解三角形中的恒等式证明问题-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册解三角形期末备考11

**基本信息** 聚焦解三角形恒等式证明，通过教材原题与综合训练结合，构建从基础定理到多方法证明的知识逻辑链，培养逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|6道教材原题（含角平分线、中线等）|基础定理应用证明|立足教材核心定理（余弦定理等）构建证明基础| |跟踪训练|13道解答题（含3种证法、射影定理证明等）|综合恒等式推导与多方法论证|融合正弦定理、向量工具形成从基础到综合的证明能力链，体现逻辑推理素养|

永年二中高一数学必修二解三角形期末备考11 测试范围：解三角形中的恒等式证明 【回归教材】 【人教A版必修二习题6.4第16题】在中，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用余弦定理的推理将左边的余弦式进行角化边，化简整理即可得到右边. 【详解】根据余弦定理的推论， 得左边 右边，故等式成立. 【点睛】本题考查了余弦定理的推理的应用，考查了证明等式的方法及推理论证能力，属于基础题. 【人教B版2019年数学必修四P21页第9题】已知D是斜边BC上一点，，记。（1）求证：；（2）若，求的值。 【详解】（1），即， （2）在中，由正弦定理得， ，由（1）得， 即，解得或，. 【人教B版2019年数学必修四P21页第10题】已知锐角中，， (1)求证：；(2)设，求AB边上的高. 【详解】（1）由，得，即，两式相除得，所以. （2）在锐角中，，，则，， 即有，将代入上式并整理得，而，解得，，设边上的高为，则， 由，得，所以边上的高等于 【人教B版2019年数学必修四P6页例6】如图所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求证；. 【详解】证明：如图,设,,则由题意可知,.在△ABD和△ADC中,分别应用正弦定理,可得,,两式相除即可得. 【人教B版数学必修四第9.1.2节例5】在中，求证：。 证明：法一：根据余弦定理，右边左边,所以． 法二：在中，有,所以， 所以,即。 法三：在中，∵，， ∴ ，∴. 【苏教版年数学必修二P88页例6】如图，已知AM是中BC边上的中线．求证：． 【详解】因为AM是中BC边上的中线，所以， 因为，所以 ， . 【跟踪训练】 一、解答题 1．请用三种方法证明余弦定理． 【答案】证明见解析 【分析】方法一：利用向量法，结合长度的向量表示以及向量数量积定义和运算律即可证明余弦定理； 方法二：建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式的坐标表示化简计算即可证得余弦定理. 【详解】方法一：向量法 在中，记角所对应的边分别为，设向量，则，如下图： 由向量模长可得 即可得，同理可证明其他两种形式，即；； 方法二：坐标法 在中，记角所对应的边分别为，以为坐标原点，边沿轴正方向，建立平面直角坐标系，如下图： 则，易知点的坐标为，因此可得的边长为，将上式两边同时平方可得， 又，所以可得 同理可证明其他两种形式，即；； 方法三：作高法（以角A为标准分锐角、直角、钝角三角形） 如图，在中，过点A作，垂足为D．设， 则．在直角三角形ABD中， 由勾股定理得，整理得． 同理可得． 2．在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用余弦定理，，将这两个等式相减，计算所求等式的左边，结合正弦定理得到左边等于右边，从而得到证明. 【详解】由余弦定理得，， 得，即， 变形得，由正弦定理，得，， 即.则等式成立. 3．（1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用余弦定理化简即得证； （2）利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式代入化简，利用同角的基本关系式化弦为切即可得证. 【详解】（1）由和余弦定理，可得，化简得：，即得； （2）由和正弦定理，可得， 因，代入上式并整理得：(*)， 因是的内角，故，，将（*）两边同除以，可得. 4．已知分别为的三个内角的对边，. (1)求A； (2)若，证明：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，可得，利用余弦定理即可求得答案； （2）利用正弦定理边化角，化简，可得，结合辅助角公式化简可求得角B以及角C，利用直角三角形性质即可证明结论. 【详解】（1）由题意，由正弦定理可得， 即，故 ，而，故. （2）证明：因为，由正弦定理可得， 即,所以，即， 因为，则，故， 故在中，. 5．任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”，即：在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，则，，． (1)用余弦定理证明：； (2)用正弦定理证明：； (3)用向量的方法证明：． 【分析】（1）由余弦定理边角互化即可化简求证， （2）由和差角公式结合正弦定理边角化即可求证， （3）由向量的线性表示，结合数量积的运算即可求证. 【详解】（1）证明：根据余弦定理，右边左边,所以． （2）证明：△中有，则 所以，由正弦定理,得． （3） 证明：中有,所以，所以, 即 6．记内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． 求证：①；②； 【答案】① 证明见解析；②证明见解析 【分析】①先化简原等式，然后由正弦定理得到，然后根据余弦定理进行化简即可.②由①的结果利用正弦定理化简即可证明. 【详解】①由，得， 所以，由正弦定理得，     由余弦定理得，所以． ②由，得，     所以，所以． 7．在中，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）利用正弦定理边化角推理即得. （2）利用余弦定理推理即得. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，其中为外接圆半径， 所以. （2）在中，由余弦定理得，即， 同理，，所以， 即. 8．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且 (1)求证：； (2)若的面积为，求. 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理得到，使用余弦定理得到，两式联立求出；（2）利用面积公式得到，结合第一问的，得到. 【详解】（1）因为,所以， 整理为，因为，所以，所以， 由正弦定理得：，由余弦定理得：，即， 将代入上式，可得： （2）由面积公式得，所以，结合第一问的，可得， 因为，所以. 9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一，由正弦定理得到，，结合化简得到，证明出结论； 方法二：，由正弦定理得到，，，结合余弦定理得到，因为，所以，证明出结论； （2）根据和（1）中结论得到，，由正弦定理得到，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】（1）方法一：，由正弦定理得， 故，由正弦定理可知，又，所以， 所以， 所以．因为，所以．又， 所以．又，所以． 方法二：由，由正弦定理得， 故，由正弦定理可知，因为，所以，即，所以根据正弦定理，得． 又，所以结合余弦定理，得， 所以，则，即， 由，可得，所以． 又，所以．又，所以． （2）由（1）知，又，，所以，． 由正弦定理，知，所以，， 故的面积． 10．如图，已知△ABC内有一点P，满足． (1)证明：． (2)若，，求PC． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由正弦定理得，即，即要证明即可，由此利用三角形内角和证明可得结论； （2）由题意求得，继而求得，在 中利用余弦定理求得，即可求得答案. 【详解】（1）证明：在△ABP中，由正弦定理得，即， 要证明，只需证明，在△ABP中，， 在△ABC中，，所以， 所以，所以． （2）由（1）知，又因为，，所以， 由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以，则， 所以在△PBC中，，由正弦定理得， 即，即．由余弦定理得， 由题意知，故解得，所以． 11．如图所示，是Rt的斜边上一点，，记，． (1)求证：； (2)若，求的值．（注：） 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由，得到，进而得到，即可求证； （2）在中，由正弦定理得到，再结合（1）得到，进而可求解. 【详解】（1）在Rt中，，．， ，即．，． （2）在中，根据正弦定理得又，， ，由（1）知，． 解得或．，， 12．记的内角所对的边分别为，已知． (1)求证：；(2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，结合三角恒等变换可得结论； （2）根据条件求出，结合边的关系及余弦定理可求，利用面积公式可得答案. 【详解】（1）由正弦定理，知，所以，即为， 所以，即， 所以．因为， 所以或，即或（舍去）； （2） 由，即，由余弦定理，得， 即，解得，所以．又由，可得， 得，所以的面积． 13． 在中，角所对的边分别为，已知． (1)求证：； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用二倍角公式以及正弦定理计算可得结果； （2）利用余弦定理以及各边长度代入解方程可得，再由三角形面积公式计算可得结果. 【详解】（1）由可得，根据正弦定理可得. （2）由可得，整理可得，即； 解得或； 当时，由，可得，与矛盾，舍去； 可得，代入，可得，解得，所以； 由可得，即； 所以的面积为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二解三角形期末备考11 测试范围：解三角形中的恒等式证明 【回归教材】 【人教A版必修二习题6.4第16题】在中，求证：. 【人教B版2019年数学必修四P21页第9题】已知D是斜边BC上一点，，记。（1）求证：；（2）若，求的值。 【人教B版2019年数学必修四P21页第10题】已知锐角中，， (1)求证：；(2)设，求AB边上的高. 【人教B版2019年数学必修四P6页例6】如图所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求证；. 【人教B版数学必修四第9.1.2节例5】在中，求证：。 【苏教版年数学必修二P88页例6】如图，已知AM是中BC边上的中线．求证：． 【跟踪训练】 一、解答题 1．请用三种方法证明余弦定理． 2．在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.求证：. 3．（1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 4．已知分别为的三个内角的对边，. (1)求A； (2)若，证明：. 5．任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”，即：在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，则，，． (1)用余弦定理证明：； (2)用正弦定理证明：； (3)用向量的方法证明：． 6．记内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． 求证：①；②； 7．在中，求证： (1)； (2)． 8．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且 (1)求证：； (2)若的面积为，求. 9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 10．如图，已知△ABC内有一点P，满足． (1)证明：． (2)若，，求PC． 11．如图所示，是Rt的斜边上一点，，记，． (1)求证：； (2)若，求的值．（注：） 12．记的内角所对的边分别为，已知． (1)求证：；(2)若，求的面积． 13． 在中，角所对的边分别为，已知． (1)求证：； (2)若，且，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $