高二数学下学期期末模拟卷02（苏教版，测试范围：选择性必修第二册）

2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中： 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确； 关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确； 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误； 关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. 2．若服从两点分布，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为服从两点分布，所以， 已知，可得，解得， 那么，则. 3．某人工智能模型用于识别图像中有无“深度伪造”内容.已知一批待检测图像中有20%的图像实际存在深度伪造.在一次检测中，若模型输出结果“有深度伪造”，则实际存在深度伪造的概率为0.5；若图像实际无深度伪造，模型误判为“有深度伪造”的概率为0.1.现从该批图像中任取一张检测，输出结果为“有深度伪造”的概率为（   ） A．0.08 B．0.16 C．0.18 D．0.32 【答案】B 【详解】设事件表示“该图像实际存在深度伪造”，事件表示“模型输出结果为有深度伪造”.由已知：，，， 则 ，可得. 又因为 ，所以 故选B. 4．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 5．甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出每轮游戏甲或乙胜的概率，再利用概率的加法公式、乘法公式求解. 【详解】每轮游戏甲胜或乙胜的概率均为，平局的概率为， 第3轮抛掷后游戏结束，若第3轮甲胜，则第2轮甲胜，第1轮乙胜或平局，概率为， 同理第3轮抛掷后游戏结束且第3轮乙胜的概率也为，所以所求概率为． 6．若（，为有理数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据二项式定理，的展开式为：. 当为偶数时，，项为有理数，构成：； 当为奇数时，，项为乘以有理数，构成：，所以. 则. 7．在棱长为2的正四面体中，动点分别在棱上，且二面角的大小恒为，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用二面角的大小恒为得到三者的关系，从而得到三棱锥的体积的表达式，再计算出三棱锥体积的最大值. 【详解】 如图所示，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，那么 设那么 ， 设平面法向量为，则 取,则向量为平面平面的一个法向量， 取向量为平面的法向量，则 化简，得 ， ， 当时， 由于点与点在上运动，根据对称性可知在时最大，不妨设, 则, 当时，取得最大值 当时， 由于点与点在上运动，根据对称性可知在时最大，不妨设, 则, 当时，取得最大值,由于，故不符合舍去; 综上，三棱锥体积的最大值为. 8．设，，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（     ） 1 A．当增大时，增大，增大 B．当增大时，增大，先增大后减小 C．当增大时，减小，增大 D．当增大时，减小，先减小后增大 【答案】B 【分析】由分布列性质建立的关系式，推导期望的一次函数单调性，利用方差简化公式推导方差的二次函数，结合二次函数单调性分析方差变化规律. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质得，可得， 结合，得. ， 代入，得， 因此，为关于的一次增函数，当增大时，增大. ， 代入、，得， 展开得， ， ， 是开口向下的二次函数，对称轴为，且， 因此，时单调递增，时单调递减，即增大时，先增大后减小. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，令和求解判定；对于B，令和，再结合平方差公式求解判定；对于C，令，求导并令求解判断；对于D，由题知，，都大于0，，，都小于0，再令即可求解判断. 【详解】对于选项A，因为， 令，可得；令，， 所以，故选项A错误； 对于选项B，令，； 令，； 所以.故选项B正确； 对于选项C，令， 则. 再令，，故选项C错误； 对于选项D， 解法一：展开式的通项为，，，，，，，由通项可知： ，，1，2，3，4，5，所以，，都大于0，，，都小于0， ， 令，可得， 所以，故选项D正确. 解法二：令， 由 得. 令可得，故选项D正确. 10．某智能机器人公司从2019年起连续7年的利润情况如表所示，若关于的经验回归方程为，则（   ） 第年 1 2 3 4 5 6 7 利润亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 A．变量与负相关 B． C．当时，残差为 D．预测当时，利润约为亿元 【答案】BC 【分析】根据数据即可判断选项A；根据数据求出，的值，从而得到线性回归方程，进而分析选项B，C，D即可． 【详解】对于A，由数据知，随的增大而增大，所以变量与正相关，故A错误； 对于B，，， 由经验回归直线过样本中心点，得，解得，故B正确； 对于C，结合B得，当时，，则残差为，故C正确； 对于D，结合B得，当时，，故D错误． 11．在直四棱柱中，底面为菱形，，，侧棱，为底面对角线的交点，点是侧面内的动点（含边界），且满足平面，则（    ） A．动点的轨迹是一条线段，且长度为 B．过，，三点的平面截该直四棱柱所得截面可能为平行四边形 C．直线与平面所成角的正切值的取值范围为 D．三棱柱的外接球球心与动点距离的最小值为 【答案】ABC 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令轴沿方向，轴在底面内且与垂直，轴沿方向．由点在侧面内设出其坐标，再利用平面求出点的轨迹，从而判断A；取特殊位置说明截面可能为平行四边形，从而判断B；利用直线方向向量的竖直分量与水平投影长度之比求线面角正切值的范围，从而判断C；求出三棱柱外接球球心坐标，并计算它到点的距离最小值，从而判断D． 【详解】以为坐标原点，取所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 因为底面为菱形，，，， 所以 又为底面对角线的交点，所以． 设点在侧面内，则可设 由，，，得 设平面的一个法向量为，则 取，，，则平面的一个法向量可取 因为平面，所以． 又所以 化简得，于是 又，因此点在线段上运动． 又 所以A正确． 对于B，取，则此时为线段的中点． 又点，，，共面，且四边形中，，，所以四边形为平行四边形． 由于线段的中点也在平面内，所以过，，三点的平面就是平面． 此时截面为平行四边形，所以B正确． 对于C，由上可知 平面与底面平行，其法向方向为竖直方向． 设直线与平面所成角为，则等于的竖直分量长度与其在平面内的投影长度之比． 所以 令 则 所以在上单调递增，在上也单调递增． 当时，；当时，．故的取值范围为，C正确． 对于D，因为为边长为的正三角形，所以其外心为 三棱柱为直三棱柱，其外接球球心在过且垂直于底面的直线上，并位于高的一半处，所以 由，得 化简得 因为，所以当时，取得最小值，即的最小值为，不是．D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．将4名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，则不同的分配方案共有______种． 【答案】36 【分析】根据分组分配即可求解． 【详解】先将4名程序专家分成一个2人组和两个1人组，共有种，再分配给3个AI实验室,有种， 所以共有种不同的分配方案． 13．若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______． 【答案】或 【详解】当为锐角或直角时，，此时； 当为钝角时，，此时． 所以的可能值为或． 14．如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 【答案】4 【分析】以为空间一组基底，结合四点共面，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】连接并延长，交于点，以为空间一组基底， 由于是的重心，点M在上，且， 所以 ①， 连接，因为四点共面，所以存在实数，使得， 即，②， 由①②以及空间向量的基本定理可知：，，所以. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)设，则当时，求除以15所得余数． 【答案】(1)；（3分） (2)，，；（5分） (3)0（5分） 【详解】（1）根据题意，，即，又，故；（3分） （2）由题意得， 其展开式的通项公式， 要想求解展开式中的有理项，需满足为整数，故， 当时，， 当时，， 当时，；当为其他值时，均为无理项， 故有理项为，，；（5分） （3）而， 当时， ， 而能够被15整除， 故除以15所得余数为0．（5分） 16．（15分）如图，圆柱中，底面圆的直径为2，为下底面圆圆周上一点（与、不重合）． (1)求证：； (2)当为弧中点时，平面与平面所成角为，求此时直线与圆柱底面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析（5分） (2)（10分） 【详解】（1）平面平面，， 又为圆的直径，， 平面平面, 平面，而平面， 所以；（5分） （2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 设圆柱的高为， 则 所以， 且平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，则， 不妨令，则， 又平面与平面所成角为， 则， 所以，且 则直线与圆柱底面所成角为.（10分） 17．（15分）为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ (2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率. 附：，其中. 【答案】(1)有关（5分） (2)（10分） 【详解】（1）假设 ：高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升无关联； 经计算因为， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立， 即认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关联，该推断犯错误概率不超过0.001；（5分） （2）定义事件：设“该学生坚持自主刷题”， 则“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”， 则， 所以， 所以 故该学生坚持自主刷题的概率为.（10分） 18．（17分）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 【答案】(1)（4分） (2)，（6分） (3)选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适（7分） 【详解】（1）由题意得小明背诵首古诗的概率.（4分） （2）已知小明背诵的古诗数为，则的可能取值为、、， ，，， 所以， .（6分） （3）设小华背诵的古诗数为，由题意可知， 由二项分布的期望和方差公式可得，, 显然，，所以选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适.（7分） 19．（17分）自2021年起，我国居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款（千亿元） 4.76 4.61 5.32 5.41 5.38 （表中部分数据已精确至0.0001，表中数据可直接代入公式进行运算） 可能用到的估计值：，， 9 25.9692 130.4246 78.48 1554.2872 (1)求关于的回归方程； (2)用（1）所求回归方程预测该地2027年（）的人民币储蓄存款额； (3)求样本的相关系数．（精确至0.01） 附：，， 【答案】(1)（7分） (2)5.912（5分） (3)0.85（5分） 【详解】（1），， ，，， ， . 所以.（7分） （2）当时，.（5分） （3）（5分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B A C C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.36 13.或 14.4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）根据题意，，即，又，故；（3分） （2）由题意得， 其展开式的通项公式， 要想求解展开式中的有理项，需满足为整数，故， 当时，， 当时，， 当时，；当为其他值时，均为无理项， 故有理项为，，；（5分） （3）而， 当时， ， 而能够被15整除， 故除以15所得余数为0．（5分） 16． （15分） （1）平面平面，， 又为圆的直径，， 平面平面, 平面，而平面， 所以；（5分） （2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 设圆柱的高为， 则 所以， 且平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，则， 不妨令，则， 又平面与平面所成角为， 则， 所以，且 则直线与圆柱底面所成角为.（10分） 17． （15分） （1）假设 ：高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升无关联； 经计算因为， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立， 即认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关联，该推断犯错误概率不超过0.001；（5分） （2）定义事件：设“该学生坚持自主刷题”， 则“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”， 则， 所以， 所以 故该学生坚持自主刷题的概率为.（10分） 18． （17分） （1）由题意得小明背诵首古诗的概率.（4分） （2）已知小明背诵的古诗数为，则的可能取值为、、， ，，， 所以， .（6分） （3）设小华背诵的古诗数为，由题意可知， 由二项分布的期望和方差公式可得，, 显然，，所以选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适.（7分） 19． （17分） （1），， ，，， ， . 所以.（7分） （2）当时，.（5分） （3）（5分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版选择性必修第二册全册（空间向量与立体几何+计数原理+概率+统计） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 2．若服从两点分布，且，则（     ） A． B． C． D． 3．某人工智能模型用于识别图像中有无“深度伪造”内容.已知一批待检测图像中有20%的图像实际存在深度伪造.在一次检测中，若模型输出结果“有深度伪造”，则实际存在深度伪造的概率为0.5；若图像实际无深度伪造，模型误判为“有深度伪造”的概率为0.1.现从该批图像中任取一张检测，输出结果为“有深度伪造”的概率为（   ） A．0.08 B．0.16 C．0.18 D．0.32 4．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（    ） A． B． C． D． 6．若（，为有理数），则（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为2的正四面体中，动点分别在棱上，且二面角的大小恒为，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．设，，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（     ） 1 A．当增大时，增大，增大 B．当增大时，增大，先增大后减小 C．当增大时，减小，增大 D．当增大时，减小，先减小后增大 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．某智能机器人公司从2019年起连续7年的利润情况如表所示，若关于的经验回归方程为，则（   ） 第年 1 2 3 4 5 6 7 利润亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 A．变量与负相关 B． C．当时，残差为 D．预测当时，利润约为亿元 11．在直四棱柱中，底面为菱形，，，侧棱，为底面对角线的交点，点是侧面内的动点（含边界），且满足平面，则（    ） A．动点的轨迹是一条线段，且长度为 B．过，，三点的平面截该直四棱柱所得截面可能为平行四边形 C．直线与平面所成角的正切值的取值范围为 D．三棱柱的外接球球心与动点距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．将4名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，则不同的分配方案共有______种． 13．若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______． 14．如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)设，则当时，求除以15所得余数． 16．（15分）如图，圆柱中，底面圆的直径为2，为下底面圆圆周上一点（与、不重合）． (1)求证：； (2)当为弧中点时，平面与平面所成角为，求此时直线与圆柱底面所成角的大小． 17．（15分）为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ (2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率. 附：，其中. 18．（17分）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 19．（17分）自2021年起，我国居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款（千亿元） 4.76 4.61 5.32 5.41 5.38 （表中部分数据已精确至0.0001，表中数据可直接代入公式进行运算） 可能用到的估计值：，， 9 25.9692 130.4246 78.48 1554.2872 (1)求关于的回归方程； (2)用（1）所求回归方程预测该地2027年（）的人民币储蓄存款额； (3)求样本的相关系数．（精确至0.01） 附：，， 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版选择性必修第二册全册（空间向量与立体几何+计数原理+概率+统计） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 2．若服从两点分布，且，则（     ） A． B． C． D． 3．某人工智能模型用于识别图像中有无“深度伪造”内容.已知一批待检测图像中有20%的图像实际存在深度伪造.在一次检测中，若模型输出结果“有深度伪造”，则实际存在深度伪造的概率为0.5；若图像实际无深度伪造，模型误判为“有深度伪造”的概率为0.1.现从该批图像中任取一张检测，输出结果为“有深度伪造”的概率为（   ） A．0.08 B．0.16 C．0.18 D．0.32 4．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（    ） A． B． C． D． 6．若（，为有理数），则（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为2的正四面体中，动点分别在棱上，且二面角的大小恒为，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．设，，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（     ） 1 A．当增大时，增大，增大 B．当增大时，增大，先增大后减小 C．当增大时，减小，增大 D．当增大时，减小，先减小后增大 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．某智能机器人公司从2019年起连续7年的利润情况如表所示，若关于的经验回归方程为，则（   ） 第年 1 2 3 4 5 6 7 利润亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 A．变量与负相关 B． C．当时，残差为 D．预测当时，利润约为亿元 11．在直四棱柱中，底面为菱形，，，侧棱，为底面对角线的交点，点是侧面内的动点（含边界），且满足平面，则（    ） A．动点的轨迹是一条线段，且长度为 B．过，，三点的平面截该直四棱柱所得截面可能为平行四边形 C．直线与平面所成角的正切值的取值范围为 D．三棱柱的外接球球心与动点距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．将4名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，则不同的分配方案共有______种． 13．若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______． 14．如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项； (3)设，则当时，求除以15所得余数． 16．（15分）如图，圆柱中，底面圆的直径为2，为下底面圆圆周上一点（与、不重合）． (1)求证：； (2)当为弧中点时，平面与平面所成角为，求此时直线与圆柱底面所成角的大小． 17．（15分）为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ (2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率. 附：，其中. 18．（17分）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 19．（17分）自2021年起，我国居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款（千亿元） 4.76 4.61 5.32 5.41 5.38 （表中部分数据已精确至0.0001，表中数据可直接代入公式进行运算） 可能用到的估计值：，， 9 25.9692 130.4246 78.48 1554.2872 (1)求关于的回归方程； (2)用（1）所求回归方程预测该地2027年（）的人民币储蓄存款额； (3)求样本的相关系数．（精确至0.01） 附：，， 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $