增加了铅锤的体积， ∴， 答：圆柱形杯中水面上升的高度是． 29．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某施工场地有一条宽的道路需要用石子临时铺设，在另一处有一个圆锥形石堆，石堆的底面积是，石堆的高是．现在准备安排若干辆卡车去运回这堆石子来铺设道路． (1)用这堆石子在这条宽的道路上铺厚的路面，能铺这条道路多少？（结果保留两位小数） (2)一辆型卡车从施工场地出发前往石堆所在地，出发1.5小时后，一辆型卡车也从施工场地出发前往石堆所在地，当这辆型卡车又行驶1.2小时到达石堆所在地时，型卡车行驶的路程比施工场地与石堆所在地路程的少，已知型卡车与型卡车的速度比为，求施工场地与石堆所在地之间的路程是多少？ (3)在（2）的条件下，所有车辆均在施工场地，已知型卡车每辆满载可装石子，D型卡车每辆满载可装石子，每辆型卡车每油费0.6元，每辆型卡车每油费0.75元，现在施工场地有足够多的型卡车和型卡车，为了确保运石总油费支出最少，并且能够将石子全部运回施工场地铺路，应该怎样派卡车？ 【答案】(1)能铺这条道路米； (2)施工场地与石堆所在地之间的路程是千米 (3)需要辆型卡车，辆型卡车费用最小. 【详解】（1）解：石堆的体积立方米 而计算铺设道路所需的体积（体积 道路宽度 铺设厚度 道路长度）： 则道路长度：米 答：能铺这条道路米； （2）解：设总路程为千米， 型卡车的总行驶时间为：小时； 设型卡车的速度为千米时，则型卡车的速度为千米时，型卡车的行驶时间为小时， 根据题意，型卡车行驶的路程为：， 型卡车行驶的路程为：，即， 即， 解得：千米时， 千米， 答：施工场地与石堆所在地之间的路程是千米. （3）解：依题意，型卡车：立方米车；型卡车：立方米车，总石子体积：立方米． 型卡车的油费：元车， 型卡车的油费：元车， 每立方米石子的油费：型卡车：元立方米， 型卡车：元立方米， ∵， 为了最小化油费，应优先使用型卡车． ， ∴需要辆型卡车，辆型卡车费用最小． 此时总费用为：， 而派辆型卡车的总费用为：， ∴辆型卡车，辆型卡车费用最小符合题意； 答：需要辆型卡车，辆型卡车费用最小. 30．（24-25六年级下·上海青浦·期末）某地要修建一个如图1所示足球场，足球场的中间是一个长为宽为的长方形、两边为两个半圆形，建设过程中足球场场地要铺上一层厚的石灰土做垫层，如图2，石灰土堆放近似于一个圆锥，底面圆的直径为，高为．（π取3） (1)通过计算说明这堆石灰土是否够用？ (2)压路机的前轮直径是2米，轮宽是米，前轮每分钟转动2周，若4台压路机同时工作，将的长方形区域压完一次至少需要多少时间？（压路机掉头时间忽略不计，压路时无缝隙、无重叠） (3)计划由甲、乙两个工程队来共同铺设石灰土垫层，已知甲、乙两个工程队每天所铺设的面积之比为，实际铺设时，甲、乙两个工程队一起铺了7天后，乙工程队因故离开，由甲工程队又单独铺了2天，恰好将这足球场的石灰土垫层全部铺完，求甲、乙两个工程队每天各铺多少平方米？ 【答案】(1)这堆石灰土够用 (2)压完一次至少需要50分钟 (3)甲、乙两个工程队每天各铺500平方米、600平方米 【详解】（1）解：足球场需要石灰： （）， 石灰有： （）， ， 答：这堆石灰土够用． （2）4台压路机每分钟压过的面积为： （）， （分钟）， 答：压完一次至少需要50分钟． （3）设甲每天铺平方米，则乙每天铺平方米， 足球场的面积为： （平方米）， ， 解得：， 甲每天铺：（平方米）， 乙每天铺：（平方米）， 答：甲、乙两个工程队每天各铺500平方米、600平方米． 题型7 旋转体问题（压轴）（共3小题） 31．（24-25六年级下·上海闵行·期末）计算： (1)如图圆柱的表面积．（取） (2)如图图形旋转一周后形成图形的体积．（取） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 32．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）我们知道将一个直角三角形以它的一条直角边所在直线为轴顺时针（或逆时针）方向旋转一周所得到的立体图形是圆锥．如图（1）直角三角形中，． (1)直角三角形以它的一条直角边所在直线为轴顺时针（或逆时针）方向旋转一周得到一个立体图形，求这个图形的表面积；（本题结果保留） (2)直角三角形以边所在直线为轴顺时针（或逆时针）方向旋转一周得到一个立体图形如图（2），求这个图形的体积．（本题结果保留） 【答案】(1)这个图形的表面积为或 (2) 【详解】（1）解：直角三角形绕着它的一条直角边所在直线旋转一周可形成圆锥， 当以所在直线为轴时， ； 当以所在直线为轴时， ； 综上所述，这个图形的表面积为或； （2）解：过作的垂线，垂足为， ∵， ， ， 则旋转得到的两个圆锥组成的几何体的底面圆的半径为， ∴ 综上所述，这个图形的体积为． 33．（24-25六年级下·上海金山·期末）在炎炎夏日，椰青含有丰富的电解质，清热解渴，可改善干咳无痰，肺热等症状．一般采摘后会切成图1的样子，商家会用保鲜膜包装后装箱售卖，图2是“椰青”的形状图． (1)该“椰青”的形状图可以由图3中的图________旋转一周后得到； (2)商家用保鲜膜对每个椰青表面进行包装，9个椰青为一箱，考虑到保鲜膜在包装过程中会出现损耗，需要多准备，包装一箱椰青需要至少准备多少平方厘米保鲜膜？（精确到个位） 【答案】(1)① (2)包装一箱椰青需要至少准备平方厘米保鲜膜 【详解】（1）解：根据“椰青”的形状图，上部分是圆锥，下部分是圆锥， ∴可以由图3中的图①旋转一周后得到 故答案为：①． （2）解：表面积为：平方厘米 平方厘米 答：包装一箱椰青需要至少准备平方厘米保鲜膜． 题型8 二元一次方程组的特殊解法（压轴）（共4小题） 34．（24-25六年级下·上海虹口·期末）解方程组由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单．，得，所以③，，得④，，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请运用上述方法解方程组：； (2)请直接写出关于、的方程组（，是常数，）的解：______． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得：， 两边除以 4 ，得：③， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． （2）解：， 得：， 两边除以，得：③， 得：， 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． 故答案为：． 35．（24-25六年级下·上海·期末）对于任意一个三位数正整数（各个数位上的数字互不相同且都不为零），将三个数位上的数字交换顺序，可以得到5个不同的数，把这6个数的和与111的商记为的星河数．例如，可以得到243、324、342、423、432这5个不同的数，这6个数的和为，因为，所以234的星河数． (1)计算的值是________； (2)若和都是各个数位上的数字互不相同且都不为零的三位正整数，的十位和个位上的数字分别是6和3，3和7分别是的百位和个位上的数字，且的百位上的数字比的十位上的数字大3．若，则的值________． 【答案】(1) (2)890 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：设，则：， 则：， ， 由得：， 解得：，则， ∴． ∴． 36．（24-25六年级下·上海宝山·期末）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， 设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵， 设， ∴原方程化为：， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得； 37．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 题型9 二元一次方程组参数问题（压轴）（共4小题） 38．（24-25六年级下·上海·期末）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【详解】（1）解：∵，且均为正整数， ∴或； （2）∵， ∴， ∴当时，方程成立， ∴， 即：不论为何值，方程总有一组解为． （3）联立，解得：； 把代入，得：， 解得：； （4）， ，得：， ∴， ∵均为整数， ∴或， ∴或． 39．（24-25六年级下·上海·期末）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． (1)方程组的解x与y________（填“具有”或“不具有”）“邻好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； (3)未知数为x，y的方程组其中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有 (2)或 (3)存在；，方程组的解为 【详解】（1）解：， 方程②可变为， 用得：，解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为， ∴， ∴方程组的解x与y具有“邻好关系”， 故答案为：具有； （2）解： ， 用得：， 解得：， 把代入①得：， 解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， ∴，即， ∴或， ∴或； （3）解：， 用得：，解得， 把代入到②得：， 解得， ∴方程组的解为， ∵a与x，y都是正整数， ∴是正整数， ∴一定是12的正因数， ∴的值可以为3或4或6或12， 又∵也是正整数， ∴的值可以为3或4， ∴a的值可以为1或2， 当时，方程组的解为， ∴此时，即此时该方程组的解x与y具有“邻好关系”； 当时，方程组的解为， ∴此时，即此时该方程组的解x与y不具有“邻好关系”； 综上所述，存在，方程组的解为时，该方程组的解x与y具有“邻好关系”． 40．（24-25六年级下·上海青浦·期末）对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)下列方程组是“开心”方程组的是________（只填写序号）； ；； (2)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值； (3)若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵中的， 故不是“开心”方程组； ∵中的 ∴是“开心”方程组； ∵， ∴， 把代入， 得， 解得， 把代入， ∴， ∵， 故不是“开心”方程组； 故答案为：． （2）解：∵， ∴两式子相加得， 整理得， ∵关于，的方程组是“开心”方程组， ∴， 即， 解得或； （3）解：关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴ 即把代入， 得 整理得， ∴， 故或， 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 当时，； ∵， ∴， 则， 整理得， ∵对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组， ∴， 即， 则 ∴， 此时； 综上：的值为或． 41．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）阅读材料；对于未知数为的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差”．例如：方程组的解为，由于，所以其解距为2；方程组的解为，由于，所以其解具有“单位差”． (1)判断方程组的解是否具有“单位差”并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解距是整数，写出所有满足条件的整数． 【详解】（1）解：方程组的解具有“单位差”，理由如下： ， ，得， 将代入得，， 解得， ∴， ∴方程组的解具有“单位差”； （2）解：， 得，， ∴， ∴由可得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”， ∴， 解得或； （3）解：， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， ∴ ∴解距， ∵关于x，y的二元一次方程组的解距是整数， ∴或， 解得或或或． 题型10 二（三）元一次方程组的实际应用（压轴）（共3小题） 42．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）中国足球超级联赛是中国大陆地区最高级别的职业足球联赛．本联赛的积分规则采用国际通行的胜一场积3分、平局各积1分、负者积0分的标准． (1)A球队以不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分，该球队胜负各多少场； (2)B球队完成了13场比赛，获得了32分，求该球队胜、平、负各多少场． 【答案】(1)A队赢了7场，平了5场 (2)B队赢了10场，平了2场，负了1场 【详解】（1）解：设球队赢了场，平了场．由题意可列方程组： ，解得： 答：A队赢了7场，平了5场． （2）解：设队赢了场，平了场． 由题意可列方程：， 枚举可得方程的非负整数解为， 因为共踢了13场比赛， 所以， 所以， （场）， 答：B队赢了10场，平了2场，负了1场． 43．（24-25六年级下·上海金山·期末）阅读下列材料：名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中的“筹”原意是指“算筹”，算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．如图1，在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式、百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如果将算筹图从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数，据此图2可以列出方程为：． 请你根据上述材料中的方法，完成下列任务： 任务一： （1）根据图3和图4分别列出两个方程，并求出这两个方程的公共解； 任务二： （2）如图5，此算筹图表示一个二元一次方程组，但其中有一个符号不小心被墨水覆盖了，若前两个符号分别代表方程组中未知数，的系数，且图5所表示的方程组中的值为，请你求出被墨水覆盖部分符号所表示的数． 【答案】（1）图3：，图4：，两个方程的公共解为，；（2） 【详解】解：（1）由图3得，①， 由图4得，②， 将这两个方程组成方程组得：， 将①②，得：， 解得：， 将代入②，得：， 解得：， ∴这个方程组的解是， 即这两个方程的公共解是，； （2）设被墨水所覆盖部分所表示的数是， 由题意得，图5中表示的方程组可表示为， 由题意可知，， 将代入①，得：， 解得：， 将，代入②，得：， 解得：， ∴被墨水所覆盖部分的符号所表示的数是． 44．（24-25六年级下·上海松江·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某体育用品商场销售、两款足球．该商场3月份购进20个款足球和40个款足球共需4400元；4月份购进10个款足球和30个款足球共需花费3000元．            素材2 该商场决定5月份再购进一批、款足球（、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款为4800元．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 （1）求该商场购进款、款足球的单价分别为多少元？ 任务2 （2）如果5月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，那么5月份该商场购进、、款足球各多少个？（写出所有的购买方案） 【答案】（1）该商场购进款、款足球的单价分别为元和元（2）方案1该商场购进A、、款足球分别为51、15、27个；方案2该商场购进A、、款足球分别为30、30、30个；方案3该商场购进A、、款足球分别为9、45、33个． 【详解】解：（1）设该商场购进款、款足球的单价分别为元和元，由题意，得： ， 解得：， 答：该商场购进款、款足球的单价分别为元和元； （2）设5月该商场购进A款足球个、款足球个， 根据促销方案：买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球， ∵5月商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案， ∴购进款足球个． 根据题意，得， 化简，得． ∴， ∵A、两款足球都需要购买，、均为正整数， ∴解得，，． 答：方案1该商场购进A、、款足球分别为51、15、27个； 方案2该商场购进A、、款足球分别为30、30、30个； 方案3该商场购进A、、款足球分别为9、45、33个． 45．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹 (2)快递车的总配送路程是千米 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 46．（24-25六年级下·上海闵行·期末）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解3棵A种树木、4棵B种树木的售价共计155元；4棵A种树木、3棵B种树木的售价共计160元． (1)求A、B两种树木每棵的售价分别为多少元？ (2)若该学校计划用400元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且400元全部用完），问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． 【答案】(1)A，B两种树木每棵的售价分别为25元，20元 (2)共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进4棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进8棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进12棵，B种树木购进5棵 【详解】（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得； 答：A，B两种树木每棵的售价分别为25元，20元． （2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵， 根据题意，得，即， ∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数， ∴或或， 答：共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进4棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进8棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进12棵，B种树木购进5棵． 47．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元 (2)方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台，方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台，方案三：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， ， 解得， 答：型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元． （2）解：设购买型号的汽车台，型号的汽车台， ，即， 、均为正整数， 或或， 方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台， 方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台， 方案一：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 48．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某商场销售、两种商品，若购买种商品3件和种商品2件，需花费60元，若购买种商品5件和种商品3件，共需花费95元． (1)求、两种商品单价各是多少元？ (2)学校开运动会准备购买、两商品共100件，现种商品单价不变，种商品打八折出售，为此学校共花费1100元，求购买种商品的数量． 【答案】(1)、两种商品单价各是10元、15元 (2)购买种商品50件 【详解】（1）解：设、两种商品单价各是元、元， ， 解得，， 答：、两种商品单价各是10元、15元； （2）解：设购买种商品件， ， 解得，， 答：购买种商品50件． 49．（24-25六年级下·上海宝山·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元 (2)有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型 【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元； （2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型， 根据题意得， ， ，均为正整数， 当时，； 当时，， 有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 50．（24-25六年级下·上海闵行·期末）今年五一假期，学校号召大家开展丰富的小队活动．六（3）班小海团队共16人（包含部分家长及学生）一起到某景区游览，小海负责在网上进行预约，并提前购票． 网络提示购票信息有如下4条： A．成人票：全价票，每张80元； B．学生票：是全价票的一半； C．团体票：20人及以上，按全价票的六折优惠； D．若退票，将扣除购票款的． (1)小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元．问小海团队家长和学生各几名？ (2)小海支付1000元购票价后，碰到还没有购票的乐乐团队，他们是2名家长和4名学生．他们发现退票后所有人都购买团体票更合算，请计算小海团队重新购票能节省多少元． 【答案】(1)家长有9名，学生有7名 (2)132元 【详解】（1）解：设小海团队家长有x名，学生有y名， 由题得： 解得：， 答：小海团队家长有9名，学生有7名 （2）小海团队与乐乐团队合并后总人数为（人），满足20人及以上的团体票条件， 因此小海团队的16人可按团体票价购买， （元）， （元）， （元）． 答：重新购票后能节省132元． 51．（24-25六年级下·上海闵行·期末）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 【答案】（1）18；（2）450元 【详解】解：（1）②+①得，③， 得，， 所以，的值为18； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元， 由题可得， 得：， 所以，， 答：购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元． 52．（24-25六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)或或，补全幻方见解析 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得： ， 解得：； （3）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∵m，a为正整数， ∴或或， 当时， 第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15， 每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36，如图 9 16 11 14 12 10 13 8 15 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 53．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 【答案】(1)生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个 (2)分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套 (3)能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个 【详解】（1）解：设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 答：生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个． （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板． 根据题意，得， 解得，（人） 答：分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． （3）①如果剩余两张正方形纸板：由（1）可知能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个； ②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 所以能生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个； ③如果剩余两张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 则能生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 综上所述：能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 54．（24-25六年级下·上海·期末）现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”． 例如，，则称“关联”了 (1)下列数对中被“关联”的有______； ①，②，③，④ (2)若同时被和“关联”，请求出p，q； (3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对． 【答案】(1)①④ (2) (3) 【详解】（1）解：①， ∴被“关联”； ② ∴未被“关联”； ③ ∴未被“关联”； ④ ∴被“关联”； 故答案为：①④； （2）解：根据题意得， 解方程组得； （3）解：根据题意得， 得，即， 将代入①得， 将和代入③得， ， 根据题意可得， ， 整理得， 将代入得，， ∴， 解得， 所以，数对为． 55．（24-25六年级下·上海·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【答案】（1）2760；（2），；（3）434元，建议：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【详解】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时． ． ． ． ． ； （2）由题意得：． 解得：． 答：，； （3）（千瓦时）． （元． 答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．建议是：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 56．（24-25六年级下·上海宝山·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【详解】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块。 1．你知道“木桶效应”吗？它是指一只平放的木桶能装多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板．如图能直观形象地说明“木桶效应”蕴含的道理． (1)从木桶内部测量的数据，如下图所示．当木桶平放时最多能装水多少立方厘米？ (2)“新木桶效应”则是一只木桶能够装多少水，并不完全取决于短板，而是可以创新地发挥长板的作用，比如把木桶斜放能装的水更多．如果把这个木桶斜放（如图），这时水桶最多能装水多少立方厘米？ 【答案】(1)当木桶平放时最多能装水立方厘米； (2)把这个木桶斜放，最多能装水立方厘米． 【分析】本题考查圆柱的容积． （1）根据圆柱体的容积公式计算即可； （2）将水所占的空间几何体进行分割，重新组合，按照圆柱体的体积公式计算即可． 【详解】（1）解： （立方厘米） 答：当木桶平放时最多能装水立方厘米． （2）解： （立方厘米） 答：把这个木桶斜放，最多能装水立方厘米． 2．某同学在两家超市发现他看中的复读机的单价相同，书包单价也相同，复读机和书包的单价之和是452元，且复读机的单价比书包的单价的4倍少8元． (1)这种复读机和书包的单价各是多少元？ (2)某一天，该同学上街，恰好赶上商家促销：超市所有商品打八折销售，超市全场购物每满100元，返回购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用）．但他只带了400元钱，他能买下这两样物品吗？在哪一家超市购买更省钱？ 【答案】(1)复读机单价是360元，书包单价是92元 (2)都能买下这两样物品，在A超市购买更省钱 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用以及最优化方案问题，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设该同学看中的复读机单价是元，书包单价是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案； （2）结合题意分别计算在超市A、超市B买下看中的这两样商品所需费用，即可获得答案． 【详解】（1）解：设复读机单价是元，书包单价是元， 根据题意，可得，解得， 答：复读机单价是360元，书包单价是92元； （2）解：根据题意，在超市A买下看中的这两样商品，费用为（元）， 在超市B先买下复读机，可得， （元）， 因为都不过400元， 所以在这两家超市都可以买下看中的这两样商品， 由于， 所以在A超市购买比较省钱． 3．某区投入一笔资金改善某中学办学条件，计划拆除一部分旧校舍，另建一批新校舍．拆除旧校舍每平方米需500元，建造新校舍每平方米需2000元．计划在年内拆除的旧校舍面积与建造的新校舍面积共，在实施中为了扩大绿化面积，拆除的旧校舍的面积比原计划增加了，建造的新校舍的面积为原计划的，结果实际拆除的旧校舍和建造的新校舍的总面积和原计划相等． (1)原计划拆除旧校舍和建造新校舍各多少平方米？ (2)已知绿化需300元，如果将在实际完成的拆、建工程中比原计划节约的资金用来增加绿化面积，那么可增加绿化面积多少平方米？ 【答案】(1)原计划拆除旧校舍400平方米，建造新校舍600平方米 (2)可增加绿化面积300平方米 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）设原计划拆除旧校舍x平方米，建造新校舍y平方米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）先算出计划的资金总量和实际所用的资金总量，然后算出节余的钱，然后除以300可求可绿化的面积． 【详解】（1）解：设原计划拆除旧校舍x平方米，建造新校舍y平方米， 根据题意，， 实际拆除旧校舍面积为， 实际建造新校舍面积为， 实际总面积与计划相同，故， 则， 解得：， 答：原计划拆除旧校舍400平方米，建造新校舍600平方米． （2）解：原计划资金：拆除费用（元）， 建造费用（元）， 总资金（元）， 实际拆除面积（平方米），费用（元）， 实际建造面积（平方米），费用（元）， 实际总费用（元）， 节约资金（元）， 绿化每平方米300元，可增加绿化面积（平方米）， 答：可增加绿化面积300平方米． 4．为弘扬中华优秀传统文化，某校决定开设民族器乐选修课．为了更贴合学生的兴趣，该校对学生最喜欢的一种民族乐器进行抽查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图：请根据图（1）和图（2）提供的信息，回答下列问题（前3问直接写出结果，第4问写出解答过程）： (1)在这次抽查中，共抽查了___________名学生； (2)扇形统计图中，“古琴”部分所对应的扇形的圆心角为___________．； (3)选择“古筝”的学生比选择“琵琶”的学生多___________%； (4)该校计划将喜爱“古琴”的学生按的比例分配到校民乐社团的演奏组和创作组，同时从喜爱“其他”乐器的学生中调若干人到创作组，使创作组总人数比演奏组的总人数少，求从“其他”乐器中调到创作组的人数． 【答案】(1)200名 (2) (3)25 (4)从其他乐器中调到创作组的人数是3人 【分析】（1）根据统计图可进行求解； （2）由（1）可知“古琴”的百分比，然后问题可求解； （3）根据题意得到“古筝”和“琵琶”的百分比，然后问题可求解； （4）根据题意进行求解． 【详解】（1）解：由统计图可知： 在这次抽查中，共抽查了名学生； （2）解：由题意可知：“古琴”部分所对应的扇形的圆心角为； （3）解：由题意得：； （4）解：演奏组的总人数为（人），创作组的人数为（人）， 所以创作组的总人数为（人）， 则从“其他”乐器中调到创作组的人数为（人）． 5．定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)； (3)2025 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“对称方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“对称方程”为， 联立得， 解得， 故答案为：，； （2）解：方程的“对称方程”为， 联立得， ∵方程组的解为， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得，即， ∴ ， 6．某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体，如图，圆柱底面的半径是8米，高是3米，圆锥的高是3米．如果每立方米小麦约重750千克． (1)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库至少需要多少个这样的粮囤存储这些小麦（取3）? (2)由于粮囤使用多年，需要对所有粮囤进行翻新维修，粮库将此工程承包给甲乙两个队，甲工程队单独修需要8天，甲工程队单独完成需要的时间比乙工程队单独完成时间少，现在两队同时进行维修几天后，乙队因有其他任务调走，余下的工程量甲工程队需要3天时间完成，乙工程队维修了几天？ (3)若在（2）的条件下，已知每天甲工程队的费用是900元，每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，维修所有粮囤后，请你计算出甲乙两队的总费用． 【答案】(1)10个 (2)乙工程从维修了3天 (3)7200元 【分析】该题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，工程问题以及比例的应用，解答的关键是掌握圆柱和圆锥的体积计算公式，以及由题意得出等量关系式； （1）先算出圆柱半径，根据半径算出粮囤体积，得出一个粮囤存储小麦数量，再用1440吨除以一个粮囤存储小麦数量即可求出； （2）先算出乙工程队单队完成时间，甲乙各自的工作效率，设乙工程队维修了x天，列出方程求解即可； （3）设乙工程队的费用为元，根据每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，列出比例式求解即可解答； 【详解】（1）圆柱半径： 粮囤体积为：， 一个粮囤存储小麦数量为：， 个； （2）乙工程队单队完成时间为：天， 甲工作效率为：，乙工作效率为： 设乙工程队维修了x天，由题意得，， 解得：， 答：乙工程从维修了3天； （3）设乙工程队的费用为元， 解得：， 由（2）知甲工程队维修了天，乙维修了3天， 甲乙总费用：元； 7．【综合与实践】 如图甲，这是地理模型中的“三球运动模型”，该模型是通过齿轮连杆传动来模拟地球、月球、太阳之间的运动关系．通过地理课的学习，我们知道地球绕太阳旋转的方向与月球绕地球旋转的方向是一致的．地球绕太阳公转一圈为一年，月球绕地球公转一圈为一月． (1)通过图乙的结构介绍，我们发现该模型主要由两组齿轮模型组成，分别是图丙和图丁． 【剖析原理】 齿轮传动方式 转动圈数比 转动方向 外啮合传动（图丙） 例如：大齿轮为120齿，小齿轮为10齿，则大小齿轮转动圈数比为__________ 大小齿轮转动方向__________（填“相同”或“相反”） 同轴联动传动（图丁） 大小齿轮转动圈数比为 大小齿轮转动方向始终一致 (2)【制作模型】学生根据原理制作了以下A、B、C三种不同的齿轮传动模型根据展示的三种齿轮传动模型方案，请回答： A．B．C． ①根据A、B、C三张图中标注的齿轮齿数，在连杆逆时针转动时（轴固定在底座上），则B图中地球模型与月球模型的转速比为__________； C图中地球模型与月球模型的转速比为__________． ②根据地、月公转比为1∶12的地理知识，A、B、C三张图中既能正确模拟地、月公转周期比，又能正确模拟地、月公转方向的是__________（填字母）． 【答案】(1)；相反 (2)①，；②图C 【分析】本题考查比的意义，不同连接方式的齿轮转速比，转动的方向； （1）外啮合传动（图丙），两个齿轮转动的齿数相同，即大齿轮转动的齿数等于小齿轮转动的齿数，据此可求出大小齿轮转动圈数比，观察图丙可得，大小齿轮转动方向相反； （2）①B图中轴与轴通过120齿的齿轮与40齿的齿轮啮合，轴与轴通过80齿的齿轮与40齿的齿轮啮合，根据外啮合传动和同轴联动传动特点可求出地球模型与月球模型的转速比，C图中轴与轴通过120齿的齿轮与40齿的齿轮啮合，轴与轴通过40齿的齿轮与10齿的齿轮啮合，据此可求出地球模型与月球模型的转速比；②由地理知识可得：地、月公转比为1∶12，且公转方向一致，图C地球模型与月球模型的转动方向一致，且地球模型与月球模型的转速比为，符合题意． 【详解】（1）解：∵外啮合传动（图丙），两个齿轮转动的齿数相同，即大齿轮转动的齿数等于小齿轮转动的齿数， 又∵大齿轮转动一圈为120齿，小齿轮转动一圈为10齿， 又∵， ∴大齿轮转动1圈会带动小齿轮要转动12圈， ∴图丙中大小齿轮转动圈数比为，即外啮合传动的齿轮的转速比会等于齿数的反比， 观察图丙可得，大齿轮顺时针向右转动会带动小齿轮逆时针向左转动，反之亦然， ∴图丙中大小齿轮转动方向相反． （2）解：①B图中轴与轴通过120齿的齿轮与40齿的齿轮啮合，轴与轴通过80齿的齿轮与40齿的齿轮啮合，如图所示： 由外啮合传动的特点可得：轴转动1圈会带动轴转动（圈）， 又∵轴上的两个齿轮为同轴联动传动， ∴轴上的80齿的齿轮也会转动3圈， ∴轴会带动轴转动（圈），即为月球模型的转速， ∵地球模型通过底部的连杆与轴相连，即地球模型的转速与轴相同， ∴B图中地球模型与月球模型的转速比为， C图中轴与轴通过120齿的齿轮与40齿的齿轮啮合，轴与轴通过40齿的齿轮与10齿的齿轮啮合，如图所示： ∴轴转动1圈会带动轴转动（圈）， ∴轴会带动轴转动（圈），即为月球模型的转速， ∵地球模型通过底部的连杆与轴相连，即地球模型的转速与轴相同， ∴C图中地球模型与月球模型的转速比为． ②由地理知识可得：地、月公转比为1∶12，且公转方向一致， 如图A所示： ∵地球模型通过底部连杆与轴相连， ∴地球模型与轴转动方向相同， ∵月球模型通过大小齿轮与轴外啮合， ∴月球模型与轴转动方向相反， ∴图A地球模型与月球模型的转动方向不一致，不符合题意， ∵B图中地球模型与月球模型的转速比为， ∴图B模型不符合题意， 如图C所示： ∵地球模型通过底部连杆与轴相连， ∴地球模型与轴转动方向相同， ∵月球模型通过大小齿轮先与轴外啮合，再与轴外啮合， ∴月球模型与轴转动方向相同， ∴图C地球模型与月球模型的转动方向一致，且地球模型与月球模型的转速比为，符合题意， ∴图C既能正确模拟地、月公转周期比，又能正确模拟地、月公转方向． 8．请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮，前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进，变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为，后齿轮齿数为，后轮直径厘米． (1)计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿________． 若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)小明想在上坡时调到最省力的齿轮组合，应选择前齿轮齿数为________，后齿轮齿数为________；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动________圈． 小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明每分钟蹬多少圈？ 【答案】(1)；符合条件的齿轮组合是前齿轮齿数为，后齿轮齿数为； (2)，，；自行车每小时行驶的最大距离是； (3)小明每分钟蹬圈． 【分析】（）根据题意化简比，即可求解； 根据比的性质求出组合，根据比例式验证，即可求解； （）根据传动比越小越省力，传动比前齿轮齿数后齿轮齿数，所以选最小前齿轮、最大后齿轮：即前齿轮齿，后齿轮齿； 要行驶距离最大，需选最大传动比，即前齿轮齿，后齿轮齿，则最大传动比为，从而求解； （）先转化单位，设小明每分钟蹬圈，则一小时后轮总转数为，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：前齿轮齿后齿轮齿， 故答案为：； ∵传动比为， ∴前齿轮齿数后齿轮齿数， 当前齿轮齿数为齿时，，不符合题意； 当前齿轮齿数为齿时，，后齿轮齿数存在，符合题意； 验证：， ∴符合条件的齿轮组合是前齿轮齿数为，后齿轮齿数为； （2）解：因为传动比越小越省力，传动比前齿轮齿数后齿轮齿数， 所以选最小前齿轮、最大后齿轮：即前齿轮齿，后齿轮齿，蹬圈脚踏，前齿轮转圈，后轮转动圈数（圈）， 故答案为：，，； 要行驶距离最大，需选最大传动比，即前齿轮齿，后齿轮齿， ∴最大传动比为， ∵后轮直径，后轮周长， 小时共蹬脚踏：（圈），后轮总转数：（圈）， 总路程：， 答：自行车每小时行驶的最大距离是； （3）解：， 设小明每分钟蹬圈，则一小时后轮总转数为， 根据题意得：， 解得：， 答：小明每分钟蹬圈． 9．在大自然中，藏着一组神奇又和谐的数字规律，从花朵的花瓣排布，贝壳的纹路，蕨类植物的生长，到建筑物，艺术作品的大小设计，都能找到它的身影．如图，以中间最小的边长为1的两个正方形为起点，依次按图中规律画出另外5个正方形，以O为圆心，1为半径画出两段长度相同的弧，，再分别以点A、B、C、D、E为圆心依次画出弧，、、、，按此规律继续画下去，就能得到著名的“黄金螺旋”． (1)请求出图中已画出的黄金螺旋线的长度（结果保留）； (2)如图，将此图形裁切下来，剪掉阴影部分，请求出剪出的“贝壳”图形的面积（结果保留）； (3)为什么将此曲线称为“黄金螺旋”？请按要求填空并完成猜想： ，，，，，，______（填分数）=______（填小数，小数点后保留三位，，信息自己推导），以此类推，我们猜测第n条弧长与第条弧长的比值逐渐接近于______（保留2位小数），此数接近于著名的黄金分割数，它广泛应用于建筑、艺术等领域，可以使作品达到最和谐的视觉效果． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）分别求出弧，，，、、、的半径，再根据各弧长等于对应圆周长的求出各弧长，求和即可解答； （2）剪出的“贝壳”图形可看作由5部分组成，分别求出各部分的面积，再求和即可； （3）分析弧，，，、、、的半径的规律，得到弧，的半径，求出弧长，即可解答． 【详解】（1）解：弧的半径为1，弧长为， 弧的半径为1，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 所以画出的黄金螺旋线的长度为． （2）解：弧，，所在的正方形组成的长方形的面积为， 弧所在的扇形（即①部分）的面积为， 弧所在的扇形（即②部分）的面积为， 弧所在的扇形（即③部分）的面积为， ④部分的面积为， 所以剪出的“贝壳”图形的面积为 （3）解：由（1）有： 弧的半径为1， 弧的半径为1， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 以此类推， 弧的半径是弧与弧的半径之和，即为， 弧的半径是弧与弧的半径之和，即为， 所以弧的长为，弧的长为， ， 以此类推，猜测第n条弧长与第条弧长的比值逐渐接近于． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $