期末复习专题第十一章 立体几何初步章末复习卷-2025-2026学年高一数学人教B版必修第四册

**基本信息** 以空间几何体计算与空间位置关系为核心，整合静态性质与动态问题，突出空间观念与推理能力的综合考查。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何体计算|选择1-3,7,填空13|结合体积、表面积、外接球，需综合公式与几何性质|从几何体概念（如圆锥、棱台）到性质（体积公式、侧面展开图），形成概念-公式-应用链条| |空间点线面关系|选择9,填空12,解答15,16,18(2)|平行垂直证明及体积比，需运用判定定理|从线面平行/垂直判定到面面关系，构建位置关系推理体系| |空间角与距离|选择4,6,8,解答17(2),19(3)|异面直线角、线面角、距离计算，需转化平面角|从空间角定义到转化方法（平移、射影），体现几何直观与运算能力| |翻折与轨迹问题|选择11,填空14,解答17(3),19|动态几何与轨迹分析，需结合空间约束|从静态几何体到动态翻折/轨迹，培养空间想象与创新意识|

第十一章 立体几何初步章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（    ） A． B．6 C． D．3 2．已知长方体的长、宽、高分别为，将该长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则剩下的几何体体积为（    ） A． B． C． D．不确定 3．如图，直三棱柱中，点分别为和的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 4．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 5．如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 6．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 7．已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）. A． B． C． D． 8．在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，异面直线与所成角的余弦值为，则直线与直线的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下面说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 11．在棱长为2的正方体中，P是棱的中点，点Q在线段，满足，点F为侧面内的一动点，则下列说法正确的为（    ） A．直线与直线所成角为 B．若，则F点的轨迹是线段 C．若平面，则点F的轨迹长度为 D．若点F在线段上，则的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍（chú méng）”是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个“刍甍”，，，M是DE的中点，N是AB上的点.若平面BCF，则______．    13．已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 ______. 14．在长方体中，，，，长方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． 16．如图，在三棱柱中，，分别是棱，上一点，且，. (1)证明：直线，，交于同一点； (2)记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值. 17．如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点， (1)求证：； (2)求异面直线EF与所成角； (3)已知P是侧面内一点，若平面，求线段长度的取值范围． 18．如图，在边长为4的正方体中，点分别为棱，，，的中点，点分别是棱上的一点，且 (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)试求三棱锥的体积. 19．如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得． (1)求证：平面平面； (2)求点D到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 立体几何初步章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆锥体积公式，结合扇形弧长公式列式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意，解得， 所以这个圆锥的底面直径是. 2．已知长方体的长、宽、高分别为，将该长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则剩下的几何体体积为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】设长方体的长、宽、高分别为，根据长方体的几何特征，我们可得两两垂直，代入棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥的体积与剩下的几何体体积，进而得到答案． 【详解】 设长方体的长、宽、高分别为，即，，， 由长方体，得两两垂直， 所以， 所以剩下的几何体体积． 3．如图，直三棱柱中，点分别为和的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 连接，对于三棱锥与三棱锥，二者高相等， 因为是的中点，所以底面积， 所以． 对于三棱锥与四棱锥，由于二者高相等， 底面积，所以． 所以，所以． 4．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得. 【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 5．如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 【答案】B 【分析】取的中点，连接，得平面为平面截正方体的截面，由梯形的面积公式即可求解. 【详解】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    6．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 7．已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径. 【详解】在正四棱台中，，，体积为，高为， 故， 则，， 连接、相交于点，、相交于点， 设外接球的球心为，若在台体外， 设到底面的距离为， 则半径为， 即，解得，所以球心与点重合， 若在台体内，到底面的距离为， 则半径为， 即，解得， 所以球心与点重合， 综上所述，，故，所以. 故选：C. 8．在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，异面直线与所成角的余弦值为，则直线与直线的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线与所成角的余弦值为求出底面正方形的边长，进而可求解. 【详解】 如图，该四棱柱为长方体，因为, 所以为异面直线与所成角， 设底面正方形边长为，则， 在中，， 解得， 因为该四棱柱为长方体，所以平面，平面， 所以,同理, 所以直线与直线的距离为， 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下面说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】对于A，如图，若，， 则不一定平行，可能相交，故A错误； 对于B，由，，则，故B正确； 对于C，由，则存在直线，使得， 而，则，所以，故C正确； 对于D，由，，则或，故D错误. 10．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【详解】对于AB：还原平面图如下图，    则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 11．在棱长为2的正方体中，P是棱的中点，点Q在线段，满足，点F为侧面内的一动点，则下列说法正确的为（    ） A．直线与直线所成角为 B．若，则F点的轨迹是线段 C．若平面，则点F的轨迹长度为 D．若点F在线段上，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】在正方体中，由平面，得到，即可判断A；通过证明平面，得到平面，进而得到F点的轨迹，即可判断B；通过证明平面平面，得到平面，进而得到线段就是点的轨迹，求出，即可判断C；将沿着翻折，使其与在同一平面内，则的最小值就是，在展开之后的中，利用余弦定理求出，即可判断D. 【详解】 如图所示，在正方体中，平面， 又平面，所以， 即直线与直线所成角为，故A正确； 在正方体中， 因为平面，又平面，所以. 在正方形中，， 因为，平面，所以平面. 因为平面，若，则平面. 因为点F在侧面内，所以线段就是F点的轨迹，故B正确； 如图所示，取上靠近的三等分点，的中点，连接， 则在正方形中，可得. 又平面，平面，所以平面. 又因为分别是的中点，所以，且， 可知四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 因为平面，，所以平面平面. 因为平面，若平面，则平面. 又点F在侧面内，所以线段就是点的轨迹， 因为， 所以点F的轨迹长度不是，故C错误； 如图所示，将沿着翻折，使其与在同一平面内，连接， 与的交点即为点，则的最小值就是. 因为平面，又平面，所以， 在，. 又为等边三角形，所以. 所以在展开之后的中，， 由余弦定理可得 ， 所以的最小值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍（chú méng）”是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个“刍甍”，，，M是DE的中点，N是AB上的点.若平面BCF，则______．    【答案】/ 【分析】过M作，由中位线性质可得，连接BP，根据线面平行的判定定理与性质定理确定的值. 【详解】过M作，MP为梯形EFCD中位线，，连接BP， ，，，则M，N，B，P四点共面， 平面BCF，∴平面平面，平面，，又，∴四边形为平行四边形， ，. ．   13．已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为 ______. 【答案】/ 【分析】先利用体积公式求解内切球的半径，求得圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为，然后作出圆台的轴截面，根据切线关系及勾股定理求得，进而代入圆台的体积公式求解即可. 【详解】由于圆台的内切球体积为，设其内切球半径为，所以，则半径， 所以圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面，为球心，为上下底面圆圆心，如下图： 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得：， 所以，可得， 则该圆台的体积为 故答案为： 14．在长方体中，，，，长方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【分析】由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度. 【详解】因为，故在以为球心，半径为的球面上， 而点在长方体各面上，故在各面上的轨迹为圆弧， 如图，在矩形，因为，，故， 故，故， 同理，故， 因为，故，故，故， 故. 同理，，故，， 综上，点的轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）取中点为，连接 ，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【详解】（1）取中点为，连接 ， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； （2）连接 ，相交于，连接， 面，面面 面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 16．如图，在三棱柱中，，分别是棱，上一点，且，. (1)证明：直线，，交于同一点； (2)记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值. 【答案】(1)因为，，所以，所以，. 因为，，所以，，则直线与相交. 设直线与的交点为，如图. 因为点在直线上，且平面，所以平面. 因为点在直线上，且平面，所以平面. 因为平面平面，所以点在直线上， 即直线，，交于点. (2) 【分析】（1）利用三棱柱的结构特征判定两条直线共面且相交，再结合平面的基本公理证明交点在第三条直线上，即可完成三线共点的推导. （2）先通过相似三角形的性质求得棱台小底面的面积，代入棱台体积公式计算，再通过三棱柱总体积减去得到，最终化简得到体积比值. 【详解】（1）略 （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积. 因为，所以，且， 所以的面积， 则三棱台的体积. 故. 17．如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点， (1)求证：； (2)求异面直线EF与所成角； (3)已知P是侧面内一点，若平面，求线段长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明平面即可证明结论； （2）连接，由题意可得，进而结合为等边三角形可得结论； （3）分别取的中点，连接，先证明平面平面，结合平面确定的位置，并根据各边长度得到的最小值和最大值，得到答案. 【详解】（1）连接，因为是正方形，所以， 由正方体，可得平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，平面，所以， 又因为点E、F分别是棱BC，的中点，所以，所以； （2）连接，由（1）可得， 所以或其补角为异面直线EF与所成的角， 由正方体，可得， 所以为等边三角形，所以， 所以异面直线EF与所成的角为； （3）分别取的中点，连接，所以， 因为E，F分别是棱的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为分别是棱的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面，又因为P是侧面内一点，若平面， 所以点在上， 因为正方体的棱长为2，所以由勾股定理可得，， 当为的中点时，，此时的长最短，此时， 所以； 当与重合时，可得最大，最大值为， 所以线段长度的取值范围是. 18．如图，在边长为4的正方体中，点分别为棱，，，的中点，点分别是棱上的一点，且 (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)试求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用直线平行的传递性证明即可； （2）方法一：连接，结合图形几何关系利用线面平行判定定理证明；方法二：利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论； （3）利用题干比例关系，转换棱锥底面，结合等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，因为点分别为棱，的中点， 所以，           又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以，               所以，     所以四点共面； （2）方法一：在正方体中，连接， 点分别为棱，的中点， ，             ，                               四边形为平行四边形 ， ， 平面，平面， 平面.                             方法二：连接、分别交、于点，连接， 在正方体中，且，     所以，则，              同理可得，                          所以，所以，                   又平面，平面，             所以平面； （3）正方体的边长为4，为棱的中点，                                                        19．如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得． (1)求证：平面平面； (2)求点D到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)； 【分析】(1)通过计算线段长度，利用勾股定理证明线面垂直，进而证明面面垂直； (2)采用等体积法，通过转换顶点求点到平面的距离； (3)利用面面垂直的性质找到线面角的平面角，再通过三角函数关系求解余弦值即可. 【详解】（1）在直角中，，，， 所以， 因为为中点，所以， 取AD的中点为E，连接PE，CE， 由为边长为2的等边三角形得，， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 所以， 因为，所以，即， 又因为，且，所以平面 因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知，平面，则， 所以， 在中，，，， 由余弦定理，， 所以， ， 因为，则点D到面的距离为； （3）过点C作AD延长线的垂线，垂足为Q，连接PQ，由（1）知 因为平面平面，且平面平面，，所以平面， 故为直线PC与平面PAD所成角， 在中，，， ， 在中，，， 由勾股定理：， ， 即直线PC与面PAD所成角的余弦值为． 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $