专题03 解三角形（期末复习知识清单）数学苏教版高一必修第二册

专题03 解三角形 知识点1： 正弦定理（核心公式，边角互化关键） 公式表达： 基本形式：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R 为△ABC 外接圆半径） 变形形式： ① 边化角：a = 2R sinA，b = 2R sinB，c = 2R sinC ② 角化边：sinA = a/(2R)，sinB = b/(2R)，sinC = c/(2R) ③ 比例关系：a:b:c = sinA:sinB:sinC 适用条件： 已知两角及一边（AAS、ASA）； 已知两边及其中一边的对角（SSA，需判断解的个数）； 已知三边，求各角（可结合余弦定理，也可直接用）。 考查形式：直接套用公式边角互化、求外接圆半径 R、比例计算。 知识点2： 余弦定理（核心公式，处理含角问题） 公式表达：基本形式（求边）： a² = b² + c² - 2bc cosA，b² = a² + c² - 2ac cosB，c² = a² + b² - 2ab cosC 变形形式（求角，必考）： cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)，cosB = (a² + c² - b²)/(2ac)，cosC = (a² + b² - c²)/(2ab) 适用条件： 已知两边及其夹角（SAS），求第三边； 已知三边（SSS），求任意角； 已知一边及两角（可先求______，再用______，也可直接用余弦定理）。 考查形式：求边、求角、判断三角形形状、证明边角关系。 知识点3： 三角形面积公式（高频考点，多场景应用） 1. 基础公式（底高型）：S = (1/2) ah（a 为底，h 为对应高） 1. 三角函数型（必考，结合正余弦定理）： S = (1/2) bc sinA = (1/2) ac sinB = (1/2) ab sinC（核心，已知两边及夹角直接用） S = (a² sinB sinC)/(2 sinA) = (b² sinA sinC)/(2 sinB) = (c² sinA sinB)/(2 sinC)（边角互化后使用） S = abc/(4R)（结合正弦定理推导，已知三边或外接圆半径 R） S = r (a + b + c)/2（r 为△ABC ____________，已知周长或内切圆半径） 1. 适用条件：根据已知条件选择，优先用 “两边及夹角” 型公式。 1. 考查形式：直接求面积、结合正余弦定理求面积、面积最值问题。 知识点4： 三角形基本性质（隐含考点，解题必备） 1. 内角和定理：A + B + C = π（180°），常用变形： 0. C = π - (A + B)，sinC = sin(A + B)，cosC = -cos(A + B) 0. (A + B)/2 = π/2 - C/2，sin[(A + B)/2] = cos(C/2) 1. 边角关系：大边对大角，大角对大边（a > b ⇔ A > B ⇔ sinA > sinB） 1. 边长范围：任意两边之和______第三边，任意两边之差______第三边（a + b > c，|a - b| . 考查形式：角的范围判断、三角函数值符号判断、边长合理性验证。 知识点5： 解三角形基础题型（选择 / 填空 / 解答题第一问） 1. 已知两角及一边（AAS/ASA） 1. 解题步骤： ① 用内角和定理求第三角；② 用正弦定理求另外两边；③ （可选）用面积公式求面积。 1. 示例：已知 A=30°，B=60°，a=2，求 b、c、S。 1. 要点：结果唯一，直接套用公式即可。 2. 已知两边及其夹角（SAS） 1. 解题步骤： ① 用余弦定理求第三边；② 用正弦定理或余弦定理求另外一角；③ 用内角和定理求第三角；④ （可选）用面积公式求面积。 1. 示例：已知 a=3，b=4，C=60°，求 c、A、B、S。 1. 要点：夹角必须是已知两边的夹角，避免找错角。 3. 已知三边（SSS） 1. 解题步骤： ① 用余弦定理求最大角（避免正弦定理判断角的钝角 / 锐角失误）；② 用正弦定理求另外两个角（或继续用余弦定理）；③ 验证内角和是否为 π（检验结果正确性）。 1. 示例：已知 a=3，b=4，c=5，求 A、B、C。 1. 要点：先求最大角，若最大角余弦值为正，三角形为锐角；为 0 为直角；为负为钝角。 4. 已知两边及其中一边的对角 1. 解题步骤： ① 用正弦定理求另一角的正弦值（sinB = (b sinA)/a）；② 根据正弦值范围及边角关系判断解的个数（核心）；③ 分情况求其余角和边；④ 验证边长范围和内角和。 1. 解的个数判断（设已知 a、b、A）： 当 sinB > 1 时，无解； 当 sinB = 1 时，B=π/2，有一解（直角三角形）； 当 0 < sinB 时： 若 a ≥ b，则 A ≥ B，有一解； 若 a < b，则 A 有两解（B 为锐角或钝角）。 1. 示例：已知 a=2，b=3，A=30°，求 B、C、c。 1. 要点：必须判断解的个数，否则易漏解或多解。 知识点6： 三角形形状判断题型（高频小题） 1. 题型特征：已知边角关系，判断三角形为锐角、直角、钝角三角形或等腰、等边三角形。 1. 解题方法： 边化角法：用正弦定理将边长转化为角的三角函数，结合三角恒等变换判断角的关系； 角化边法：用余弦定理将角的三角函数转化为边长，通过代数变形（配方、因式分解）判断边长关系； 特殊值法：代入符合条件的边长或角，验证形状。 常见结论： 直角三角形：a² + b² = c²（或一个角为 π/2）； 等腰三角形：a = b（或 A = B，或 sinA = sinB）； 等边三角形：a = b = c（或 A = B = C = π/3）； 钝角三角形：最大边的平方大于另外两边平方和（如 c² > a² + b² ⇔ C 为钝角）。 考查形式：选择 / 填空题，直接判断或结合恒等变换判断。 知识点7： 三角形面积相关题型（多场景综合） 1. 基础题型：直接用面积公式求面积（已知两边及夹角、底高、三边 + 内切圆半径等）； 1. 进阶题型： 0. 已知面积求边长 / 角：结合正余弦定理列方程求解； 面积最值问题：结合基本不等式、三角函数值域求解（如 “已知 a=2，A=60°，求△ABC 面积的最大值”）； 多三角形面积关系：分割三角形（如四边形分割为两个三角形），利用面积______求边长。 解题要点：灵活选择面积公式，优先用含已知条件的形式。 知识点8： 边角关系证明题型（解答题中档） 1. 题型特征：证明三角形中边角恒等式（如 “证明 a cosB + b cosA = c”“证明 (b - c) cosA = a cosC - b cosA”）。 1. 证明思路： 边化角：用正弦定理将所有边转化为角的正弦，结合三角恒等变换（和差公式、内角和定理）化简； 角化边：用余弦定理将所有角的三角函数转化为边长，通过代数变形（通分、配方）化简； 综合法：边化角与角化边结合，灵活转换。 示例：证明在△ABC 中，(a² - b²)/c² = (sinA - sinB)/sinC。 要点：统一边角形式，紧扣正余弦定理和三角恒等变换。 知识点9： 跨模块综合题型（解答题压轴 / 选填压轴） 解三角形 + 三角恒等变换： 特征：已知三角函数值（如 sin (A + π/6) = 1/2），结合正余弦定理求边或角； 解题步骤：先化简三角式求角的范围和具体值，再用____________求解。 解三角形 + 平面向量： 特征：向量数量积（如 AB・AC = 3）、向量模长（如 | AB| = 2）结合解三角形； 解题步骤：将向量条件转化为边角关系（如 AB・AC = |AB||AC|cosA = bc cosA），再用正余弦定理求解。 解三角形 + 不等式： 特征：求边长 / 角的取值范围、面积最值（结合基本不等式 a + b ≥ 2√(ab)）； 解题要点：利用三角形边长范围、三角函数值域、基本不等式建立不等关系。 知识点10：边角互化技巧（核心思想） 边化角适用场景： 式子含 “a、b、c” 与 “sinA、sinB、sinC” 的比例关系； 需证明角的关系（如 A = B、A + B = π/2）； 已知角的三角函数值，求边的关系。 角化边适用场景： 式子含 “cosA、cosB、cosC”（余弦定理直接转化）； 需证明边的关系（如 a = b、a² + b² = c²）； 已知三边，求角或证明恒等式。 技巧：遇到齐次式（如 a² + b² - c² = ab），优先边化角或角化边。 知识点11： 角的范围控制技巧（避免错误） 1. 利用内角和定理：A + B + C = π，确定单个角的范围（如 A ∈ (0, π)）； 1. 利用边角关系：大边对大角（a > b ⇒ A > B），缩小角的范围； 1. 利用三角函数值符号： 锐角三角形：所有角的余弦值为正（cosA > 0、cosB > 0、cosC > 0）； 钝角三角形：最大角的余弦值为负； 适用场景：给值求角、判断解的个数、最值问题。 知识点12：最值问题求解技巧 1. 三角函数法：将目标式转化为单一三角函数（如 S = (√3/4) bc sinA，结合 A 的范围求最值）； 1. 基本不等式法：已知两边之和或乘积，用 a + b ≥ 2√(ab) 求最值（注意等号成立条件：a = b）； 1. 正弦定理转化法：将边长转化为正弦函数（如 a = 2R sinA），结合三角函数值域求最值。 知识点13： 易错问题规避技巧 1. SSA 解的个数判断：先求 sinB，再结合 “大边对大角” 和 sinB 的范围判断，不盲目套用公式； 1. 钝角 / 锐角判断：优先求最大角，再根据余弦值符号判断（避免用正弦值，因 sinA > 0 时 A 可能为锐角或钝角）； 1. 边长验证：求出边长后，验证 “任意两边之和大于第三边”，确保结果合理。 知识点14：易混易错考点（高频失分点） ① SSA 解的个数判断错误 1. 易错点：忽略 “大边对大角”，直接根据 sinB 的值得出两解，导致错误； 1. 应对：先判断 a 与 b 的大小关系，再结合 sinB 的范围确定解的个数。 ② 三角函数值符号判断错误 1. 易错点：已知 sinA = 1/2，直接得出 A = π/6，忽略 A = 5π/6 的可能（需结合角的范围判断）； 1. 应对：根据三角形形状（锐角 / 钝角）、边角关系缩小角的范围，再确定三角函数值对应的角。 ③余弦定理应用时找错夹角 1. 易错点：已知 a、b、C，求 c 时，误用 “c² = a² + b² - 2ab cosB”（夹角找错）； 1. 应对：牢记 “余弦定理中，角是已知两边的夹角”，标注图形辅助判断。 ④ 面积公式选择不当 1. 易错点：已知三边，直接用 “(1/2) ab sinC” 求面积（未求角，无法计算）； 1. 应对：已知三边时，先用电余弦定理求一个角，再用面积公式，或直接用______（S = √[p (p - a)(p - b)(p - c)]，其中 p = (a + b + c)/2）。 ⑤ 忽略三角形边长范围 1. 易错点：求出边长后，未验证 “两边之和大于第三边”，导致结果不合理； 1. 应对：解题最后一步，验证三边关系，排除无效解。 知识点15：拓展补充考点（能力提升，选填压轴适用） ① 海伦公式（教材拓展，SSS 求面积快捷方法） 1. 公式：S = √[p (p - a)(p - b)(p - c)]，其中 p = (a + b + c)/2（半周长）； 1. 适用：已知三边，快速求面积（避免先求角再算面积的繁琐步骤）； 1. 考查：选填题中直接应用，或结合不等式求面积最值。 ②三角形的 “五心” 与解三角形结合 1. 重心：三条中线交点，性质：重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍（偶尔结合面积比例考查）； 1. 垂心：三条高线交点（直角三角形垂心在直角顶点，锐角三角形在内部，钝角三角形在外部）； 1. 外心：外接圆圆心（三边垂直平分线交点），半径 R = a/(2 sinA)（正弦定理关联）； 1. 内心：内切圆圆心（三条角平分线交点），半径 r = S/p（p 为半周长，与面积公式关联）； 1. 考查：已知 “五心” 性质，求边长、角或面积（选填压轴题）。 ③解三角形实际应用（航海、测量问题） 1. 题型特征：涉及仰角、俯角、方位角、距离测量，转化为解三角形问题； 1. 解题步骤： ① 画示意图，标注已知条件（角度、边长）； ② 将实际问题转化为解三角形模型（确定已知量、待求量）； ③ 用正余弦定理、面积公式求解； ④ ______结果是否符合实际意义。 1. 常见术语： 仰角：从水平线向上到目标的角度；俯角：从水平线向下到目标的角度； 方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的角度（如方位角 30°，指北偏东 30°）。 三角形形状的判断 【例1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【变式1】在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【变式2】在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形 距离问题 【例1】如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A、B两个基站的距离为__________. 【变式1】如图，一个测量小组为了测量学校的两棵树底部（位于池塘的两端）间的距离，在两棵树之间的一条南北走向的路上取两个测量点，测得，从点测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上，在处测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上．均处于同一水平面内，则两棵树底部间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】2026年3月，全国两会期间天津代表团开放团组会议释放重磅消息：位于西青区沉寂近十年的天津117大厦主塔楼招商工作基本完成，这座集办公、酒店、观光、商业于一体的中国结构第一高楼、城市超高地标建筑，以全新姿态重启建设征程，将为天津高质量发展注入强劲动力。某校开展数学建模综合实践活动，利用无人机测量117大厦最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，活动过程中无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为，，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为和（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为（    ）        A．米 B．米 C．米 D．米 高度问题 【例1】矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）．已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC＝6米，AB＝3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP＝（   ） A．m B．m C．m D．m 【变式1】为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（    ）. A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据银川市（北纬）的地理位置设计的圭表的示意图，已知银川市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米.则表高（即的长）约为（   ）（已知） A．3.26米 B．4.73米 C．5.37米 D．4.41米 角度问题 【例1】一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 【变式1】（多选）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若规艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ） A．舰艇所需的时间为2小时 B．舰艇与舰艇对接时距离雷达兵（处）距离为70公里 C． D．舰艇与舰艇对接时距离处为50公里 【变式2】重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 三角形多解问题 【例1】（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】（多选）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，下列结论正确的是（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则满足条件的三角形只有1个 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【变式2】（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则有两解 B．若是锐角三角形，则 C．若，则为等腰三角形 D．若是钝角三角形且，则实数k的取值范围为 三角形边长、面积、周长最值与范围问题 【例1】（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（   ） A． B． C．边上的中线长为 D．的取值范围是 【变式1】（多选）设的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C．的面积可以是 D．的周长可以是3 【变式2】已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 三角形中的图形类问题 【例1】记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【变式1】如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 【变式2】如图，平面四边形的内角的对边分别为．已知． (1)求； (2)若，求的长； (3)若，设，用表示四边形面积为，并求出的取值范围． 面积与周长求值问题 【例1】在中，角、、所对的边长分别为、、，. (1)若，求角； (2)在（1）的条件下，若，求的面积. 【变式1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且． (1)求； (2)若的面积为，，求的周长． 【变式2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若D为BC的中点，，的面积为，求a. 三角形形状的判断 1．已知三个内角满足，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【易错分析】1. 误用正弦定理，忘记将正弦的比例关系转化为边的比例关系，导致后续计算出错； 2. 找错最大边，误把较小边当作最大边，从而算错最大角； 3. 余弦定理应用错误，计算最大角的余弦值时符号出错，无法正确判断角是锐角还是钝角； 4. 混淆三角形形状的判定条件，误将边的比例关系当成特殊三角形的条件。 距离问题 2．如图，在河岸上测量河对面两点间的距离，测得，则（   ） A． B． C．2 D． 【易错分析】1. 角度计算错误，比如在多个角的叠加、相减时算错△ACD、△BCD的内角。 2. 正弦定理应用时，边与对应角的匹配出错，导致AD、BD的长度计算失误。 3. 在△ABD中用余弦定理时，混淆已知边、角，或记错余弦公式。 4. 忽略图形中角度的位置关系，误判∠ADB与其他角的联系。 高度问题 3．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【易错分析】1. 忽略观测点高度：忘记DA=CB=1m，直接把算出的ME当作MN，导致结果少加1。 2. 设未知数混乱：未分清ME和MN的关系，列方程时混淆线段长度。 3. 三角函数应用错误：在含30°、45°的直角三角形中，记错正切定义或比例关系。 4. 计算失误：解含根号的方程时，移项、化简出错，影响最终结果。 角度问题 4．如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.      (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 【易错分析】1. 方位角理解错误，误判北偏西30°对应的三角形内角，导致后续边长计算偏差。 2. 第一问中，不会用垂线段最短的思路，无法找到小艇航行的最短距离，列错函数表达式。 3. 第二问中，余弦定理应用时边与角对应关系混乱，解出的时间范围错误，或不会用正弦定理求航行方向。 4. 计算过程中化简、移项出错，导致最终速度、方向或时间的结果偏差。 三角形多解问题 5．（多选）在中，角所对的边分别是，下列叙述正确的是（    ） A．若，，，则满足条件的三角形有两个 B．若，则为锐角三角形 C．若不是直角三角形，则 D．若，则为等腰或直角三角形 【易错分析】选项A，用正弦定理判断解的个数时，易忽略边的大小关系，误判解的数量； 选项B，由正弦平方和的不等式只能推出一个角为锐角，不能直接判定三角形为锐角三角形； 选项C，易遗忘非直角三角形中，利用三角形内角和与正切和角公式推导恒等式； 选项D，由边与余弦的等式推导时，易漏考虑两角和为π的情况，误判三角形形状。 三角形边长、面积、周长最值与范围问题 6．在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【易错分析】(1) 向量垂直转化为数量积为0后，用正弦定理时易漏约去sin A，或混淆边与角的对应关系，导致求角C出错； (2) 求周长最小值时，用余弦定理结合基本不等式，易忽略等号成立条件，或周长表达式化简出错； (3) 锐角三角形条件下，易漏判角A、B的范围，导致面积取值范围的边界判断错误。 三角形中的图形类问题 7．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求线段的长度； (2)求的值． 【易错分析】第一问用三角形面积公式时，易记错sin(3π/4)的值，或代入AB、BC数据出错，导致BC计算错误； 第二问在△ABC中用余弦定理求AC时，易算错平方项或符号；在△ ADC中用正弦定理时，易忽略△BAC=△ DAC的条件关联，或列错比例式。 面积与周长求值问题 8．记的内角的对边分别为.已知是锐角，. (1)若，求的值： (2)若平分，求的面积. 【易错分析】1. 由cos2A=-7/8求sinA、cosA时，易选错二倍角公式，或忽略A是锐角的条件导致符号出错； 2. 第一问中，由a=bsinA结合正弦定理推导时，易混淆sinB的取值，误判B的角度； 3. 第二问中，由b=2c用余弦定理求边长时易计算出错，且对CD平行AB、AD平分角BAC的条件转化易出错，影响后续面积计算。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形 知识点1： 正弦定理（核心公式，边角互化关键） 公式表达： 基本形式：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（R 为△ABC 外接圆半径） 变形形式： ① 边化角：a = 2R sinA，b = 2R sinB，c = 2R sinC ② 角化边：sinA = a/(2R)，sinB = b/(2R)，sinC = c/(2R) ③ 比例关系：a:b:c = sinA:sinB:sinC 适用条件： 已知两角及一边（AAS、ASA）； 已知两边及其中一边的对角（SSA，需判断解的个数）； 已知三边，求各角（可结合余弦定理，也可直接用）。 考查形式：直接套用公式边角互化、求外接圆半径 R、比例计算。 知识点2： 余弦定理（核心公式，处理含角问题） 公式表达：基本形式（求边）： a² = b² + c² - 2bc cosA，b² = a² + c² - 2ac cosB，c² = a² + b² - 2ab cosC 变形形式（求角，必考）： cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)，cosB = (a² + c² - b²)/(2ac)，cosC = (a² + b² - c²)/(2ab) 适用条件： 已知两边及其夹角（SAS），求第三边； 已知三边（SSS），求任意角； 已知一边及两角（可先求第三角，再用正弦定理，也可直接用余弦定理）。 考查形式：求边、求角、判断三角形形状、证明边角关系。 知识点3： 三角形面积公式（高频考点，多场景应用） 1. 基础公式（底高型）：S = (1/2) ah（a 为底，h 为对应高） 1. 三角函数型（必考，结合正余弦定理）： S = (1/2) bc sinA = (1/2) ac sinB = (1/2) ab sinC（核心，已知两边及夹角直接用） S = (a² sinB sinC)/(2 sinA) = (b² sinA sinC)/(2 sinB) = (c² sinA sinB)/(2 sinC)（边角互化后使用） S = abc/(4R)（结合正弦定理推导，已知三边或外接圆半径 R） S = r (a + b + c)/2（r 为△ABC 内切圆半径，已知周长或内切圆半径） 1. 适用条件：根据已知条件选择，优先用 “两边及夹角” 型公式。 1. 考查形式：直接求面积、结合正余弦定理求面积、面积最值问题。 知识点4： 三角形基本性质（隐含考点，解题必备） 1. 内角和定理：A + B + C = π（180°），常用变形： 0. C = π - (A + B)，sinC = sin(A + B)，cosC = -cos(A + B) 0. (A + B)/2 = π/2 - C/2，sin[(A + B)/2] = cos(C/2) 1. 边角关系：大边对大角，大角对大边（a > b ⇔ A > B ⇔ sinA > sinB） 1. 边长范围：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（a + b > c，|a - b| . 考查形式：角的范围判断、三角函数值符号判断、边长合理性验证。 知识点5： 解三角形基础题型（选择 / 填空 / 解答题第一问） 1. 已知两角及一边（AAS/ASA） 1. 解题步骤： ① 用内角和定理求第三角；② 用正弦定理求另外两边；③ （可选）用面积公式求面积。 1. 示例：已知 A=30°，B=60°，a=2，求 b、c、S。 1. 要点：结果唯一，直接套用公式即可。 2. 已知两边及其夹角（SAS） 1. 解题步骤： ① 用余弦定理求第三边；② 用正弦定理或余弦定理求另外一角；③ 用内角和定理求第三角；④ （可选）用面积公式求面积。 1. 示例：已知 a=3，b=4，C=60°，求 c、A、B、S。 1. 要点：夹角必须是已知两边的夹角，避免找错角。 3. 已知三边（SSS） 1. 解题步骤： ① 用余弦定理求最大角（避免正弦定理判断角的钝角 / 锐角失误）；② 用正弦定理求另外两个角（或继续用余弦定理）；③ 验证内角和是否为 π（检验结果正确性）。 1. 示例：已知 a=3，b=4，c=5，求 A、B、C。 1. 要点：先求最大角，若最大角余弦值为正，三角形为锐角；为 0 为直角；为负为钝角。 4. 已知两边及其中一边的对角 1. 解题步骤： ① 用正弦定理求另一角的正弦值（sinB = (b sinA)/a）；② 根据正弦值范围及边角关系判断解的个数（核心）；③ 分情况求其余角和边；④ 验证边长范围和内角和。 1. 解的个数判断（设已知 a、b、A）： 当 sinB > 1 时，无解； 当 sinB = 1 时，B=π/2，有一解（直角三角形）； 当 0 < sinB 时： 若 a ≥ b，则 A ≥ B，有一解； 若 a < b，则 A 有两解（B 为锐角或钝角）。 1. 示例：已知 a=2，b=3，A=30°，求 B、C、c。 1. 要点：必须判断解的个数，否则易漏解或多解。 知识点6： 三角形形状判断题型（高频小题） 1. 题型特征：已知边角关系，判断三角形为锐角、直角、钝角三角形或等腰、等边三角形。 1. 解题方法： 边化角法：用正弦定理将边长转化为角的三角函数，结合三角恒等变换判断角的关系； 角化边法：用余弦定理将角的三角函数转化为边长，通过代数变形（配方、因式分解）判断边长关系； 特殊值法：代入符合条件的边长或角，验证形状。 常见结论： 直角三角形：a² + b² = c²（或一个角为 π/2）； 等腰三角形：a = b（或 A = B，或 sinA = sinB）； 等边三角形：a = b = c（或 A = B = C = π/3）； 钝角三角形：最大边的平方大于另外两边平方和（如 c² > a² + b² ⇔ C 为钝角）。 考查形式：选择 / 填空题，直接判断或结合恒等变换判断。 知识点7： 三角形面积相关题型（多场景综合） 1. 基础题型：直接用面积公式求面积（已知两边及夹角、底高、三边 + 内切圆半径等）； 1. 进阶题型： 0. 已知面积求边长 / 角：结合正余弦定理列方程求解； 面积最值问题：结合基本不等式、三角函数值域求解（如 “已知 a=2，A=60°，求△ABC 面积的最大值”）； 多三角形面积关系：分割三角形（如四边形分割为两个三角形），利用面积比例求边长。 解题要点：灵活选择面积公式，优先用含已知条件的形式。 知识点8： 边角关系证明题型（解答题中档） 1. 题型特征：证明三角形中边角恒等式（如 “证明 a cosB + b cosA = c”“证明 (b - c) cosA = a cosC - b cosA”）。 1. 证明思路： 边化角：用正弦定理将所有边转化为角的正弦，结合三角恒等变换（和差公式、内角和定理）化简； 角化边：用余弦定理将所有角的三角函数转化为边长，通过代数变形（通分、配方）化简； 综合法：边化角与角化边结合，灵活转换。 示例：证明在△ABC 中，(a² - b²)/c² = (sinA - sinB)/sinC。 要点：统一边角形式，紧扣正余弦定理和三角恒等变换。 知识点9： 跨模块综合题型（解答题压轴 / 选填压轴） 解三角形 + 三角恒等变换： 特征：已知三角函数值（如 sin (A + π/6) = 1/2），结合正余弦定理求边或角； 解题步骤：先化简三角式求角的范围和具体值，再用正余弦定理求解。 解三角形 + 平面向量： 特征：向量数量积（如 AB・AC = 3）、向量模长（如 | AB| = 2）结合解三角形； 解题步骤：将向量条件转化为边角关系（如 AB・AC = |AB||AC|cosA = bc cosA），再用正余弦定理求解。 解三角形 + 不等式： 特征：求边长 / 角的取值范围、面积最值（结合基本不等式 a + b ≥ 2√(ab)）； 解题要点：利用三角形边长范围、三角函数值域、基本不等式建立不等关系。 知识点10：边角互化技巧（核心思想） 边化角适用场景： 式子含 “a、b、c” 与 “sinA、sinB、sinC” 的比例关系； 需证明角的关系（如 A = B、A + B = π/2）； 已知角的三角函数值，求边的关系。 角化边适用场景： 式子含 “cosA、cosB、cosC”（余弦定理直接转化）； 需证明边的关系（如 a = b、a² + b² = c²）； 已知三边，求角或证明恒等式。 技巧：遇到齐次式（如 a² + b² - c² = ab），优先边化角或角化边。 知识点11： 角的范围控制技巧（避免错误） 1. 利用内角和定理：A + B + C = π，确定单个角的范围（如 A ∈ (0, π)）； 1. 利用边角关系：大边对大角（a > b ⇒ A > B），缩小角的范围； 1. 利用三角函数值符号： 锐角三角形：所有角的余弦值为正（cosA > 0、cosB > 0、cosC > 0）； 钝角三角形：最大角的余弦值为负； 适用场景：给值求角、判断解的个数、最值问题。 知识点12：最值问题求解技巧 1. 三角函数法：将目标式转化为单一三角函数（如 S = (√3/4) bc sinA，结合 A 的范围求最值）； 1. 基本不等式法：已知两边之和或乘积，用 a + b ≥ 2√(ab) 求最值（注意等号成立条件：a = b）； 1. 正弦定理转化法：将边长转化为正弦函数（如 a = 2R sinA），结合三角函数值域求最值。 知识点13： 易错问题规避技巧 1. SSA 解的个数判断：先求 sinB，再结合 “大边对大角” 和 sinB 的范围判断，不盲目套用公式； 1. 钝角 / 锐角判断：优先求最大角，再根据余弦值符号判断（避免用正弦值，因 sinA > 0 时 A 可能为锐角或钝角）； 1. 边长验证：求出边长后，验证 “任意两边之和大于第三边”，确保结果合理。 知识点14：易混易错考点（高频失分点） ① SSA 解的个数判断错误 1. 易错点：忽略 “大边对大角”，直接根据 sinB 的值得出两解，导致错误； 1. 应对：先判断 a 与 b 的大小关系，再结合 sinB 的范围确定解的个数。 ② 三角函数值符号判断错误 1. 易错点：已知 sinA = 1/2，直接得出 A = π/6，忽略 A = 5π/6 的可能（需结合角的范围判断）； 1. 应对：根据三角形形状（锐角 / 钝角）、边角关系缩小角的范围，再确定三角函数值对应的角。 ③余弦定理应用时找错夹角 1. 易错点：已知 a、b、C，求 c 时，误用 “c² = a² + b² - 2ab cosB”（夹角找错）； 1. 应对：牢记 “余弦定理中，角是已知两边的夹角”，标注图形辅助判断。 ④ 面积公式选择不当 1. 易错点：已知三边，直接用 “(1/2) ab sinC” 求面积（未求角，无法计算）； 1. 应对：已知三边时，先用电余弦定理求一个角，再用面积公式，或直接用海伦公式（S = √[p (p - a)(p - b)(p - c)]，其中 p = (a + b + c)/2）。 ⑤ 忽略三角形边长范围 1. 易错点：求出边长后，未验证 “两边之和大于第三边”，导致结果不合理； 1. 应对：解题最后一步，验证三边关系，排除无效解。 知识点15：拓展补充考点（能力提升，选填压轴适用） ① 海伦公式（教材拓展，SSS 求面积快捷方法） 1. 公式：S = √[p (p - a)(p - b)(p - c)]，其中 p = (a + b + c)/2（半周长）； 1. 适用：已知三边，快速求面积（避免先求角再算面积的繁琐步骤）； 1. 考查：选填题中直接应用，或结合不等式求面积最值。 ②三角形的 “五心” 与解三角形结合 1. 重心：三条中线交点，性质：重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍（偶尔结合面积比例考查）； 1. 垂心：三条高线交点（直角三角形垂心在直角顶点，锐角三角形在内部，钝角三角形在外部）； 1. 外心：外接圆圆心（三边垂直平分线交点），半径 R = a/(2 sinA)（正弦定理关联）； 1. 内心：内切圆圆心（三条角平分线交点），半径 r = S/p（p 为半周长，与面积公式关联）； 1. 考查：已知 “五心” 性质，求边长、角或面积（选填压轴题）。 ③解三角形实际应用（航海、测量问题） 1. 题型特征：涉及仰角、俯角、方位角、距离测量，转化为解三角形问题； 1. 解题步骤： ① 画示意图，标注已知条件（角度、边长）； ② 将实际问题转化为解三角形模型（确定已知量、待求量）； ③ 用正余弦定理、面积公式求解； ④ 检验结果是否符合实际意义。 1. 常见术语： 仰角：从水平线向上到目标的角度；俯角：从水平线向下到目标的角度； 方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的角度（如方位角 30°，指北偏东 30°）。 三角形形状的判断 【例1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理及恒等变形化简得，再解三角形即可求解． 【详解】解：根据正弦定理得，． ，， ，解得， 所以为直角三角形． 【变式1】在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】A 【详解】正弦定理，，，即； ，，，即. ，，； 或； ，，，，； ，，即. 【变式2】在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形 【答案】B 【分析】由三角形面积公式和余弦定理化简可得，由正弦定理化简得，结合平面向量线性运算、数量积运算和平面几何知识可得，从而可得是等腰直角三角形. 【详解】根据余弦定理，则. 根据三角形面积公式，则， 化简得，即.因为是三角形内角，所以. 又，由，可得. 则. 如图所示，在边上分别取点，使， 以为邻边作平行四边形，则四边形为菱形， 连接，且，， . 又，且，，即. 又，所以，进而，所以是等腰直角三角形. 距离问题 【例1】如图，某区域地面有四个5G基站，分别为A，B，C，D.已知C，D两个基站建在河的南岸，距离为20km，基站A，B在河的北岸，测得，，，，则A、B两个基站的距离为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理列式求解. 【详解】在中，，则， 由正弦定理得，在中，， 则，在中，由余弦定理得， 所以A、B两个基站的距离为. 【变式1】如图，一个测量小组为了测量学校的两棵树底部（位于池塘的两端）间的距离，在两棵树之间的一条南北走向的路上取两个测量点，测得，从点测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上，在处测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上．均处于同一水平面内，则两棵树底部间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长与交于点，在中，利用正弦定理可得，在中，利用余弦定理运算求解. 【详解】延长与交于点， 在中，因为，，， 所以，则为等腰三角形，． 在中，因为，，， 所以， 由正弦定理，即，解得． 在中，因为，，， 由余弦定理得， 所以两棵树底部间的距离为． 【变式2】2026年3月，全国两会期间天津代表团开放团组会议释放重磅消息：位于西青区沉寂近十年的天津117大厦主塔楼招商工作基本完成，这座集办公、酒店、观光、商业于一体的中国结构第一高楼、城市超高地标建筑，以全新姿态重启建设征程，将为天津高质量发展注入强劲动力。某校开展数学建模综合实践活动，利用无人机测量117大厦最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，活动过程中无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为，，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为和（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为（    ）        A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】中，，，则， 由正弦定理得， 中，，，则， 由正弦定理得， 中，，由余弦定理得， 解得． 高度问题 【例1】矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）．已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC＝6米，AB＝3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP＝（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【详解】设OP＝h，依题意，，， ，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，可得：，解得：. 【变式1】为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（    ）. A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先通过直角三角形的三角函数求出的长度，再在中用正弦定理即可求出. 【详解】在中，， 因为，所以米， 又因为，所以， 根据正弦定理：，即， 又因为，所以. 【变式2】圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据银川市（北纬）的地理位置设计的圭表的示意图，已知银川市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米.则表高（即的长）约为（   ）（已知） A．3.26米 B．4.73米 C．5.37米 D．4.41米 【答案】D 【详解】设表高米，由圭面，可知、均为直角三角形， 在中，由可得：​， 在中，由可得：， 由题意得：米，代入，， 可得：整理得：， 所以表高约为：米. 角度问题 【例1】一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 【答案】(1) (2)沿北偏东方向航行即可到达C处 【分析】（1）先计算出，由余弦定理求出； （2）由余弦定理求出，从而得到答案. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得： ，解得 （2）在中，由余弦定理得： ， 所以，又， 因此应沿北偏东方向航行即可到达C处. 【变式1】（多选）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若规艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（    ） A．舰艇所需的时间为2小时 B．舰艇与舰艇对接时距离雷达兵（处）距离为70公里 C． D．舰艇与舰艇对接时距离处为50公里 【答案】BCD 【分析】设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，根据题意，由余弦定理列出方程，求得，得到，再由正弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合， 则， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去），所以， 又由正弦定理得，可得. 故选：BCD. 【变式2】重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为           （    ） A．24米 B．23.5米 C．23.65米 D．22.65米 【答案】D 【分析】在中，米，由余弦定理可得米，在中可求的米，由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得米，即可求解. 【详解】由，，得， 故米，由得， 在中由余弦定理可得， 解得米， 故米， 由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得， 故米， 故楼高米. 故选：. 三角形多解问题 【例1】（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BD 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，. 选项A.，所以，所以，有两解，不符. 选项B.，，所以，只有1个解，符合. 选项C.，，无解，不符. 选项D.，，可能的为和； 若，则，不能构成三角形，仅一个解，符合. 【变式1】（多选）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，下列结论正确的是（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则满足条件的三角形只有1个 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理求解判断AB；利用余弦定理，结合基本不等式求解判断CD. 【详解】对于A，外接圆半径，该圆面积为，A正确； 对于B，由正弦定理得，而，因此有两解，B错误； 对于C，由余弦定理，得， 当且仅当时取等号，因此面积的最大值为，C正确； 对于D，由选项C得，， 当且仅当时取等号，则，因此周长的最大值为. 【变式2】（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则有两解 B．若是锐角三角形，则 C．若，则为等腰三角形 D．若是钝角三角形且，则实数k的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理求，根据正弦函数性质，结合大边对大角判断判断A选项；利用正弦函数的单调性与诱导公式判断的大小判断B选项；利用正弦函数的单调性与对称性确定的关系判断C选项；根据三角形性质可得，结合大边对大角可得为钝角，根据余弦定理列方程求的范围判断D选项. 【详解】对于A选项，， 根据正弦定理， ，，， 所以有两解，所以有两解，故A正确； 对于B选项，若为锐角三角形，则，所以，， 因为正弦函数在上为增函数，则，B正确； 对于C选项，因为、，则、， 因为，所以或或， 若，则；若，则； 若，则，这与的内角和定理矛盾. 综上所述，为等腰或直角三角形，C错误； 对于D选项，因为为的三边，所以，故， 当时，最大边为，钝角三角形中最大角为钝角， 由余弦定理， 所以， 化简得，解得，结合可得，D正确. 三角形边长、面积、周长最值与范围问题 【例1】（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则（   ） A． B． C．边上的中线长为 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】借助三角形内角和关系、两角和的正弦公式、正弦定理将角化边后计算即可得A；利用两角差的正弦公式与A中所得计算即可得B；借助余弦定理与A中所得计算即可得C；利用C中所得，结合三角形三边关系计算即可得D. 【详解】对A：， 由正弦定理可得，由， 则，故A正确； 对B：由正弦定理可得， 则， 由A知，则， 故， 故或， 由可知与同号， 若同为负数，则，不符， 故、同为正数，故不符，舍去， 故，故B错误； 对C：设中点为，则，即， 故，即， 由余弦定理可得，， 故，整理得， 由A知，，则，整理得， 故，故，故C正确； 对D：由C知，，则，故， ，则，整理得， 左右同除，可得，解得； 综上可得的取值范围是，故D正确. 【变式1】（多选）设的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C．的面积可以是 D．的周长可以是3 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理，将式子中的边化为角的正弦值，根据正弦的两角和公式化简，得到角C的值，即可判断A，B；利用基本不等式计算面积的范围，即可判断C选项，利用余弦定理，综合基本不等式的变式，得到边c的范围，即可计算周长的范围． 【详解】由正弦定理可知：，（为外接圆的半径）， 则； 因为，代入可得： ， 则， 由两角和的正弦公式可得：， 因为，故，化简可得：， 故，因为，故，故B正确； 通过题给条件无法判断A,故A错误； 因为，由基本不等式可知：， 故； 故， 当且仅当时，“=”成立，故C正确； 由余弦定理可知：； 因为，故，解得； 因此周长：，因为， 因此周长可以为3，故D正确． 【变式2】已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可； （2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长； （3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解. 【详解】（1），且. 整理得 由正弦和角公式：， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即，即 因为，所以， 故，得. （2）已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而， 因为，故. 因此周长为 （3）由正弦定理：， 故，. 又，，故，其中. 因为，所以， 则， 故. 三角形中的图形类问题 【例1】记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)，；(3) 【分析】（1）根据向量平行得到方程，结合正弦定理和特殊角的三角函数值得到答案； （2）由平面向量基本定理可用表示向量，两边平方，由基本不等式可得，从而由三角形面积公式可得最大值； （3）由锐角三角形得到角的范围，由正弦定理，将边化角，求出取值范围 【详解】（1），即， 由正弦定理得， 因为，所以，故，即， 因为，所以； （2）， ，则， 即，解得， 由基本不等式可得， 即，解得，当且仅当时，等号成立， ， （3）由正弦定理得， 所以， 故 为锐角三角形，故， 解得，故 【变式1】如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积公式求得，进而得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理得解； （2）由，可得四点共圆，进而得，在中，由余弦定理得解. 【详解】（1），即，解得， 由 ，可知，故， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 在中，由余弦定理得， 代值化简得，解得. （2）若，则四点共圆， 又，则， 在中，由余弦定理得， 所以，解得. 【变式2】如图，平面四边形的内角的对边分别为．已知． (1)求； (2)若，求的长； (3)若，设，用表示四边形面积为，并求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件化简等式求出，结合三角形的内角求出； （2）根据已知条件求出相关边、角，再利用余弦定理求解； （3）根据余弦定理和三角形面积公式，结合正弦函数的性质求解． 【详解】（1）已知，由正弦定理得， ， ， ， 又， ． （2）由得，为等边三角形， ， 由，得， ， 在中，已知， 由余弦定理：， 则， ． （3）在中，， ， ， ， ， ． 面积与周长求值问题 【例1】在中，角、、所对的边长分别为、、，. (1)若，求角； (2)在（1）的条件下，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、二倍角的正弦公式化简得出的值，结合可求得角的值； （2）由（1）可知，利用三角恒等变换化简得出，利用同角三角函数的基本关系可得出的值，再利用两角和的正弦公式可得出的值，即可得出，利用正弦定理结合已知条件可得出、的值，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，， 由结合正弦定理可得， 又因为、，则，所以，即， 因为，则，所以，可得，所以，故. （2）由（1）可知， 故 ，即， 因为，故，所以， 故 ， 所以， 由正弦定理可得，即，整理可得， 解得，故， 因此. 【变式1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且． (1)求； (2)若的面积为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求出； （2）利用三角形面积公式和余弦定理即可求出. 【详解】（1）由正弦定理得 ，， 所以， ， 因为，所以． （2）由（1），又 ， 又，所以， 由余弦定理，得， 所以周长为． 【变式2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若D为BC的中点，，的面积为，求a. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换和二倍角公式可求得或，进而可求得A； （2）由题意可得，结合向量的数量积可得，由的面积为，可得，进而利用余弦定理可求解. 【详解】（1）因为， 所以根据正弦定理可得， 所以， 所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以，解得或， 又，所以； （2）若D为边上的中点，则， 所以， 又，所以，所以 因为的面积为，所以，所以， 所以， 由余弦定理可得， 所以. 三角形形状的判断 1．已知三个内角满足，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理可将角化为边，再利用余弦定理计算可得，即可得为钝角三角形. 【详解】由正弦定理可得，设， 则，，，， 故为钝角，即的形状为钝角三角形. 【易错分析】1. 误用正弦定理，忘记将正弦的比例关系转化为边的比例关系，导致后续计算出错； 2. 找错最大边，误把较小边当作最大边，从而算错最大角； 3. 余弦定理应用错误，计算最大角的余弦值时符号出错，无法正确判断角是锐角还是钝角； 4. 混淆三角形形状的判定条件，误将边的比例关系当成特殊三角形的条件。 距离问题 2．如图，在河岸上测量河对面两点间的距离，测得，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由条件结合内角和公式求，，在，中，分别利用正弦定理求，在中，利用余弦定理求. 【详解】因为， 所以， ， ， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得 ，则． 【易错分析】1. 角度计算错误，比如在多个角的叠加、相减时算错△ACD、△BCD的内角。 2. 正弦定理应用时，边与对应角的匹配出错，导致AD、BD的长度计算失误。 3. 在△ABD中用余弦定理时，混淆已知边、角，或记错余弦公式。 4. 忽略图形中角度的位置关系，误判∠ADB与其他角的联系。 高度问题 3．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，利用的长即可求出的值，进而求得. 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 【易错分析】1. 忽略观测点高度：忘记DA=CB=1m，直接把算出的ME当作MN，导致结果少加1。 2. 设未知数混乱：未分清ME和MN的关系，列方程时混淆线段长度。 3. 三角函数应用错误：在含30°、45°的直角三角形中，记错正切定义或比例关系。 4. 计算失误：解含根号的方程时，移项、化简出错，影响最终结果。 角度问题 4．如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.      (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 【答案】(1)航行速度为 (2)航行方向为北偏东30°，航行速度为30,理由见解析 【分析】（1）利用余弦定理和二次函数的最值求解； （2）要用时最小，则首先速度最高，然后是距离最短，则由(1)利用余弦定理得到方程解得对应的时间，再解得相应角，即可求解. 【详解】（1）   如图设小艇的速度为，时间为相遇， 则由余弦定理得:, 叩:, 当时，取得最小值，此时速度， 此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为. （2）要用时最小，则首先速度最高，即为:30 ， 则由(1)可得: , 即:,解得:， 此时, 此时，在中，， 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30°，航行速度为30，小艇能以最短时间与轮船相遇. 【易错分析】1. 方位角理解错误，误判北偏西30°对应的三角形内角，导致后续边长计算偏差。 2. 第一问中，不会用垂线段最短的思路，无法找到小艇航行的最短距离，列错函数表达式。 3. 第二问中，余弦定理应用时边与角对应关系混乱，解出的时间范围错误，或不会用正弦定理求航行方向。 4. 计算过程中化简、移项出错，导致最终速度、方向或时间的结果偏差。 三角形多解问题 5．（多选）在中，角所对的边分别是，下列叙述正确的是（    ） A．若，，，则满足条件的三角形有两个 B．若，则为锐角三角形 C．若不是直角三角形，则 D．若，则为等腰或直角三角形 【答案】CD 【分析】根据正余弦定理以及三角形边角的关系依次判断即可. 【详解】对于A，已知，根据正弦定理代入数据得，解得， 在三角形中，大角对大边，由可知角，即，因此，角有唯一解，即满足条件的三角形只有一个； 对于B，已知，由正弦定理（为外接圆的半径）可得， 由余弦定理，可知，只能说明是锐角，无法判断的形状，故B错误； 对于C，若不是直角三角形，即，则， 在中，有，即，则， 根据两角和的正切公式以及诱导公式，得，化简得，故C正确； 对于D，若，正弦定理（为外接圆的半径）， 可得，即，有两种情况： ①，即时，有，则为等腰三角形； ②，即时，有，则为直角三角形，故D正确. 【易错分析】选项A，用正弦定理判断解的个数时，易忽略边的大小关系，误判解的数量； 选项B，由正弦平方和的不等式只能推出一个角为锐角，不能直接判定三角形为锐角三角形； 选项C，易遗忘非直角三角形中，利用三角形内角和与正切和角公式推导恒等式； 选项D，由边与余弦的等式推导时，易漏考虑两角和为π的情况，误判三角形形状。 三角形边长、面积、周长最值与范围问题 6．在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得到边角关系，结合正弦定理化简求角； （2）将周长最小值转化为求边的最小值，结合余弦定理和基本不等式求解； （3）利用正弦定理将转化为角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求面积的取值范围. 【详解】（1）由，则， 即， 由，则，故， 即，由，故； （2）由余弦定理得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最小值为； （3）由正弦定理可得，故、， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 则，故，即. 【易错分析】(1) 向量垂直转化为数量积为0后，用正弦定理时易漏约去sin A，或混淆边与角的对应关系，导致求角C出错； (2) 求周长最小值时，用余弦定理结合基本不等式，易忽略等号成立条件，或周长表达式化简出错； (3) 锐角三角形条件下，易漏判角A、B的范围，导致面积取值范围的边界判断错误。 三角形中的图形类问题 7．如图，在平面四边形中，，，，． (1)求线段的长度； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用已知的角度、面积和边长，结合三角形面积公式直接求解的长度； （2）先在中用余弦定理求出的长，再利用角平分线的性质在中应用正弦定理计算 . 【详解】（1）由，得，在中，已知，， 由三角形面积公式 可得 解得：； （2）由余弦定理即 ， 解得 设，在由正弦定理，得， 在中，由正弦定理 ，得. 【易错分析】第一问用三角形面积公式时，易记错sin(3π/4)的值，或代入AB、BC数据出错，导致BC计算错误； 第二问在△ABC中用余弦定理求AC时，易算错平方项或符号；在△ ADC中用正弦定理时，易忽略△BAC=△ DAC的条件关联，或列错比例式。 面积与周长求值问题 8．记的内角的对边分别为.已知是锐角，. (1)若，求的值： (2)若平分，求的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据二倍角公式求出，再由同角三角函数关系得，接着利用正弦定理求出，最后根据正弦定理化简并计算； （2）先利用余弦定理求出的值，进而得到的值，再根据平行线性质得到等腰三角形及与的关系，最后利用三角形面积公式求出的面积. 【详解】（1）因为，所以， 因为是锐角，所以，所以， 所以； 因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以， 因为，所以， 所以由正弦定理得； （2）由余弦定理得，解得， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以的面积. 【易错分析】1. 由cos2A=-7/8求sinA、cosA时，易选错二倍角公式，或忽略A是锐角的条件导致符号出错； 2. 第一问中，由a=bsinA结合正弦定理推导时，易混淆sinB的取值，误判B的角度； 3. 第二问中，由b=2c用余弦定理求边长时易计算出错，且对CD平行AB、AD平分角BAC的条件转化易出错，影响后续面积计算。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $