专题01 平面向量（期末复习知识清单）数学苏教版高一必修第二册

专题01 平面向量 知识点1：向量基本概念（基础考点，考频★★★，题型：选择、判断） 核心考点 1. 向量定义：既有大小又有方向的量；区分向量与数量（数量只有大小）。 2. 向量表示：有向线段、字母表示（）、坐标表示。 3. 五类特殊向量 ①零向量：长度为，方向任意，记作；②单位向量：长度为，方向不定；③相等向量：长度相等且方向相同；④相反向量：长度相等且方向相反； 平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量共线。 易错警示 向量不能比较大小，只有模长可以比大小； 平行向量 = 共线向量，与有向线段位置无关； 忽略零向量的特殊性（考题高频陷阱）。 知识点2：平面向量线性运算（高频基础，考频★★★★，题型：选择、填空、解答题步骤） 核心考点 1. 向量加法 法则：三角形法则、平行四边形法则；运算律：交换律、结合律。 2. 向量减法 几何意义：指向被减向量，三角形法则；转化：。 3. 实数与向量的积（数乘） 定义： 仍是向量，模，方向随正负改变；运算律：结合律、分配律。 4. 向量共线定理（重中之重） 非零向量与共线 有且只有一个实数，使得 ； 常用推论：三点共线证明。 易错警示 加减运算几何画法混淆；共线定理使用前提：为非零向量。 知识点3：平面向量基本定理 ，坐标运算 核心考点 1. 平面向量基本定理 平面内任意向量可唯一表示为两个不共线向量的线性组合； 称为一组基底。 关键：基底必须不共线。 2. 向量坐标运算 设加减：数乘： 向量坐标：终点坐标起点坐标。 3. 两向量平行的坐标判定 易错警示 求向量坐标时，颠倒起点、终点顺序； 平行坐标公式记混符号。 知识点4：平面向量数量积（全书重难点，考频★★★★★，选择、填空、解答大题） 核心考点 1. 数量积定义 （为两向量夹角，范围） 2. 几何意义：一个向量的模乘以另一个向量在该向量上的投影。 3. 坐标形式 4. 三大常用结论（必考） 向量的模：，夹角公式：，向量垂直判定： 5. 运算律：交换律、数乘结合律、分配律；数量积不满足结合律。 易错警示 夹角判断错误（默认锐角 / 直角，忽略钝角、反向）；混淆向量数量积与实数乘法规则； 垂直、平行的坐标公式混用。 知识点5：向量综合应用（拔高考点，考频★★★★，期末解答压轴题） 核心考向 1. 平面几何综合：用向量证明平行、垂直、求边长、角度； 2. 三角函数综合：向量结合三角化简、求值、求最值（高频大题）； 3. 函数 / 最值问题：利用模、数量积构造函数求范围、最值； 4. 动点轨迹问题：结合坐标运算求轨迹方程。 解题思路 优先建系用坐标法，其次用向量线性运算、数量积转化条件。 知识点6 全章必背公式速记（考前默写版） 1. 向量坐标： 终点坐标 起点坐标 2. 平行： 3. 垂直： 4. 数量积： 5. 模长： 6. 夹角余弦： 向量的加减法则 【例1】下列向量运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 【变式1】如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确， ，故D正确. 【变式2】已知四边形为正方形，P为线段上一点（不包括端点A，C），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据向量共线的条件及向量加法的几何意义可得 【详解】因为P为线段上一点（不包括端点A，C），如图： 所以存在，使得. 故选：A 向量表示三角形的心 【例1】（多选）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】取的中点，则，得，即可判断A；若，则为的外心，不一定是内心，即可判断B；由题意，则，即可判断C；取的中点，则，得，，即可判断D. 【详解】取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则为的重心，故A正确； 若，则为的外心，不一定是内心，故B错误； 若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误； 取的中点，连接，则， 若，则，则三点共线，且， 则，故D正确. 故选：AD. 【变式1】已知为抛物线的焦点， 为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】当时，为的重心，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，利用“点差法”可证明总存在以为中点的弦，从而可得结果. 【详解】抛物线方程为为曲线上三点， 当时，为的重心， 用如下办法构造， 连接并延长至，使， 当在抛物线内部时， 设，若存在以为中点的弦， 设， 则 则，两式相减化为， ， 所以总存在以为中点的弦， 所以这样的三角形有无数个，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解. 【变式2】（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可. 向量的数量积 【例1】已知向量与的夹角的余弦值为，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， 所以. 【变式1】已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，化简得：，即 ，有， 设与的夹角为，，所以. 【变式2】已知，，与的夹角为. (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的定义可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解即可； （2）根据向量垂直可得，结合数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为，，， 则，所以. （2）若向量与相互垂直， 则，即，解得. 平面向量基本定理 【例1】在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形法则，以及平面向量基本定理，结合已知条件分析求解即可. 【详解】如图所示： 因为， 所以， 又，所以. 【变式1】在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，结合共线向量定理及推论求解即得. 【详解】依题意，，由在上，得， 由在上，得，解得，则， 所以. 【变式2】在中，点在边上，且满足，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 .    向量的坐标表示与运算 【例1】已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B．-2 C．或-2 D．或-2 【答案】D 【分析】使用投影向量的概念求出在上的投影向量，再求出的值. 【详解】由于在上的投影向量为, 又，所以，，解得或-2. 【变式1】平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为． 【变式2】已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 共线问题 【例1】若点，，，且，，三点共线，则______. 【答案】 【详解】由题意得：，，若三点共线，则存在唯一实数，使， 即：，解得：，所以. 【变式1】已知，，，判断三点能否共线． 【答案】不共线 【详解】因为，，，则，， 又，所以，不共线．故三点不共线． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知向量.（其中），为坐标平面内一点. (1)若三点共线，求的值； (2)若四边形为矩形，求点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求出、，利用，，三点共线列方程求出的值． （2）由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出、、的值即可得到的坐标． 【详解】（1）解：向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，， 即，解得； 所以. （2）解：设， 由，， ，， 若四边形为矩形，则， 当时，，解得； 当时，得，解得， 将代入得， 所以点坐标为 平面向量解决几何最值问题 【例1】已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. ∵ 是圆的直径，且为边长为的等边三角形， ∴ ， 设圆上动点，， ∴ ，， ∴ . ∵ ， ∴ ， 即的取值范围为. 【变式1】已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案 【详解】以A为原点，、所在的直线分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则，，， ，所以， 设，故， 因为，所以， 则，， 所以， 因为，其对称轴为，取得最小值， 当，取得最大值，所以 【变式2】已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把条件几何化，得出，从而计算出点到直线的距离，然后对所求表达式进行化简，最后利用三点共线的结论可得的几何意义即可求解. 【详解】已知 ，得，又 ，故 ， 设，，为中点，则，得， ，已知，又， 故，得， 到直线的距离： ， ，因为 ， 所以是直线上任意点对应向量，其模长最小值就是点到直线的距离， 因此： ​，即最小值为. 用向量解决夹角问题 【例1】如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 【变式1】如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 【变式2】已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解. 【详解】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为． 故选：A． 向量的加减法则 1．（多选）下列式子中可以化简为的有（     ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A：根据向量加法的三角形法则，， 故A正确. 选项B：，不等于，故B不正确. 选项C：为共起点的两个向量的和，根据平行四边形法则，和向量的起点为O， 与方向不相同，故C不正确. 选项D：，故D正确. 【易错分析】本题易错点集中在向量加减法运算：一是混淆“首尾相接”的加法法则与“同起点、指向被减向量终点”的减法法则，易将OB}-OA的方向算反；二是忽略负号带来的向量方向变化，不清楚BD=DB，导致A选项化简出错；三是混淆向量和与差的概念，误将{OA+OB}当作差向量；四是随意套用代数运算律，忽视向量运算的前提条件，错误调整向量顺序。 向量表示三角形的心 2．已知，求证： (1)若点为的重心，则； (2)已知点为内一点，若，则点为的重心． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量的线性运算法则及重心的性质可得； （2）作平行四边形，设对角线与交于点，则是的中点，根据平面向量的线性运算法则，可证四点共线，即在中线上，同理可证点在其他两条中线上，从而证得点为的重心． 【详解】（1）因为点为的重心，所以连接，并延长交于点，则为的中点，且，所以. 又， 所以. （2）如图2所示，作平行四边形， 设对角线与交于点，则， 即与是相反向量，所以，，，四点共线． 又点是的中点，所以点在的中线上， 同理可证，点也在的另外两条中线上．所以点为的重心． 【易错分析】证明这两个命题时，容易混淆重心的向量性质与几何性质，比如误把重心分中线为2:1的比例方向搞反；向量运算中忽略负号导致方向出错；证明第二问时，只证明G在一条中线上，没证明在三条中线上就直接判定是重心；还有对向量和为零的几何意义理解不清，无法联系到中线的平行四边形法则。 向量的数量积 3．已知 ， ， 与 的夹角为 ， 是与向量 方向相同的单位向量，则 在向量 上的投影向量为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的模的运算和数量积运算，结合向量的投影向量的计算公式计算. 【详解】因为 ， ， ，所以 ， ， 所以 在 上的投影向量为 . 【易错分析】一是混淆投影向量与投影数量的概念，算出投影数量后忘记乘以单位向量；二是计算向量点积时，容易搞错夹角余弦值的符号，导致结果出错；三是计算向量和的模长时，平方展开不熟练，容易算错模长；四是最后化简系数时粗心，出现分数化简错误。 平面向量基本定理 4．已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】. 【易错分析】一是混淆平行四边形对角线的向量关系，记错对角线互相平分的性质，导致向量方向判断错误； 二是向量减法的三角形法则使用失误，不清楚BC可以转化为OC减OB； 三是忽略向量的方向，误把OA直接当作正方向使用，忘记OC和OA是相反向量； 四是对向量运算的路径不清晰，选错转化的中间向量，导致推导出错。 向量的坐标表示与运算 5．已知为直线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用共线定理可得，再由平面向量数量积的坐标公式及二次函数的最值即可求解． 【详解】由题意可得， 因为为直线上的一个动点，可设， ， 所以当时，有最小值． 【易错分析】一是求直线AB方程时，斜率计算或方程形式出错，导致D点坐标设错； 二是向量AD和CD的坐标表示出错，混淆点的坐标和向量的坐标关系； 三是点积运算时展开不仔细，出现符号或系数错误； 四是二次函数求最值时，顶点公式记错或代入计算失误，算错最小值； 五是忽略D在直线AB上的条件，导致后续推导偏离正确路径。 共线问题 6．已知点，，．若三点共线，则___________；若，则___________． 【答案】 / 【分析】表示出、后，利用共线定理计算可得空一；利用向量垂直性质计算可得空二. 【详解】、； 若三点共线，则、共线，即有，解得； 若，则，解得. 【易错分析】1. 三点共线时，容易混淆向量共线的条件，记错坐标交叉相乘相等的公式，或算错向量AB、AC的坐标。 2. 向量垂直时，容易记错向量垂直的充要条件，误将点积为0的条件写成点积为1，或计算点积时符号、系数出错。 3. 计算向量坐标时，用终点坐标减起点坐标容易搞反顺序，导致后续计算全部出错。 4. 两种情况的计算容易混淆，比如把共线的结论套用到垂直的计算中。 平面向量解决几何最值问题 7．如图，已知正方形边长为4，为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，利用等面积法求点到直线的距离，即可得结果. 【详解】因为为的中点，则，则， 由题意可知：，， 设点到直线的距离为， 则，解得， 可得，所以的最小值为. 【易错分析】一是建系时坐标设定出错，导致后续点的坐标全部算错；二是对中点G的坐标表示错误，忽略G是DF中点的条件；三是向量运算时，化简表达式2AG+DA出错，尤其是向量的加减和数乘运算；四是对动点F的参数表示不当，导致后续求最值时二次函数或几何意义分析失误；五是误将向量模长的最小值当成线段长度直接计算，忽略向量表达式的几何意义。 用向量解决夹角问题 8．如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，根据向量夹角的余弦值求解即可. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 则，，是中点，故； 由，，得； 是上靠近的四等分点， 由定比分点公式得 . 为向量与的夹角，所以. 因为，， 所以， ，. 进而． 【易错分析】一是建系或向量分解时，对中点N、四等分点M的坐标/向量表示错误，导致后续计算全部偏离； 二是用向量法求夹角时，混淆向量方向，误用邻补角的余弦值； 三是计算向量点积或模长时，符号、系数或公式出错，影响余弦值计算； 四是误将∠NPM当作其他角，或忽略其与向量夹角的关系，导致概念混淆。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量 知识点1：向量基本概念（基础考点，考频★★★，题型：选择、判断） 核心考点 1. 向量定义：既有大小又有方向的量；区分向量与________（数量只有大小）。 2. 向量表示：有向线段、字母表示（）、坐标表示。 3. 五类特殊向量 ①零向量：长度为，方向任意，记作；②单位向量：长度为，方向不定；③相等向量：长度相等且方向相同；④相反向量：长度相等且方向相反； 平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，规定零向量与________共线。 易错警示 向量不能比较大小，只有模长可以比大小； 平行向量 = 共线向量，与有向线段位置无关； 忽略零向量的特殊性（考题高频陷阱）。 知识点2：平面向量线性运算（高频基础，考频★★★★，题型：选择、填空、解答题步骤） 核心考点 1. 向量加法 法则：三角形法则、平行四边形法则；运算律：交换律、结合律。 2. 向量减法 几何意义：指向被减向量，三角形法则；转化：。 3. 实数与向量的积（数乘） 定义： 仍是向量，模，方向随________改变；运算律：结合律、分配律。 4. 向量共线定理（重中之重） 非零向量与共线 有且只有一个实数，使得 ； 常用推论：三点共线证明。 易错警示 加减运算几何画法混淆；共线定理使用前提：为非零向量。 知识点3：平面向量基本定理 ，坐标运算 核心考点 1. 平面向量基本定理 平面内任意向量可唯一表示为两个不共线向量的线性组合； 称为一组________。 关键：基底必须不共线。 2. 向量坐标运算 设加减：数乘： 向量坐标：终点坐标起点坐标。 3. 两向量平行的坐标判定 易错警示 求向量坐标时，颠倒起点、终点顺序； 平行坐标公式记混符号。 知识点4：平面向量数量积（全书重难点，考频★★★★★，选择、填空、解答大题） 核心考点 1. 数量积定义 （为两向量夹角，范围） 2. 几何意义：一个向量的模乘以另一个向量在该向量上的________。 3. 坐标形式 4. 三大常用结论（必考） 向量的模：，夹角公式：，向量垂直判定： 5. 运算律：交换律、数乘结合律、分配律；数量积不满足结合律。 易错警示 夹角判断错误（默认锐角 / 直角，忽略钝角、反向）；混淆向量数量积与实数乘法规则； 垂直、平行的坐标公式混用。 知识点5：向量综合应用（拔高考点，考频★★★★，期末解答压轴题） 核心考向 1. 平面几何综合：用向量证明平行、垂直、求边长、角度； 2. 三角函数综合：向量结合三角化简、求值、求最值（高频大题）； 3. 函数 / 最值问题：利用模、数量积构造函数求范围、最值； 4. 动点轨迹问题：结合坐标运算求轨迹方程。 解题思路 优先建系用坐标法，其次用向量线性运算、数量积转化条件。 知识点6 全章必背公式速记（考前默写版） 1. 向量坐标： 终点坐标 起点坐标 2. 平行： 3. 垂直： 4. 数量积： 5. 模长： 6. 夹角余弦： 向量的加减法则 【例1】下列向量运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知四边形为正方形，P为线段上一点（不包括端点A，C），则（   ） A．， B．， C．， D．， 向量表示三角形的心 【例1】（多选）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的内心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【变式1】已知为抛物线的焦点， 为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个 【变式2】（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 向量的数量积 【例1】已知向量与的夹角的余弦值为，，．则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，与的夹角为. (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数的值. 平面向量基本定理 【例1】在中，，设，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在中，点在边上，且满足，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 向量的坐标表示与运算 【例1】已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B．-2 C．或-2 D．或-2 【变式1】平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 共线问题 【例1】若点，，，且，，三点共线，则______. 【变式1】已知，，，判断三点能否共线． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知向量.（其中），为坐标平面内一点. (1)若三点共线，求的值； (2)若四边形为矩形，求点坐标. 平面向量解决几何最值问题 【例1】已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 用向量解决夹角问题 【例1】如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【变式2】已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】 向量的加减法则 1．（多选）下列式子中可以化简为的有（     ）． A． B． C． D． 【易错分析】本题易错点集中在向量加减法运算：一是混淆“首尾相接”的加法法则与“同起点、指向被减向量终点”的减法法则，易将OB}-OA的方向算反；二是忽略负号带来的向量方向变化，不清楚BD=DB，导致A选项化简出错；三是混淆向量和与差的概念，误将{OA+OB}当作差向量；四是随意套用代数运算律，忽视向量运算的前提条件，错误调整向量顺序。 向量表示三角形的心 2．已知，求证： (1)若点为的重心，则； (2)已知点为内一点，若，则点为的重心． 【易错分析】证明这两个命题时，容易混淆重心的向量性质与几何性质，比如误把重心分中线为2:1的比例方向搞反；向量运算中忽略负号导致方向出错；证明第二问时，只证明G在一条中线上，没证明在三条中线上就直接判定是重心；还有对向量和为零的几何意义理解不清，无法联系到中线的平行四边形法则。 向量的数量积 3．已知 ， ， 与 的夹角为 ， 是与向量 方向相同的单位向量，则 在向量 上的投影向量为（      ） A． B． C． D． 【易错分析】一是混淆投影向量与投影数量的概念，算出投影数量后忘记乘以单位向量；二是计算向量点积时，容易搞错夹角余弦值的符号，导致结果出错；三是计算向量和的模长时，平方展开不熟练，容易算错模长；四是最后化简系数时粗心，出现分数化简错误。 平面向量基本定理 4．已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【易错分析】一是混淆平行四边形对角线的向量关系，记错对角线互相平分的性质，导致向量方向判断错误； 二是向量减法的三角形法则使用失误，不清楚BC可以转化为OC减OB； 三是忽略向量的方向，误把OA直接当作正方向使用，忘记OC和OA是相反向量； 四是对向量运算的路径不清晰，选错转化的中间向量，导致推导出错。 向量的坐标表示与运算 5．已知为直线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D． 【易错分析】一是求直线AB方程时，斜率计算或方程形式出错，导致D点坐标设错； 二是向量AD和CD的坐标表示出错，混淆点的坐标和向量的坐标关系； 三是点积运算时展开不仔细，出现符号或系数错误； 四是二次函数求最值时，顶点公式记错或代入计算失误，算错最小值； 五是忽略D在直线AB上的条件，导致后续推导偏离正确路径。 共线问题 6．已知点，，．若三点共线，则___________；若，则___________． 【易错分析】1. 三点共线时，容易混淆向量共线的条件，记错坐标交叉相乘相等的公式，或算错向量AB、AC的坐标。 2. 向量垂直时，容易记错向量垂直的充要条件，误将点积为0的条件写成点积为1，或计算点积时符号、系数出错。 3. 计算向量坐标时，用终点坐标减起点坐标容易搞反顺序，导致后续计算全部出错。 4. 两种情况的计算容易混淆，比如把共线的结论套用到垂直的计算中。 平面向量解决几何最值问题 7．如图，已知正方形边长为4，为线段的中点，若为线段上的动点，为的中点，则的最小值为______． 【易错分析】一是建系时坐标设定出错，导致后续点的坐标全部算错；二是对中点G的坐标表示错误，忽略G是DF中点的条件；三是向量运算时，化简表达式2AG+DA出错，尤其是向量的加减和数乘运算；四是对动点F的参数表示不当，导致后续求最值时二次函数或几何意义分析失误；五是误将向量模长的最小值当成线段长度直接计算，忽略向量表达式的几何意义。 用向量解决夹角问题 8．如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 【易错分析】一是建系或向量分解时，对中点N、四等分点M的坐标/向量表示错误，导致后续计算全部偏离； 二是用向量法求夹角时，混淆向量方向，误用邻补角的余弦值； 三是计算向量点积或模长时，符号、系数或公式出错，影响余弦值计算； 四是误将∠NPM当作其他角，或忽略其与向量夹角的关系，导致概念混淆。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $