第13章 专题微课 空间点、线、面位置关系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学空间点、线、面位置关系核心知识点，系统梳理线线、线面、面面平行与垂直的转化规律，通过交线截面问题、平行垂直综合证明、几何法求空间角等题型，构建从基础关系到复杂应用的学习支架。 该资料突出学科素养浸润，通过正方体截面分析、直四棱柱交线计算等实例，渗透数形结合与转化思想，提升逻辑推理和直观想象能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过思维建模与针对训练查漏补缺，强化空间观念。

专题微课　空间点、线、面位置关系 [建构知识体系] [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 (1)通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，提升逻辑推理和直观想象素养. (2)通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化，提升直观想象和逻辑推理素养. 2.渗透的数学思想 (1)在判断空间几何体的点、线、面的位置关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的证明中，根据图形运算求解或证明体现了数形结合的思想. (2)在本章中化归思想无处不在，如“要证线面平行，先证线线平行” “要证面面平行，先证线面平行” “要证线面垂直，先证线线垂直” “要证面面垂直，先证线面垂直”等，都体现了转化与化归思想. 题型(一)　立体几何中的交线、截面问题 [例1]　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD=DD1，NB=BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是 (　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 (2)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　　　　　.  解析：(1)先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点. 设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形. (2)如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ，由∠BAD=60°，AB=AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1=DB=2. ∴△D1B1C1为等边三角形.则D1E=，且D1E⊥平面BCC1B1.∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心.设截面圆的半径为r，则r===，可得EP=EQ=.∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ. 又D1P=，∴B1P==1.同理C1Q=1. ∴P，Q分别为BB1，CC1的中点. ∴∠PEQ=.∴的长为×=. 答案：(1)C　(2) |思|维|建|模| 利用平面的性质确定截面的形状是解决问题的关键 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线. (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线. 　 [针对训练] 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为　　　　.  解析：如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α. 由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点， 故BD=2，MN=，且BM=DN=. ∴等腰梯形MNDB的高为 h==. ∴梯形MNDB的面积为×(+2)×=. 答案： 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为　　　　.  解析：如图所示，连接EF，A1B，连接A1C1，B1D1交于点M，连接B1E，BC1交于点N， 易知EF∥B1D1，即E，F，B1，D1共面. 由于P是线段A1B上的动点， 当P重合于A1或B时，C1A1，C1B与平面D1EF的交点分别为M，N，即Q的轨迹为MN. 由正方体的棱长为3， 得C1M=A1C1=3，则BC1=6. 又==，则NC1=BC1=4. 由A1B=BC1=A1C1，得∠A1C1B=60°， 则MN2=M+N-2MC1·NC1·cos∠A1C1B=9+16-2×3×4×=13，故MN=. 答案： 　　　　　　　　题型(二)　空间中垂直与平行的综合问题 [例2]　如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G，H分别是CE，CF的中点. (1)求证：AC⊥平面BDEF； (2)求证：平面BDGH∥平面AEF. 证明：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF. (2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF. 又GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF. 设AC∩BD=O，连接OH，如图. 在△ACF中，因为O，H分别为CA，CF的中点，所以OH∥AF. 因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.因为OH∩GH=H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF. |思|维|建|模| 　　平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决.注意遵循“空间”到“平面”、“低维”到“高维”的转化关系. 　　[针对训练] 3.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点. (1)求证：B1D1∥平面A1BD； (2)求证：MD⊥AC； (3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D. 解：(1)证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1，且BB1=DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形.所以B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD. (2)证明：因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.又因为BD⊥AC，且BD∩BB1=B，所以AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D，所以MD⊥AC. (3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.证明如下.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于点O，连接OM.因为N是DC的中点，BD=BC，所以BN⊥DC.又因为DC是平面ABCD与平面CC1D1D的交线，而平面ABCD⊥平面CC1D1D，所以BN⊥平面CC1D1D.又可证得O是NN1的中点，所以BM∥ON，且BM=ON，即四边形BMON是平行四边形.所以BN∥OM.所以OM⊥平面CC1D1D.因为OM⊂平面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D. 题型(三)　几何法求空间角 [例3]　如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，异面直线PB与CD的夹角为45°. (1)求二面角B-PC-D的大小； (2)求直线PB与平面PCD夹角的大小. 解：(1)∵ABCD是正方形，∴AB∥CD. ∴∠PBA就是异面直线PB与CD的夹角，即∠PBA=45°.∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB.∴PA=AB.在△PBC和△PDC中，PB=PD，BC=CD，PC=PC， ∴△PBC≌△PDC.∴∠PCB=∠PCD.作BE⊥PC于E，连接ED. 在△ECB与△ECD中，BC=CD，CE=CE，∠ECB=∠ECD， ∴△ECB≌△ECD. ∴∠CED=∠CEB=90°. ∴∠BED就是二面角B-PC-D的平面角. 设AB=a，则BD=PB=a，PC=a. 则BE=DE==a. 则cos∠BED==-， 即∠BED=120°.∴二面角B-PC-D的大小为120°. (2)还原棱锥为正方体ABCD-PB1C1D1，作BF⊥CB1于F. ∵平面PB1C1D1⊥平面BB1C1C，∴BF⊥B1P. ∴BF⊥平面PB1CD. 连接PF，则∠BPF就是直线PB与平面PCD的夹角. 易知BF=a，PB=a， ∴sin∠BPF=，即∠BPF=30°. ∴直线PB与平面PCD的夹角为30°. |思|维|建|模| 1.求线面角的三个步骤 一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解. 2.作二面角的平面角的方法 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角. 　　[针对训练] 4.(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°，AA1=2，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明：A1C=AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 解：(1)证明：如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D， ∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC. 又∠ACB=90°，∴AC⊥BC. ∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC=C， ∴BC⊥平面ACC1A1. ∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D. 又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC=C， ∴A1D⊥平面BCC1B1.∴A1D=1. 由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1=AA1=2，A1D=1， ∴D为CC1的中点.又A1D⊥CC1，∴A1C=A1C1， 又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=A1C1， ∴A1C=AC. (2)连接A1B，∵AC=A1C1，BC⊥A1C，BC⊥AC， ∴Rt△ACB≌Rt△A1CB. ∴BA=BA1. 过B作BO⊥AA1，交AA1于点O，则O为AA1中点. 由于直线AA1与BB1距离为2，所以BO=2. ∵A1O=1，BO=2，∴A1B=AB=， 在Rt△ABC中，BC==. 延长AC，使AC=CM，连接C1M. 由CM∥A1C1，CM=A1C1知四边形A1CMC1为平行四边形. ∴C1M∥A1C.∴C1M⊥平面ABC.又AM⊂平面ABC，∴C1M⊥AM. 则在Rt△AC1M中，AM=2AC，C1M=A1C，∴AC1=. 在Rt△AB1C1中，AC1=，B1C1=BC=，∴AB1==. 又A到平面BCC1B1距离也为1， ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为=. 1. 学科网（北京）股份有限公司 $