微专题二 分式方程实际应用五种模型全攻略（期末复习）2025-2026学年数学苏科版八年级下册

期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 微专题二 分式方程实际应用五种模型全攻略 题型一：行程问题 【典例精讲1】（2026•吉林二模）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆30km，乙校距纪念馆25km．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快10km/h．求大巴车行驶的时间． 【分析】设大巴车的平均速度为xkm/h，则中巴车的平均速度为（x+10）km/h，根据结果两校学生同时到达纪念馆，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：设大巴车的平均速度为xkm/h， 根据题意可列方程，得， 整理得，5x＝250， 解得x＝50， 经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意， 答：大巴车行驶的时间为． 【典例精讲2】（2026•徐州二模）从徐州到某地可乘普通列车，路程是560km，也可乘坐高铁，路程是500km．已知高铁行驶的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从徐州乘坐高铁比乘坐普通列车少用3h．求高铁行驶的平均速度． 【分析】设普通列车的平均速度是x千米/时，根据题意列分式方程求解． 【解答】解：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据题意列分式方程为： ， 1400＝7.5x+500， ∴x＝120 检验，x＝120是原方程的解， ∴2.5x＝300， 答：高铁行驶的平均速度是300千米/时． 【变式训练1】（2026春•秀英区校级期中）海南省首个省级科技馆于2025年12月18日开启试运行，是海南自贸港重要的科普教育地标．某校八年级学生前往距学校15千米的海南省科技馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了10分钟，其余学生乘坐中巴出发，结果他们同时到达，已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.5倍，求大巴的平均速度． 【分析】设大巴的平均速度是xkm/h，，则中巴的平均速度是1.5xkm/h，根据中巴用的时间比大巴少10分钟，列出方程，解方程即可． 【解答】解：设大巴的平均速度是xkm/h， 根据题意列分式方程得： ， 整理得，9x＝270， 解得x＝30， 经检验x＝30是原方程的解， 答：大巴的平均速度是30km/h． 【变式训练2】（2026•连州市校级二模）某学校开展了课外活动，活动地点距离学校6km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到5min，求乙同学骑自行车的速度． 【分析】设乙同学骑自行车的速度是x千米/小时，则甲同学骑自行车的速度是1.2x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙早到5min，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设乙同学骑自行车的速度是x千米/小时，则甲同学骑自行车的速度是1.2x千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝12， 经检验，x＝12是所列方程的解，且符合题意． 答：乙同学骑自行车的速度是12千米/小时． 【变式训练3】（2026•沛县二模）徐州汉画像石馆自免费开放以来，吸引了大量游客前往参观．小六家距离汉画像石馆12km．周末，小六从家出发骑自行车前往参观，出发0.2h后，爸爸发现小六忘了带学生证，立即骑摩托车沿同一路线去追赶．已知摩托车的平均速度是自行车平均速度的3倍，结果爸爸比小六提前0.2h到达．求小六骑自行车的平均速度是多少？ 【分析】设小六骑自行车的平均速度是xkm/h，则爸爸骑摩托车的平均速度是3xkm/h，根据小六从家出发骑自行车前往参观，出发0.2h后，爸爸发现小六忘了带学生证，立即骑摩托车沿同一路线去追赶，结果爸爸比小六提前0.2h到达，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设小六骑自行车的平均速度是xkm/h，则爸爸骑摩托车的平均速度是3xkm/h， 由题意得：0.2﹣0.2， 解得：x＝20， 答：小六骑自行车的平均速度是20km/h． 【变式训练4】（2026•榆树市模拟）小张和同学相约“五一”节到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． （1）求小张跑步的平均速度； （2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，他能否在电影开始前赶到电影院？说明理由． 【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5x米/分，根据时间＝路程÷速度结合骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据时间＝路程÷速度可求出小张跑步及骑车的时间，由总耗时＝跑步时间+骑车时间+6求出总耗时，再与25比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5x米/分， 根据题意得：4， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意． 答：小张跑步的平均速度为200米/分． （2）跑步的时间：2400÷200＝12（分钟）， 骑车的时间：12﹣4＝8（分钟）， ∵12+8+6＝26＞25， ∴小张不能在电影开始前赶到电影院． 题型二：工程问题 【典例精讲1】（2026•卢氏县二模）某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为2400台．公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的2倍．先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人； （2）首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产40天该款智能机器人，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍，要使这40天的智能机器人生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【分析】（1）设乙车间每天生产x台智能机器人，则甲车间每天生产2x台智能机器人，结合先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务，再建立分式方程求解即可． （2）设安排甲车间生产m天，乙车间生产（40﹣m）天，这40天的生产总量为w台，进一步利用一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设乙车间每天生产x台智能机器人，则甲车间每天生产2x台智能机器人， 根据题意列分式方程得，， 解得x＝120， 经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×120＝240． 答：甲车间每天生产240台智能机器人，乙车间每天生产120台智能机器人． （2）设安排甲车间生产m天，乙车间生产（40﹣m）天，这40天的生产总量为w台， 根据题意列一次函数得，w＝240m+120（40﹣m）＝120m+4800， ∵120＞0， ∴w随m的增大而增大． ∵安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍， ∴根据题意列一元一次不等式得，m≤3（40﹣m）， 整理得，4m≤120， 解得m≤30， 由于天数不能为负数， ∴0≤m≤30．． ∴当m＝30时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣30＝10． 答：要使这40天的生产总量最大，应安排甲车间生产30天，乙车间生产10天． 【典例精讲2】（2026•韶关二模）如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 莫铭：； 齐妙：． 根据以上信息，解答下列问题． （1）莫铭同学所列方程中的x表示　甲队每天修路的长度　 ； 齐妙同学所列方程中的y表示　甲队修路700米所用时间　 ； （2）在莫铭和齐妙所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：　甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等　 ； （3）利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 【分析】（1）根据所列方程，结合题意即可解答； （2）根据选择的方程，结合题意即可解答； （3）解分式方程即可． 【解答】解：（1）由题意可知，莫铭同学所列方程中的x表示：甲队每天修路的长度； 齐妙同学所列方程中的y表示：甲队修路700米所用时间； 故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路700米所用时间； （2）选择莫铭同学的方程：， 等量关系为：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等； 故答案为：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等； （3）选择莫铭同学的方程：， 解得：x＝70， 经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意， 答：甲队每天修路70米． 【变式训练1】（2026•九龙坡区校级三模）某工厂生产一种“组合书架”，每个书架由1块层板和4个支撑脚组成．已知用1立方米木材可制作20块层板或80个支撑脚． （1）现有200立方米木材，问用多少立方米制作层板，多少立方米制作支撑脚，才能使层板和支撑脚恰好配套？并求出可生产多少个书架？ （2）工厂计划生产（1）中所得的书架数量，生产到一半时，因订单急需，工厂增加人手，使得每天生产的书架数量比原来增加了25%，结果提前2天完成全部生产任务，求原计划每天生产多少个书架？ 【分析】（1）设用x立方米制作层板，y立方米制作支撑脚，才能使层板和支撑脚恰好配套，根据现有200立方米木材，每个书架由1块层板和4个支撑脚组成，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设原计划每天生产m个书架，根据生产到一半时，因订单急需，工厂增加人手，使得每天生产的书架数量比原来增加了25%，结果提前2天完成全部生产任务，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设用x立方米制作层板，y立方米制作支撑脚， 由题意得：， 解得：， ∴可生产书架100×20＝2000（个）， 答：用100立方米制作层板，100立方米制作支撑脚，才能使层板和支撑脚恰好配套，可生产2000个书架； （2）设原计划每天生产m个书架， 由题意得：2， 解得：m＝100， 经检验，m＝100是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天生产100个书架． 【变式训练2】（2026•渝中区校级三模）列方程解下列问题： 露营是当下非常流行的休闲方式，“栖野”露营用品店为促销，向某工厂定制了一批露营套装作为赠品，每套套装由1个露营灯和4个挂饰配套组成．已知工厂里一名工人每天可生产30个露营灯或者60个挂饰． （1）工厂现安排45名工人分工生产露营灯和挂饰，要使每天生产的露营灯和挂饰恰好全部配套，应安排多少名工人生产露营灯？ （2）该店3月份投入了6000元定制露营套装，4月份每套露营套装的成本比3月份提高了30元，4月投入资金比3月多750元，且定制的露营套装的数量是3月的75%，求4月份每套露营套装的成本是多少元？ 【分析】（1）根据“挂饰数量＝露营灯数量×4”的配套关系，设生产露营灯的工人数为x，用含x的式子表示出露营灯和挂饰的总数，列一元一次方程求解； （2）根据“4月定制数量＝3月定制数量×75%”的数量关系，设4月每套成本为x元，用含x的分式表示两个月的定制数量，列分式方程求解，最后检验分母不为0，确认解有效． 【解答】解：（1）设安排x名工人生产露营灯，则（45﹣x）名工人生产挂饰， 根据题意可得4×30x＝（45﹣x）×60， 即120x＝（45﹣x）×60， 解得x＝15， 故应安排15名工人生产露营灯； （2）设4月份每套露营套装的成本是x元，则3月份每套露营套装的成本是（x﹣30）元， ∵该店3月份投入了6000元定制露营套装，4月份每套露营套装的成本比3月份提高了30元，4月投入资金比3月多750元， ∴，即， 整理得，6750（x﹣30）＝4500x， 解得x＝90， 当x＝90，x﹣30＝60≠0，故x＝90是原方程的解， 故4月份每套露营套装的成本是90元． 【变式训练3】（2026春•东台市月考）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． （1）已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ （2）在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要x天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【解答】解：（1）设乙生产线单独完成需要x天， 根据题意列分式方程得： ， 解得x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解且符合题意， 40+5＝45（天）， 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）根据题意列式得，； 答：这样安排能在12天内完成任务． 题型三：利润问题 【典例精讲1】（2026•清城区模拟）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 【分析】设A型号纪念品的单价是x元，则B型号纪念品的单价是（x+28）元，根据用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设A型号纪念品的单价是x元，则B型号纪念品的单价是（x+28）元， 根据题意得：2， 解得：x＝12， 经检验，x＝12是所列方程的解，且符合题意， ∴x+28＝40， 答：A型号纪念品的单价是12元，B型号纪念品的单价是40元． 【典例精讲2】（2026•盂县二模）2026年春晚机器人表演走红后，各地掀起科技民俗表演热潮，将非遗文化与现代科技巧妙融合．经市场调研发现，目前民俗表演中A型机器人与B型机器人的租用需求较大．已知每个A型机器人的日租金比每个B型机器人多500元．同时，用10500元单独租用1个A型机器人的天数，与用9000元单独租用1个B型机器人的天数恰好相同，分别求每个A，B两种型号机器人的日租金． 【分析】设每个A型机器人的日租金是x元，则每个B型机器人的日租金是（x﹣500）元，根据用10500元单独租用1个A型机器人的天数与用9000元单独租用1个B型机器人的天数恰好相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每个A型机器人的日租金），再将其代入（x﹣500）中，即可求出每个B型机器人的日租金． 【解答】解：设每个A型机器人的日租金是x元，则每个B型机器人的日租金是（x﹣500）元， 根据题意得：， 解得：x＝3500， 经检验，x＝3500是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣500＝3500﹣500＝3000． 答：每个A型机器人的日租金是3500元，每个B型机器人的日租金是3000元． 【变式训练1】（2026•市南区校级模拟）崂山绿茶是中国名茶之一，某茶叶店计划从茶场购进甲、乙两种绿茶，加工之后进行销售，现两种绿茶的进价和售价如表： 进价/（元/kg） 售价/（元/kg） 甲种绿茶 a 300 乙种绿茶 a+40 360 已知用10000元购进甲种绿茶的质量与用12000元购进乙种绿茶的质量相同． （1）求这两种茶叶每千克的进价各是多少； （2）该茶叶店计划购进甲、乙两种绿茶共300kg，其中甲种绿茶不少于100kg且不超过150kg．那么销售完这两种绿茶可以获得的最大利润是多少？ 【分析】（1）利用购进数量＝进货总价÷进货单价，结合用10000元购进甲种绿茶的质量与用12000元购进乙种绿茶的质量相同，可列出关于a的分式方程，解之经检验后，可得出a的值（即甲种绿茶每千克的进价），再将其代入（a+40）中，即可求出乙种绿茶每千克的进价； （2）设购进甲种绿茶xkg（100≤x≤150），销售完这两种绿茶的总利润为y元，则购进乙种绿茶（300﹣x）kg，利用总利润＝每千克甲种绿茶的销售利润×购进甲种绿茶的质量+每千克乙种绿茶的销售利润×购进乙种绿茶的质量，可找出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：a＝200， 经检验：a＝200是所列方程的解，且符合题意， ∴a+40＝200+40＝240． 答：甲种绿茶每千克的进价是200元，乙种绿茶每千克的进价是240元； （2）设购进甲种绿茶xkg（100≤x≤150），销售完这两种绿茶的总利润为y元，则购进乙种绿茶（300﹣x）kg， 根据题意得：y＝（300﹣200）x+（360﹣240）（300﹣x）， 即y＝﹣20x+36000， ∵﹣20＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵100≤x≤150， ∴当x＝100时，y取得最大值，最大值为﹣20×100+36000＝34000． 答：销售完这两种绿茶可以获得的最大利润是34000元． 【变式训练2】（2026春•万州区校级月考）端午节来临之际，重百超市准备大量购进咸口和甜口两种口味粽子，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口粽子和用600元购进咸口粽子的袋数相同． （1）求甜口和咸口的粽子每袋的进价各是多少？ （2）超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味粽子共60袋，其中咸口粽子的数量不超过甜口粽子数量的两倍，该超市将甜口粽子每袋的售价定为40元，咸口粽子每袋的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口粽子售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋粽子总利润最大，应该购进甜口粽子多少袋？ 【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，设出咸口粽子的进价，根据两种粽子的购进袋数相等的关系列分式方程求解即可； （2）本题考查一元一次不等式组与一次函数最值的实际应用，先根据资金和数量限制列出不等式组，得到甜口粽子进货量的取值范围，再根据一次函数的增减性求出总利润最大时的进货量． 【解答】解：（1）设咸口粽子每袋进价为x元，则甜口粽子每袋进价为（x+5）元， 由题意列分式方程得，， 整理得，150x＝3000， 解得x＝20， 经检验x＝20是原方程的解， ∴x+5＝20+5＝25 （元）， 答：甜口粽子每袋进价25元，咸口粽子每袋进价20元； （2）设购进甜口粽子a袋，则购进咸口粽子（60﹣a）袋， 由题意列一元一次不等式组得，， 解得20≤a≤24， 设售完60袋粽子的总利润为w元， 由题意得w＝（40﹣2﹣25）a+（32﹣20）（60﹣a）＝a+720， ∵1＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝24时，w取得最大值， 答：要使总利润最大，应该购进甜口粽子24袋． 【变式训练3】（2026•惠来县二模）某文创店推出A，B两款主题纪念钥匙扣．已知A款钥匙扣的单价是B款钥匙扣单价的1.25倍，且用105元购买A款钥匙扣的数量，比用120元购买B款钥匙扣的数量少3个．求这两款钥匙扣的单价． 【分析】设B款钥匙扣单价是x元，则A款钥匙扣的单价是1.25x元，根据用105元购买A款钥匙扣的数量，比用120元购买B款钥匙扣的数量少3个，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设B款钥匙扣单价是x元，则A款钥匙扣的单价是1.25x元， 由题意得：3， 解得：x＝12， 经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意， ∴1.25x＝15， 答：A款钥匙扣单价是15元，B款钥匙扣的单价是12元． 【变式训练4】（2026•普洱二模）某中学为鼓励学生加强体育锻炼，决定购买篮球和排球两种运动器材．已知每个篮球的进价比每个排球的进价多40元，若用2600元购买篮球的数量与用1000元购买排球的数量相等，请问篮球和排球的进价分别为每个多少元？ 【分析】先设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个（x+40）元，再根据2600元购买篮球的数量等于1000元购买排球的数量列出分式方程，求出解，并检验得出答案． 【解答】解：设排球的进价为每个x元， 根据题意列分式方程得，， 解得x＝25， 经检验x＝25是方程的解，且符合实际， ∴x+40＝25+40＝65． 答：排球的进价为每个25元，篮球的进价为每个65元． 题型四：方案问题 【典例精讲】（2026•开封二模）开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． （1）用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ （2）若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件，该商店共有哪几种进货方案． 【分析】（1）设机绣挂件每件进价为x元，根据“用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进手工挂件a件，根据“总费用不超过500元，手工挂件至少购进10件”列不等式组求解即可． 【解答】解：（1）设机绣挂件每件进价为x元，则手工挂件每件进价为（x+8）元， ∵用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同， ∴， 解得x＝16， 经检验，x＝16是原分式方程的解， ∴x+8＝24， ∴机绣挂件每件进价16元，手工挂件每件进价24元； （2）设购进手工挂件a件，则购进机绣挂件（25﹣a）件， 根据题意，得， 解得10≤a≤12.5， ∴整数a可取10或11或12， ∴共有3种进货方案如下： 方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件； 方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件； 方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件． 【变式训练1】（2026•南山区三模）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 【分析】（1）设B型号纪念品的单价是x元，则A型号纪念品的单价是（x+20）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型号纪念品的单价），再将其代入（x+20）中，即可求出A型号纪念品的单价； （2）设购买y个A型号纪念品，则购买（70﹣y）个B型号纪念品，根据“购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设B型号纪念品的单价是x元，则A型号纪念品的单价是（x+20）元， 根据题意得：2， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意， ∴x+20＝80+20＝100（元）． 答：A型号纪念品的单价是100元，B型号纪念品的单价是80元； （2）设购买y个A型号纪念品，则购买（70﹣y）个B型号纪念品， 根据题意得：， 解得：42≤y≤44， 又∵y为正整数， ∴y可以为42，43，44， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买42个A型号纪念品，28个B型号纪念品； 方案2：购买43个A型号纪念品，27个B型号纪念品； 方案3：购买44个A型号纪念品，26个B型号纪念品． 题型五：最值问题 【典例精讲】（2026•高州市一模）三八妇女节（国际劳动妇女节）是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域作出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的节日，体现对女性权益的重视，倡导尊重女性、关爱女性的社会风尚．某单位准备购买护肤套装和生活用品套装共30套分发给员工过节．其中护肤套装比生活用品套装每套贵80元． （1）若用7500元购买护肤套装与用6000元购买生活用品套装的数量相同，求护肤套装和生活用品套装每套的价格； （2）在（1）的条件下，若购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 【分析】（1）设生活用品套装的价格为x元，则护肤套装为（x+80）元，根据用7500元购买护肤套装与用6000元购买生活用品套装的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买生活用品套装为m套，则购买护肤套装为（30﹣m）套，根据购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的2倍，列出一元一次不等式，解不等式得出m≤20，再设总费用为w元，列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设生活用品套装的价格为x元，则护肤套装为（x+80）元， ∴． ∴x＝320， 经检验，x＝320是原方程的解，且符合题意， ∴x+80＝320+80＝400， 答：护肤套装的价格为400元，生活用品套装的价格为320元； （2）设购买生活用品套装为m套，则购买护肤套装为（30﹣m）套， 由题意得：0≤m≤2（30﹣m）， ∴0≤m≤20， 设总费用为w元， 则w＝320m+400（30﹣m）＝﹣80m+12000， ∵﹣80＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝20时，w最小， 此时，30﹣m＝30﹣20＝10， 答：购买生活用品套装20套，护肤套装10套时，总费用最少． 【变式训练1】（2026•德州二模）南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． （1）求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； （2）若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 【分析】（1）设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是（x﹣2）万元，根据用20万元购买“安心”充电桩与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为（30﹣m）套，根据采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≤20，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设1套“优电”充电桩的单价是x万元， 由题意得：， 解得：x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣2＝6﹣2＝4， 答：1套“优电”充电桩的单价是6万元，1套“安心”充电桩的单价是4万元； （2）设购买“安心”充电桩的数量为m套， 由题意得：m≤2（30﹣m）， 解得：m≤20， 设所需费用为w万元， 由题意得：w＝4m+6（30﹣m）＝﹣2m+180， ∵﹣2＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝20时，w＝﹣2×20+180＝140， ∴w取得最小值为140万元， 答：采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元． 【变式训练2】（2026•淮滨县校级模拟）清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的2倍，每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天． （1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； （2）某茶厂计划一天采摘鲜叶400斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和16名新手采茶工人，熟练采茶工人每人每天的工资为300元，新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 【分析】（1）设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，根据每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天可得等量关系列出分式方程解出． （2）设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元，根据题意构造出y与x的一次函数关系，根据一次函数的性质确定x的取值，即可得出答案． 【解答】解：（1）设新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，则熟练采茶工人一天能采摘鲜叶2x斤． 根据题意列方程得， 整理得，15x＝120， 解得x＝8， 经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×8＝16， 即熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶16斤， 答：熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶16斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶8斤； （2）设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元， 则每天安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶． 根据题意列方程得． ∵﹣70＜0， ∴y随m的增大而减小． ∵是整数，0≤m≤16，且m为整数， ∴当m＝16时，y有最小值， 此时． 答：茶厂一天应安排17名熟练采茶工人采摘鲜叶，16名新手采茶工人采摘鲜叶能使费用最少 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 微专题二 分式方程实际应用五种模型全攻略 题型一：行程问题 【典例精讲1】（2026•吉林二模）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，甲、乙两校分别组织学生去中国人民抗日战争纪念馆参观．甲校距纪念馆30km，乙校距纪念馆25km．两校学生同时从学校出发，甲校学生乘坐中巴车，乙校学生乘坐大巴车，结果两校学生同时到达纪念馆．已知中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快10km/h．求大巴车行驶的时间． 【典例精讲2】（2026•徐州二模）从徐州到某地可乘普通列车，路程是560km，也可乘坐高铁，路程是500km．已知高铁行驶的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从徐州乘坐高铁比乘坐普通列车少用3h．求高铁行驶的平均速度． 【变式训练1】（2026春•秀英区校级期中）海南省首个省级科技馆于2025年12月18日开启试运行，是海南自贸港重要的科普教育地标．某校八年级学生前往距学校15千米的海南省科技馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了10分钟，其余学生乘坐中巴出发，结果他们同时到达，已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.5倍，求大巴的平均速度． 【变式训练2】（2026•连州市校级二模）某学校开展了课外活动，活动地点距离学校6km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到5min，求乙同学骑自行车的速度． 【变式训练3】（2026•沛县二模）徐州汉画像石馆自免费开放以来，吸引了大量游客前往参观．小六家距离汉画像石馆12km．周末，小六从家出发骑自行车前往参观，出发0.2h后，爸爸发现小六忘了带学生证，立即骑摩托车沿同一路线去追赶．已知摩托车的平均速度是自行车平均速度的3倍，结果爸爸比小六提前0.2h到达．求小六骑自行车的平均速度是多少？ 【变式训练4】（2026•榆树市模拟）小张和同学相约“五一”节到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． （1）求小张跑步的平均速度； （2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，他能否在电影开始前赶到电影院？说明理由． 题型二：工程问题 【典例精讲1】（2026•卢氏县二模）某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为2400台．公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的2倍．先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人； （2）首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产40天该款智能机器人，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍，要使这40天的智能机器人生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【典例精讲2】（2026•韶关二模）如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 莫铭：； 齐妙：． 根据以上信息，解答下列问题． （1）莫铭同学所列方程中的x表示　 　 ； 齐妙同学所列方程中的y表示　 　； （2）在莫铭和齐妙所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：　 　 ； （3）利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 【变式训练1】（2026•九龙坡区校级三模）某工厂生产一种“组合书架”，每个书架由1块层板和4个支撑脚组成．已知用1立方米木材可制作20块层板或80个支撑脚． （1）现有200立方米木材，问用多少立方米制作层板，多少立方米制作支撑脚，才能使层板和支撑脚恰好配套？并求出可生产多少个书架？ （2）工厂计划生产（1）中所得的书架数量，生产到一半时，因订单急需，工厂增加人手，使得每天生产的书架数量比原来增加了25%，结果提前2天完成全部生产任务，求原计划每天生产多少个书架？ 【变式训练2】（2026•渝中区校级三模）列方程解下列问题： 露营是当下非常流行的休闲方式，“栖野”露营用品店为促销，向某工厂定制了一批露营套装作为赠品，每套套装由1个露营灯和4个挂饰配套组成．已知工厂里一名工人每天可生产30个露营灯或者60个挂饰． （1）工厂现安排45名工人分工生产露营灯和挂饰，要使每天生产的露营灯和挂饰恰好全部配套，应安排多少名工人生产露营灯？ （2）该店3月份投入了6000元定制露营套装，4月份每套露营套装的成本比3月份提高了30元，4月投入资金比3月多750元，且定制的露营套装的数量是3月的75%，求4月份每套露营套装的成本是多少元？ 【变式训练3】（2026春•东台市月考）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． （1）已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ （2）在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 题型三：利润问题 【典例精讲1】（2026•清城区模拟）第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ 【典例精讲2】（2026•盂县二模）2026年春晚机器人表演走红后，各地掀起科技民俗表演热潮，将非遗文化与现代科技巧妙融合．经市场调研发现，目前民俗表演中A型机器人与B型机器人的租用需求较大．已知每个A型机器人的日租金比每个B型机器人多500元．同时，用10500元单独租用1个A型机器人的天数，与用9000元单独租用1个B型机器人的天数恰好相同，分别求每个A，B两种型号机器人的日租金． 【变式训练1】（2026•市南区校级模拟）崂山绿茶是中国名茶之一，某茶叶店计划从茶场购进甲、乙两种绿茶，加工之后进行销售，现两种绿茶的进价和售价如表： 进价/（元/kg） 售价/（元/kg） 甲种绿茶 a 300 乙种绿茶 a+40 360 已知用10000元购进甲种绿茶的质量与用12000元购进乙种绿茶的质量相同． （1）求这两种茶叶每千克的进价各是多少； （2）该茶叶店计划购进甲、乙两种绿茶共300kg，其中甲种绿茶不少于100kg且不超过150kg．那么销售完这两种绿茶可以获得的最大利润是多少？ 【变式训练2】（2026春•万州区校级月考）端午节来临之际，重百超市准备大量购进咸口和甜口两种口味粽子，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口粽子和用600元购进咸口粽子的袋数相同． （1）求甜口和咸口的粽子每袋的进价各是多少？ （2）超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味粽子共60袋，其中咸口粽子的数量不超过甜口粽子数量的两倍，该超市将甜口粽子每袋的售价定为40元，咸口粽子每袋的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口粽子售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋粽子总利润最大，应该购进甜口粽子多少袋？ 【变式训练3】（2026•惠来县二模）某文创店推出A，B两款主题纪念钥匙扣．已知A款钥匙扣的单价是B款钥匙扣单价的1.25倍，且用105元购买A款钥匙扣的数量，比用120元购买B款钥匙扣的数量少3个．求这两款钥匙扣的单价． 【变式训练4】（2026•普洱二模）某中学为鼓励学生加强体育锻炼，决定购买篮球和排球两种运动器材．已知每个篮球的进价比每个排球的进价多40元，若用2600元购买篮球的数量与用1000元购买排球的数量相等，请问篮球和排球的进价分别为每个多少元？ 题型四：方案问题 【典例精讲】（2026•开封二模）开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． （1）用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ （2）若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件，该商店共有哪几种进货方案． 【变式训练1】（2026•南山区三模）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 题型五：最值问题 【典例精讲】（2026•高州市一模）三八妇女节（国际劳动妇女节）是为庆祝妇女在经济、政治和社会等领域作出的重要贡献和取得的巨大成就而设立的节日，体现对女性权益的重视，倡导尊重女性、关爱女性的社会风尚．某单位准备购买护肤套装和生活用品套装共30套分发给员工过节．其中护肤套装比生活用品套装每套贵80元． （1）若用7500元购买护肤套装与用6000元购买生活用品套装的数量相同，求护肤套装和生活用品套装每套的价格； （2）在（1）的条件下，若购买生活用品套装数量不超过护肤套装数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 【变式训练1】（2026•德州二模）南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． （1）求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； （2）若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 【变式训练2】（2026•淮滨县校级模拟）清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的2倍，每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天． （1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； （2）某茶厂计划一天采摘鲜叶400斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和16名新手采茶工人，熟练采茶工人每人每天的工资为300元，新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $