期末复习专题第十章 复数章末复习卷-2025-2026学年高一数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦复数核心概念与运算，通过分层题型系统覆盖概念辨析、几何意义及数学文化应用，强化运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-2、9|纯虚数判断、共轭复数性质|从复数定义出发，构建实部虚部与纯虚数的逻辑关联| |运算求解|选择3-5、12-14|模、共轭复数及方程根计算|以代数运算为核心，衔接复数相等条件与方程求解| |几何意义|选择5、7、10-11|复平面内点坐标与向量表示|建立复数与平面向量的对应关系，体现几何直观| |拓展应用|选择8、19|欧拉公式、棣莫弗定理应用|结合数学文化，从指数形式拓展复数三角表示，培养模型意识|

第十章 复数章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，下列为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 3．复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（    ） A． B．2 C． D． 4．已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 5．已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（    ） A．2 B． C． D．4 6．已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若复数在复平面上对应点的坐标为，为的共轭复数，则（    ） A．0 B．2 C． D．4 8．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（    ） A． B． C．2 D．-2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于非零复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ） A．必为实数 B．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 C． D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 10．若复数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．在复平面内所对应的点位于第四象限 C．若复数z满足，则的取值范围是 D．若复数（），则的最小值是 11．设，为复数，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若为纯虚数，则也为纯虚数 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 13．已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________． 14．已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 16．已知复数，为虚数单位． (1)若，求实数的值； (2)若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 17．已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 18．已知复数，． (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 19．在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 复数章末复习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据共轭复数的定义求出，计算得到分母后代入原式，通过分母实数化化简复数即可得到结果。 【详解】已知，因此， 计算分母：，因此原式化简为； 分母实数化：将分子分母同乘分母的共轭复数， 分子：，由，得分子； 分母：， 化简得结果： 。 2．已知，，下列为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，代入，结合纯虚数的概念即可求解. 【详解】将，代入，得，A为实数；，B为纯虚数； ，C为实数；，D为虚数，但不为纯虚数． 故选：B. 3．复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，其虚部为2． 4．已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数模的概念及共轭复数概念即可解决. 【详解】由可知的共轭复数，所以，. 5．已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义得到的代数形式，再利用复数模的运算性质求解． 【详解】由题得，， 所以． 6．已知复数：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用复数模的意义求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．若复数在复平面上对应点的坐标为，为的共轭复数，则（    ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义结合共轭复数的性质得到，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】由复数在复平面上对应点的坐标为， 可得， 而为的共轭复数，故， 则，由复数模的公式得，故B正确. 故选：B. 8．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（    ） A． B． C．2 D．-2 【答案】A 【详解】 ， 因此结果为，选A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于非零复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ） A．必为实数 B．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 C． D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 【答案】ACD 【详解】设，为实数，则. 选项A：，是实数，因此必为实数，A正确； 选项B：复平面内，对应点为，对应点为，两点关于实轴对称，不是虚轴对称，B错误； 选项C：，是非零复数，故不同时为0，因此，C正确； 选项D：设 是方程的根，即满足： ， 对等式两边同时取共轭： ，展开化简左边得 ， 代入实系数性质 ，得. 因此必是该方程的根，D正确. 10．若复数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．在复平面内所对应的点位于第四象限 C．若复数z满足，则的取值范围是 D．若复数（），则的最小值是 【答案】ABD 【分析】由复数模的求法判断A，写出复数对应的点坐标判断B，根据复数模的方程、表达式对应的几何意义判断C、D. 【详解】由，A对， 由的对应点为，位于第四象限，B对， 令，，则，即点到点的距离为1， 所以在以为圆心，1为半径的圆上， 所以表示圆上点到原点的距离，则，C错， 由（），则表示点到点和点的距离之和， 若关于轴的对称点为，又点在轴上， 所以的最短距离为，D对. 11．设，为复数，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若为纯虚数，则也为纯虚数 D． 【答案】BCD 【分析】根据复数的模和共轭复数概念代入选项计算即可；也可以用特殊值法证明. 【详解】选项A：举反例，，故不成立； 选项B：设（，），， 则，，成立； 选项C：可设（，），则为纯虚数，成立； 选项D：设，在复平面内对应点为，，则，，，则，可判断成立. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 【答案】0 【分析】根据纯虚数的定义，令复数的实部为0且虚部不为0，联立方程与不等式求解即可. 【详解】根据纯虚数的定义：对于复数，当且仅当且时，该复数为纯虚数， 因为复数为纯虚数，m为实数， 所以，即，解得. 13．已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________． 【答案】 【详解】由题意得，，则，则． 14．已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【答案】 【详解】由题目可得另一个根为，原式可化为， 则，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 【答案】(1)或5 (2)且 (3) 【分析】（1）由复数是实数，得到，即可求解； （2）由复数是虚数，得到，即可求解； （3）由复数是纯虚数，列出方程组，再用模长公式即可求解 【详解】（1）由题意得 得或5 （2）由题意得 得且 （3）由题意得 得故，所以,所以． 16．已知复数，为虚数单位． (1)若，求实数的值； (2)若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】(1)4； (2). 【分析】（1）由两复数相等，实部和虚部分别相等求解即可； （2）结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解． 【详解】（1）若， 则， 解得； （2）， 若在复平面内所对应的点位于第四象限， 则，解得， 故的取值范围为． 17．已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1). (2). (3)或. 【分析】（1）先算出表达式，实数虚部是，让虚部对应式子为求. （2）已知形式，按条件列不等式组，分别解不等式，取交集得范围. （3）由模的值列等式，两边平方去掉根号，展开合并得方程，因式分解求解. 【详解】（1）， 因为是实数，所以，解得. （2）因为，所以 解得，即的取值范围为. （3）因为，所以， 化简得， 解得或. 18．已知复数，． (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【详解】（1）因为 由是纯虚数得，解得. 所以当是纯虚数时，. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 19．在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 【答案】(1). (2) 【分析】（1）求出的值即可得答案； （2）由题意可得，再利用诱导公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时， ， 故； （2） ， 故. 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $