1.1.2 集合的基本关系-2026-2027学年高一数学人教B版必修第一册教学设计

该高中数学教学设计聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集及集合相等的概念。通过班级同学与女同学集合的生活情境，结合具体集合实例，从元素角度引出子集概念，衔接集合基础，搭建从元素到集合关系的学习支架。 以生活情境和维恩图、数轴等直观工具培养数学眼光，通过元素个数与子集个数规律的表格探究发展数学思维，用符号语言及区间、几何图形实例强化数学语言表达。助力学生抽象概念、提升推理能力，为教师提供清晰教学流程与分层练习，提升课堂效率。

1.1.2 集合的基本关系 【课程基本信息】 年级 高一 课题 集合的基本关系 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.了解子集、真子集. 2.用维恩图表示子集和真子集. 3.理解集合之间包含与相等的含义. 【教学重点】 了解子集、真子集. 【教学难点】 集合之间包含与相等的含义. 【教学过程】 一、子集 情境与问题：如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？ 给定集合A={1，3}，B={1，3，5，6}，容易看出，集合A的任意一个元素都是集合B的元素. 设计意图：结合身边的事物举例，引出子集的概念，能使他们体会到生活中处处有数学，有效的促进知识的迁移. 子集的概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集. 记作：A⊆B（或B⊇A），读作：“A包含于B”(或“B包含A”). 如果A不是B的子集，则记作：AB（或BA），读作：“A不包含于B”(或“B不包含A”). 教师提问：根据上面的子集的概念，思考情境与问题两个集合的关系？ 上述情境与问题中的两个集合，满足F⊆S. 想一想：符号“∈”与符号“⊆”表达含义相同吗？ “∈”表示元素与集合之间的关系，“⊆”表示集合之间关系. 尝试与发现：(1)根据子集的定义判断，如果A={1,2,3}，那么A⊆A吗？ 依据子集的定义，任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A. (2)你认为可以规定空集是任意一个集合的子集吗？为什么？ 因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即⊆A. 二、真子集 真子集的概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集. 记作：A⫋B(或B⫌A)，读作：“A真包含于B”（或“B真包含A”). 例如：分析集合A={1，2}，B={1，2，3，4}之间的关系，可知A是B的子集(即A⊆B)，而3∈B且3A，因此A是B的真子集，即A⫋B. 维恩图的概念：如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图. 例如：A是B的真子集，如图所示. 子集与真子集的性质：(1)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C； (2)对于集合A，B，C，如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C； (3)空集是任何非空集合的真子集，即⫋A. 三、集合的相等与子集的关系 情境与问题：已知S={x|(x+1)(x+2)=0}，T={-1，-2}，这两个集合的元素有什么关系？S⊆T吗？T⊆S吗？你能由此总结出集合的相等与子集的关系吗？ 上述问题中，组成S的元素与组成T的元素完全相同，即S=T；另外，由子集的定义可知S⊆T且T⊆S. 设计意图：根据情境与问题的结论，引出下面集合相等与子集的关系. 集合的相等与子集的关系：一般地，由集合相等以及子集的定义可知： (1)如果A⊆B且B⊆A，则A=B； (2)如果A=B，则A⊆B且B⊆A. 教师提问：从例3的例题中，你可以得到什么结论？ (1)中B是A的子集，所以B是A的真子集； (2)中C和D互为子集，所以C=D； (3)中F是E的子集，所以F是E的真子集； (4)中G和H互为子集，所以G=H. 结论：当A是B的子集时，要么A是B的真子集，要么A与B相等. 探索与研究：填写下表，回答下面的问题： 集合 元素个数 所有集合 子集个数 {a} 1 ，{a} 2 {a，b} 2 ，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} 3 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 {a，b，c，d} 4 ，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d} 16 (1)你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的规律吗？ 集合中的元素个数每增加1个，其子集的个数变为原来的2倍，易知非空集合的真子集个数比子集个数少1. (2)如果一个集合中有n个元素，你能用n表示这个集合子集的个数吗？ 当集合中元素个数为n(n∈N*)时，有如下结论： ①含有n个元素的集合有2n个子集； ②含有n个元素的集合有(2n-1)个真子集； ③含有n个元素的集合有(2n-1)个非空子集； ④含有n个元素的集合有(2n-2)个非空真子集. 【课堂例题】 例1：写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集. 分析：如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0，1，2，3.可依下列步骤来完成此题： (1)写出元素个数为0的子集，即； (2)写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8}； (3)写出元素个数为2的子集，即{6，7}，{6，8}，{7，8}； (4)写出元素个数为3的子集，即{6，7，8}. 解：集合A的所有子集是，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}.在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集. 例2：已知区间A=(-∞，2]和B=(-∞，a)，且B⊆A，求实数a的取值范围. 解：因为集合B的元素都是集合A的元素，所以可用数轴表示它们的关系，如图所示. 从而可知a≤2. 例3：写出下列每对集合之间的关系： (1)A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5}； (2)C={x|x2=1}，D={x||x|=1}； (3)E=(-∞，3)，F=(-1，2]； (4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形}，H={x|x是有一个内角为直角的平行四边形}. 分析：因为集合之间的关系是通过元素来定义的，所以只要针对集合中的元素进行分析即可. 解：(1)因为B的每个元素都属于A，而4∈A且4B，所以B⫋A. (2)不难看出，C和D包含的元素都是1和-1，所以C=D. (3)在数轴上表示出区间E和F，如图所示. 由图可知F⫋E. (4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G⊆H.反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此H⊆G.综上可知，G=H. 【课堂巩固】 1.若，则A的真子集个数为( ) A.3 B.4 C.7 D.8 2.满足的集合的个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.已知集合M满足，则不同的M的个数为( ) A.8 B.6 C.4 D.2 【小结作业】 14页的课后习题 【板书设计】 1.1.2 集合的基本关系 1.子集的概念 2.真子集的概念 3.集合的相等与子集的关系 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $