四川泸州市三校联盟2025-2026学年高二下学期期中联合考试数学试题

泸州市三校联盟2025—2026学年高二下学期期中联合考试 数 学 试 题 命题人：吴德平 审题人：刘汝琴 做题人：沈详旦 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至4页。试卷满分150分，考试时间共120分钟。 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、班级、准考证号准确填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3．填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1． 直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2． 已知，，且，则（ ） A．3 B．0 C．1 D． 3． 已知函数，则（ ） A． B． C． D． 4． 已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（ ） A． B． C．4 D． 5． 已知函数在处取得极小值1，则（ ） A． B． C． D． 6． 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱．欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ） A．12 B．23 C．24 D．28 7． 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8． 已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． 记为等差数列的前项和，为的公差，若，，则（ ） A． B． C．当或6时，取得最小值 D．当时，的最小值为11 10．已知函数的导函数为，则下列说法正确的有（ ） A． B．函数的极小值点为 C．函数单调递减区间为 D．若函数有两个不同的零点，则 11．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。 （2）本部分共8个小题，共92分。 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线的焦点坐标为__________． 13．等比数列的前项和为，若，，则__________． 14．记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为__________． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最值． 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，，，，平面． （1）求证：平面； （2）若是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 已知椭圆（）的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于，两点，点（点不在直线上）为椭圆上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若的面积为，求直线的斜率． 18．（本小题满分17分） 已知数列的前项和，正项等比数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）设满足不等式的正整数的个数为，求数列的前项和． 19．（本小题满分17分） 已知（）． （1）设函数，讨论函数的单调性； （2）当，时，证明：； （3）当时，，求实数的取值范围． ( 高二下 · 数 学 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $泸州市三校联盟2025一2026学年高二下学期期中联合考试 数学试题参考答案 一、选择题：本大题共11个小题，第1~8题每小题5分，第9~11题每小题6分，共58分。 题号 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 11 答案 C A C B C D B D AC AC ACD 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.(0,-3) 13.84 4* 三、解答题：本大题共5个小题，共77分。 15.(本小题满分13分) 【答案】 (1)3x+3y-4=0: (2)增区间为[2,0)，(2,3]，减区间为0,2]：最大值为1，最小值为-1 3 【分析】 (1)利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果： (2)利用导数与函数单调性间的关系，求出f'(x)>0和f'(x)<0的解集，即可求出函数的单调区间， 再求出两端点函数值及极值，通过比较，即可求出结果。 【详解】 (1)因为f=x-x2+1,所以")=x2-2x,得到f@)=1-2=-1, 又0=}1+1写，所以y=)在点Q10)处的切线方程为：y-《-》,即3x+3w-40. (2)因为f(x)=x2-2x=x(x-2),由f'(x)>0,得到x<0或x>2,由f"(x)<0,得到0<x<2, 所以f(x)在[-2,3]上的增区间为[-2,0)，(2,3]，减区间为[0,2]， 又=g41=号⑩=-1，f0-§4+1=-10)=9-9+1-1， 所以同数f)在-2列上的最大省为1.最小值为号 16.(本小题满分15分) 【答案】 （1)证明见解析： 高二下·数学答案第1页共6页 (2)6 【分析】 (I)通过计算由勾股定理可证得AC⊥BC,利用条件证明AC⊥平面PBC,再由线面垂直可证面面 垂直： (2)如图，建系，写出相关点的坐标，求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得， 【详解】 (1)因为PC⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以AC⊥PC, 因为AB=2CD=2AD=2,AB⊥AD,AB∥CD, 所以∠BAC=∠ACD=45°，AC=V2,BC=V2, 所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC, 又BCOPC=C,BC,PCC平面PBC,所以AC⊥平面PBC, 因为ACc平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC. (2)方法一：因为PC⊥平面ABCD,AC⊥BC, 所以以C为原点，以CB,CA,CP分别为x,y,z轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则C(0,0,0),B(√2,0,0)，A(0,V2,0),P(0,0,2),E √2 01 则☑=(0,5.0，ci=2 [im.C4=√2y=0 设平面ACE的法向量为=(x,y,z),则 n.c- x+z=0 2 取x=√2，得平面ACE的一个法向量为=2,0，-1， 易知平面pAC的一个法向量为=1,0,0)， 设平面PAC与平面ACE的夹角为B, oa-水aa列份-长。 平面PAC与平面ACB夹角的余弦值为 31 高二下·数学答案第2页共6页 过点E作BC的平行线交PC于点F, 由(1)可知，EF⊥平面PAC,PC⊥AC, 方法二：所以∠ECF就是平面PAC与平面ACE所成角， 因为Er= ,FC=1, 所以cos∠ECF= √6 3 2 17.(本小题满分15分) 【答案】 1) 2+y2=1: (2)±1： 【详解】 (1D直线5x+y=1与坐标轴的交点为(5,0,0，， 2 所以a=V5,b=1,即椭圆C的标准方程为 2+y2=1; (2)当直线AB的斜率不存在时，不符合题意： 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=k(x-1), [y=k(x-1) 由 →01+2k2)x2-4h2x+2k2-2=0, 2+y2s1 设A(,出)，B(,y), △=（4k2月-40+2k2)2k2-2)=8k2+8>0, 4k2 1+X=1+23,53 2k2-2 1+2k2 4B=1+k2.+x)-4x2=+k2 42 422-2 2W2k2+1) 1+2k3 1+2k2 1+2k2 2 点P到直线AB的距离d= √2 V1+k2 2W1+k2 所以S△4BP 122k2+1)√2V2 21+2k2 2V1+k23 解得k=士1. 18.(本小题满分17分) 【答案】 「3，n=1 (1)a= 2m,n≥2：6.=3x21: 高二下·数学答案第3页共6页 （2)3×2m-1-1. 【分析】 (1)由4，=Sn-S-1≥2)及4=S可求得4，再利用数列{b}是等比数列，从而由基本量法求得bn: (2)由(1)得C,结合等比数列求和公式计算求得T, 【详解】 (1)由己知得Sn=n+n+1, 当n=1时，4=S=12+1+1=3: 当n≥2时，a.=Sn-S,1=n2+n+1-(n-1)-(n-1)-1=2; 当n=1时，不符合上式. 「3，n=1 所以a.=2,n22 因为正项等比数列{b}满足b=3,b=12, 设其公比为.q>0,则4=9=4，g=2, 则b=3×2-1 (2)满足不等式b.≤a%<b+1的正整数k,3×2-1≤4，<3×2”， 当n=1时，3×2-1≤4<3×2,3×2-1≤4<3×2，所以c1=2, 当n≥2时，3×2-1≤2k<3×2”,即得3×2n-2≤k<3×2m-1, 所以cn=3×2m-1-3×2”-2=3×2-2, 当n≥2时，T=2+3×2°+3×2+.+3×2m-2 =2+3×1-2 =2+3×(2-1-1 1-2 =3×2-1-1,当n=1时，T=2满足上式， 综上，T=3×2”-1-1. 19.(本小题满分17分) 【答案】 (1)当a≥0时，g(x)在(0，+0)上单调递增， 当a<0时，g(x)在(0，-a上单调递减，在(-a,+o)上单调递增： 高二下·数学答案第4页共6页 （2)证明见解析： 3) 【分析】 (1)分a≥0和a<0两种情况讨论g'(x)的正负，结合导数与原函数的单调性求解即可； (2)将问题转化为证明x-xnx-1≤0恒成立，h(x)=x-xhx-l(0<x<e),利用导数研究h(x)的单 调性和最值即可证明结论； (3)分a<0和a≥0两种情况讨论，当a≥0，将问题转化为(1-x)(-1+nx)≥hx恒成立，然后分a≥1、 0≤a≤、1_ 立、2a<1三种情况利用导数研究m(x)的单调性和最值即可求解。 【详解】 (1)由题意，g(x)=f(x)+x=-1+nx+x,定义域为(0，+o)求导得： g'(x)=a+1=+a 当a≥0时，g'(x)>0恒成立，因此8(x)在(0，+o)上单调递增， 当a<0时，当x∈(0，-a时，x+a<0,g'(x)<0,8(x)单调递减； 当xe(←a,+o)时，x+a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增， 综上，当a≥0时，8(x)在(0，+o)上单调递增： 当a<0时，8(x)在(0，-a)上单调递减，在(-a,+o)上单调递增； (2)当a=1时，f(x)=-1+lnx, 当0<x<e时，lnx<1,故f(x)=lnr-1<0, 所以要证1-x≥血x f(x)' 即证明：(1-x)f(x)≤lnx, 即证(1-x)(lnr-1)≤nx 即证lnx-1-xlnx+x≤lnx→x-xhnx-1≤0， h(x)=x-xInx-1(0<x<e), 则M(x)=1-(nx+1)=-lnx, 当0<x<1时，(x)>0,h(x)单调递增： 高二下·数学答案第5页共6页 当l<x<e时，(x)<0,h(x)单调递减： 当x=1时，(x)=0,h(x)取得最大值h(1)=1-0-1=0, 因此对任意x∈(0，e),h(x)≤h(1)=0,即x-xnx-1≤0，原不等式得证. (3)原不等式台1-t≤，h0<x≤1)， -1+alnx 当a<0时，当0<x<ee时，-l+anx>0,lnx<0, 所以1-x>0>-1+anx Inx 不合题意： 当a≥0时， 原不等式台(1-x)(-1+alnx)≥nx台x-1-(-a+1)lnx≥0， 设m(x)=x-1-(a-a+1)hx(0<x≤1)， 则r)=l-anx+a-a-马， 令g(=1-(alnr+a-a-马0<xs1), p=-a_a-l-ax+(a-） x x2 x2 1-a-0=1-a,1=a-1=1-2a a a’a a 当a≥1时，p(x)<0,所以m'(x)在(0,1)单调递减， 所以(x)>1(1)=0,所以(x)在(0,1]单调递增，m(x)≤m()=0,不合题意； 当0≤a≤时，1-2≥1，所以p(>0,所以m)在O单调递增 a 所以m(x)<m(1)=0,所以m(x)在(0,1]单调递减，m(x)≥(1)=0： 当}a<1时，令p<0,得a+(a->0,所以l。<x<1, 2 所以)在。单调莲藏，所以>0=0， 所以(x)在(0,1]单调递增，n(x)≤m()=0,不合题意： 综上，实数a的取值范国为o引 高二下·数学答案第6页共6页 泸州市三校联盟2025—2026学年高二下学期期中联合考试 数 学 试 题 参 考 答 案 一、选择题：本大题共11个小题，第1～8题每小题5分，第9～11题每小题6分，共58分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A C B C D B D AC AC ACD 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12． 13．84 14． 三、解答题：本大题共5个小题，共77分。 15．（本小题满分13分） 【答案】 （1）； （2）增区间为，，减区间为；最大值为1，最小值为． 【分析】 （1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果； （2）利用导数与函数单调性间的关系，求出和的解集，即可求出函数的单调区间，再求出两端点函数值及极值，通过比较，即可求出结果． 【详解】 （1）因为，所以，得到， 又，所以在点处的切线方程为：，即． （2）因为，由，得到或，由，得到， 所以在上的增区间为，，减区间为， 又，，，， 所以函数在上的最大值为，最小值为． 16．（本小题满分15分） 【答案】 （1）证明见解析； （2）． 【分析】 （1）通过计算由勾股定理可证得，利用条件证明平面，再由线面垂直可证面面垂直； （2）如图，建系，写出相关点的坐标，求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得． 【详解】 （1）因为平面，平面，所以， 因为，，， 所以，，， 所以，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）方法一：因为平面，， 所以以为原点，以，，分别为x，y，z轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为． 方法二： 17．（本小题满分15分） 【答案】 （1）； （2）． 【详解】 （1）直线与坐标轴的交点为，， 所以，，即椭圆的标准方程为； （2） 18．（本小题满分17分） 【答案】 （1）；； （2）． 【分析】 （1）由及可求得，再利用数列是等比数列，从而由基本量法求得； （2）由（1）得，结合等比数列求和公式计算求得． 【详解】 （1）由已知得， 当时，； 当时，； 当时，不符合上式． 所以． 因为正项等比数列满足，， 设其公比为，则，， 则． （2）满足不等式的正整数k，， 当时，，所以， 当时，，即得， 所以， 当时， ，当时，满足上式， 综上，． 19．（本小题满分17分） 【答案】 （1）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）证明见解析； （3）． 【分析】 （1）分和两种情况讨论的正负，结合导数与原函数的单调性求解即可； （2）将问题转化为证明恒成立，，利用导数研究的单调性和最值即可证明结论； （3）分和两种情况讨论，当，将问题转化为恒成立，然后分、、三种情况利用导数研究的单调性和最值即可求解． 【详解】 （1）由题意，，定义域为求导得： ， 当时，恒成立，因此在上单调递增， 当时，当 时，，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，， 当时，，故， 所以要证， 即证明：， 即证 即证， 令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，取得最大值， 因此对任意，，即，原不等式得证． （3）原不等式， 当时，当时，， 所以，不合题意； 当时， 原不等式， 设， 则， 令， ， ， 当时，，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增，，不合题意； 当时，，所以，所以在单调递增， 所以，所以在单调递减，； 当时，令，得，所以， 所以在单调递减，所以， 所以在单调递增，，不合题意； 综上，实数a的取值范围为． ( 高二下 · 数 学答案 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $泸州市三校联盟2025一2026学年高二下学期期中联合考试 数学试题 命题人：吴德平审题人：刘汝琴 做题人：沈详旦 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至4页。 试卷满分150分，考试时间共120分钟。 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、班级、准考证号准确填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅 笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.直线1：x-y-1=0的倾斜角是() A. B. 2元 C. D. 元 2.已知a=(2,1,-1),b=（2,x,5),且a1b,则x=() A.3 B.0 C.1 D.-3 3.已知函数f(x)=nx-x2-xf'1),则f'1)=() A B C. 2 4. 已知数列{a}为正项等比数列，4,41是方程x2-6x+8=0的两个实数根，则a2=() A.±22 B.2W2 C.4 D.±4 5己知函数f)上+2x-an+片2乃在x=0处取得极小值1，则2a+b=（) A月 B c. 6.《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、 不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有 大夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱 数成递增等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为() A.12 B.23 C.24 D.28 高二下·数学第1页共4页 7.已知函数f)-号2-anx+x在+0)止单调递增，则实数a的取值范国是() A.(←，1] B.(0,2] C.（0,2) D.(←0,1) 8.已知数列{a,}的前n项和为S,且4=2,4+1=3a,+2,数列五，}满足b,=马1，记也，}的前n项 4na1+1 和为T,若Tn<m恒成立，则m的最小值为() A.1 B为 c.3 } 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.记S为等差数列{a}的前n项和，d为{4}的公差，若a+a4=-10,+=4,则() A.d=2 B. S+L=n-11 n+1 C.当n=5或6时，Sn取得最小值 D.当Sn>0时，n的最小值为11 10.已知函数f(x)=(x+1)e的导函数为f'(x),则下列说法正确的有() A.f1)=2e B正数了的极小在点为2司】 C.函数f(x)单调递减区间为(w,-2) D.若函数g-f似-a有两个不同的零点，则ae（己+心 11.大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用.已知大衍数列{4}满足 a,+n+1,n为奇数 41=0,a+1= ,则下列说法正确的有() a+n,n为偶数 A.a45=12 B.dn=2n2-n C.a2m+1=an-1+41 D.数列{(1a,}的前20项和为110 高二下·数学第2页共4页 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： (1)非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认 后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。 (2)本部分共8个小题，共92分。 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.抛物线x2=-12y的焦点坐标为 13.等比数列{a}的前n项和为S,若S4=20,4+a=4,则S6= 14.记函数f(x)的导函数为f'x),已知f(2)=1,且x∈R,f'(x)kf(x),若关于x的不等式 f(ax+1)<eax-1在x∈1,3上有解，则a的取值范围为 四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 己知函数6)=-+1. (1)求曲线y=f(x)在点1，f1)处的切线方程： (2)求函数f(x)在区间[2,3]上的最值. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,ABI∥CD,PC=AB=2CD=2AD=2,PC⊥平面ABCD. (1)求证：AC⊥平面PBC: (2)若E是PB的中点，求平面PAC与平面ACE夹角的余弦值. 高二下·数学第3页共4页 17.(本小题满分15分) 已知椭圆c:+y2 a+方=1(a>b>0)的两个顶点在直线 x+y=1上，直线1经过椭圆C的右焦点F, 2 与椭圆C交于A,B两点，点P1, 2 (点P不在直线1上)为椭圆C上一点， (1)求椭圆C的标准方程； (2)若△PMB的面积为2 ,求直线AB的斜率. 3 18.(本小题满分17分) 己知数列{a}的前n项和Sn=n2+n+1,正项等比数列bn}满足b1=4,b=46. (1)求数列{a},{bn}的通项公式： (2)设满足不等式bn≤a,<bn+1的正整数k的个数为cn,求数列{cn}的前n项和Tn· 19.(本小题满分17分) 己知f(x)=-1+anx(x>0). (1)设函数g(x)=f(x)+x,讨论函数g(x)的单调性： (2)当a=1,0<x<e时，证明：1-x≥ Inx f()i ③肖0<时，1-￥≤5，求实数a的取值范围 高二下·数学第4页共4页