第十章 分式【期末复习讲义】（基础版）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十章 分式【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+26个题型讲练+真题实战练 共62题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 分式无意义的条件 题型十四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型二 分式有意义的条件 题型十五 分式加减混合运算 题型三 分式值为零的条件 题型十六 分式加减的实际应用 题型四 分式的求值 题型十七 分式加减乘除混合运算 题型五 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型十八 分式化简求值 题型六 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十九 分式最值 题型七 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型二十 分式方程无解问题 题型八 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型二十一 列分式方程 题型九 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型二十二 分式方程的行程问题 题型十 约分 题型二十三 分式方程的工程问题 题型十一 最简分式 题型二十四 分式方程的经济问题 题型十二 最简公分母 题型二十五 分式方程和差倍分问题 题型十三 通分 题型二十六 分式方程的其它实际问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 分式相关概念 1. 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点二 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点三 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 知识点四 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点五 分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 知识点六 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点七 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点八 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 知识点九 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 知识点十 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 知识点十一 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点十二 分式方程应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、 要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度＝路程÷时间； 工作量问题：工作效率＝工作量÷工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 分式无意义的条件 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 题型讲练二 分式有意义的条件 【例2】（24-25八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值等于0？ (1)； (2)； (3)． 题型讲练三 分式值为零的条件 【例3】（24-25八年级下·甘肃白银·月考）若分式的值为，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【变式】当______时，分式的值等于零． 题型讲练四 分式的求值 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 题型讲练五 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【例5】（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 题型讲练六 求使分式值为整数时未知数的整数值 【例6】（25-26八年级上·重庆忠县·期末）对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式】（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 题型讲练七 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例7】（25-26八年级下·河南周口·月考）下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 【变式】（25-26八年级上·全国·期末）阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 题型讲练八 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 题型讲练九 将分式的分子分母各项系数化为整数 【例9】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【变式】（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 题型讲练十 约分 【例10】（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【变式】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简 (1) (2) 题型讲练十一 最简分式 【例11】（25-26八年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则 D．分式中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值保持不变 【变式】（2025八年级上·河北沧州·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．若分式值为0，则x的值为 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中，，都扩大2倍，分式的值不变 D．分式不是最简分式 题型讲练十二 最简公分母 【例12】（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【变式】（25-26八年级上·湖南永州·月考）下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式时， D．无论x为何值，的值总为正数 题型讲练十三 通分 【例13】（25-26八年级下·全国·课后作业）把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【变式】（2026八年级下·全国·专题练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 题型讲练十四 已知分式恒等式，确定分子或分母 【例14】（25-26八年级上·山东滨州·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：m为何值时，多项式有一个因式是． 解：设它的另一个因式为（a为常数）， 则 比较两边的系数，得，解得． (1)已知多项式有一个因式是，求m的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值； (3)已知是的一个因式，分解因式：________． 【变式】（25-26八年级上·北京海淀·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：为何值时，多项式有一个因式是？ 解：设它的另一个因式为（为常数）， 则 ， 比较两边的系数，得，解得； (1)已知多项式有一个因式是，求的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值 (3)已知是的一个因式，请用待定系数法将分解因式． 题型讲练十五 分式加减混合运算 【例15】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 请认真阅读，并完成相应任务． 通过小学的学习，我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数． 例如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：． 再如： 任务： (1)分式是_________分式（填“真”或“假”）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知的值为正整数，直接写出x的整数值． 【变式】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫做“分离常数法”． (1)将分式分离常数，则，那么______； (2)利用分离常数法，当分式的值为正整数时，满足条件的整数的值为_______． 题型讲练十六 分式加减的实际应用 【例16】（25-26八年级上·山东泰安·月考）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子、的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则 ；（填“”“”或“”） (2)已知，，当，且时，比较与的大小，并说明理由． 【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决． (1)用简便方法计算下题：； (2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出升水，第2次倒出升的，第3次倒出升的，第4次倒出升的……第n次倒出的水量是升的……，按照这种倒水的方法，这1升水可以倒完吗？为什么？ 题型讲练十七 分式加减乘除混合运算 【例17】（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算或化简： (1) ； (2)． 【变式】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）计算： (1) ； (2)． 题型讲练十八 分式化简求值 【例18】（25-26八年级下·河南南阳·期中）先化简，再求值：，在，，中选取适当的一个作为x的值代入求分式的值． 【变式】25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中a从，，0，1，2中选取一个合适的数． 题型讲练十九 分式最值 【例19】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【变式】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 题型讲练二十 分式方程无解问题 【例20】（25-26八年级下·福建漳州·期中）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点P的“系雅培点”；例如：的“3系雅培点”为，即． (1)点的“2系雅培点”，则的坐标为 ； (2)已知点在第四象限，且满足，点A是点的“系雅培点”； ①求m与n之间的数量关系； ②若分式方程无解，求的值． 【变式】若关于x的方程 无解，则________． 题型讲练二十一 列分式方程 【例21】（25-26八年级上·河南安阳·期末）为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线6000m的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁30m，结果提前10天完成改迁任务．设原计划每天改迁管道m，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． (1)根据题意填空． ①小明设_____为，列出尚不完整的方程：_____； ②小华设_____为，列出尚不完整的方程：； (2)请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 题型讲练二十二 分式方程的行程问题 【例22】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【变式】（2026九年级下·广东深圳·专题练习）为响应深圳市教育局“每周半天计划”，深圳某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托鲲鹏径20段特色线路展开活动．学校将初一年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的200公里轨迹． 【信息收集】信息一： 路段 路程（千米） 计划平均速度（千米/时） 第11组 鲲鹏径11段 12.5 第19组 鲲鹏径19段 6 a 信息二：第11组和第19组计划用时相等． 【问题解决】 (1)求a的值和计划用时； (2)第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米时多长时间？ 题型讲练二十三 分式方程的工程问题 【例23】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的． (1)求甲、乙两队每天各修围墙多少米？ (2)若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式． (3)若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？ 【变式】（25-26八年级下·广东深圳·期中）项目式学习问题：迎接APEC的智能机器人采购与工程规划背景：2026年亚太经合组织（APEC）非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵万元．若用元单独采购A款，采购数量会比仅采购B款少台． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期天．若两机器人合作天，余下工作由B机器人单独完成，可提前天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为千米，每台单价万元；B款机器人每日巡逻路程为千米，每台单价万元．街道办拟购买两种机器人共台，要求每日巡逻总路程不低于千米，且总费用不超过万元． 任务一：机器人单价计算 (1)设B款机器人每台的单价为万元，则A款机器人每台的单价为万元，请根据素材一列出分式方程，不用求解． 任务二：巡逻工程规定日期 (2)根据素材二，求该项工程规定日期多少天？ 任务三：机器人采购方案 (3)根据素材三，问有多少种购买方案，款机器人各购买多少台？ 题型讲练二十四 分式方程的经济问题 【例24】（25-26八年级下·重庆·期中）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）2026年清明假期，长沙岳麓山、橘子洲等各大景区游客量大幅攀升，文旅氛围浓厚．某商家抢抓文旅机遇，购进岳麓山纪念徽章和橘子洲纪念钥匙扣两款特色文创，深受游客及本地学生喜爱．已知每个橘子洲纪念钥匙扣的进价比每枚岳麓山纪念徽章贵5元，且用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等． (1)求每枚岳麓山纪念徽章和每个橘子洲纪念钥匙扣的进价各是多少元？ (2)该商家计划购进两种文创产品共50件，要求橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元，则有哪几种购买方案？请将购买方案列举出来． 题型讲练二十五 分式方程和差倍分问题 【例25】（2026·山东济宁·一模）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【变式】（2026·广西南宁·一模）为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． (1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； (2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 题型讲练二十六 分式方程的其它实际问题 【例26】（2026·湖南长沙·二模）年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． (1)，两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 【变式】（25-26八年级上·河南许昌·期末）某校购进甲、乙两种款式的篮球，购买甲种篮球用了1200元，购买乙种篮球用了2100元，购买的乙种篮球数量是甲种的1.5倍，乙种篮球单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种篮球的单价分别为多少元； (2)该校计划再次订购这两种篮球共60个，总费用不超过2000元，那么该校最少购买多少个甲种篮球？ 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·重庆·期中）小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建三明·一模）在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 3．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若关于的分式方程有增根，则________． 5．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）对于非零的两个实数，规定．如果，那么x的值为_____． 6．（25-26八年级下·江西九江·期中）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 7．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）解方程： (1) (2) 8．（25-26八年级下·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中． 9．（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 10．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和定分式”，常数称为“和定值”．例如：分式，，，则与互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断与是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出． (2)已知分式，，若与互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”的值，求代数式（用含的式子表示）． (3)已知分式，（，为常数），若与互为和定分式”，则________， ________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十章 分式【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+26个题型讲练+真题实战练 共62题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 分式无意义的条件 题型十四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型二 分式有意义的条件 题型十五 分式加减混合运算 题型三 分式值为零的条件 题型十六 分式加减的实际应用 题型四 分式的求值 题型十七 分式加减乘除混合运算 题型五 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型十八 分式化简求值 题型六 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十九 分式最值 题型七 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型二十 分式方程无解问题 题型八 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型二十一 列分式方程 题型九 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型二十二 分式方程的行程问题 题型十 约分 题型二十三 分式方程的工程问题 题型十一 最简分式 题型二十四 分式方程的经济问题 题型十二 最简公分母 题型二十五 分式方程和差倍分问题 题型十三 通分 题型二十六 分式方程的其它实际问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 分式相关概念 1. 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点二 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点三 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 知识点四 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点五 分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 知识点六 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点七 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点八 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 知识点九 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 知识点十 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 知识点十一 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点十二 分式方程应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、 要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度＝路程÷时间； 工作量问题：工作效率＝工作量÷工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 分式无意义的条件 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】5 【思路引导】根据分式无意义的条件求出的值，根据分式值为的条件求出的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：当时，分式无意义， 即， 解得：， 当时，分式的值为， 即且， 解得：， 则． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 【答案】5 【思路引导】本题考查的是分式的值为零的条件，分式无意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分母为是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算求出、的值，然后代入求出代数式的值即可． 【规范解答】解：由题意，得， 解得 ． 题型讲练二 分式有意义的条件 【例2】（24-25八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论取何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【规范解答】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意； 、分母为，当或时，分母为零，不符合题意； 故选：． 【变式】（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值等于0？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)任何实数， (2)， (3)， 【思路引导】本题考查了分式有意义的条件，分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零． （1）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． （2）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． （3）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． 【规范解答】（1）解：∵，∴ ∴当x为任何实数时，分式有意义． 当时，分式的值等于0． （2）解：当时，即时，分式有意义． 当时，即时，分式的值等于0． （3）解：当，即，分式有意义． 当时，解得：，当时，分式无意义， 故当时，分式的值为0． 题型讲练三 分式值为零的条件 【例3】（24-25八年级下·甘肃白银·月考）若分式的值为，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据分式的值为零的条件，分子为零，分母不为零，进行求解即可． 【规范解答】解：， 且， 解得． 【变式】当______时，分式的值等于零． 【答案】 【思路引导】根据分式值为零的条件，可得分子为零且分母不为零，据此解答即可． 【规范解答】解：∵分式的值为零， ∴， 解得， ∴当时，分式的值为零． 题型讲练四 分式的求值 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】将化为，根据计算即可． 【规范解答】解： ． 【变式】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 【答案】B 【思路引导】将变形得到，从而推出，再利用完全平方公式变形计算即可． 【规范解答】解：由条件可知， ， ， 又， ． 题型讲练五 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【例5】（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 【答案】24 【思路引导】本题主要考查了解一元一次不等式组、分式，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．先求解不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个整数解的条件确定的取值范围；再根据分式值为非负数的条件，得到的另一取值范围，求交集后得到整数的值，最后求和． 【规范解答】解： 不等式组的解集为， 有且仅有2个整数解，即整数解为1和2， ， 解得， 整数可为，，，， 又分式，恒成立， ，得， 满足条件的整数为， ， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 【答案】(1)，不等式组无解， (2) 【思路引导】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出两个不等式组的解集，即可解答； （2）先根据有理数的除法法则得出③或④，分别求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：解不等式组①，得， 解不等式组②，得不等式组无解， 故当x满足时，分式的值为正． 故答案为：；不等式组无解；； （2）解：∵分式的值为负， ∴分子、分母异号， 原式可转化为③或④， 解不等式组③： 由，得，由，得， ∴不等式组③无解； 解不等式组④： 由，得，由，得， ∴不等式组④的解集为． 综上所述，若分式的值为负，则x的取值范围为． 题型讲练六 求使分式值为整数时未知数的整数值 【例6】（25-26八年级上·重庆忠县·期末）对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，正确的地找到规律，是解题的关键 先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这列数6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵ 周期乘积， ， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故满足条件的整数共有6个．故④正确， 故选：B． 【变式】（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 【答案】(1)假分式 (2)， (3) 【思路引导】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； ． （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ∴， ∴符合条件的负整数的值为． 题型讲练七 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例7】（25-26八年级下·河南周口·月考）下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 【答案】D 【思路引导】根据分式的性质，对各选项进行判断即可． 【规范解答】解：选项A：当时，分式分母为，分式无意义，即选项A错误； 选项B：当时，分式无意义，故选项B错误； 选项C：当，都扩大倍，分式转变为，即分式的值也扩大三倍，故选项C错误； 选项D：无法再进行化简，故是最简分式，选项D正确． 【变式】（25-26八年级上·全国·期末）阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小，减小 (2)的值无限接近 【思路引导】本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． （）根据表格得当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小；当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小，即的值随之减小； （）当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，从而得出的值无限接近； 【规范解答】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 由于，则当时，随着的增大，的值随之减小，从而的值随之减小，即的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：∵， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零， ∴的值无限接近； 即当时，随着的增大，的值无限接近． 题型讲练八 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【思路引导】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【规范解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 题型讲练九 将分式的分子分母各项系数化为整数 【例9】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【规范解答】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 【变式】（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键； （1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：． 题型讲练十 约分 【例10】（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【思路引导】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 【变式】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）约去分子，分母的最大公因式即可； （2）先分解因式，然后约分计算即可； 【规范解答】（1）解：； （2）解：； 题型讲练十一 最简分式 【例11】（25-26八年级上·山东济宁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则 D．分式中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值保持不变 【答案】C 【思路引导】本题考查分式的定义、最简分式的判断、分式值为零的条件以及分式的基本性质． 根据分式的定义、最简分式的判断、分式值为零的条件以及分式的基本性质逐一判断即可． 【规范解答】解：A：分式定义要求分母中含有字母，而的分母是常数3，不含字母，不是分式，A错误； B：分母，与分子有公因式，不是最简分式，B错误； C：分式值为零需分子为零且分母不为零，中，分子时或，但时分母为零，只有时满足，C正确； D：当同时扩大2倍，新分式为，值变为原来的2倍，不保持不变，D错误； 故选：C． 【变式】（2025八年级上·河北沧州·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．若分式值为0，则x的值为 B．根据分式的基本性质，可以变形为 C．分式中，，都扩大2倍，分式的值不变 D．分式不是最简分式 【答案】B 【思路引导】本题考查了分式的相关知识点，根据分式值为零的条件、分式的基本性质、分式值的变化和最简分式的定义逐一判断各选项即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：A、若分式值为0，则且，解得，故原说法错误，不符合题意； B、根据分式的基本性质，可以变形为，故原说法正确，符合题意； C、，故分式中，，都扩大2倍，分式的值扩大倍，故原说法错误，不符合题意； D、分式中分子分母没有公因式，是最简分式，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 题型讲练十二 最简公分母 【例12】（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 【变式】（25-26八年级上·湖南永州·月考）下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式时， D．无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【思路引导】本题考查了分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题的关键是熟练掌握分式的相关概念与性质． 判断分式有意义需分母不为零；确定最简公分母取系数最小公倍数与字母因式最高次幂的积；分式值为零需分子为零且分母不为零；判断分式值的正负需分析分母的取值范围． 【规范解答】解：A、分式有意义的条件是，并非，此选项不符合题意； B、分式与的最简公分母是，并非，此选项不符合题意； C、当时，由得，但即，故，此选项不符合题意； D、因，故，此选项符合题意； 故选：D． 题型讲练十三 通分 【例13】（25-26八年级下·全国·课后作业）把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键． 先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确． 【规范解答】解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意； 故选：D． 【变式】（2026八年级下·全国·专题练习）若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【规范解答】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 题型讲练十四 已知分式恒等式，确定分子或分母 【例14】（25-26八年级上·山东滨州·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：m为何值时，多项式有一个因式是． 解：设它的另一个因式为（a为常数）， 则 比较两边的系数，得，解得． (1)已知多项式有一个因式是，求m的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值； (3)已知是的一个因式，分解因式：________． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）由题意设它的另一个因式为 ，则，再利用多项式的乘法法则展开，比较系数即可求解； （2）把等式右边两个分式通分相加，再比较两边分子的系数即可求得A、B的值，从而可求解； （3）由题意设它的另一个因式为（为常数），则，再把右边展开，合并同类项，比较系数即可． 【规范解答】（1）解：设它的另一个因式为 ， 则 比较两边的系数，得， 解得； （2）解：， ， ， 比较分子的系数得， ∴ ； （3）解：设它的另一个因式为（为常数） 则 ， 比较两边的系数，得，解得， ． 【变式】（25-26八年级上·北京海淀·期末）根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：为何值时，多项式有一个因式是？ 解：设它的另一个因式为（为常数）， 则 ， 比较两边的系数，得，解得； (1)已知多项式有一个因式是，求的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值 (3)已知是的一个因式，请用待定系数法将分解因式． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了多项式的乘法，分解因式，分式的加减法等知识，理解题意并正确进行计算是关键； （1）由题意设它的另一个因式为 ，则，再利用多项式的乘法法则展开，比较系数即可求解； （2）把等式右边两个分式通分相加，再比较两边分子的系数即可求得A、B的值，从而可求解； （3）由题意设它的另一个因式为（为常数），则，再把右边展开，合并同类项，比较系数即可． 【规范解答】（1）解：设它的另一个因式为 ， 则 比较两边的系数，得， 解得， ； （2）解：， ， ， 比较分子的系数得，解得， ； （3）解：设它的另一个因式为（为常数） 则 ， 比较两边的系数，得，解得， ． 题型讲练十五 分式加减混合运算 【例15】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 请认真阅读，并完成相应任务． 通过小学的学习，我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数． 例如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：． 再如： 任务： (1)分式是_________分式（填“真”或“假”）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知的值为正整数，直接写出x的整数值． 【答案】(1)真 (2) (3)2，6， 【思路引导】本题考查了分式加减的实际应用，理解题意，利用题中的运算方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”的定义即可做出判断； （2）根据题中的运算方法即可将假分式化为带分式； （3）先将假分式化为带分式，根据分式的值为整数即可得到x的整数值． 【规范解答】（1）解：∵分式中，分子的次数为0，分母的次数为1，即分子的次数小于分母的次数， ∴分式为真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解： ， ∵的值为正整数， ∴的值为正整数， 则必须是5的整数因数， ∴或或， 解得或或． 【变式】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫做“分离常数法”． (1)将分式分离常数，则，那么______； (2)利用分离常数法，当分式的值为正整数时，满足条件的整数的值为_______． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了分式的加减以及分式的基本性质，掌握分式加减法的计算方法以及分式的性质是正确解答的关键． （1）将分子变形为，通过比较常数项求即可； （2）对分式进行分离常数，得到，令其值为正整数，结合分母不为零且分式值为整数的条件，求整数 ． 【规范解答】（1）解：由， 得， ， ∴． 故答案为 ：； （2）解：对分式进行分离常数：分子， ∴ ． 设分式的值为正整数，则，即． 由于为正整数，， ∴ ，即． ∵为整数， ∴ 为整数． 又∵为整数且， ∴只能为． 当时，，分式值为，为正整数． 因此满足条件的整数的值为． 故答案为 ：． 题型讲练十六 分式加减的实际应用 【例16】（25-26八年级上·山东泰安·月考）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子、的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则 ；（填“”“”或“”） (2)已知，，当，且时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【思路引导】（1）先化简，再根据作出判断即可； （2）计算，并根据，且作出判断即可； 【规范解答】（1）解： ， ， ， ， 即； （2）解： ， ， ， ，且， ， ， ， ． 【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）一瓶水，每次倒一点，是否一定能倒完？有人肯定觉得不管怎么倒，一定能倒完．真是这样吗？下面我们用所学的数学知识来分析解决． (1)用简便方法计算下题：； (2)利用（1）中得出的规律解决以下问题，一个容器装有1升水，按如下要求倒水：第1次倒出升水，第2次倒出升的，第3次倒出升的，第4次倒出升的……第n次倒出的水量是升的……，按照这种倒水的方法，这1升水可以倒完吗？为什么？ 【答案】(1) (2)倒不完，理由见解析 【思路引导】（1）裂项相消法进行计算即可； （2）根据题意，列出算式求出倒出去的水的和，利用裂项相消法进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：倒不完，理由如下： ； 故倒不完． 题型讲练十七 分式加减乘除混合运算 【例17】（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先利用单项式乘以多项式和完全平方公式计算，然后合并同类项即可； （2）先把括号内合并，再将除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 题型讲练十八 分式化简求值 【例18】（25-26八年级下·河南南阳·期中）先化简，再求值：，在，，中选取适当的一个作为x的值代入求分式的值． 【答案】，当时，原式． 【思路引导】先根据分式混合运算法则化简，得出最简结果，再根据分式有意义的条件得出，代入求值即可． 【规范解答】解： = = =， ∵有意义， ∴，， ∴，， ∴在，，中只能取， 当时，原式． 【变式】25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中a从，，0，1，2中选取一个合适的数． 【答案】，当时，原式；（答案不唯一，或当时，原式） 【思路引导】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再从，，0，1，2中选取一个使原分式有意义的数代入计算即可． 【规范解答】解：原式， 根据分式有意义的条件可得，， 当时，原式． 当时，原式． 题型讲练十九 分式最值 【例19】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)当时，函数取得最小值，最小值为 【思路引导】（1）根据题意利用“基本不等式”进行求解即可； （2）根据题意利用“基本不等式”进行求解； （3）根据题意，利用“基本不等式”以及整体思想进行求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴函数的最小值是4； （2）解：同（1）得， ∴当时，取得最小值6， 解得或（舍去）， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 当时，函数取得最小值，最小值为， 解得（舍去）或， ∴当时，函数取得最小值，最小值为． 【变式】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【思路引导】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【规范解答】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 题型讲练二十 分式方程无解问题 【例20】（25-26八年级下·福建漳州·期中）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点P的“系雅培点”；例如：的“3系雅培点”为，即． (1)点的“2系雅培点”，则的坐标为 ； (2)已知点在第四象限，且满足，点A是点的“系雅培点”； ①求m与n之间的数量关系； ②若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)①；②2或 【思路引导】（1）根据新定义的运算法则，即可求出的坐标； （2）①根据点A是点的“系雅培点”，且点在第四象限，结合，即可求解；②由①可得出的值，代入方程，再根据分式方程无解，即可求出c的值． 【规范解答】（1）解：（1）∵， ∴点P的“2系雅培点”的坐标为， ∴的坐标为． （2）解：①∵点A是点的“系雅培点”， 同理可得：点， ∵，故，即， ∵点A在第四象限，故， ∴． ②由①得，代入分式方程得， 整理得， 当时，方程无解； 当时，则， ∵该方程无解，即方程有增根为3， ∴，即， 解得， 综上所述，或． 【变式】若关于x的方程 无解，则________． 【答案】，1 【思路引导】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解即可． 【规范解答】解：原方程为 方程两边同乘最简公分母去分母得：， 展开并移项合并同类项得：， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，满足未知数系数为且常数项不为，即 ，解得，此时，符合要求； 当整式方程的解为原分式方程的增根时， 原分式方程分母为和，因此增根为， 将代入得： ， 解得，符合要求； 综上，的值为或． 题型讲练二十一 列分式方程 【例21】（25-26八年级上·河南安阳·期末）为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线6000m的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁30m，结果提前10天完成改迁任务．设原计划每天改迁管道m，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据提前10天完成任务列方程． 本题考查根据实际问题列分式方程，关键是找到原计划和实际完成任务的天数差． 【规范解答】解：∵设原计划每天改迁管道 ∴实际每天改迁管道 ∵总管道长度为 ∴原计划完成任务的天数为，实际完成任务的天数为 ∵实际比原计划提前10天完成任务 ∴ 故选：C 【变式】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． (1)根据题意填空． ①小明设_____为，列出尚不完整的方程：_____； ②小华设_____为，列出尚不完整的方程：； (2)请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①普通列车的平均速度，；②动车的行驶时间， (2)见解析 【思路引导】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键． (1) ①设普通列车的平均速度为，则动车的平均速度为 ，根据所需时间比普通列车少，即可列出关于的分式方程，此题得解．②设动车的行驶时间为，根据动车行驶的平均速度比普通列车快，列出方程即可； (2) 解（1）中列出的方程并检验即可． 【规范解答】（1）解：①小明设普通列车的平均速度为，列出的方程为：， 故答案为：普通列车的平均速度， ②小华设动车的行驶时间为，列出的方程为：； 故答案为：动车的行驶时间， （2）①设普通列车的平均速度为，列出的方程为：， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， 此时， 答：该动车行驶的平均速度． ②设动车的行驶时间为y h，列出的方程为： 解得， 经检验是方程的根且符合题意， 此时 km/h， 答：该动车行驶的平均速度． 题型讲练二十二 分式方程的行程问题 【例22】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【答案】小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟 【思路引导】设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟，利用“时间路程速度”的关系，根据两人的时间差为4分钟列方程求解即可． 【规范解答】解：设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟,根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 此时， 答：小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟． 【变式】（2026九年级下·广东深圳·专题练习）为响应深圳市教育局“每周半天计划”，深圳某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托鲲鹏径20段特色线路展开活动．学校将初一年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的200公里轨迹． 【信息收集】信息一： 路段 路程（千米） 计划平均速度（千米/时） 第11组 鲲鹏径11段 12.5 第19组 鲲鹏径19段 6 a 信息二：第11组和第19组计划用时相等． 【问题解决】 (1)求a的值和计划用时； (2)第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米时多长时间？ 【答案】(1)的值为1.2，计划用时为5小时 (2)至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时 【思路引导】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）根据题意列出分式方程求解即可； （2）设需要保持平均速度为3千米/时小时，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得： 解得：， 经检验：是分式方程的根， （小时）， 答：的值为1.2，计划用时为5小时； （2）解：设需要保持平均速度为3千米/时小时， 根据题意得： 解得： 答：至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时. 题型讲练二十三 分式方程的工程问题 【例23】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的． (1)求甲、乙两队每天各修围墙多少米？ (2)若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式． (3)若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？ 【答案】(1)甲队每天修路200米，乙队每天修路160米 (2) (3)两队至少需要合作5天 【思路引导】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用及一元一次不等式的应用； （1）设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，根据题意列分式方程，求解并检验即可； （2）根据题意求解即可； （3）设两队需要合作t天，根据题意列出不等式，求解即可． 【规范解答】（1）解：设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，由题意得 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（米）， 答：甲队每天修路200米，乙队每天修路160米； （2）解：由题意得：； （3）解：设两队需要合作t天，由题意得 解得， 答：两队至少需要合作5天． 【变式】（25-26八年级下·广东深圳·期中）项目式学习问题：迎接APEC的智能机器人采购与工程规划背景：2026年亚太经合组织（APEC）非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵万元．若用元单独采购A款，采购数量会比仅采购B款少台． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期天．若两机器人合作天，余下工作由B机器人单独完成，可提前天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为千米，每台单价万元；B款机器人每日巡逻路程为千米，每台单价万元．街道办拟购买两种机器人共台，要求每日巡逻总路程不低于千米，且总费用不超过万元． 任务一：机器人单价计算 (1)设B款机器人每台的单价为万元，则A款机器人每台的单价为万元，请根据素材一列出分式方程，不用求解． 任务二：巡逻工程规定日期 (2)根据素材二，求该项工程规定日期多少天？ 任务三：机器人采购方案 (3)根据素材三，问有多少种购买方案，款机器人各购买多少台？ 【答案】(1) (2) (3)共有种购买方案，分别是购买A款台、B款台，或购买A款台、B款台 【思路引导】（1）据“万元买B款的数量减去买A款的数量等于台”直接列出分式方程即可； （2）设规定日期为天，根据“A工作天的工作量加上B工作天的工作量等于总工作量”列分式方程求解并检验即可； （3）设买A款台，根据“每日总路程千米”和“总费用万元”列不等式组，求出正整数解即可得到购买方案． 【规范解答】（1）解：； （2）解：设该项工程规定日期为天， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 答：该项工程规定日期为天； （3）解：设购买A款机器人台，则购买B款机器人台， ， 解得， ∵为正整数， ∴或，对应两种购买方案： 方案一：购买A款机器人台，B款机器人台； 方案二：购买A款机器人台，B款机器人台； 答：共有种购买方案，分别是购买A款台、B款台，或购买A款台、B款台． 题型讲练二十四 分式方程的经济问题 【例24】（25-26八年级下·重庆·期中）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【答案】(1)该区域投放了20辆型和30辆型电单车 (2)采购这两种电单车总共需要花费元 【思路引导】（1）本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题目给的和差倍分关系列出等量关系式求解． （2）本题主要考查了分式方程的应用，利用“数量=总价单价”列式求解． 【规范解答】（1）解：设该区域投放了辆型和辆型电单车． 由题意得：， 解得：， 答：该区域投放了20辆型和30辆型电单车． （2）解：设每辆型电单车进价元，则每辆型电单车进价元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴总花费为 （元）． 答：采购这两种电单车总共需要花费元． 【变式】（25-26八年级下·湖南长沙·期中）2026年清明假期，长沙岳麓山、橘子洲等各大景区游客量大幅攀升，文旅氛围浓厚．某商家抢抓文旅机遇，购进岳麓山纪念徽章和橘子洲纪念钥匙扣两款特色文创，深受游客及本地学生喜爱．已知每个橘子洲纪念钥匙扣的进价比每枚岳麓山纪念徽章贵5元，且用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等． (1)求每枚岳麓山纪念徽章和每个橘子洲纪念钥匙扣的进价各是多少元？ (2)该商家计划购进两种文创产品共50件，要求橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元，则有哪几种购买方案？请将购买方案列举出来． 【答案】(1)每枚岳麓山纪念徽章进价10元，每个橘子洲纪念钥匙扣进价15元 (2)共有3种购买方案，分别为：方案一：购进岳麓山纪念徽章25件，橘子洲纪念钥匙扣25件；方案二：购进岳麓山纪念徽章24件，橘子洲纪念钥匙扣26件；方案三：购进岳麓山纪念徽章23件，橘子洲纪念钥匙扣27件 【思路引导】本题考查分式方程、不等式组的应用，根据已知条件列出分式方程及不等式组是解题的关键． （1）设每枚岳麓山纪念徽章的进价为元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价为元，结合两种文创的购进数量相等的等量关系，列分式方程求解即可，分式方程需要检验； （2）设购进橘子洲纪念钥匙扣件，则购进岳麓山纪念徽章件，根据题意列出不等式组，结合为正整数，即可求出所有符合条件的购买方案． 【规范解答】（1）解：设每枚岳麓山纪念徽章的进价为元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 则元， 答：每枚岳麓山纪念徽章进价10元，每个橘子洲纪念钥匙扣进价15元； （2）解：设购进橘子洲纪念钥匙扣件，则购进岳麓山纪念徽章件， 由题意得： 解得， 为正整数， 可取25，26，27， 当时，件， 当时，件， 当时，件， 答：共有3种购买方案，分别为：方案一：购进岳麓山纪念徽章25件，橘子洲纪念钥匙扣25件；方案二：购进岳麓山纪念徽章24件，橘子洲纪念钥匙扣26件；方案三：购进岳麓山纪念徽章23件，橘子洲纪念钥匙扣27件． 题型讲练二十五 分式方程和差倍分问题 【例25】（2026·山东济宁·一模）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】(1)每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 (2)购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【思路引导】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． （2）解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 【变式】（2026·广西南宁·一模）为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． (1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； (2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 【答案】(1)； (2)50千克 【思路引导】（1）根据一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍可得一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；采摘200千克茉莉花需要的时间=总重量÷每天采摘量，即天； （2）根据“一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”列分式方程解答即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花； 采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）； （2）解：依题意，得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 智能采摘机器人平均每天采摘量：． 答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克． 题型讲练二十六 分式方程的其它实际问题 【例26】（2026·湖南长沙·二模）年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． (1)，两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 【答案】(1) 种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元； (2) 最多能购进种赛车模型个． 【思路引导】（1）设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元，根据题意列方程求解即可； （2）设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个，根据题意列不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元． （2）解：设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个， 根据题意可得， 解得， ∴最多能购进种赛车模型个． 【变式】（25-26八年级上·河南许昌·期末）某校购进甲、乙两种款式的篮球，购买甲种篮球用了1200元，购买乙种篮球用了2100元，购买的乙种篮球数量是甲种的1.5倍，乙种篮球单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种篮球的单价分别为多少元； (2)该校计划再次订购这两种篮球共60个，总费用不超过2000元，那么该校最少购买多少个甲种篮球？ 【答案】(1)甲种篮球的单价是30元，乙种篮球的单价是35元 (2)该校最少购买20个甲种篮球 【思路引导】（1）设甲种篮球的单价是x元，则乙种篮球的单价是元，根据题意列出方程，即可求解； （2）设购买甲种篮球m个，则购买乙种篮球个，根据题意列出不等式即可求解． 【规范解答】（1）解：设甲种篮球的单价是x元，则乙种篮球的单价是元， 根据题意得：． 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意 ∴（元） 答：甲种篮球的单价是30元，乙种篮球的单价是35元 （2）解：设购买甲种篮球m个，则购买乙种篮球个． 根据题意得， 解得：． ∴m的最小值为20， 答：该校最少购买20个甲种篮球． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·重庆·期中）小阳与小红两人周末去广阳岛骑行，小阳的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先根据小红的骑行速度表示出小阳的骑行速度，再根据等量关系列方程即可. 【规范解答】∵ 小红的骑行速度为，小阳的速度是小红速度的倍， ∴ 小阳的速度为， ∵ 两人各自骑行了，小阳骑行时间比小红少用了，且， ∴ 可得方程. 2．（2026·福建三明·一模）在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 【答案】D 【思路引导】根据路程、速度、时间的关系，结合题意判断各选项中未知数和空缺部分的正误即可． 【规范解答】解：设规定时间为，则快马时间为，快马速度为， 慢马时间为，慢马速度为， 又∵快马速度是慢马的2倍，可得，因此表示规定时间，A正确； △应为，故D错误； 设慢马速度为，则快马速度为，慢马时间为，规定时间， 快马时间为，规定时间，因此方程为，可得表示慢马速度，B正确； *表示，C正确． 综上，不正确的是D． 3．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先根据总长得到罗布的长度，再利用单价总价钱长度分别表示两种布的单价，最后根据“绫罗各一尺共值钱120文”列出方程即可． 【规范解答】解：∵ 1丈尺， ∴绫布和罗布总长尺． 设绫布有尺，则罗布长度为尺， ∵单价等于总售价除以长度，绫布总售价为896文， ∴绫布每尺价格为文， 同理，罗布总售价为896文， ∴罗布每尺价格为文， 根据“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”， 可得：． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【思路引导】先根据增根的定义确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程求解，排除不成立的结果即可得到的值． 【规范解答】解：分式方程的最简公分母为， 分式方程有增根， ， 解得或， ， 方程两边同乘最简公分母，得， 将代入上式，得， 整理得，解得； 将代入上式，得， 整理得，等式不成立，故无解； 综上所述，． 5．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）对于非零的两个实数，规定．如果，那么x的值为_____． 【答案】0 【思路引导】根据新定义的运算规则，列出关于的分式方程，解分式方程即可得到的值． 【规范解答】解：∵， ∴， 由 得： ， 方程两边同乘得： ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解， ∴x的值为0． 6．（25-26八年级下·江西九江·期中）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 【答案】 【思路引导】先根据题目给出的单价关系表示出A款玩偶的单价，再根据数量等于总金额除以单价的关系，分别表示出两款玩偶的购进数量，最后根据A款数量比B款少50个的等量关系列方程即可； 【规范解答】解：设B款哪吒玩偶的单价是元，则A款哪吒玩偶单价为元， 根据题意可得购进A款玩偶的数量为个，购进B款玩偶的数量为个， 因为购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，即B款数量减去A款数量等于50， 因此列方程得：． 7．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)无解． 【思路引导】（1）根据解分式方程的方法求解即可； （2）根据解分式方程的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 8．（25-26八年级下·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【思路引导】利用分式混合运算法则化简，得出最简结果，再把代入计算即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 9．（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 【答案】，时，原式 【规范解答】解：原式 ， ∵，， ， 当时， 原式 . 10．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和定分式”，常数称为“和定值”．例如：分式，，，则与互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断与是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出． (2)已知分式，，若与互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”的值，求代数式（用含的式子表示）． (3)已知分式，（，为常数），若与互为和定分式”，则________， ________． 【答案】(1)与互为“和定分式”， “和定值” (2)， (3)， 【思路引导】（1）求出，看和是否为定值，即可判断； （2）求出，由与互为“和定分式”且分式为真分式，得到是的倍，可得，，即可求解； （3）求出，根据题意可得分子 是分母的倍，即，推出，即可求解． 【规范解答】（1）解： ，， ， 与互为“和定分式”，“和定值”； （2）解： ，， ， 与互为“和定分式”， 且分式为真分式， 是的倍数， 又 中，的系数为，中的系数为， ，， ； （3）解： ，， ， 与互为“和定分式”，分子 中，的系数为，中的系数为， 分子 是分母的倍，即， 即， ， 解得，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $