专题05 立体几何初步（期末复习知识清单）数学苏教版高一必修第二册

专题05 立体几何初步 知识点1： 空间几何体的分类与结构特征（高频小题） 1.多面体（由平面多边形围成）： 棱柱：有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边互相平行； 分类：直棱柱（侧棱垂直底面）、斜棱柱（侧棱不垂直底面）、正棱柱（底面为正多边形的直棱柱）； 核心性质：侧棱平行且相等，两底面全等，侧面为平行四边形（直棱柱侧面为矩形）。 棱锥：有一个面是多边形（底面），其余各面是有公共顶点的三角形（侧面）； 分类：正棱锥（底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面中心）； 核心性质：侧棱相等（正棱锥），侧面为全等的等腰三角形（正棱锥）。 棱台：用平行于棱锥底面的平面截取棱锥，底面与截面之间的部分； 核心性质：两底面平行且相似，侧棱延长线交于一点，侧面为等腰梯形（正棱台）。 2.旋转体（由平面图形旋转而成）： 圆柱：矩形绕其一边旋转一周形成； 核心性质：母线平行且相等，轴截面为矩形，侧面展开图为矩形。 圆锥：直角三角形绕其一条直角边旋转一周形成； 核心性质：母线相等，轴截面为等腰三角形，侧面展开图为扇形（弧长 = 底面圆周长）。 圆台：直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周形成（或用平行于圆锥底面的平面截取圆锥）； 核心性质：母线相等，轴截面为等腰梯形，侧面展开图为扇环。 球：半圆绕直径旋转一周形成； 核心性质：所有半径、直径相等，球面上任意一点到球心距离等于半径。 3.组合体：由基本几何体拼接、挖去而成（如 “长方体上放一个圆柱”“正方体挖去一个圆锥”）。 4.考查形式：判断几何体类型、描述结构特征、识别截面图形、区分易混几何体（如直棱柱与斜棱柱、棱锥与棱台）。 知识点2：空间几何体的直观图与三视图（核心基础，必考） 1.三视图（投影法：正投影）： 主视图（正视图）：从几何体正面观察得到的投影； 左视图：从几何体左面观察得到的投影； 俯视图：从几何体上面观察得到的投影； 核心原则：“长对正、高平齐、宽相等”（主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等）。 2.直观图（斜二测画法，必考）： 作图步骤： ① 建立坐标系：在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，在直观图中画成 x' 轴、y' 轴，夹角为 45°（或 135°）； ② 坐标变换：平行于 x 轴、z 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段长度变为原来的 1/2； ③ 连接成图：按原图形状连接各顶点，保留坐标轴标记。 0. 面积关系：直观图面积 = 原图面积 × （根号 2 / 4）；原图面积 = 直观图面积 × 2 根号 2。 3.考查形式： 由几何体画三视图（注意实线、虚线区分：可见轮廓线画实线，不可见画虚线）； 由三视图还原几何体（求形状、边长、表面积、体积）； 斜二测画法作图、面积换算。 知识点3：空间点、直线、平面的基本概念（逻辑基础） 1.平面的表示： 符号表示：用希腊字母 α、β、γ 表示（如平面 α），或用不共线三点表示（如平面 ABC）； 基本性质（三公理）： ① 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（线在面内判定）； ② 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（确定平面的依据）； ③ 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（面面相交，交线唯一）。 2.空间点、线、面的位置关系： 点与线：点在直线上、点在直线外； 点与面：点在平面内、点在平面外； 线与线：共面（平行、相交）、异面（不同在任何一个平面内，无公共点）； 线与面：平行（无公共点）、相交（有且只有一个公共点）、线在面内（有无数个公共点）； 面与面：平行（无公共点）、相交（有一条公共直线）。 3.考查形式：判断位置关系、利用公理确定平面、证明点共线 / 线共面 / 面共点。 知识点4： 空间平行关系的判定与性质（高频大题 / 小题） 1.线线平行： 判定定理： ① 平行公理（公理 4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行（a∥b，b∥c ⇒ a∥c）； ② 线面平行性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，则这条直线与交线平行（a∥α，a⊂β，α∩β=b ⇒ a∥b）； ③ 面面平行性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行（α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b ⇒ a∥b）。 性质：两直线平行，同位角、内错角相等（空间中仍成立）。 2.线面平行： 判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行（a⊄α，b⊂α，a∥b ⇒ a∥α）； 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与已知平面的交线与该直线平行（见线线平行判定②）。 3.面面平行： 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（a⊂α，b⊂α，a∩b=P，a∥β，b∥β ⇒ α∥β）； 性质定理： ① 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行（α∥β，a⊂α ⇒ a∥β）； ② 见线线平行判定③； ③ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 4.考查形式：证明线线平行 / 线面平行 / 面面平行、利用平行关系求线段长度、判断命题真假。 知识点5：空间垂直关系的判定与性质（高频大题，难点） 1.线线垂直： 判定定理： ① 线面垂直性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线（a⊥α，b⊂α ⇒ a⊥b）； ② 异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角为 90°，则这两条异面直线垂直。 性质：垂直于同一条直线的两条直线不一定平行（空间中需注意位置关系）。 2.线面垂直： 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直（a⊂β，b⊂β，a∩b=P，l⊥a，l⊥b ⇒ l⊥β）； 性质定理： ① 见线线垂直判定①； ② 如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行（a⊥α，b⊥α ⇒ a∥b）。 3.面面垂直： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（l⊥α，l⊂β ⇒ α⊥β）； 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面（α⊥β，α∩β=l，a⊂β，a⊥l ⇒ a⊥α）。 4.考查形式：证明线线垂直 / 线面垂直 / 面面垂直（常结合菱形、等腰三角形、矩形等平面图形性质）、利用垂直关系求角或距离、解决折叠问题中的垂直判定。 知识点6：表面积与体积公式（必考，计算核心） 多面体表面积： 棱柱：S 表 = S 侧 + 2S 底（直棱柱侧面积 S 侧 = 底面周长 × 侧棱长）； 棱锥：S 表 = S 侧 + S 底（正棱锥侧面积 S 侧 = 1/2× 底面周长 × 斜高）； 棱台：S 表 = S 侧 + S 上底 + S 下底（正棱台侧面积 S 侧 = 1/2×(上底周长 + 下底周长)× 斜高）； 组合体：拼接时扣除重叠部分面积，挖去时增加挖去部分侧面积（不扣除原底面积）。 2.旋转体表面积： 圆柱：S 表 = 2πr² + 2πrh（S 侧 = 2πrh，r 为底面半径，h 为高）； 圆锥：S 表 = πr² + πrl（S 侧 = πrl，l 为母线长，l = 根号下 (r² + h²)）； 圆台：S 表 = πr₁² + πr₂² + π(r₁ + r₂) l（S 侧 = π(r₁ + r₂) l，r₁、r₂为上下底半径，l 为母线长）； 球：S 表 = 4πR²（R 为球半径）。 3.体积公式： 棱柱 / 圆柱：V = S 底 ×h（h 为高，直棱柱高 = 侧棱长）； 棱锥 / 圆锥：V = 1/3×S 底 ×h（h 为高，正棱锥高为顶点到底面的垂直距离）； 棱台 / 圆台：V = 1/3×h×(S 上底 + S 下底 + 根号下 (S 上底 ×S 下底))； 球：V = 4/3×πR³； 组合体：割补法（分割为基本几何体求和，或补成基本几何体求差）、等体积法（换底换高，如三棱锥 V = 1/3×S₁×h₁ = 1/3×S₂×h₂）。 4.考查形式：直接求基本几何体表面积 / 体积、组合体表面积 / 体积（割补法）、利用等体积法求高或距离、由三视图求表面积 / 体积。 知识点7： 空间角与距离（中档题 / 压轴题，核心难点） 1.空间角（范围：0°≤θ≤90°，异面直线所成角、线面角；0°≤θ≤180°，二面角）： 异面直线所成角： ① 定义：过空间任一点作两条异面直线的平行线，所得锐角（或直角）为异面直线所成角； ② 求法：平移法（找平行线，构造三角形）、向量法（cosθ = |cosa, 向量 b>|）。 线面角： ① 定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，即直线与它在平面内的射影所成角； ② 求法：找射影（过直线上一点作平面垂线，连接垂足与直线和平面交点）、向量法（sinθ = |cos 向量，平面法向量 >|）。 二面角： ① 定义：从二面角的棱出发，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所成角为二面角的平面角； ② 求法：定义法（直接找平面角）、垂线法（过一个平面内点作另一个平面垂线，再作棱的垂线）、向量法（cosθ = ±|cos 向量 >|，符号由二面角类型确定）。 2.空间距离： 点到直线距离：过点作直线的垂线，垂线段长度（构造直角三角形求解）； 点到平面距离：过点作平面的垂线，垂线段长度（等体积法、向量法：d = | 向量 PA・平面法向量 | / | 平面法向量 |，P 为点，A 为平面内任一点）； 线面距离：直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离（转化为点到平面距离）； 面面距离：两个平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离（转化为点到平面距离）。 3.考查形式：求异面直线所成角、线面角、二面角；求点到直线、点到平面距离；结合平行 / 垂直关系求角或距离。 知识点8： 三视图与直观图题型（选择 / 填空必考） 1.题型 1：由几何体画三视图 解题步骤： ① 确定观察方向（主、左、俯）； ② 区分可见轮廓线（实线）和不可见轮廓线（虚线）； ③ 遵循 “长对正、高平齐、宽相等” 原则画图。 示例：画出正方体挖去一个角后的三视图。 题型 2：由三视图还原几何体 解题步骤： ① 由主视图和俯视图确定几何体的长度和宽度，由主视图和左视图确定高度； ② 还原基本几何体（如长方体、圆柱、圆锥），再分析是否有拼接或挖去部分； ③ 验证三视图与还原几何体是否一致。 示例：已知三视图为 “主视图是矩形、左视图是三角形、俯视图是圆”，还原几何体为圆锥。 题型 3：直观图与面积换算 解题步骤： ① 由斜二测画法确定直观图中线段长度与原图的关系； ② 利用 “直观图面积 = 原图面积 × 根号 2/4” 换算； ③ 注意平行于 y 轴的线段长度减半，平行于 x、z 轴的线段长度不变。 要点：虚线不要遗漏，还原几何体时注意尺寸对应，面积换算公式记准。 知识点9：平行关系证明题型（解答题基础问） 题型特征：证明线线平行、线面平行或面面平行，常结合棱柱、棱锥的结构特征。 解题方法（核心思路：转化思想）： 证明线面平行：转化为证明直线与平面内一条直线平行（线线平行→线面平行）； 证明面面平行：转化为证明一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面（线面平行→面面平行）； 证明线线平行：利用平行公理、线面平行性质或面面平行性质。 示例：证明长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D∥平面 BCC₁B₁。 证明：∵ 长方体中 A₁D∥B₁C，且 B₁C⊂平面 BCC₁B₁，A₁D⊄平面 BCC₁B₁，∴ A₁D∥平面 BCC₁B₁。 要点：证明过程需注明定理条件（如 “线面平行判定定理”“平行公理”），逻辑链完整。 知识点10： 垂直关系证明题型（解答题核心问） 题型特征：证明线线垂直、线面垂直或面面垂直，常结合菱形、等腰三角形、矩形、直角三角形等性质。 解题方法（核心思路：转化思想）： 证明线线垂直：转化为证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面（线面垂直→线线垂直）； 证明线面垂直：转化为证明直线垂直于平面内两条相交直线（线线垂直→线面垂直）； 证明面面垂直：转化为证明一个平面经过另一个平面的一条垂线（线面垂直→面面垂直）。 示例：证明菱形 ABCD 所在平面与平面 EFG 垂直（已知菱形对角线 AC⊥平面 EFG）。 证明：∵ AC⊂平面 ABCD，且 AC⊥平面 EFG，∴ 平面 ABCD⊥平面 EFG（面面垂直判定定理）。 要点：证明线面垂直时，必须强调 “两条相交直线”，避免遗漏 “相交” 条件；结合平面图形性质（如菱形对角线垂直、等腰三角形三线合一）找垂直关系。 知识点11：表面积与体积计算题型（选择 / 填空 / 解答题） 题型 1：基本几何体计算 解题步骤： ① 确定几何体类型，找出已知条件（如棱长、半径、高）； ② 代入对应表面积或体积公式计算； ③ 注意单位统一（如半径和高均为厘米，体积单位为立方厘米）。 示例：求底面半径为 2、高为 3 的圆柱的表面积和体积。 解：S 表 = 2π×2² + 2π×2×3 = 20π；V = π×2²×3 = 12π。 题型 2：组合体计算（割补法） 解题步骤： ① 分割或补形：将组合体分割为几个基本几何体（如长方体、圆锥），或补成基本几何体； ② 分别计算各基本几何体的表面积 / 体积； ③ 求和（拼接）或求差（挖去），注意拼接时扣除重叠部分面积，挖去时增加侧面积。 示例：求正方体（棱长为 4）中挖去一个底面半径为 1、高为 4 的圆柱后的体积。 解：V = 4³ - π×1²×4 = 64 - 4π。 题型 3：等体积法求高 / 距离 解题步骤： ① 选择合适的底面和高（通常将不易直接求的高转化为易求的高）； ② 列出等体积关系式（如 V = 1/3×S₁×h₁ = 1/3×S₂×h₂）； ③ 代入已知条件求解未知量（h₁或 h₂）。 示例：求三棱锥 P-ABC 的高（已知 V=12，底面 ABC 面积为 6）。 解：12 = 1/3×6×h ⇒ h = 6。 要点：体积公式中棱锥、圆锥不要忘记乘 1/3，球的表面积和体积公式区分平方和立方；组合体计算注意重叠部分处理。 知识点12： 折叠与展开题型（创新题型，高频） 题型特征：将平面图形折叠为空间几何体，或展开空间几何体为平面图形，考查折叠 / 展开前后的不变量（边长、角度）和变化量（位置关系）。 解题步骤： 折叠问题： ① 分析折叠前后的不变量（边长不变、某些角不变）和变化量（线面位置关系变化）； ② 还原折叠前的平面图形，标注已知条件； ③ 结合空间几何知识（平行、垂直、表面积、体积）求解。 展开问题： ① 将空间几何体侧面展开为平面图形（如圆锥侧面展开为扇形、棱柱侧面展开为矩形）； ② 利用平面图形性质（如两点之间线段最短）求最值（如最短路径问题）； ③ 还原空间几何体验证结果。 示例：将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折叠为直二面角，求折叠后 BD 的长度。 解：折叠前 BD⊥AC，折叠后 BO⊥AC，DO⊥AC（O 为 AC 中点），∠BOD 为直二面角，BO=DO = 根号 2，∴ BD = 根号 (BO² + DO²) = 2。 要点：折叠前后 “不变量” 是解题关键，注意折叠后线面垂直关系的判定；展开问题重点是找到对应的平面图形。 知识点13： 解题方法技巧考点（高效解题关键） ①空间几何证明题的 “转化思想” 技巧 平行关系转化：线线平行 ⇔ 线面平行 ⇔ 面面平行（双向转化，根据题目条件选择方向）； 垂直关系转化：线线垂直 ⇔ 线面垂直 ⇔ 面面垂直（核心是线面垂直，作为中间桥梁）； 技巧应用：遇到 “证明面面平行”，先找 “线面平行”；遇到 “证明线线垂直”，先找 “线面垂直”。 ② 组合体计算的 “割补法” 技巧 分割法：将复杂组合体分割为几个基本几何体（如棱柱、棱锥、圆柱），分别计算后求和； 适用场景：拼接而成的组合体（如 “圆柱上放一个圆锥”）。 补形法：将不完整的几何体补成完整的基本几何体，计算后求差； 适用场景：挖去一部分的几何体（如 “正方体挖去一个三棱锥”）或不规则几何体（如 “三棱柱补成四棱柱”）。 技巧：分割 / 补形时尽量选择规则的、易计算的基本几何体，减少计算量。 ③ 最值问题求解技巧（选填压轴） 最短路径问题：将空间几何体侧面展开为平面图形，利用 “两点之间线段最短” 求解（如圆锥侧面上一点到另一点的最短路径）； 体积最值问题：利用基本不等式（如 a + b ≥ 2 根号 (ab)）或函数单调性，结合已知条件求体积的最大值或最小值； 距离最值问题：转化为点到平面的距离最值、异面直线之间的距离（结合平行关系）。 知识点14： 易混易错考点（高频失分点） ①概念理解错误 易错点 1：混淆 “斜二测画法” 中线段长度变化（平行于 y 轴的线段长度减半，而非所有线段）； 易错点 2：误认为 “垂直于同一条直线的两条直线平行”（空间中可能异面、相交或平行）； 易错点 3：棱台的判定错误（需强调 “侧棱延长线交于一点”，否则不是棱台）； 易错点 4：二面角与线面角的范围混淆（二面角范围 0°~180°，线面角范围 0°~90°）； 应对：牢记空间几何基本概念和定理，对比平面几何与空间几何的差异，避免思维定式。 ② 公式应用错误 易错点 1：体积公式遗漏系数（棱锥、圆锥体积忘记乘 1/3，球的体积公式误写为 4πR²）； 易错点 2：表面积计算忽略重叠部分（组合体拼接时未扣除重叠面积，挖去时未增加侧面积）； 易错点 3：斜二测画法面积换算公式记混（直观图面积 = 原图面积 × 根号 2/4，而非除以 2）； 应对：整理公式清单，标注易错点（如 “棱锥体积 ×1/3”“球表面积 4πR²，体积 4/3πR³”），计算前先确认公式。 ③证明过程逻辑错误 易错点 1：证明线面垂直时，仅证明直线垂直于平面内一条直线（缺少 “两条相交直线” 条件）； 错点 2：证明面面平行时，仅证明一个平面内一条直线平行于另一个平面（缺少 “两条相交直线” 条件）； 易错点 3：使用定理时未注明条件（如 “由线面平行性质定理得” 未写出，直接得出线线平行）； 应对：牢记各定理的完整条件，证明过程按 “条件→结论→定理依据” 的逻辑书写，避免跳步。 知识点15：拓展补充考点（能力提升，选填压轴适用） ①截面问题（选填压轴） 核心思路：根据平面与几何体的交点，确定截面多边形的顶点，连接各顶点得到截面图形； 见截面： 柱的截面：三角形、四边形、五边形（取决于平面与棱柱的交线数量）； 的截面：圆（截面圆半径 r = 根号下 (R² - d²)，d 为球心到截面的距离）； 考查形式：判断截面图形形状、求截面面积、求截面与顶点的距离。 ②空间几何体的外接球与内切球（高频压轴） 接球（几何体各顶点都在球面上）： 常见几何体的外接球： ① 长方体 / 正方体：外接球直径 = 体对角线长度（2R = 根号下 (a² + b² + c²)）； ② 正四面体：外接球半径 R = 根号 6/4× 棱长； 求法：找外接球的球心（到各顶点距离相等），计算半径。 内切球（几何体各面都与球相切）： 见几何体的内切球： ① 正方体：内切球直径 = 棱长（2R = a）； ② 正棱锥：内切球半径 r = 3V/S 表（V 为体积，S 表为表面积）； 求法利用 “球心到各面距离等于半径” 或等体积法求解。 考查形式：求外接球 / 内切球的半径、表面积、体积。 简单几何体的表面展开与折叠问题 【例1】如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥由展开，根据勾股定理进行求解即可. 【详解】设过点作截面与、侧棱分别交于、两点， 将三棱锥由展开，则，虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，然后回到点的最短距离， 由勾股定理可得．虫子爬行的最短距离． 故选：A    【变式1】如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过展开平面以及勾股定理求得正确答案. 【详解】把正三棱锥沿剪开并展开，形成三个全等的等腰三角形：、、， 则，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，又， 根据勾股定理，，∴. 故选：A   . 【变式2】如图，在三棱锥中，，点是棱上一动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把平面展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为，利用余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，把平面展开，使A、B、C、P四点共面. 当M与B重合时，； 当M与C重合时，最大； 连结交于，由两点之间直线最短可知，当位于时，最小. 此时，， 所以. 由余弦定理得： . 所以的取值范围为. 故选：A. 与直观图还原有关的计算问题 【例1】如图，是用斜二测画法画水平放置的的直观图，轴，轴，且，，则边所对应的边_________． 【答案】 【分析】根据斜二测画法的规则还原原图形，确定原三角形为直角三角形并求出两直角边长，利用勾股定理求解. 【详解】根据斜二测画法的规则，可知原平面中， ，且，， 所以. 【变式1】用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为，则________． 【答案】 【分析】根据斜二测画法还原，利用面积公式计算求解. 【详解】由直观图还原，如图： 其中，又，. ，. 【变式2】如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】斜二测画法画出的直观图中，已知中，，， 则， 还原直观图，则， ． 棱柱、棱锥、棱台的表面积 【例1】已知圆台，上底面直径为，下底面直径为，当时，直线与圆台底面所成夹角为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求出圆台的母线长，结合圆台侧面积公式可得结果. 【详解】设上底面和下底面的半径分别为，则,, 点在底面的射影点为，有面 ， 则，且，   则，即圆台的高为，则圆台的母线长， 则侧面积 . 【变式1】在棱长为1的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为___． 【答案】 【分析】由题设可得M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的. 【详解】因为，则M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的， 又因为母线 则点M的轨迹所形成图形的面积为：， 【变式2】（多选）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（   ） A．平面 B．为等边三角形 C．平面 D．圆锥的侧面积为 【答案】ABD 【分析】先由圆锥的性质和几何关系，利用中位线定理判断线面平行，结合母线长与余弦定理判断三角形形状，再通过圆锥侧面积公式直接计算；对于选项C，采用反证法，假设线面垂直推出线线垂直，再通过计算三角形边长验证矛盾，从而判定该选项错误。 【详解】 对于A，因为分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， ， 所以，所以为等边三角形，B正确； 对于C，连接，假设平面， 因为平面，平面，所以 在中，，，， 所以，所以为等腰三角形， 故与不垂直， 这与矛盾，因此假设不成立，C错误； 对于D，根据圆锥侧面积公式，所以圆锥的侧面积为，D正确． 棱柱、棱锥、棱台的体积 【例1】（多选）如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（   ） A．圆锥的体积为 B．球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C．异面直线BF与PA所成角为 D．平面AEF截球O的截面面积为 【答案】ACD 【分析】根据题意，求得，且，结合体积公式，可判定A正确；得到公共点的轨迹是以AB为直径的圆，可判定B错误；连，证得平面，得到，可判定C正确；求得球半径为，结合等体积法，可判定D正确． 【详解】对于A，由已知得,所以，且， 所以圆锥的体积为，所以A正确； 对于B，由公共点的轨迹是以AB为直径的圆，因为为正三角形，所以为中点，，所以轨迹的周长为，所以B错误； 对于C，连，可得，且， 由，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为等腰直角三角形，所以，所以C正确； 对于D，设球半径为，则 ，可得， 由，且， 可得到平面的距离为，所以截面圆的半径为， 所以平面AEF截球O的截面面积为，所以D正确． 【变式1】在三棱锥中，，均是边长为的等边三角形，当平面平面时，三棱锥内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等体积法进行求解. 【详解】    如图所示，作，因为，所以是中点，因为平面平面，所以平面，所以， 设，则， 在直角三角形中，，即：，解得：，即：，， 因为，，所以和是直角三角形，且，则， 设三棱锥内切球的半径为，则， ， 代入得：，解得：，即：三棱锥内切球的半径为. 【变式2】（多选）在棱长均为1的直三棱柱中，点满足，其中，，点为线段的中点，点为线段上的动点，则（   ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．当时，存在两个点，使得 D．当时，的周长的最小值为 【答案】ACD 【分析】A.根据，确定点是位置，即可取得的体积是否为定值，判断A；B.根据在平面的射影是否和垂直，判断B；C.确定点的位置，从而确定C；根据三角形三条线段所在三角形，展开成一个平面，即可求解周长的最小值. 【详解】当时，取中点，中点，则点在线段上运动． 由，平面，平面，知平面， 则三棱锥的体积为定值，故A正确； 点为正方形边及内部的点， 过点向平面作投影，投影点为，则平面，则， 若，则平面， 则点满足，这与点在正方形中相矛盾，故B错误； 当时，取中点，中点，则点在线段上运动． 当点位于点点时，易证平面，则， 或者在点时，易证平面， 则， 即存在2个点，满足，故C正确； 当时，点在线段上运动，如图将和翻折到与在同一平面， 可知的周长的最小值在、、、 共线时取到，即， 此时，，， 所以， ， 所以根据余弦定理得 ， 所以， 所以的周长的最小值为，故D正确． 球的表面积与体积（外接球、内切球、棱切球） 【例1】已知圆锥的底面半径为，将一个半径为的球置于圆锥内，若球与圆锥的底面及侧面均相切，且圆锥顶点到球面上的点距离的最小值为，则圆锥的体积为_________. 【答案】 【分析】利用圆锥与球的轴截面图形关系，再结合切线长定理及余弦定理可得. 【详解】设圆锥的高为，因为球与圆锥的底面及侧面均相切，且圆锥顶点到球面上的点距离的最小值为，所以圆锥的高.如图：    在圆锥轴截面中，，圆锥的底面半径，. 在直角三角形中，由勾股定理，得， 所以圆锥母线长， 又在直角三角形中，， 由勾股定理，，，， 解得（舍去）. 因此，圆锥体积. 【变式1】在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形作出二面角的平面角，利用几何知识可求，，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，根据求解半径． 【详解】如图1，过作垂足为，取的中点，连接， ∵，∴，， 又，，则，， 中，， 过作，且=，连接，则， ∴，， 根据题意可得为二面角的平面角， 即，则， 由题意可得，则，则， 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心， 则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设三棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 则表面积为.    【变式2】已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（     ） A．20 B．18 C．16 D．12 【答案】A 【分析】根据已知体积求出三棱锥各棱长，利用三棱锥三条棱两两垂直的特点将其补为长方体，通过长方体体对角线求出外接球半径，进而计算外接球表面积. 【详解】已知，，设，则， 由题意，又平面， 所以，已知， 解得，即，得， 因此， 将三棱锥补成一个长方体，如图，则为三棱锥外接球的直径， 在中，，外接球半径， 则，外接球表面积. 三线共点问题 【例1】如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 【答案】A 【分析】由题意作出图形，并连接，结合已知条件容易证明四边形为等腰梯形，从而由等腰梯形的性质即可求解. 【详解】如图所示： 连接，点为正方形的中心， 则经过点，且点为中点， 是线段的中点， 所以在中，， 又， 且由正方形性质可知， 所以， 即四边形为等腰梯形， 又为等腰梯形的对角线， 所以，且直线是相交直线. 故选：A. 【变式1】如图，点是正方体的上底面的中心，过，，A三点作一个截面．求证：此截面与对角线的交点P一定在上．    【答案】证明见解析 【分析】由已知条件利用基本事实三得到平面平面，且平面，平面，由此利用基本事实三，即可证得对角线与平面的交点一定在上. 【详解】证明：如图所示，连接， 因为是正方体的上底面的中心， 所以，且， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面，平面， 所以平面平面， 因为对角线平面，所以平面，平面， 所以由基本事实三可得，对角线与平面的交点一定在上.    【变式2】如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）推导出，，从而，由此能证明，，，四点共面． （2）推导出，且，从而与必相交，设交点为，由此能证明与的交点在直线上． 【详解】（1）：：：，， ，分别为，的中点，，， ，，，四点共面． （2）、不是、的中点， ，且， 与必相交，设交点为， 平面，平面， 平面，且平面， 平面平面，， 与的交点在直线上． 异面直线所成的角 【例1】在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设棱长为1，取中点为， 由为的中位线知，， 所以是异面直线，所成角的平面角， 在中，，， . 【变式1】在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求所成角的余弦. 【详解】如图： 取中点，连接，，则，则或其补角为异面直线与所成的角. 不妨设，则中，，，， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦为. 【变式2】在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 设三棱锥棱长为， 则，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 直线与平面平行的判断定理的理解 【例1】已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】利用线面位置关系的判定定理以及性质定理逐项分析即可. 【详解】选项A，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，若，，则，故A正确； 选项B，若，，则或，故B错误； 选项C，根据面面垂直的判定定理知，若，，则，故C正确； 选项D，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知，若，，则，故D正确. 【变式1】已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 【变式2】设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，则或与为异面直线，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，由线面平行性质定理得存在直线,使得， 因为，则，又因为，则，故C正确； 对于D，若，则或与相交，故D错误. 直线与平面平行的判定 【例1】如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）取中点为，连接 ，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【详解】（1）取中点为，连接 ， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； （2）连接 ，相交于，连接， 面，面面 面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 【变式1】如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面角的定义结合线面垂直的判定定理作出线面角的平面角，计算即可求解. 【详解】（1）因为底面是菱形，是的中点， 所以是中点，又因为是的中点， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知， 所以与平面所成的角就等于与平面所成的角， 因为是菱形，，， 所以，，是等边三角形. 因为底面，底面， 所以. 因为，，平面， 所以平面. 连接，则平面，， 所以就是与平面所成的角. 因为是等边三角形，， 所以，. 在中，，则. 在中，. 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【变式2】如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，是棱上的动点. (1)若为的中点，证明：平面. (2)若，证明：直线与相交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用中位线可得，结合线面平行的判定定理即可得到证明； （2）连接，，使，，延长，交于点，利用两个平面相交线的性质证明即可. 【详解】（1）因为为的中点，为的中点，所以. 又四棱锥为正四棱锥，所以底面为正方形，则， 从而. 因为平面，平面，所以平面. （2）连接，，使，，则. 延长，交于点，则，得. 取的中点，连接，则. 延长并与的延长线交于点， 则. 因为，所以， 则， 则，则，重合， 故直线与相交于一点. 直线与平面垂直的判定 【例1】如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为．求的长； 【答案】(1)连接，交于点，连接， 因为，所以， 因为四边形是菱形， 所以，又，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）连接，交于点，根据已知得、，再由线面垂直的判定证明结论； （2）取中点，连接，，连接，根据线面垂直的判定及性质、正三角形的性质得平面，再由线面角的定义确定与底面所成角的平面角，结合其余弦值求相关线段长，即可得. 【详解】（1）略. （2） 取中点，连接， 因为，所以为正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 由平面，所以，所以，又，即， 设，连接，显然是正三角形的中心， 所以平面，且即为直线与平面所成的角． 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以，则. 【变式1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面． （2）取的中点，连接．    因为为中点，为中点，所以是的中位线， 故，且． 又底面，所以底面， 因此是在底面内的射影，即为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故． 又是中点，，故． 在中，． 在中，． 因此，． （ii）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此，． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 【变式2】如图，在五面体中，平面，，四边形为矩形，，，，，G是的中点． (1)证明：平面． (2)求直线AE与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）过点作，垂足为．通过，即可求证； （2）设，分别为，的中点，连接，，．确定为直线与直线所成的角或补角，进而可求解. 【详解】（1）在矩形中，，． 因为，，平面， 所以平面．因为平面，所以，即． 因为平面，平面，所以． 过点作，垂足为． 又，，，，， 所以，即． 又，平面， 所以平面． （2）设，分别为，的中点，连接，，． 在中，．因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 可得为直线与直线所成的角或补角． 过点作，垂足为，连接． 又，，，，， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 直线与平面所成角 【例1】如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； （2）由面面垂直性质确定点在平面上的投影位置，得到线面角，再通过计算三角形边长，利用余弦定理求出该角的余弦值； 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面上的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为． 【变式1】如图，正三棱柱中，，是的中点， (1)求证：∥平面； (2)求直线和平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得侧面，可知即为直线和平面所成的角，求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为分别为和的中点，所以， 因为平面，平面， 所以∥平面； （2）因为三棱柱是正三棱柱，所以侧面， 侧面，所以， 为正三角形，因为是的中点，所以， 又，侧面，从而侧面， 所以即为直线和平面所成的角， 设，在直角三角形中，， ， 在中，，所以， 所以. 所以直线和平面所成的角为. 【变式2】如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，与交于点，连结，由平面几何知识可证得，再由线面平行的判定可得证； （2）由已知可得，，，再由线面垂直的判定可得平面，即得即为直线与平面所成的角，解三角形即可求得其大小． 【详解】（1），与交于点，连接， 四边形是平行四边形，为的中点， 为的中点，得，又平面，平面， 故平面． （2）由，，且为，的中点， 得，，， 又，为平面内两条相交直线， 得平面，故即为直线与平面所成的角； 由，，，得四边形为菱形， 又，故四边形为正方形，， 则为等腰直角三角形，且，故， 因此直线与平面所成角为． 求二面角 【例1】如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过构造平行四边形，再结合线面平行的判定定理可得； （2）由面与面的垂直并结合（1）中平行关系可得即为所求角，然后在直角三角形中计算可得； （3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，再结合余弦定理求解可得. 【详解】（1）取的中点为，连接，则，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为，且平面平面，所以平面. （2）由（1）知，所以直线与底面所成角即直线与底面所成角， 如图，过作于， 又平面底面，平面底面平面， 则底面， 所以即为直线与底面所成角. 取的中点，连接，因为，则． 因为为的中点，所以为的中点． 又， 则， 在中，， 所以， 即直线与底面所成角的正切值为 （3）如图，过作交于，连接， 因为，则即为平面和平面的夹角的平面角. 因为四边形为直角梯形，， 所以，又因为，，所以． 当时，在中，， 由余弦定理得， 在中，， 由余弦定理得． 所以锐二面角的余弦值为 【变式1】如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可求证， （2）作于，作交于，根据二面角的定义可得是二面角的平面角，即可根据余弦定理求解. 【详解】（1）取的中点为，连接， 由，所以， 又为正三角形，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）作于，作交于， 所以是二面角的平面角， 因为，是以为斜边的直角三角形，， 所以，又为正三角形， 所以，所以为的中点， 所以，所以， 又，所以，所以为的中点， 所以，又是以为斜边的直角三角形， 所以， 在中，由余弦定理有： ， 所以. 【变式2】如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作辅助线，设，根据题意分析可知，，，结合余弦定理运算求解即可. 【详解】如图，设的中点为，连接，，则，， 因为是三棱锥外接球的直径，则， 且，，则，可得， 则，可知二面角的平面角为， 设，则，， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 简单几何体的表面展开与折叠问题 1．如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 【答案】 【详解】将不完整的圆锥侧面展开，设其圆心角为，则，解得，即， 如图在中，， 则，即这只蚂蚁行驶的最短路程是． 【易错分析】一是未理解曲面最短路径需将圆锥侧面展开为平面求解，误在立体图形中直接连线；二是计算不完整圆锥展开图圆心角时，未减去底面圆心角对应的弧长，导致∠APB求错；三是应用余弦定理时，记错cos(2π/3)的符号或数值，造成结果错误；四是混淆圆锥底面半径与母线长，误判展开图中PA、PB的长度，影响后续计算。 与直观图还原有关的计算问题 2．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【详解】根据直观图可得原图形中是直角三角形，，，， . 【易错分析】一是对斜二测画法的还原规则理解不清，误将直观图中y'轴上的长度直接当作原图高度，未按规则放大为原来的2倍；二是混淆直观图与原图的面积比例关系，误用直观图的底和高直接计算原图面积；三是忽略斜二测画法中平行于坐标轴的线段的变化规律，误判原图中△OAB为非直角三角形；四是记错斜二测画法下原图与直观图的面积比例系数，导致最终结果错误。 棱柱、棱锥、棱台的表面积 3．已知正三棱台的上､下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正三棱台上下底面为等边三角形，计算边心距差，结合侧面与底面所成的二面角求出斜高，进而得到三棱台的侧面积. 【详解】 如图，是上、下底面的中心，，为在上的垂足， 棱台的侧面与底面所成的二面角为 分别为边长为2和4的等边三角形， ，，， 所以三棱台的侧面积为. 【易错分析】一是混淆正三棱台的二面角与高、斜高的关系，误将侧面与底面所成二面角直接当作侧棱与底面的夹角；二是计算上下底面边心距时出错，影响斜高的求解；三是误用梯形面积公式时，未正确代入斜高，或误算上下底边长；四是忽略正三棱台三个侧面面积相等，漏乘系数，导致最终侧面积计算错误。 棱柱、棱锥、棱台的体积 4．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，，， 则该组合体的体积为_______________； 【答案】/ 【分析】根据题意，利用锥体和柱体的体积公式，列式计算，即可求解. 【详解】因为该组合体的上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体， 正四棱锥的高为1， 且， 所以该组合体的体积为：. 【易错分析】一是混淆正四棱锥的侧棱与高，误将PE直接当作高，未通过勾股定理计算高；二是计算正四棱锥体积时，漏乘1/3系数，或误将底面积算成侧面积；三是长方体部分易误将EF或AE当作长宽高，或底面积与高对应错误；四是组合体体积计算时，漏加其中一部分体积，或单位、计算步骤出错。 球的表面积与体积（外接球、内切球、棱切球） 5．已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 【答案】 【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出球的半径，再求球的表面积． 【详解】因为，则，可知的外接圆半径， 设该球的半径为，则，即，解得， 所以该球的表面积是. 【易错分析】一是未判断△ABC为直角三角形，误找其外接圆的圆心与半径；二是混淆球心到平面的距离、外接圆半径与球半径的关系，未用勾股定理建立方程；三是忽略“球心到平面的距离为球半径的一半”这一条件，计算时漏用或错用；四是求球的表面积时，记错公式，漏乘4π或算错半径平方。 三线共点问题 6．如图，在长方体中，点､分别为棱､的中点. （1）求证：、、、四点共面； （2）确定直线与直线交点的位置，不需要说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）直线与直线交点的位置在射线的延长线上，且距离点的距离与长相等. 【分析】（1）根据中位线关系以及长方体几何特点证明，由此证明、、、四点共面； （2）根据空间中点线面的位置关系进行分析并判断交点位置. 【详解】解：（1）如图，连线段、、 ∵，， ∴， 又∵长方体， ∴， ∴， ∴､､､四点共面， （2）直线与直线交点的位置在射线的延长线上，且距离点的距离与长相等. （理由供参考：设，所以，所以平面， 同理可得平面，所以在平面与平面的交线上， 又平面平面，所以， 又因为，所以，所以为中点， 所以直线与直线交点的位置在射线的延长线上，且距离点的距离与长相等.） 【易错分析】一是证明四点共面时，未利用中位线证明EF与CD₁平行，误用其他方法导致逻辑不严谨；二是混淆长方体中异面直线与共面直线的判定，误判直线位置关系；三是确定直线D₁E与CF交点位置时，未结合延长线的交点特征，或对长方体中延长线的交点位置描述不准确；四是忽略证明过程中需明确写出平行关系，导致四点共面的证明步骤缺失关键依据。 异面直线所成的角 7．在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接EC，，取EC中点P，连接，PA，可得即为异面直线EF，所成角（或其补角），然后根据已知条件在中求解即可. 【详解】如图所示，连接EC，，取EC的中点P，连接，PA， 在正三棱台中，设，则， 由E，F分别是AB，的中点，得，且， 四边形是平行四边形，，则即为异面直线EF，所成角（或其补角）， 在等腰梯形中，EF为梯形的高，过作于，则， ，，，， 即，，在中，． 因此，所以异面直线EF，所成角的余弦值为. 故选：D 【易错分析】一是异面直线所成角定义理解不清，误将钝角当作所求角，或未按定义通过平移找角；二是正三棱台结构特征掌握不牢，误判EF与A₁C₁的位置关系；三是计算向量或线段长度时出错，影响余弦值计算；四是余弦定理应用时，边长对应关系搞错，或符号处理不当，导致结果偏差。 直线与平面平行的判断定理的理解 8．设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或；    ②若，则； ③若，且，则；    ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 【答案】①③ 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可得结论. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误. 【易错分析】一是忽略直线与平面平行的前提条件，误判命题①，未考虑n可能在平面内；二是混淆线面垂直的判定条件，命题②中误将线线垂直直接推导线面垂直；三是对线面平行性质理解不深，命题③易忽略线面平行性质定理的条件；四是误将线面角相等直接推导线线垂直，命题④未考虑线面角相等的多种情况，导致误判。 直线与平面平行的判定 9．如图所示的四棱锥中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面上． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）取中点，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用线面垂直的性质，结合勾股定理及球面的定义确定球心位置即可得证. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由为的中点， 得，由，得，则， 而，因此四边形为平行四边形，，又平面平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得，则， 由，得，而， 则，，，又，则， 而在同一个球面上，且，因此点为球心， 所以球心在平面上. 【易错分析】一是证明线面平行时，易忽略线面平行判定定理的条件，如未证明直线在平面外或直线与平面内直线平行，逻辑不严谨；二是向量法证明时，建系或坐标计算出错，或混淆线面平行的向量条件；三是证明球心位置时，对球心到各点距离相等的条件理解不清，或误判球心位置；四是未充分利用PA垂直底面、BC平行AD等条件，导致证明过程不完整或出错。 直线与平面垂直的判定 10．在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由是底面正六边形的中心，是的中点，通过构造中位线，找到平面内与平行的直线，利用线面平行的判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面的两条相交线。 【详解】（1）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，是的中点； 是的中点，为的中位线，则； 平面，平面，平面. （2）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，； ,，，即; 六棱柱是正六棱柱，底面； 底面，； ，平面； 平面，； 底面是正六边形，，，； 底面，底面，； ，； ，，，，四边形为正方形； ，为正方形的对角线，； ，，平面，平面，且， 平面. 【易错分析】一是证明线面平行时，易忽略线面平行判定定理的条件，未证明直线与平面内直线平行或直线在平面外；二是证明线面垂直时，漏证直线与平面内两条相交直线都垂直，或误判直线位置关系；三是建系时，对正六边形底面的坐标处理出错，影响后续向量计算；四是混淆线线、线面位置关系的判定条件，逻辑不严谨，步骤不完整。 直线与平面所成角 11．(本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解证明即可；（2）运用几何法求解线面夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，连接，由于为的外心，故有. 因为为中点，，所以，， ∵，平面∴平面， ∴.同理，. ∵，平面， ∴平面. （2）正四面体棱长​，等边中，中线， 为重心（等边三角形重心与外心重合），故. 由平面，​. 是中点，在中，，， 由中线长公式. 由体积法，​​， 故， 又​， 设到平面距离为，则，​ 设线面夹角为，由线面角定义，代入得. 即直线与平面夹角的正弦值为. 【易错分析】一是证明线面垂直时，易漏证直线与平面内两条相交直线都垂直，或误判正四面体底面外心性质；二是计算线面角时，未按题目要求用几何法，误用空间向量导致步骤失分；三是求线面角的正弦值时，混淆线面角定义，误将其他角当作线面角；四是正四面体棱长与高、底面外接圆半径的计算出错，影响后续步骤。 求二面角 12．如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直、正方形的性质得、，再由线面垂直、面面垂直的判定证明结论； （2）由（1）及已知证明、，取的中点分别为，连接，结合面面角的定义得到即为平面与平面所成角的平面角，设，进而求出面面角的余弦值. 【详解】（1）由平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 又，且平面，则平面， 由平面，则平面平面； （2）由（1）知平面，平面，则， 由四边形为正方形，则， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面， 由平面，则， 由且，则， 所以，即为等腰三角形，又为等边三角形， 取的中点分别为，连接，则，且， 而，则，又平面平面， 其中平面，平面， 则即为平面与平面所成二面角的平面角， 若，则，且，， 所以，故， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为. 【易错分析】一是证明面面垂直时，易漏证线面垂直的关键步骤，未证明BC垂直平面PCD，或混淆面面垂直判定定理的条件；二是二面角求解时，建系或找平面法向量出错，或误判二面角与法向量夹角的关系；三是折叠问题中，易忽略折叠前后的不变量，误判DE与PC、CD的垂直关系；四是计算二面角余弦值时，符号处理不当，或混淆二面角的定义与范围。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 立体几何初步 知识点1： 空间几何体的分类与结构特征（高频小题） 1.多面体（由平面多边形围成）： 棱柱：有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边互相平行； 分类：直棱柱（侧棱垂直底面）、斜棱柱（侧棱不垂直底面）、正棱柱（底面为正多边形的直棱柱）； 核心性质：侧棱平行且相等，两底面全等，侧面为平行四边形（直棱柱侧面为矩形）。 棱锥：有一个面是多边形（底面），其余各面是有公共顶点的三角形（侧面）； 分类：正棱锥（底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面中心）； 核心性质：侧棱相等（正棱锥），侧面为全等的等腰三角形（正棱锥）。 棱台：用平行于棱锥底面的平面截取棱锥，底面与截面之间的部分； 核心性质：两底面平行且相似，侧棱延长线交于一点，侧面为等腰梯形（正棱台）。 2.旋转体（由平面图形旋转而成）： 圆柱：矩形绕其一边旋转一周形成； 核心性质：母线平行且相等，轴截面为矩形，侧面展开图为矩形。 圆锥：直角三角形绕其一条直角边旋转一周形成； 核心性质：母线相等，轴截面为等腰三角形，侧面展开图为扇形（弧长 = 底面圆周长）。 圆台：直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周形成（或用平行于圆锥底面的平面截取圆锥）； 核心性质：母线相等，轴截面为等腰梯形，侧面展开图为扇环。 球：半圆绕直径旋转一周形成； 核心性质：所有半径、直径相等，球面上任意一点到球心距离等于半径。 3.组合体：由基本几何体拼接、挖去而成（如 “长方体上放一个圆柱”“正方体挖去一个圆锥”）。 4.考查形式：判断几何体类型、描述结构特征、识别截面图形、区分易混几何体（如直棱柱与斜棱柱、棱锥与棱台）。 知识点2：空间几何体的直观图与三视图（核心基础，必考） 1.三视图（投影法：正投影）： 主视图（正视图）：从几何体正面观察得到的投影； 左视图：从几何体左面观察得到的投影； 俯视图：从几何体上面观察得到的投影； 核心原则：“长对正、高平齐、宽相等”（主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等）。 2.直观图（斜二测画法，必考）： 作图步骤： ① 建立坐标系：在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴，在直观图中画成 x' 轴、y' 轴，夹角为 45°（或 135°）； ② 坐标变换：平行于 x 轴、z 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段长度变为原来的 1/2； ③ 连接成图：按原图形状连接各顶点，保留坐标轴标记。 0. 面积关系：直观图面积 = 原图面积 × （根号 2 / 4）；原图面积 = 直观图面积 × 2 根号 2。 3.考查形式： 由几何体画三视图（注意实线、虚线区分：可见轮廓线画实线，不可见画虚线）； 由三视图还原几何体（求形状、边长、表面积、体积）； 斜二测画法作图、____________。 知识点3：空间点、直线、平面的基本概念（逻辑基础） 1.平面的表示： 符号表示：用希腊字母 α、β、γ 表示（如平面 α），或用不共线三点表示（如平面 ABC）； 基本性质（三公理）： ① 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（线在面内判定）； ② 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（确定平面的依据）； ③ 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（面面相交，交线唯一）。 2.空间点、线、面的位置关系： 点与线：点在直线上、点在直线外； 点与面：点在平面内、点在平面外； 线与线：共面（平行、相交）、异面（不同在任何一个平面内，无公共点）； 线与面：平行（无公共点）、相交（有且只有一个公共点）、线在面内（有无数个公共点）； 面与面：平行（无公共点）、相交（有一条公共直线）。 3.考查形式：判断位置关系、利用公理确定平面、证明点共线 / 线共面 / 面共点。 知识点4： 空间平行关系的判定与性质（高频大题 / 小题） 1.线线平行： 判定定理： ① 平行公理（公理 4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行（a∥b，b∥c ⇒ a∥c）； ② 线面平行性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，则这条直线与交线平行（a∥α，a⊂β，α∩β=b ⇒ a∥b）； ③ 面面平行性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行（α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b ⇒ a∥b）。 性质：两直线平行，同位角、内错角相等（空间中仍成立）。 2.线面平行： 判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行（a⊄α，b⊂α，a∥b ⇒ a∥α）； 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与已知平面的交线与该直线平行（见线线平行判定②）。 3.面面平行： 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（a⊂α，b⊂α，a∩b=P，a∥β，b∥β ⇒ α∥β）； 性质定理： ① 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行（α∥β，a⊂α ⇒ a∥β）； ② 见线线平行判定③； ③ 夹在两个平行平面间的平行线段____________。 4.考查形式：证明线线平行 / 线面平行 / 面面平行、利用平行关系求线段长度、判断命题真假。 知识点5：空间垂直关系的判定与性质（高频大题，难点） 1.线线垂直： 判定定理： ① 线面垂直性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线（a⊥α，b⊂α ⇒ a⊥b）； ② 异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角为 90°，则这两条异面直线垂直。 性质：垂直于同一条直线的两条直线____________平行（空间中需注意位置关系）。 2.线面垂直： 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直（a⊂β，b⊂β，a∩b=P，l⊥a，l⊥b ⇒ l⊥β）； 性质定理： ① 见线线垂直判定①； ② 如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行（a⊥α，b⊥α ⇒ a∥b）。 3.面面垂直： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（l⊥α，l⊂β ⇒ α⊥β）； 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面（α⊥β，α∩β=l，a⊂β，a⊥l ⇒ a⊥α）。 4.考查形式：证明线线垂直 / 线面垂直 / 面面垂直（常结合菱形、等腰三角形、矩形等平面图形性质）、利用垂直关系求角或距离、解决折叠问题中的垂直判定。 知识点6：表面积与体积公式（必考，计算核心） 多面体表面积： 棱柱：S 表 = S 侧 + 2S 底（直棱柱侧面积 S 侧 = 底面周长 × 侧棱长）； 棱锥：S 表 = S 侧 + S 底（正棱锥侧面积 S 侧 = 1/2× 底面周长 × 斜高）； 棱台：S 表 = S 侧 + S 上底 + S 下底（正棱台侧面积 S 侧 = 1/2×(上底周长 + 下底周长)× 斜高）； 组合体：拼接时扣除重叠部分面积，挖去时增加挖去部分侧面积（不扣除原底面积）。 2.旋转体表面积： 圆柱：S 表 = 2πr² + 2πrh（S 侧 = 2πrh，r 为底面半径，h 为高）； 圆锥：S 表 = πr² + πrl（S 侧 = πrl，l 为母线长，l = 根号下 (r² + h²)）； 圆台：S 表 = πr₁² + πr₂² + π(r₁ + r₂) l（S 侧 = π(r₁ + r₂) l，r₁、r₂为上下底半径，l 为母线长）； 球：S 表 = 4πR²（R 为球半径）。 3.体积公式： 棱柱 / 圆柱：V = S 底 ×h（h 为高，直棱柱高 = 侧棱长）； 棱锥 / 圆锥：V = 1/3×S 底 ×h（h 为高，正棱锥高为顶点到底面的垂直距离）； 棱台 / 圆台：V = 1/3×h×(S 上底 + S 下底 + 根号下 (S 上底 ×S 下底))； 球：V = 4/3×πR³； 组合体：割补法（分割为基本几何体求和，或补成基本几何体求差）、等体积法（换底换高，如三棱锥 V = 1/3×S₁×h₁ = 1/3×S₂×h₂）。 4.考查形式：直接求基本几何体表面积 / 体积、组合体表面积 / 体积____________、利用等体积法求高或距离、由三视图求表面积 / 体积。 知识点7： 空间角与距离（中档题 / 压轴题，核心难点） 1.空间角（范围：0°≤θ≤90°，异面直线所成角、线面角；0°≤θ≤180°，二面角）： 异面直线所成角： ① 定义：过空间任一点作两条异面直线的平行线，所得锐角（或直角）为异面直线所成角； ② 求法：平移法（找平行线，构造三角形）、向量法（cosθ = |cosa, 向量 b>|）。 线面角： ① 定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，即直线与它在平面内的____________所成角； ② 求法：找射影（过直线上一点作平面垂线，连接垂足与直线和平面交点）、向量法（sinθ = |cos 向量，平面法向量 >|）。 二面角： ① 定义：从二面角的棱出发，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所成角为二面角的平面角； ② 求法：定义法（直接找平面角）、垂线法（过一个平面内点作另一个平面垂线，再作棱的垂线）、向量法（cosθ = ±|cos 向量 >|，符号由二面角类型确定）。 2.空间距离： 点到直线距离：过点作直线的垂线，垂线段长度（构造直角三角形求解）； 点到平面距离：过点作平面的垂线，垂线段长度（等体积法、向量法：d = | 向量 PA・平面法向量 | / | 平面法向量 |，P 为点，A 为平面内任一点）； 线面距离：直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离（转化为点到平面距离）； 面面距离：两个平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离（转化为点到平面距离）。 3.考查形式：求异面直线所成角、线面角、二面角；求点到直线、点到平面距离；结合平行 / 垂直关系求角或距离。 知识点8： 三视图与直观图题型（选择 / 填空必考） 1.题型 1：由几何体画三视图 解题步骤： ① 确定观察方向（主、左、俯）； ② 区分可见轮廓线（实线）和不可见轮廓线（虚线）； ③ 遵循 “长对正、高平齐、宽相等” 原则画图。 示例：画出正方体挖去一个角后的三视图。 题型 2：由三视图还原几何体 解题步骤： ① 由主视图和俯视图确定几何体的长度和宽度，由主视图和左视图确定高度； ② 还原基本几何体（如长方体、圆柱、圆锥），再分析是否有拼接或挖去部分； ③ 验证三视图与还原几何体是否一致。 示例：已知三视图为 “主视图是矩形、左视图是三角形、俯视图是圆”，还原几何体为圆锥。 题型 3：直观图与面积换算 解题步骤： ① 由____________确定直观图中线段长度与原图的关系； ② 利用 “直观图面积 = 原图面积 × 根号 2/4” 换算； ③ 注意平行于 y 轴的线段长度减半，平行于 x、z 轴的线段长度不变。 要点：虚线不要遗漏，还原几何体时注意尺寸对应，面积换算公式记准。 知识点9：平行关系证明题型（解答题基础问） 题型特征：证明线线平行、线面平行或面面平行，常结合棱柱、棱锥的结构特征。 解题方法（核心思路：转化思想）： 证明线面平行：转化为证明直线与平面内一条直线平行（线线平行→线面平行）； 证明面面平行：转化为证明一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面（线面平行→面面平行）； 证明线线平行：利用平行公理、线面平行性质或面面平行性质。 示例：证明长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D∥平面 BCC₁B₁。 证明：∵ 长方体中 A₁D∥B₁C，且 B₁C⊂平面 BCC₁B₁，A₁D⊄平面 BCC₁B₁，∴ A₁D∥平面 BCC₁B₁。 要点：证明过程需注明定理条件（如 “线面平行判定定理”“平行公理”），逻辑链完整。 知识点10： 垂直关系证明题型（解答题核心问） 题型特征：证明线线垂直、线面垂直或面面垂直，常结合菱形、等腰三角形、矩形、直角三角形等性质。 解题方法（核心思路：转化思想）： 证明线线垂直：转化为证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面（线面垂直→线线垂直）； 证明线面垂直：转化为证明直线垂直于平面内两条相交直线（线线垂直→线面垂直）； 证明面面垂直：转化为证明一个平面经过另一个平面的一条垂线（线面垂直→面面垂直）。 示例：证明菱形 ABCD 所在平面与平面 EFG 垂直（已知菱形对角线 AC⊥平面 EFG）。 证明：∵ AC⊂平面 ABCD，且 AC⊥平面 EFG，∴ 平面 ABCD⊥平面 EFG（面面垂直判定定理）。 要点：证明线面垂直时，必须强调 “两条相交直线”，避免遗漏 “相交” 条件；结合平面图形性质（如菱形对角线垂直、等腰三角形三线合一）找垂直关系。 知识点11：表面积与体积计算题型（选择 / 填空 / 解答题） 题型 1：基本几何体计算 解题步骤： ① 确定几何体类型，找出已知条件（如棱长、半径、高）； ② 代入对应表面积或体积公式计算； ③ 注意单位统一（如半径和高均为厘米，体积单位为立方厘米）。 示例：求底面半径为 2、高为 3 的圆柱的表面积和体积。 解：S 表 = 2π×2² + 2π×2×3 = 20π；V = π×2²×3 = 12π。 题型 2：组合体计算（割补法） 解题步骤： ① 分割或补形：将组合体____________为几个基本几何体（如长方体、圆锥），或补成基本几何体； ② 分别计算各基本几何体的表面积 / 体积； ③ 求和（拼接）或求差（挖去），注意拼接时扣除重叠部分面积，挖去时增加侧面积。 示例：求正方体（棱长为 4）中挖去一个底面半径为 1、高为 4 的圆柱后的体积。 解：V = 4³ - π×1²×4 = 64 - 4π。 题型 3：等体积法求高 / 距离 解题步骤： ① 选择合适的底面和高（通常将不易直接求的高转化为易求的高）； ② 列出等体积关系式（如 V = 1/3×S₁×h₁ = 1/3×S₂×h₂）； ③ 代入已知条件求解未知量（h₁或 h₂）。 示例：求三棱锥 P-ABC 的高（已知 V=12，底面 ABC 面积为 6）。 解：12 = 1/3×6×h ⇒ h = 6。 要点：体积公式中棱锥、圆锥不要忘记乘 1/3，球的表面积和体积公式区分平方和立方；组合体计算注意重叠部分处理。 知识点12： 折叠与展开题型（创新题型，高频） 题型特征：将平面图形折叠为空间几何体，或展开空间几何体为平面图形，考查折叠 / 展开前后的不变量（边长、角度）和变化量（位置关系）。 解题步骤： 折叠问题： ① 分析折叠前后的____________（边长不变、某些角不变）和____________（线面位置关系变化）； ② 还原折叠前的平面图形，标注已知条件； ③ 结合空间几何知识（平行、垂直、表面积、体积）求解。 展开问题： ① 将空间几何体侧面展开为平面图形（如圆锥侧面展开为扇形、棱柱侧面展开为矩形）； ② 利用平面图形性质（如两点之间线段最短）求最值（如最短路径问题）； ③ 还原空间几何体验证结果。 示例：将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折叠为直二面角，求折叠后 BD 的长度。 解：折叠前 BD⊥AC，折叠后 BO⊥AC，DO⊥AC（O 为 AC 中点），∠BOD 为直二面角，BO=DO = 根号 2，∴ BD = 根号 (BO² + DO²) = 2。 要点：折叠前后 “不变量” 是解题关键，注意折叠后线面垂直关系的判定；展开问题重点是找到对应的平面图形。 知识点13： 解题方法技巧考点（高效解题关键） ①空间几何证明题的 “转化思想” 技巧 平行关系转化：线线平行 ⇔ 线面平行 ⇔ 面面平行（双向转化，根据题目条件选择方向）； 垂直关系转化：线线垂直 ⇔ 线面垂直 ⇔ 面面垂直（核心是线面垂直，作为中间桥梁）； 技巧应用：遇到 “证明面面平行”，先找 “线面平行”；遇到 “证明线线垂直”，先找 “线面垂直”。 ② 组合体计算的 “割补法” 技巧 分割法：将复杂组合体分割为几个基本几何体（如棱柱、棱锥、圆柱），分别计算后求和； 适用场景：拼接而成的组合体（如 “圆柱上放一个圆锥”）。 补形法：将不完整的几何体补成完整的基本几何体，计算后求差； 适用场景：挖去一部分的几何体（如 “正方体挖去一个三棱锥”）或不规则几何体（如 “三棱柱补成四棱柱”）。 技巧：分割 / 补形时尽量选择规则的、易计算的基本几何体，减少计算量。 ③ 最值问题求解技巧（选填压轴） 最短路径问题：将空间几何体侧面展开为平面图形，利用 “两点之间线段最短” 求解（如圆锥侧面上一点到另一点的最短路径）； 体积最值问题：利用基本不等式（如 a + b ≥ 2 根号 (ab)）或函数单调性，结合已知条件求体积的最大值或最小值； 距离最值问题：转化为点到平面的距离最值、____________（结合平行关系）。 知识点14： 易混易错考点（高频失分点） ①概念理解错误 易错点 1：混淆 “斜二测画法” 中线段长度变化（平行于 y 轴的线段长度减半，而非所有线段）； 易错点 2：误认为 “垂直于同一条直线的两条直线平行”（空间中可能异面、相交或平行）； 易错点 3：棱台的判定错误（需强调 “侧棱延长线交于一点”，否则不是棱台）； 易错点 4：二面角与线面角的范围混淆（二面角范围 0°~180°，线面角范围 0°~90°）； 应对：牢记空间几何基本概念和定理，对比平面几何与空间几何的差异，避免思维定式。 ② 公式应用错误 易错点 1：体积公式遗漏系数（棱锥、圆锥体积忘记乘 1/3，球的体积公式误写为 4πR²）； 易错点 2：表面积计算忽略重叠部分（组合体拼接时未扣除重叠面积，挖去时未增加侧面积）； 易错点 3：斜二测画法面积换算公式记混（直观图面积 = 原图面积 × 根号 2/4，而非除以 2）； 应对：整理公式清单，标注易错点（如 “棱锥体积 ×1/3”“球表面积 4πR²，体积 4/3πR³”），计算前先确认公式。 ③证明过程逻辑错误 易错点 1：证明线面垂直时，仅证明直线垂直于平面内一条直线（缺少 “两条相交直线” 条件）； 错点 2：证明面面平行时，仅证明一个平面内一条直线平行于另一个平面（缺少 “两条相交直线” 条件）； 易错点 3：使用定理时未注明条件（如 “由线面平行性质定理得” 未写出，直接得出线线平行）； 应对：牢记各定理的完整条件，证明过程按 “条件→结论→定理依据” 的逻辑书写，避免跳步。 知识点15：拓展补充考点（能力提升，选填压轴适用） ①截面问题（选填压轴） 核心思路：根据平面与几何体的交点，确定截面多边形的顶点，连接各顶点得到截面图形； 见截面： 柱的截面：三角形、四边形、五边形（取决于平面与棱柱的交线数量）； 的截面：圆（截面圆半径 r = 根号下 (R² - d²)，d 为球心到截面的距离）； 考查形式：判断截面图形形状、求截面面积、求截面与顶点的距离。 ②空间几何体的外接球与内切球（高频压轴） 接球（几何体各顶点都在球面上）： 常见几何体的外接球： ① 长方体 / 正方体：外接球直径 = 体对角线长度（2R = 根号下 (a² + b² + c²)）； ② 正四面体：外接球半径 R = 根号 6/4× 棱长； 求法：找外接球的球心（到各顶点距离相等），计算半径。 内切球（几何体各面都与球相切）： 见几何体的内切球： ① 正方体：内切球直径 = 棱长（2R = a）； ② 正棱锥：内切球半径 r = 3V/S 表（V 为体积，S 表为表面积）； 求法利用 “球心到各面距离等于半径” 或____________求解。 考查形式：求外接球 / 内切球的半径、表面积、体积。 简单几何体的表面展开与折叠问题 【例1】如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱的夹角为分别是上的动点，则三角形的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，在三棱锥中，，点是棱上一动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 与直观图还原有关的计算问题 【例1】如图，是用斜二测画法画水平放置的的直观图，轴，轴，且，，则边所对应的边_________． 【变式1】用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为，则________． 【变式2】如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，，则（     ） A．1 B． C．2 D． 棱柱、棱锥、棱台的表面积 【例1】已知圆台，上底面直径为，下底面直径为，当时，直线与圆台底面所成夹角为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】在棱长为1的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为___． 【变式2】（多选）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（   ） A．平面 B．为等边三角形 C．平面 D．圆锥的侧面积为 棱柱、棱锥、棱台的体积 【例1】（多选）如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（   ） A．圆锥的体积为 B．球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C．异面直线BF与PA所成角为 D．平面AEF截球O的截面面积为 【变式1】在三棱锥中，，均是边长为的等边三角形，当平面平面时，三棱锥内切球的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）在棱长均为1的直三棱柱中，点满足，其中，，点为线段的中点，点为线段上的动点，则（   ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．当时，存在两个点，使得 D．当时，的周长的最小值为 球的表面积与体积（外接球、内切球、棱切球） 【例1】已知圆锥的底面半径为，将一个半径为的球置于圆锥内，若球与圆锥的底面及侧面均相切，且圆锥顶点到球面上的点距离的最小值为，则圆锥的体积为_________. 【变式1】在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（     ） A．20 B．18 C．16 D．12 三线共点问题 【例1】如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 【变式1】如图，点是正方体的上底面的中心，过，，A三点作一个截面．求证：此截面与对角线的交点P一定在上．    【变式2】如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． 异面直线所成的角 【例1】在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 直线与平面平行的判断定理的理解 【例1】已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1】已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 【变式2】设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 直线与平面平行的判定 【例1】如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． 【变式1】如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的余弦值. 【变式2】如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，是棱上的动点. (1)若为的中点，证明：平面. (2)若，证明：直线与相交于一点. 直线与平面垂直的判定 【例1】如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． (1)证明：平面； (2)若，且与底面所成角的余弦值为．求的长； 【变式1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【变式2】如图，在五面体中，平面，，四边形为矩形，，，，，G是的中点． (1)证明：平面． (2)求直线AE与直线所成角的余弦值． 直线与平面所成角 【例1】如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【变式1】如图，正三棱柱中，，是的中点， (1)求证：∥平面； (2)求直线和平面所成的角. 【变式2】如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 求二面角 【例1】如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 【变式1】如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【变式2】如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（   ） A． B． C． D． 简单几何体的表面展开与折叠问题 1．如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 【易错分析】一是未理解曲面最短路径需将圆锥侧面展开为平面求解，误在立体图形中直接连线；二是计算不完整圆锥展开图圆心角时，未减去底面圆心角对应的弧长，导致∠APB求错；三是应用余弦定理时，记错cos(2π/3)的符号或数值，造成结果错误；四是混淆圆锥底面半径与母线长，误判展开图中PA、PB的长度，影响后续计算。 与直观图还原有关的计算问题 2．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【易错分析】一是对斜二测画法的还原规则理解不清，误将直观图中y'轴上的长度直接当作原图高度，未按规则放大为原来的2倍；二是混淆直观图与原图的面积比例关系，误用直观图的底和高直接计算原图面积；三是忽略斜二测画法中平行于坐标轴的线段的变化规律，误判原图中△OAB为非直角三角形；四是记错斜二测画法下原图与直观图的面积比例系数，导致最终结果错误。 棱柱、棱锥、棱台的表面积 3．已知正三棱台的上､下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【易错分析】一是混淆正三棱台的二面角与高、斜高的关系，误将侧面与底面所成二面角直接当作侧棱与底面的夹角；二是计算上下底面边心距时出错，影响斜高的求解；三是误用梯形面积公式时，未正确代入斜高，或误算上下底边长；四是忽略正三棱台三个侧面面积相等，漏乘系数，导致最终侧面积计算错误。 棱柱、棱锥、棱台的体积 4．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，，， 则该组合体的体积为_______________； 【易错分析】一是混淆正四棱锥的侧棱与高，误将PE直接当作高，未通过勾股定理计算高；二是计算正四棱锥体积时，漏乘1/3系数，或误将底面积算成侧面积；三是长方体部分易误将EF或AE当作长宽高，或底面积与高对应错误；四是组合体体积计算时，漏加其中一部分体积，或单位、计算步骤出错。 球的表面积与体积（外接球、内切球、棱切球） 5．已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 【易错分析】一是未判断△ABC为直角三角形，误找其外接圆的圆心与半径；二是混淆球心到平面的距离、外接圆半径与球半径的关系，未用勾股定理建立方程；三是忽略“球心到平面的距离为球半径的一半”这一条件，计算时漏用或错用；四是求球的表面积时，记错公式，漏乘4π或算错半径平方。 三线共点问题 6．如图，在长方体中，点､分别为棱､的中点. （1）求证：、、、四点共面； （2）确定直线与直线交点的位置，不需要说明理由. 【易错分析】一是证明四点共面时，未利用中位线证明EF与CD₁平行，误用其他方法导致逻辑不严谨；二是混淆长方体中异面直线与共面直线的判定，误判直线位置关系；三是确定直线D₁E与CF交点位置时，未结合延长线的交点特征，或对长方体中延长线的交点位置描述不准确；四是忽略证明过程中需明确写出平行关系，导致四点共面的证明步骤缺失关键依据。 异面直线所成的角 7．在正三棱台中，分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【易错分析】一是异面直线所成角定义理解不清，误将钝角当作所求角，或未按定义通过平移找角；二是正三棱台结构特征掌握不牢，误判EF与A₁C₁的位置关系；三是计算向量或线段长度时出错，影响余弦值计算；四是余弦定理应用时，边长对应关系搞错，或符号处理不当，导致结果偏差。 直线与平面平行的判断定理的理解 8．设为两个平面，m、n为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或；    ②若，则； ③若，且，则；    ④若与和所成的角相等，则； 其中，所有真命题的编号是____________． 【易错分析】一是忽略直线与平面平行的前提条件，误判命题①，未考虑n可能在平面内；二是混淆线面垂直的判定条件，命题②中误将线线垂直直接推导线面垂直；三是对线面平行性质理解不深，命题③易忽略线面平行性质定理的条件；四是误将线面角相等直接推导线线垂直，命题④未考虑线面角相等的多种情况，导致误判。 直线与平面平行的判定 9．如图所示的四棱锥中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面上． 【易错分析】一是证明线面平行时，易忽略线面平行判定定理的条件，如未证明直线在平面外或直线与平面内直线平行，逻辑不严谨；二是向量法证明时，建系或坐标计算出错，或混淆线面平行的向量条件；三是证明球心位置时，对球心到各点距离相等的条件理解不清，或误判球心位置；四是未充分利用PA垂直底面、BC平行AD等条件，导致证明过程不完整或出错。 直线与平面垂直的判定 10．在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【易错分析】一是证明线面平行时，易忽略线面平行判定定理的条件，未证明直线与平面内直线平行或直线在平面外；二是证明线面垂直时，漏证直线与平面内两条相交直线都垂直，或误判直线位置关系；三是建系时，对正六边形底面的坐标处理出错，影响后续向量计算；四是混淆线线、线面位置关系的判定条件，逻辑不严谨，步骤不完整。 直线与平面所成角 11．(本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【易错分析】一是证明线面垂直时，易漏证直线与平面内两条相交直线都垂直，或误判正四面体底面外心性质；二是计算线面角时，未按题目要求用几何法，误用空间向量导致步骤失分；三是求线面角的正弦值时，混淆线面角定义，误将其他角当作线面角；四是正四面体棱长与高、底面外接圆半径的计算出错，影响后续步骤。 求二面角 12．如图1所示，四边形为正方形，，为的中点．将沿直线翻折使得平面，如图2所示． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【易错分析】一是证明面面垂直时，易漏证线面垂直的关键步骤，未证明BC垂直平面PCD，或混淆面面垂直判定定理的条件；二是二面角求解时，建系或找平面法向量出错，或误判二面角与法向量夹角的关系；三是折叠问题中，易忽略折叠前后的不变量，误判DE与PC、CD的垂直关系；四是计算二面角余弦值时，符号处理不当，或混淆二面角的定义与范围。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $