高一数学下学期期末模拟卷02（苏教版，测试范围：必修第二册）

**基本信息** 高一下期末模拟卷，涵盖苏教版必修二全册，以《麦田里的守望者》麦田分割、“鸿蒙点”新定义等情境设计，考查数学抽象、几何直观与数据观念，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|统计（百分位数）、立体几何（异面直线）、概率（独立与互斥）|第7题结合摸球情境辨析事件关系，强化逻辑推理| |填空题|3题15分|复数（模）、平面向量（梯形最值）、立体几何（外接球）|第13题动态线段向量数量积，考查空间观念| |解答题|5题77分|统计（频率分布直方图）、解三角形（面积最值）、复数（方程与向量夹角）、立体几何（线面平行）、新定义（鸿蒙点）|第16题以文学作品为背景，融合解三角形与函数求最值，体现应用意识；第19题新定义问题，培养创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版必修第二册全册（平面向量+三角恒等变换+解三角形+复数+立体几何初步+统计+概率） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一组数据的第60百分位数为（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 2．下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 3．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 4．在中，“”是“是锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 6．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 8．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度,先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得，.在点后移至点，测得仰角为，，则山高为（    ） A． B． C． D． 10．下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 11．如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．若复数，则实数的取值为__________. 13．在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 14．已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 16．（15分）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量，．    (1)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； (3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD的长度平方成正比，比例系数为k，而总收益与成正比，比例系数为m（其中，）若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的BD长度，并写出此时的最大净收益表达式． 17．（15分）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 18．（17分）如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 19．（17分）如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版必修第二册全册（平面向量+三角恒等变换+解三角形+复数+立体几何初步+统计+概率） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一组数据的第60百分位数为（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 2．下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 3．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 4．在中，“”是“是锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 6．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 8．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度,先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得，.在点后移至点，测得仰角为，，则山高为（    ） A． B． C． D． 10．下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 11．如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．若复数，则实数的取值为__________. 13．在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 14．已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 16．（15分）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量，．    (1)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； (3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD的长度平方成正比，比例系数为k，而总收益与成正比，比例系数为m（其中，）若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的BD长度，并写出此时的最大净收益表达式． 17．（15分）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 18．（17分）如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 19．（17分）如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一组数据的第60百分位数为（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】C 【详解】由题意得，则第60百分位数为. 2．下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 【答案】B 【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相等向量的定义判断B；根据向量夹角的定义判断C；根据平行四边形的判定判断D． 【详解】对于A，单位向量为模为1的向量，故A正确； 对于B，若，由于方向不确定，故不一定相等，故B错误； 对于C，在等边三角形中，与的夹角为，故C正确； 对于D，若，则平面四边形一定是平行四边形，故D正确． 3．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何关系转化异面直线和所成的角为，再根据三角形性质求解角大小. 【详解】如图所示，取底面圆心（即中点），连接. 因为是中点，是中点，所以是的中位线，得. 因此异面直线和所成的角，等于与所成的角. 圆锥轴截面垂直于底面圆所在平面，交线为. 因为是弧的中点，所以， 由面面垂直的性质定理，得平面. 又平面，因此，是直角三角形，直角在点. 设底面圆半径为，则，直径. 因为轴截面是等边三角形，所以， 由中位线性质得， 在中，，因此 ，得 ， 即异面直线和所成角为. 4．在中，“”是“是锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量的数量积运算律可得角为锐角，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，即， 整理可得，可知， 且，可知角为锐角， 所以，等价于角为锐角， 因为角为锐角不能推出是锐角三角形，但是锐角三角形可以推出角为锐角， 所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件. 5．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A: , , , 共线, 不能作为基底. 选项B: , , , 共线, 不能作为基底. 选项C: 是零向量, 零向量与任意向量共线, 不能作为基底. 选项D: , , , 不共线, 可以作为基底. 6．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目信息结合三角恒等变换及向量的数量积公式解出三角形，建立平面直角坐标系，由为线段上的一点，则存在实数使得，求出点坐标，再根据，求出点坐标，从而得到，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】中设，，， 因为，， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 所以，又，所以， 又因为，所以， 又，所以， 在中，，，， 根据，所以，， ， 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 可得，，，所以，， 为线段上的一点， 则存在实数使得， 设，，则，， 所以，则， 所以，，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时， 所以的最小值为. 7．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 8．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用二倍角的余弦公式及辅助角公式化简函数的解析式为，求出的零点，从而得到使得没有零点的条件，列出相应不等式，求解可得的取值范围. 【详解】． 令，得. 因为在区间内没有零点， 所以当时，则， 则内不包含任何； 则可得，所以. 由，得. 当时，，符合题意； 当时，.因为，所以； 当时，，不合题意. 综上，的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度,先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得，.在点后移至点，测得仰角为，，则山高为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过设山高，将用和三角函数表示，再利用的余弦定理建立等式，进行推导即可. 【详解】设，因为，所以； 因为，所以， 在中，， 由余弦定理得：， 解得，故A错误，B正确； 因为，所以，又因为， 所以， 解得， 故C错误，D正确. 10．下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据两角和余弦和正切公式分别判断AC，再根据二倍角的正弦和余弦公式分别判断BD. 【详解】对于A，，故A不成立； 对于B，，故B不成立； 对于C，，故C成立； 对于D，，故D不成立. 11．如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 【答案】BC 【分析】对于A，易得即可判断；对于B，可找到点P，M使得平面与平面PBD平行；对于C，由题意，证得，得到二面角的平面角即可判断；对于D，求得点M的轨迹长度判断． 【详解】解：对于A，易知点到侧面的距离为2，故，故A错误； 对于B，当M为中点，P为中点时， 连接、，结合正方体的结构特征有， ，又平面，平面，则平面PBD， ，又平面，平面，则平面， 又且都在面内，则平面平面 故B正确； 对于C，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以C正确； 对于D，取中点E，连接PE，ME，PM，则平面， 根据线面垂直的性质有，则， 则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、于、，则， 则，劣弧的长为，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．若复数，则实数的取值为__________. 【答案】 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】， ，解得， 故实数的取值为. 13．在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据题意建立直角坐标系，把转化为，利用二次函数求最值即可. 【详解】 如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则：、 不妨设 则 ∴， ∴的最小值为，当且仅当时取得. 14．已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】设外接球球心为，、的外心分别为点、，取线段的中点，连接、、、，则，，由二面角的定义结合余弦定理求出的长，进而可求得的长，利用勾股定理可求出球的半径，再利用球体表面积公式可得结果. 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1)（4分） (2)（4分） (3)（5分） 【详解】（1）餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为， 频率分布直方图组距为2，故. 所有区间频率和为， 即，解得， 所以.（4分） （2）餐厅满意指数平均数； 餐厅满意指数平均数. 因为，所以餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数.（4分） （3）餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1， 混合数据平均数， 方差 .（5分） 16．（15分）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量，．    (1)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； (3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD的长度平方成正比，比例系数为k，而总收益与成正比，比例系数为m（其中，）若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的BD长度，并写出此时的最大净收益表达式． 【答案】(1)验证见解析，（4分） (2)（5分） (3)，（6分） 【详解】（1）在△ABD中，由余弦定理得， 即. 在△BCD中，由余弦定理得， 即，所以， 即，所以无论BD多长，．（4分） （2），， 则， 由（1）知，，即，代入上式， 得， 配方得， 当时，取到最大值为．（5分） （3）设，净收益为y，则， 由（1）知，， 则. 由（2）知， 所以， 令，则， 所以， 即当时，净收益最大，.（6分） 17．（15分）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)，（8分） (2)（7分） 【分析】（1）利用共轭复数性质和韦达定理求解方程参数； （2）将复数转化为向量，利用向量夹角为钝角的条件（数量积为负且不共线）求解参数范围． 【详解】（1）因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设，， 由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，．（8分） （2）因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为.（7分） 18．（17分）如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析（7分） (2).（10分） 【详解】（1）连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； （7分） （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为．（10分） 19．（17分）如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 【答案】(1)不是，理由见解析（5分） (2)证明见解析（5分） (3)，的最小值为50.（7分） 【详解】（1）不是鸿蒙点，理由如下：     由， 得，即，. 即，所有鸿蒙点满足可以被5整除， 代入点，有不能被5整除，故不是鸿蒙点；（5分） （2）由为鸿蒙点可知，， 构造：， 将表达为的形式，有，解得， 故，即仍为鸿蒙点；（5分） （3）由（1）可知， 故，令，即， 由是整数可知，可以被3整除，即被3整除余2， 不妨设，，则有， 即， 为使尽可能小，即要求尽可能大，且，        解不等式有，时， ，.此时点坐标为，的最小值为.（7分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A B D D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ABD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.6 13./ 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为， 频率分布直方图组距为2，故. 所有区间频率和为， 即，解得， 所以.（4分） （2）餐厅满意指数平均数； 餐厅满意指数平均数. 因为，所以餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数.（4分） （3）餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1， 混合数据平均数， 方差 .（5分） 16．（15分） （1）在△ABD中，由余弦定理得， 即. 在△BCD中，由余弦定理得， 即，所以， 即，所以无论BD多长，．（4分） （2），， 则， 由（1）知，，即，代入上式， 得， 配方得， 当时，取到最大值为．（5分） （3）设，净收益为y，则， 由（1）知，， 则. 由（2）知， 所以， 令，则， 所以， 即当时，净收益最大，.（6分） 17．（15分） （1）因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设，， 由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，．（8分） （2）因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为.（7分） 18．（17分） （1）连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； （7分） （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为．（10分） 19． （17分） （1）不是鸿蒙点，理由如下：     由， 得，即，. 即，所有鸿蒙点满足可以被5整除， 代入点，有不能被5整除，故不是鸿蒙点；（5分） （2）由为鸿蒙点可知，， 构造：， 将表达为的形式，有，解得， 故，即仍为鸿蒙点；（5分） （3）由（1）可知， 故，令，即， 由是整数可知，可以被3整除，即被3整除余2， 不妨设，，则有， 即， 为使尽可能小，即要求尽可能大，且，        解不等式有，时， ，.此时点坐标为，的最小值为.（7分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $