1.1.3集合的基本运算教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的交集、并集、补集运算，通过科学兴趣小组招募（交集）、意见征求会要求（并集）、学校同学分类（补集）等生活情境导入，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，衔接子集等前期知识。 特色在于融合直观想象与逻辑推理，用Venn图、数轴可视化集合关系，结合小组讨论与导学案引导学生自主探究运算性质，评价任务分层次检测目标达成。培养学生数学抽象与运算能力，为教师提供清晰教学路径与多元评价工具。

. 课题 1.1.3集合的基本运算 学校 课型 新授 授课人 时间 课时 教材 学生 分析 集合的基本运算包括两个集合的交集、并集、补集。集合的基本运算比较能考察学生的核心素养，也是集合章节的重难点，本课时内容较抽象，需要结合数轴、维恩图等，在与子集、真子集、空集考察时学生会感到混淆和难以下手，教师要进行认真梳理分析。值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用Venn图的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用Venn图进行求补集的运算． 教学 目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。 3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 核心 素养 数学抽象：集合的描述具有空间图形，结合集合的基本运算进行考核。 逻辑推理: 集合的基本运算。 数学建模: 通过生活的例子，建立相应地补集模型。 直观想象: 对交集、并集、全集、补集的描述建立Venn图、数轴。 数学运算: 对给出的两个或两个以上集合能写出其交集、并集、补集。 数据分析: 对给出对应集合的元素进行分析，求其交集、并集、补集。 重点 难点 教学重点： 1.交集、并集、全集、补集的概念。 2.集合的基本运算性质。 教学难点： 1.结合交集、并集概念、维恩图、数轴等进行考察，需要学生具有扎实的数学基础。 2.对补集的描述建立维恩图，能正确辨析补集。 教法 教具 讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，通过交流与合作，共同解决集合运算和逻辑推理中的问题，并配备导学案，数学卡片和尺规等教具。 评价 任务 评价任务1、2检测目标1的达成 评价任务3检测目标2、3的达成 评价任务4检测目标1、2、3的综合达成 评价 量规 评价要点 评价标准 评价层级 不达标预判与 补救措施 1.课堂参与度； 2.知识的掌握程度； 3.小组合作能力。 1.小组参与度高，与组员积极合作交流，并正确得出结论；主动表达自己的观点和上台展示自己的成果且正确；思路清晰、知识梳理合理。 2.评价任务对题率达到80%及以上。 优秀 预判： 措施： 1.基本能参与小组合作讨论与交流；主动表达自己的观点，但不全面，知识梳理基本全面。 2.评价任务对题率达到60%以上。 达标 1.不参与小组合作，不主动表达观点；提问回答不全面；知识点理解不透，梳理不到位，缺少层次。 2. 评价任务对题率低于60%。 不达标 教 学 活 动 设 计 环节1：任务一：通过导读和思考认识和理解交集的概念 设计意图与反思 教师 活动 一、交集 【课前导读】 学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求： （1）中考的物理成绩不低于80分； （2）中考的数学成绩不低于70分。 如果满足条件（1）的同学组成的集合记为P，满足条件（2）的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为S，那么这三个集合之间有什么联系呢？ 【自主思考】 谈谈你对交集的理解与认识。 ★教师可以提问学生，交集是一个集合还是元素，还是其他东西，可以多举生活的例子来加深学生对交集的理解。 【新课讲授】 可以看出，集合S中的元素既属于集合P，又属于集合M. 一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B， 读作“A交B”.两个集合的交集可用如图所示的阴影部分形象地表示. 因此，上述新课导入中的问题中的集合满足P∩M=S. 例如，{1，2，3，4，5}∩{3，4，5，6，8}={3，4，5}；在平面直角坐标系内，x轴与y轴相交于坐标原点，用集合语言可以表示为{（x，y）|y=0}∩{（x，y）|x=0} 从定义可以看出，A∩B表示由集合A，B按照指定的法则构造出一个新集合，因此“交”可以看成集合之间的一种运算，通常称为交集运算。 交集运算具有以下性质，对于任意两个集合A，B，都有： （1）A∩B=B∩A； （2）A∩A=A； （3）A∩∅=∅∩A=∅； （4）如果A⊆B，则A∩B=A，反之也成立. 【思考与讨论】 如果集合A，B没有公共元素，那么它们的交集是什么？ 【典型例题】 例1．求下列每对集合的交集： （1）A={1，-3}，B={-1，-3}； （2）C={1，3，5，7}，D={2，4，6，8}； （3）E=（1，3]，F=[-2，2）. 解：（1）因为A和B的公共元素只有一3，所以A∩B={-3} （2） 因为C和D没有公共元素，所以C∩D=∅. （3）在数轴上表示出区间E和F，如下图所示， 如图可知E∩F=（1，2）. 例2．已知A={x|x是菱形}，B={x|x是矩形}，求A∩B. 解：A∩B={x|x是菱形}∩{x|x是矩形}={x|x是正方形}. 我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解.例如，平面直角坐标系中的点（x，y）在第一象限的条件是：横坐标大于0且纵坐标大于0，用集合的语言可以表示为{（x，y）|x>0}∩（（x，y）|y>0}={（x，y）|x>0，y>0}，也就是说，为了保证点（x，y）在第一象限，条件横坐标大于0与纵坐标大于0要同时成立。 通过生活中的大家熟悉的情境中提取数学概念，使其更通俗易懂。 自我反思： 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务1，并进行自我评价. 评价任务1.计算 1. 2.= 3. 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节2：任务二：通过思考探索发现并集的运算和性质 设计意图与反思 教师 活动 二、并集 【课前导读】 某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语成绩低于70分的同学参加。如果记语文成绩低于70分的所有同学组成的集合为M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢？ 【新课讲授】 可以看出，集合P中的元素，要么属于集合M，要么属于集合N. 一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”.两个集合的并集可用图（1）或（2）所示的阴影部分形象地表示.由A，B构造出A∪B，通常称为并集运算。 因此，上述情境与问题中的集合满足M∪N=P. 例如，{1，3，5}∪{2，3，4，6}={1，2，3，4，5，6}. 注意，同时属于A和B的元素，在A∪B中只能出现一次。 【尝试与发现】 类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合A，B，都有： （1） A∪B= ； （2） A∪A= ； （3）A∪∅=∅∪A= ； （4）如果A⊆B，则A∪B=，反之也成立. 【典型例题】 例3．已知区间A=（-3，1），B=[-2，3]，求A∩B，A∪B. 解：在数轴上表示出A和B，如图所示。 由图可知A∩B=[-2，1），A∪B=（-3，3]； 我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解.例如，x≥0的含义是x>0或x=0，这可以用集合语言表示为 {x|x≥0}={x|x>0或x=0）={x|x>0}∪{x|x=0}， 也就是说，为了保证x≥0，条件x>0与x=0只要有一个成立即可。 【探索与研究】 （1）设有限集M所含元素的个数用card（M）表示，并规定card（∅）=0.已知A={x|x是外语兴趣小组的成员}，B={x|x是数学兴趣小组的成员}，且card（A）=20，card（B）=8，card（A∩B）=4，你能求出card（A∪B）吗？ （2）设A，B为两个有限集，讨论card（ A），card（ B），card（A∩B），card（A∪B）之间的关系. 类比交集的学习方式，提取数学概念，使其更通俗易懂。 自我反思： 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务2，并进行自我评价. 评价任务2. 1. 已知集合A={－1，0，1，2，3}，B={x|x-3<1}，则A∩B＝ 。 2.（2024潍坊高一检测）集合A={x|x2+x-2=0}，B={1,2}，则A∪B.= ( ) A.{0，1，2} B.{－1，1，0} C.{－2，1，2} D.{－1，2，0} 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节3：任务三：通过思考讨论理解补集的概念及运算 设计意图与反思 教师 活动 3、 补集 【课前导读】 如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么： （1）这三个集合之间有什么联系？ （2）如果x∈S且x∉M，你能得到什么结论？ 【新课讲授】 可以看出，集合M和集合F都是集合S的子集，而且如果x∈S且x∉M，则一定有x∈F. 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示.如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作UA，读作“A在U中的补集”.由全集U及其子集A得到UA，通常称为补集运算. 集合的补集也可用维恩图形象地表示，其中全集通常用矩形区域代表， 如右图所示. 因此，上述情境与问题中的集合满足sF=M，sM=F. 例如，如果U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则UA={2，4，6}. 注意，此时UA仍是U的一个子集，因此U（UA）也是有意义的，此例中的 U（UA）={1，3，5}=A. 事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下性质： （1） A∪（UA）=U； （2） A∩（UA）=∅； （3） U（UA）=A. 【思考与讨论】 补集的性质是否可以借助维恩图来直观理解？ 【典型例题】 例4．已知U={x∈N|x≤7}，A={x∈U|x²≤7}，B={x∈U|0<2x≤7}， 求UA，UB，（UA）∪（UB），U（A∩B）. 例5．已知A=（-1，+oo），B=（-oo，2]，求RA，RB. 【探索与研究】 给定三个集合A，B，C，式子（A∪B）∩C的意义是什么？（A∩C）∪（B∩C）呢？画维恩图研究这两个式子之间的关系，并研究（A∩B）∪C和（A∪C）∩（B∪C）之间的关系. 利用维恩图，加深对补集的性质的理解。 自我反思： 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务3，并进行自我评价. 评价任务3. 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节4：任务四：师生共研，走素养之路 设计意图与反思 教师 活动 类型一 交集的概念及其应用 例1．已知集合M＝{x|x+2≥0}，N＝{x|x﹣1＜0}．则M∩N＝（　　） A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2＜x≤1} C．{x|x≥﹣2} D．{x|x＜1} 解：由题意，M＝{x|x≥﹣2}，N＝{x|x＜1}，∴M∩N＝{x|﹣2≤x＜1}． 故选：A． 类型二 并集的概念及其应用 例2．若集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|x≥1}，则集合M∪N＝（　　） A．{x|x＞﹣1} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|1≤x＜3} D．R 解：∵M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|x≥1}， 根据并集运算的定义可得，M∪N＝{x|x＞﹣1}．故选：A． 类型三交、并、补集的综合运算 例3．设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z} C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z} D．∅ 通过典型例题和类型分类培养学生的逻辑推理、数学抽象和数学运算等素养。 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务4，并进行自我评价. 评价任务4. 1．设集合A＝{（x，y）|x+y＝2}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的子集个数是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 2．已知集合M＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，4}，N＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，且M，N都是全集I的子集，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{﹣1，﹣2，﹣3} B．{0，1，2，3} C．{2，3} D．{0，﹣1，﹣2，﹣3} 3．设全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合，则B∩（∁UA）＝（　　） A．{1，2} B．{2，3} C．{1，3} D．{1，2，3} 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节5：板书设计与课堂小结 设计意图与反思 1.学生根据教师的板书内容自主归纳总结本节课学习的主要内容，可以利用口头描述，也可以用思维导图或知识架构图来归纳，并展示； 2.教师适时补充完善板书内容和学生的知识总结，帮助学生构建知识体系和知识网络。 培养学生的语言表达概括能力；同时加深对知识的构建和理解。 环节6：训练巩固评价提升 设计意图与反思 针对本节学习目标，通过检测便于教师及时了解学生的目标达成情况，也便于查缺补漏，评价量化。 环节7：回扣目标 设计意图与反思 1.请大家回看本节学习目标，通过这节课的学习，你达到目标了吗？ 2.学生对照学习目标，在自我评价表中自评 3.根据课堂检测情况，教师对学生进行最后综合评价。 结合前面量规和过程性评价给学生进行量化。 环节8：迁移应用及作业设计 设计意图与反思 作业：教材P19 练习B 6．已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+3，a＞0}，B＝{x|﹣2＜x＜4}． （1）当a＝2时，求A∪B； （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 因材施教，分层练习，让每名学生各有所学，体验学习的快乐。 . 学科网（北京）股份有限公司 $