期末复习专题 三角恒等变换章末复习卷-2025-2026年高一数学人教B版必修第三册

**基本信息** 聚焦三角恒等变换核心公式的综合应用，构建从基础化简到函数性质探究的递进式知识逻辑，强化运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|11题（选择11+填空3）|公式直接应用、化简判断、已知值求值|从两角和差公式到二倍角公式的生成推导，体现同角关系的工具性| |综合拓展|5题（解答5）|多公式联用、参数范围分析、最值求解|以公式变形为纽带，连接角的拆分与函数表达式转化，形成问题解决链| |函数结合|2题（解答18-19）|三角函数性质探究、实际情境应用|从恒等变换到函数模型构建，体现模型观念与应用意识|

三角恒等变换章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．设，，，则有（    ） A． B． C． D． 8．已知锐角满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，，下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．化简___________． 13．已知，，则________． 14．已知，，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 16．化简求值 (1) (2) 17．已知，，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 18．已知函数的最大值为1. (1)求函数的单调递增区间； (2)若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值. 19．已知，． (1)求、的值； (2)求的值； (3)若、均为锐角，且，求的值． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角恒等变换章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用三角恒等变换得到，再利用同角三角函数商数关系求解 【详解】因为， 所以， 所以. 4．已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式展开化简得， 则， 又是锐角，则，所以，选D. 5．已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式得出． 【详解】因为，， 所以，所以， 又， 所以， 故选：B． 6．若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 7．设，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由辅助角公式、两角和的正切公式、及余弦二倍角公式化简，结合正弦函数的单调性即可判断. 【详解】 ， ， ， 由在的单调性可知：. 8．已知锐角满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，则， 令，，则，， 由于是锐角，即，又因为， 由，又由， 所以，，则由基本不等式有： ， 当且仅当时取等号，将其代入，解得， 即，， 此时， 因为，，即存在满足条件的锐角，使得等号成立， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列式子化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D， ，故D正确. 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用半角公式，辅助角公式得到，结合，得到方程，求出或，检验后得到答案. 【详解】， 即，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 故或，解得或， 经检验，均满足要求. 故选：AC 11．已知，，下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，由同角三角函数的平方关系及角的范围得到；B选项，根据同角三角函数平方关系得到，去掉不合要求的解；C选项，利用凑角法求解；D选项，在C选项的基础上，得到，利用正弦差角公式计算出答案. 【详解】A选项，由，得，故A正确； B选项，因为，所以， 由，得， 又，其中， 假若，则，因在上单调递减，故，得， 这与矛盾，所以，故B错误； C选项， ，故C正确； D选项，由及，得， 故，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．化简___________． 【答案】 【详解】 13．已知，，则________． 【答案】/ 【分析】根据二倍角的余弦公式及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 14．已知，，则_________. 【答案】 /4.6 【分析】先利用两角差的正切公式求解，再将所求式展开后弦化切，代入已知正切值计算即可. 【详解】已知，则，解得. 因为均存在，故， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据求出，利用齐次化求值的处理方法转化为即可求解； （2）结合（1）的结果，先缩小的范围，得到的范围，然后分别算出，的值进一步缩小的范围，然后结合其正弦值得出答案. 【详解】（1）根据两角差的正切公式，，解得， （2）注意到，则，，于是， 结合（1）结果，则， ，则，由可知. 于是， ， 故是第一象限角， ，，则， 于是 16．化简求值 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先通过提取公因式，利用二倍角余弦公式与积化和差公式化简分子，再利用诱导公式化简分母，最后代入分子分母计算即得； （2）先利用诱导公式，同角三角函数关系式以及辅助角公式化简分子，再利用二倍角的正余弦公式化简分母，最后代入分子分母计算即得. 【详解】（1）原式分子： 分母： 则原式. （2）原式分子： = 分母： 则原式. 17．已知，，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式展开求解即可； （2）利用二倍角公式求出，再由同角三角函数基本关系求出，最后利用商数关系可求tanβ即可； （3）利用两角和公式分别求出，，，，最后利用两角差余弦求解即可. 【详解】（1）由题设，，， ∴，， （2） 因为，则，所以 （3）由， 则， 由， 则， ∴，， 又因为， ∴， 而，故. 18．已知函数的最大值为1. (1)求函数的单调递增区间； (2)若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用二倍角公式、诱导公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）根据函数的平移变换规则得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为 ， 而函数的最大值为1，所以，解得，即， 由，，解得，. 所以函数的单调递增区间为，. （2）将的图象向左平移个单位得到函数的图象， 所以， 因为，所以， 所以，则， 则在区间上的最大值为，最小值为. 19．已知，． (1)求、的值； (2)求的值； (3)若、均为锐角，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由两角和与差的正弦公式可得出关于、的方程组，即可解出这两个量的值； （2）利用二倍角的正弦、余弦公式结合（1）中的结果可得出所求代数式的值； （3）根据正切函数的单调性得出，可求出、的取值范围，结合同角三角函数的基本关系结合两角和的余弦公式可求出的值. 【详解】（1）由题意得，得． （2）． （3）由，得． 由，得，得， 所以，， 由，得， ， 所以 ． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $