精品解析：江西上饶市余干县沙港初级中学、育才学校等校2025-2026学年九年级中考素养提升二数学试题

九年级素养提升 数学（二） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正数大于负数，可排除A，D选项，再进一步比较和的大小，即可求解． 【详解】解：和是负数，和是正数， 故和都小于和，排除A，D选项； 又∵， ∴四个数中最大的数是． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需根据同类项合并法则，完全平方公式，积的乘方法则，同底数幂的除法法则逐一判断选项正误．. 【详解】A、与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算正确，符合题意； D、，运算错误，不符合题意． 3. 近日，国家发展改革委推出了新一批个标志性重大外资项目，计划投资额为亿美元．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将亿转化为原数，再根据科学记数法的定义确定和的值即可． 【详解】解：首先将亿化为原数，可得亿． 科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，且的整数位数为位， ， ， 亿用科学记数法表示为． 4. 如图是一个正方体表面展开图，将它折叠成正方体后，与“5”所在的面相对的面是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的表面展开图找出相对面即可解答． 【详解】解：利用正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，可得与“5”面相对的面的数字是“3”． 5. 下列是米米在美术课上学习绘画鱼的过程，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 6. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与系数的关系．根据函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置得出，，，即可判断A；根据对称轴推出，等量代换即可判断B，再结合，即可判断D；当时，根据图象可得，即可判断C． 【详解】解：由图可知，，， ∵根据对称轴公式， ∴， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴， 把代入中得， ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， ∴当时，； 把代入得， 即，故D选项符合题意； 根据函数图像可知，当时，，即，故C选项不符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简，加减运算方法即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质进行二次根式的加减运算法则是解题的关键． 8. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先找出多项式各项的公因式，提取公因式后，判断剩余多项式能否在有理数范围内继续分解，本题提取公因式后剩余多项式无法继续分解． 【详解】解：， 在有理数范围内不能分解因式，故答案为：． 9. 如图是一个正五边形及两条对角线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握各知识点是解题的关键． 根据多边形的内角和定理及正多边形的性质即可求得，由等腰三角形性质得，再由三角形外角性质即得结果． 【详解】解：设正五边形为，与相交于点F， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 10. 如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意确定弹簧测力计关于的函数解析式，再根据反比例函数上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：根据题意设反比例函数的解析式为， 根据图乙可得，反比例函数的图象经过点， 把代入求得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，代入得， 解得． 11. 设关于x的方程的一个根是，则两根之积_______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知根代入方程求出参数的值，再利用一元二次方程根与系数的关系即可求出两根之积． 【详解】解：是方程的根， 将代入方程得，， 化简得，， 解得，， 根据根与系数的关系，可得两根之积为， 两根之积为． 12. 如图，数轴上点表示的数分别为，点在之间，若图中有一条线段是另一条线段的两倍，则点表示的数可以为_______ ． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了数轴上距离的表示，熟悉掌握数轴上距离的运算方法是解题的关键．分类讨论线段的比值关系运算求解即可． 【详解】解：设点表示的数为，则，，， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上所述，点表示的数可以为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解不等式：； （2）已知：如图，点E，F分别在线段上，，，，交DE于点O．求证：． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】通过移项，合并同类项，系数化为“”的步骤求解即可； 由，则，即，然后通过“”证明，最后由全等三角形的性质即可求证． 【小问1详解】 解：， ， ∴； 【小问2详解】 略． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】利用分式的运算法则先算括号里面的，再计算除法完成化简，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原式． 15. 按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ （1）填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … （2）你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 【答案】（1） 输入x 5 4 … 输出答案 0 0 0 0 … （2）输入的x为任何数结果都为0． 证明：∵， ∴无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 【解析】 【分析】（1）把各数值代入程序中计算出结果即可，特别要注意运算顺序； （2）由前几项都为0可得出规律：输入任何数结果都为0．然后根据程序写出关于x的方程式，求得此方程式的值为0，所以无论x取任何值，结果都为0． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图是的正方形网格，点M，N，P均在格点上，请仅用无刻度直尺画出符合要求的图形，保留必要的画图痕迹． （1）请在图1中画出过点P且与垂直的线段； （2）请在图2中画出点P关于的对称点Q． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平移的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）取格点，连接即可，由可证明，推出，再利用等角的余角相等即可得到； （2）将线段向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到，则点是线段的中点，结合（1）的作图，则，利用平行线分线段成比例即可求解． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图，点Q即为所求； ． 17. 已知某校九（1）班共有48名同学，其中有28名男生，20名女生． （1）若随机抽一名同学回答问题，抽到男生的概率是______； （2）学校因组织考试，将小明、小林随机编入A，B，C三个考场，请你用画树状图法或列表法求两人编入同一个考场的概率． 【答案】（1） （2）根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两人编入同一个考场的结果有，，三种， ∴P（两人编入同一个考场）． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可求解； （2）根据题意画出树状图，进而求得所有可能的结果，以及两人编入同一个考场的结果，再根据概率公式，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：共有48名同学，其中有28名男生，随机抽一名同学回答问题，抽到男生的概率是 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 定滑轮常用来升降物体．在水平地面上，小明用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，绳子拉直后，物体位于点处．如图，在同一平面内，均垂直于，垂足分别为，．测得，，，求滑轮与地面的距离的值（结果精确到，参考数据： ，，）． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可证四边形是矩形，得到，，，解得求出的长进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， 答：滑轮与地面的距离的值约为． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点． （1）若点A的横坐标为3，，直接写出的值______； （2）若，求出此时的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点的横坐标求出其纵坐标，结合已知条件即可求出点的横纵坐标，从而求出值． （2）利用点和点与各自函数的关系可求出其横纵坐标的乘积，将其转化成线段关系，利用三角形的面积公式，表示出和的面积，利用等底关系和结合，将其面积比转化为线段比，即可求出的值． 【小问1详解】 解：横坐标是3，在反比例函数上， 的纵坐标为， ， ， 在第四象限， 的纵坐标为， ， 和的横坐标相等， 的横坐标为3， ， ． 【小问2详解】 解：连接，，如图所示， 轴，在反比例函数上， ， ， ， 同理，， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数中点的坐标和值的关系，以及反比例函数中三角形面积问题，解题的关键在于点的坐标的乘积结果可以转化成面积的线段乘积关系． 20. 【调查问题】某校针对“学习工具对中学生学习的影响”开展调查，收集了以下数据： 数据1：使用频率分布 频率 比例 每天使用 每周使用 偶尔使用 数据2：主要用途分布 功能 比例 A 作业辅助 B 知识点查询 C 考试复习 D 兴趣拓展 数据3：家长与教师态度对比 态度 家长比例 教师比例 E 支持 F 中立 G 反对 【数据整理】 （1）根据数据1，若全校有800名学生，估算每天使用学习工具的学生人数； （2）根据数据2，求出扇形统计图中各部分的圆心角度数； 【数据分析】 （3）根据数据3，比较家长和教师对学习工具的态度差异，并用双条形图表示； 【综合应用】 （4）结合数据2和数据3，你认为学习工具的主要优势和潜在问题是什么？各写一条． 【答案】（1）240人 （2）A：；B：；C：；D： （3）如图所示． （4）主要优势：作业辅助效率高；潜在问题：家长和教师支持率较低，可能存在监管争议．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）用800乘以每天使用AI学习工具的比例即可得出结论； （2）用乘以扇形统计图中各部分的占比，即可得出结论； （3）根据提供的数据画出条形统计图即可； （4）根据提供的数据进行判断即可． 【小问1详解】 解：（人）， 答：估算每天使用学习工具的学生有240人； 【小问2详解】 解：A：； B：； C：； D：． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：主要优势：作业辅助效率高； 潜在问题：家长和教师支持率较低，可能存在监管争议． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的弦（非直径），点C是半径上的一个动点（不与线段两端点重合），过点C作的垂线，交于点D，交于点E，交的垂直平分线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若点E是的中点，且点C是的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、垂径定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的判定、垂径定理是关键． （1）连接，证明．即可证明结论成立； （2）连接，交于点H．证明，，得到，在中，，根据含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：证明：如图1，连接，则． ∵垂直平分， ∴ ∴． ∵ ∴， ∵， ∴ ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 如图2，连接，交于点H． ∵点E是的中点， ∴垂直平分， ∵垂直平分， ∴， ∵点C是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 22. 已知点和点在抛物线上． （1）抛物线的对称轴为______； （2）若抛物线与x轴只有一个交点，求a的值； （3）请探究：若对于整数t，使得当，且时，都有，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得到对称轴； （2）根据根的判别式计算即可； （3）根据抛物线的对称性作答即可． 【小问1详解】 解：将抛物线解析式化为顶点式得， 抛物线的对称轴为． 【小问2详解】 解：由题意可知方程，只有一个解， ， 解得或（舍去） ． 【小问3详解】 解：由（1）可知抛物线的对称轴为， 的对称点为，的对称点为， 存在三种情况： ①，解得，即， ②， ③，即， 综上所述，t的取值范围是或或． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【课本呈现】如图1，将沿直线翻折，得到，则，，． （1）连接，则与的位置关系是______； 【应用探究】 如图2，与关于某直线对称，与交于点F． （2）求证：； （3）请在备用图中探究：已知，若，，，设的延长线与的延长线交于点G，求的长（用含k的式子表示）． 【答案】（1） （2）证明：∵与关于某直线对称， ∴，，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）设交于点，由折叠可得，，，可得，证明，即可得结论； （2）由与关于某直线对称，可得，，，，，证明，可得，则，即可证明结论； （3）连接，由，，可得是等腰直角三角形，则，由轴对称性质可知，，可得，设的延长线与交于点H，由（2）可知，，，可得垂直平分，则是等腰直角三角形，可得，可证明是等腰直角三角形，则，，由，，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：设交于点， 由翻折可得，，， ∴， ∴， 在和 ， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由轴对称性质可知，， ∴， 设的延长线与交于点H， 由（2）可知，，， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与关于某直线对称， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级素养提升 数学（二） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 近日，国家发展改革委推出了新一批个标志性重大外资项目，计划投资额为亿美元．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个正方体表面展开图，将它折叠成正方体后，与“5”所在的面相对的面是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 5. 下列是米米在美术课上学习绘画鱼的过程，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：_____． 8. 分解因式：______． 9. 如图是一个正五边形及两条对角线，则___________． 10. 如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 11. 设关于x的方程的一个根是，则两根之积_______． 12. 如图，数轴上点表示的数分别为，点在之间，若图中有一条线段是另一条线段的两倍，则点表示的数可以为_______ ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解不等式：； （2）已知：如图，点E，F分别在线段上，，，，交DE于点O．求证：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ （1）填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … （2）你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 16. 如图是的正方形网格，点M，N，P均在格点上，请仅用无刻度直尺画出符合要求的图形，保留必要的画图痕迹． （1）请在图1中画出过点P且与垂直的线段； （2）请在图2中画出点P关于的对称点Q． 17. 已知某校九（1）班共有48名同学，其中有28名男生，20名女生． （1）若随机抽一名同学回答问题，抽到男生的概率是______； （2）学校因组织考试，将小明、小林随机编入A，B，C三个考场，请你用画树状图法或列表法求两人编入同一个考场的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 定滑轮常用来升降物体．在水平地面上，小明用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，绳子拉直后，物体位于点处．如图，在同一平面内，均垂直于，垂足分别为，．测得，，，求滑轮与地面的距离的值（结果精确到，参考数据： ，，）． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点． （1）若点A的横坐标为3，，直接写出的值______； （2）若，求出此时的值． 20. 【调查问题】某校针对“学习工具对中学生学习的影响”开展调查，收集了以下数据： 数据1：使用频率分布 频率 比例 每天使用 每周使用 偶尔使用 数据2：主要用途分布 功能 比例 A 作业辅助 B 知识点查询 C 考试复习 D 兴趣拓展 数据3：家长与教师态度对比 态度 家长比例 教师比例 E 支持 F 中立 G 反对 【数据整理】 （1）根据数据1，若全校有800名学生，估算每天使用学习工具的学生人数； （2）根据数据2，求出扇形统计图中各部分的圆心角度数； 【数据分析】 （3）根据数据3，比较家长和教师对学习工具的态度差异，并用双条形图表示； 【综合应用】 （4）结合数据2和数据3，你认为学习工具的主要优势和潜在问题是什么？各写一条． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的弦（非直径），点C是半径上的一个动点（不与线段两端点重合），过点C作的垂线，交于点D，交于点E，交的垂直平分线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若点E是的中点，且点C是的中点，，求的长． 22. 已知点和点在抛物线上． （1）抛物线的对称轴为______； （2）若抛物线与x轴只有一个交点，求a的值； （3）请探究：若对于整数t，使得当，且时，都有，求t的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【课本呈现】如图1，将沿直线翻折，得到，则，，． （1）连接，则与的位置关系是______； 【应用探究】 如图2，与关于某直线对称，与交于点F． （2）求证：； （3）请在备用图中探究：已知，若，，，设的延长线与的延长线交于点G，求的长（用含k的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $