江苏苏州市2025-2026学年高一下学期数学期末练习卷2

**基本信息** 苏州高一数学期末卷聚焦核心素养，以复数、立体几何、三角函数等知识为载体，通过正方体异面直线角、PM2.5统计分析、正四棱锥动态问题等设计，考查空间观念、数据意识与逻辑推理，体现数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、面面平行充要条件、三角函数图象平移|第2题以正方体为背景考查异面直线角，强化几何直观| |多选题|3/18|概率独立性、统计图表分析、解三角形综合|第10题结合PM2.5折线图考查众数与方差，培养数据意识| |填空题|3/15|向量垂直、解三角形中的向量共线|第13题通过线段交点问题融合向量与几何计算，体现数学思维| |解答题|5/77|频率分布直方图、向量与三角函数、直三棱柱二面角、正四棱锥空间角|19题设计正四棱锥动态距离与空间角问题，考查创新应用能力，契合期末综合测评要求|

苏州2025-2026学年第2学期高一数学期末练习卷2 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，再根据复数的除法和乘法运算计算得，进而得到答案. 【详解】因为，所以， 所以复数的虚部是1， 故选：A. 2.在正方体中，异面直线与AC所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的性质即可求解. 【详解】 连接，. 由正方体性质可得：且；. 则四边形为平行四边形，. 所以， 则是异面直线与AC所成角或其补角. 所以异面直线与AC所成角为. 故选：C. 3.设，为两个平面，则的充要条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B． 4. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦定理得出；再根据三角形中大边对大角及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由正弦定理可得：. 因为， 所以. 又因为， 所以或. 故选：C. 5. 已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由最高点得到，由相邻零点得到周期进而得到，再代入一个上升零点得到，从而得到解析式，由图象平移结合诱导公式得到平移后的解析式. 【详解】由最高点知， 因为与轴相邻交点的横坐标分别为和，所以即， 所以 将代入得， 所以， 因为，所以，所以， 图象上的所有点向左平移个单位长度得到， 故选：D. 6. 已知α∈,cos α=,则tan等于(　　) A.7 B. C. - D. -7 【答案】B 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】由已知得tan α=,则tan. 选B 7. 在中，角所对应的边分别为．若，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设条件，利用和角的正弦公式和同角三角关系式化成，再利用和角的正切公式求得，运用基本不等式和正切函数的单调性即可. 【详解】因，则， 代入中，整理得：， 显然都不可能是直角（否则等式不成立），故得， 于是， 由上式易知均为锐角，则，故有， 因，当且仅当时等号成立， 即时，取得最大值为，又，故角的最大值为. 故选：A. 8. 设点P是单位圆的内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性不妨取为x轴，求出各点坐标，则，利用平面向量的坐标运算求解. 【详解】不妨设点在上，则以为x轴，线段的中点为原点， 如图，建立平面直角坐标系， 则， 设， 则， ， 故， ， ， 可得， ∵，则， ∴. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件发生的概率为 D. 事件发生的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】A应用互斥事件进行判断；B根据事件独立性的定义，结合题设描述判断；C根据事件独立性计算交事件的概率；D应用事件的概率性质求发生的概率即可判断. 【详解】对于A，由“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，A错误; 对于B，因为，而， 故，即事件与事件相互独立，B正确； 对于C，因为事件与事件相互独立所以事件与事件相互独立，，C正确； 对于D，事件发生的概率，D错误； 故选：BC. 10. PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10天中PM2.5日均值众数为33 B. 这10天中PM2.5日均值的第75百分位数是36 C. 这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数 D. 这10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差 【答案】AB 【解析】 【分析】对折线图信息进行分析，逐一判断检验即可. 【详解】由折线图得，这10天中所有数据中出现次数最多的数为33，所以众数为33， A选项正确; 将数据从小到大排序得：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128， ，第75百分位数是从小到大排序第个数36，B选项正确; 将数据从小到大排序得：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128， 则中间两个数为31，33，所以中位数为， 平均数为， 所以平均数大于中位数，故C错误； 前4天的平均数为， 后4天的平均数为， 所以前4天的方差为 ， 后4天的方差为 ， 因为，所以前4天的方差大于后4天的方差，D选项错误; 故选：AB 11.记的内角的对边分别为．已知是的最小内角，且为整数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当，且也是整数时， D. 面积的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据条件易得，即可判断；对于B，利用正弦定理计算即得；对于C，根据也是整数，且，可分和两种情况，利用差角的正切公式计算判断；对于D，由正弦定理推得，结合，利用正切函数的单调性即可求得面积的范围判断. 【详解】对于A，因是的最小内角，则，又因为整数，故，可得，故A正确； 对于B，由，，可得， 由正弦定理，，可得，解得，故B正确； 对于C，由，可得，因，且也是整数， 若，因，则，则， 此时，符合题意； 若，则，同理，此时，，不合题意， 随着取更大的整数，的值逐渐减小，不合题意， 故当，且也是整数时，，故C错误； 对于D，由正弦定理，和，可得， 因是的最小内角，则，，则. 当时，，的面积为， 当时，， 因，则，，故， 综上，面积的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平面向量，，若，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，根据向量平行得到方程，求出实数的值. 【详解】，， ，. 故答案为： 13. 在中，已知，点满足，．设线段与交于点，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意作图，利用基底表示所求向量，根据向量数量积运算律以及夹角公式计算，可得答案. 【详解】 如图，由题意，是线段的中点，，则， 且， 所求为向量与向量的夹角， 则， 所以. 故答案为：. 14.已知，，且，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式结合题设可得，进而得到，结合分析可得均为第一象限角，进而根据三角函数的定义列方程求解即可. 【详解】由题意，， ， 则， 则， 由，则，所以， 所以均为第一象限角， 设，，令终边上一点为， 则， 则，解得或， 由于，则，即. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； （2）从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 【答案】（1），分位数为分； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为求出，再由第百分位数的求法计算即可； （2）由分层抽样确定每层抽取人数，列出基本事件和符合题意的事件，根据古典概型求解. 【小问1详解】 由题意知，解得， 设第百分位数为， 因为位于之间的频率为，位于之间的频率为， 所以， 令，解得，即第百分位数为. 【小问2详解】 由，得这人中物理成绩在的人数为，分别记为，在的人数为人，分别记为， 在这人中抽取人，共，个基本事件， 这名学生物理成绩在和内各人，共，个基本事件， 故这名学生物理成绩在和内各人的概率为. 16. 已知向量，，且． （1）若，求x的值； （2）若，求函数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算、模的坐标表示及三角恒等变换列方程可得，进而求解即可； （2）根据平面向量的数量积的坐标表示可得，再根据三角恒等变换化简可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由，， 则， 所以， 则， 则，即， 由，则，所以，即. 【小问2详解】 ， 则 ， 由，则， 则，则， 所以函数的最大值为. 17. 在直三棱柱中，，，，，． （1）若平面，求的值； （2）设二面角与二面角的平面角分别为，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由线面平行的性质可得出，再结合中位线的性质可得出的值； （2）过点在平面内作，垂足为，连接，分析可知二面角和二面角的平面角分别为、求得，的长，法一：利用二倍角的正切公式可得，即可求出的值；法二：利用角平分线的性质可得，可求解. 【小问1详解】 连接交于点，连接． ∵平面，平面，平面平面， ∴． 又在直三棱柱中，侧面为平行四边形， ∴是的中点， ∴是的中点，∴. 【小问2详解】 过点在平面内作，垂足为，连接， ∵，，，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面， 又平面，∴，， ∴二面角和二面角的平面角分别为， 即，， ∵，，， ∴， ∴， 法一：当时，， 而， ∵，∴，解得或 又，∴． 法二：当时，为的角平分线，且， ∴， 又，∴． 18. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围； （3）若的角平分线交BC于D，且，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到，再根据角的范围即可证明； （2）根据三角形形状及交的关系确定角的范围，进而根据三角恒等变换化解可得，进而结合余弦函数的性质求解即可； （3）由题设可得，，，进而结合正弦定理及三角恒等变换求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理有：， 所以， 则， 则， 则， 因为、，所以， 又因为，所以，所以， 所以有或，即或（舍去）， 所以得证. 【小问2详解】 因为是锐角三角形，，所以， 所以，解得， 所以 ， 由，则，则， 所以，则的取值范围为. 【小问3详解】 因为为的平分线，且， 所以，所以， 在中，，， 由正弦定理有：，即， 则， 则， 则，解得或， 又，则为锐角，即. 19. 如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为． （1）若点是棱的中点，求异面直线与所成角的正弦值； （2）若且，求的最大值； （3）记与侧面所成的角分别为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，连接，可得异面直线与所成角即为直线与所成角，据此可得答案； （2）由等体积法可得，然后由基本不等式可得答案. （3）设平面与的交线为，，，过点作平面使得平面，设，，可得， ，据此可得，然后可得答案. 【小问1详解】 设，连接， ∵正四棱锥中，∴为线段中点， ∵点是棱的中点，∴， ∴异面直线与所成角即为直线与所成角． 又正四棱锥所有棱长均为，由对称性知， ∴，且，∴， 即异面直线与所成角的正弦值为； 【小问2详解】 ∵正四棱锥，∴平面， 设点到平面的距离为， ∵在正四棱锥中，所有棱长均为， ∴四个侧面的正三角形的面积均为，底面正方形的面积为， 又， 依题意可得， ∴， 即， 解得； ∵且，∴， ，当且仅当时取“”， ∴最大值为； 【小问3详解】 设平面与的交线为，，， 过点作平面使得平面， （说明：即过点作交于点，交于点， 再在平面内作，连接，则， 又，平面，∴平面， 又，平面，平面，∴平面， 又平面与的交线为，平面， ∴，∴平面）， 取中点为H， 因平面，平面，则平面平面， 因为正四棱锥，平面与交线为，， 由对称性可得为等腰三角形，则，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 又平面，则，又易得平面，，， 则，则，， ∴，设，即， ∴，同理可得， ∴， 设，同上方法可得， ∴， 而， ∴， 又与侧面所成的角分别为， 则，，，， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州2025-2026学年第2学期高一数学期末练习卷2 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2.在正方体中，异面直线与AC所成角为（ ） A. B. C. D. 3.设，为两个平面，则的充要条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一平面 4. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（ ） A. B. C. D. 6. 已知α∈,cos α=,则tan等于(　　) A.7 B. C. - D. -7 7. 在中，角所对应的边分别为．若，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设点P是单位圆的内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件发生的概率为 D. 事件发生的概率为 10. PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10天中PM2.5日均值众数为33 B. 这10天中PM2.5日均值的第75百分位数是36 C. 这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数 D. 这10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差 11.记的内角的对边分别为．已知是的最小内角，且为整数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当，且也是整数时， D. 面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平面向量，，若，则实数的值为______. 13. 在中，已知，点满足，．设线段与交于点，则_______． 14.已知，，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； （2）从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 16. 已知向量，，且． （1）若，求x的值； （2）若，求函数的最大值． 17. 在直三棱柱中，，，，，． （1）若平面，求的值； （2）设二面角与二面角的平面角分别为，若，求的值． 18. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围； （3）若的角平分线交BC于D，且，求． 19. 如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为． （1）若点是棱的中点，求异面直线与所成角的正弦值； （2）若且，求的最大值； （3）记与侧面所成的角分别为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $