期末复习专题第九章 解三角形章末复习卷2025-2026学年高一数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦解三角形核心知识，通过基础计算、综合应用及实际问题构建知识网络，强化定理应用与逻辑推理，体现数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择1-5、填空12|直接应用正弦/余弦定理求边角|概念生成：从已知边角关系推导未知量，夯实定理直接应用| |综合拓展|选择6-8、9-11、填空13-14、解答15-17|多解判断、取值范围、面积周长最值|原理推导：结合三角恒等变换、不等式求最值，深化定理综合应用| |实际应用|选择7、解答18-19|测量问题、几何图形综合|应用拓展：将解三角形融入实际场景，培养模型意识与空间观念|

第九章 解三角形章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．在钝角中，内角的对边分别为，若，则（   ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 3．在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 5．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．在中，内角所对的边分别为．根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A． B． C． D． 7．为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 10．如图，在圆的内接四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（　　） A． B．若b＝4，则△ABC外接圆半径 C．若a＝2，c＝3，则△ABC的面积为 D．若c＝2，△ABC有两解，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，角的对边分别是，若，，，则______． 13．如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 14．已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则_______；若，则面积的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 16．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件①，条件②，条件③. (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 17．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 18．如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若为BC的中点且，求边AC； (2)如图，过作，且，记. （i）用表示边AD； （ii）若的面积为，求的大小. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 解三角形章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，而， 由正弦定理得，于是． 2．在钝角中，内角的对边分别为，若，则（   ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解并验证即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 整理得，解得或，显然，即角为最大角， 由是钝角三角形，得，即， 当时，，不符合要求； 当时，，符合题意， 所以. 3．在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】，， 由正弦定理，得， 即， ，，. 的周长为． 4．在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由代入，结合余弦定理即可求解． 【详解】由可得， 由余弦定理， 则． 5．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】使用余弦定理角化边求解. 【详解】由，得， 即，由余弦定理，， 因为，所以， 由，得，整理得，所以是等边三角形 6．在中，内角所对的边分别为．根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理，结合大角对大边和三角形内角和，判断三角形解的个数. 【详解】对于A，当时， ，该三角形唯一确定，A选项错误； 对于B，当时，由正弦定理可得， 由于 ，故 ，故可能为大于的锐角，也可能为小于 的钝角， 故此时三角形有两解，B选项正确； 对于C，，由正弦定理可得， 由于 ，故 ，故此时三角形无解，C选项错误； 对于D，，由正弦定理可得， 由于 ，故 ，故此时三角形的解唯一确定，D选项错误. 7．为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】设塔高为，已知平面，则均为直角三角形， 已知，则，故， 已知，则， 由余弦定理得，即 ，解得． 8．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】BCD 【分析】由正弦定理求出外接圆半径，即可判断A；由正弦定理可求出角C，判断B；由余弦定理可求出ac的最大值，判断C；由余弦定理求出，可判断D. 【详解】对于A，由题意知，，故设外接圆的半径为R，则， 即得，则外接圆的面积为，A错误； 对于B，若，则， 则，B正确； 对于C，由余弦定理可得，即， 当且仅当时等号成立，则， 故面积的最大值为，C正确； 对于D，由，得， 则，当且仅当时等号成立， 即得，故周长的最大值为，D正确， 故选：BCD 10．如图，在圆的内接四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【分析】根据余弦定理以及三角形面积公式依次判断即可. 【详解】对于AB，由于，，， 在中，，即， 在中，，即， 联立两式解得，由于，所以，，故A正确，B错误． 对于C，，故C正确． 对于D，的面积，故D正确． 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（　　） A． B．若b＝4，则△ABC外接圆半径 C．若a＝2，c＝3，则△ABC的面积为 D．若c＝2，△ABC有两解，则 【答案】ABD 【分析】选项，利用正弦定理将边化为角，结合两角差的余弦公式展开化简，即可求出角； 选项，根据正弦定理代入计算即可； 选项，由面积公式代入计算即可； 选项，先根据三角形只有一个解的特殊情况，即三角形为直角或等边三角形时，求出的值，最后可根据几何图形，确定三角形有两解时的取值范围. 【详解】解：选项，由，根据正弦定理可得， 在△ABC中，，所以，即， 化简得，所以， 又因为，所以，正确； 选项，由选项知，根据正弦定理，代入得，解得，正确； 选项，由，错误； 选项，由三角形内角和可知， 当时，则，此时三角形只有唯一解，不合题意； 当时，因为，，所以此时三角形为等边三角形，也只有唯一解，不合题意； 当时，无法构成三角形；时，三角形只有一个解，均不合题意， 因此，当c＝2，△ABC有两解时，即，正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，角的对边分别是，若，，，则______． 【答案】 【分析】先利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换化简已知等式求出角；再由三角形面积公式结合已知条件求出边；最后利用余弦定理计算出边的值． 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 化简得，所以，又，所以． 所以，解得， 由余弦定理得，所以． 13．如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 【答案】 【分析】结合正弦定理及两角和的正弦公式将化简得，所以为等边三角形.将四边形的面积用表示出来，结合，可求得四边形面积的取值范围. 【详解】由题意及正弦定理，得，即． 因为，所以． 又因为，则． 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为． 14．已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则_______；若，则面积的取值范围为_______． 【答案】 2 【分析】根据二倍角公式及正弦定理得到，再结合同角三角函数的关系，两角和的正弦公式，诱导公式，正弦定理，及余弦定理即可求出的值；依题意可得，结合余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数的关系，三角形边的关系，及二次函数的性质即可求出面积的取值范围． 【详解】由， 由二倍角公式得， 所以正弦定理得， 又在锐角中，有， 则 ； 若，则， 则由余弦定理有， 所以， 又因为是锐角三角形，则有， 又，解得， 又，所以， 则，所以， 故面积的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换求得. （2）利用正弦定理、三角恒等变换等知识求得周长的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理，得， 代入原式，化简得， 交叉整理，变形为. 若，化简得，与三角形内角范围矛盾，舍去； 若，则，结合，得，即. （2）由，，，得. ，， ， ，则，所以， 所以. 周长，即. 16．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，条件①，条件②，条件③. (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择条件①：利用正弦定理和正弦的半角公式进行求解；选择条件②：利用正弦定理和正弦的和角公式进行求解；选择条件③：利用正弦定理和余弦定理进行求解. （2）利用三角形面积公式和正弦定理，结合锐角三角形角度的大小进行求解. 【详解】（1）选条件①： 由正弦定理得， 又， 所以 ， 又，所以， 解得，或， 因为，所以，即. 选条件②: 由正弦定理得， 所以， 因为在中，， 所以，即， 则，因为，所以. 选条件③： ， 整理得， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 因为，所以. （2）已知，，则面积， 由正弦定理得，其中. 化简得： ， 为锐角三角形，且， 所以，得， 所以，，即， 因此 所以面积的取值范围是. 17．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由的图象，求得，得到，得到，再由，即，求得，即可函数的解析式及对称中心； （2）由，求得，由正弦定理得，得到，化简得到的周长为，结合为锐角三角形，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得， 可得，所以，所以， 又由，即， 解得，即， 因为，所以， 所以函数的解析式为； 令，可得， 所以的对称中心为. （2）解：因为，可得，即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，由正弦定理可得，则， 所以的周长为 因为，可得， 所以， 因为为锐角三角形，可得，可得，可得， 则，可得， 所以的周长为. 18．如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． (1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】(1)； (2)； (3)（单位：m/min）． 【分析】(1)在中，已知两角及其夹边，可求出第三个角通过正弦定理计算AB的长； (2)甲乙最短距离时所在位置可以与A构成三角形，根据速度，可以求得路程，即三角形边长，利用余弦定理解三角形即可； (3)通过路程除以速度计算时间，根据两人到达时间，列不等式，计算范围即可． 【详解】（1）在中，因为，， 所以，，从而： ， 由正弦定理，得． （2）设乙在D处时，与E处的甲距离最近： 假设乙出发后，甲、乙两游客距离为， 此时，甲行走了，乙走了， 所以由余弦定理得： ， 即， 因为乙还在缆车上，故，即， 故当时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理，得． 乙从出发时，甲已走了，还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得， 即，解得， 所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过， 乙步行的速度应控制在（单位：）范围内． 19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若为BC的中点且，求边AC； (2)如图，过作，且，记. （i）用表示边AD； （ii）若的面积为，求的大小. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据三角变换公式化简题设条件后可求的值； （2）（i）根据正弦定理可用表示；（2）根据正弦定理可用表示，根据面积可得关于的方程，再结合三角变换可求的大小. 【详解】（1）因为，得， 所以，即. 又， 所以， 即. 在中， 由余弦定理得， 即， 解得（负值舍去）， 所以， 在中，由余弦定理得， 故. （2）（i）因为，在中，， 所以. 由正弦定理得，即， 故. （ii）在中，， 所以 由正弦定理得，得 所以， 所以，即， 亦即， 所以. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $