专题06 统计与概率（期末复习知识清单）数学苏教版高一必修第二册

专题06 统计与概率 知识点1： 抽样方法（高频小题，统计基础） 1.简单随机抽样： 定义：从总体 N 个个体中，逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本（n≤N），且每个个体被抽到的概率相等（均为 n/N）； 常用方法：抽签法（适用于总体容量较小）、随机数表法（适用于__________）； 核心特征：等概率性、不放回性； 适用场景：总体个体差异较小，总体容量不大。 2.分层抽样： 定义：将总体按某种特征分成若干层（互不交叉），再从每一层中按比例抽取个体组成样本； 抽样比：每层抽取的个体数 / 该层个体总数 = 样本容量 n / 总体容量 N； 核心特征：按比例抽样，兼顾层内一致性与层间差异性； 适用场景：总体由差异明显的几部分组成（如按性别、年龄、成绩分层）。 3.系统抽样： 定义：将总体中的个体编号，按固定间隔 k（k = N/n，取整数）抽取个体，先随机确定起始编号，再依次抽取编号为 l、l+k、l+2k… 的个体； 核心步骤：编号→分段→确定起始号→按间隔抽样； 核心特征：等距性、不放回性； 适用场景：总体容量较大，个体分布均匀。 考查形式：判断抽样方法类型、计算分层抽样中各层抽取的个体数、系统抽样的间隔与起始编号计算、三种抽样方法的区别与选择。 知识点2： 统计图表与数据整理（核心基础，必考） 1.常见统计图表： 频率分布表：按数据分组，记录各组的频数（出现次数）和频率（频数 / 总数）； 频率分布直方图： 1. 横轴：数据分组区间，纵轴：频率 / 组距； 1. 核心性质：每个矩形的面积 = 该组频率，所有矩形面积之和 = 1； 茎叶图：将数据的十位（或百位）作为 “茎”，个位作为 “叶”，直观展示数据分布（保留原始数据）； 条形图 / 折线图：条形图展示各组频数 / 频率，折线图反映数据变化趋势； 扇形图：展示各部分占总体的比例（圆心角 = 该部分比例 ×360°）。 2.数据整理核心概念： 频数：某组数据出现的次数； 频率：频数 / 总体个数（频率∈[0,1]）； 组距：数据分组中每组的区间长度（如 [10,20) 的组距为 10）； 累积频率：从第一组到当前组的频率之和。 考查形式：根据统计图表读取数据、计算频数 / 频率 / 组距、补全频率分布直方图、选择合适的统计图表描述数据。 知识点3： 数据的数字特征（高频小题 / 解答题，核心计算） 1.集中趋势特征： 平均数（均值）： 公式：若数据为 x₁,x₂,…,xₙ，则平均数 x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n； 加权平均数：若数据分组后，各组组中值为 a₁,a₂,…,aₖ，频率为 f₁,f₂,…,fₖ，则加权平均数 = a₁f₁ + a₂f₂ + … + aₖfₖ； 中位数：将数据从小到大排列后，中间位置的数（n 为奇数时取第 (n+1)/2 个，n 为偶数时取第 n/2 和 n/2+1 个的平均数）； 众数：数据中出现次数最多的数（可能不止一个）。 2.离散程度特征： 极差：最大值 - 最小值（反映数据波动范围）； 方差： 1. 公式：s² = [(x₁ - x̄)² + (x₂ - x̄)² + … + (xₙ - x̄)²]/n； 1. 性质：方差越大，数据波动越大；方差≥0，当且仅当所有数据相等时方差为 0； 标准差：s = 根号下方差（与数据单位一致，更易解释）。 考查形式：计算平均数、中位数、众数、方差、标准差；根据数字特征分析数据稳定性；比较两组数据的集中趋势与离散程度。 知识点4： 概率的基本概念（逻辑基础，必考） 1.随机事件与概率： 事件分类： 1. 必然事件：一定会发生的事件，概率 P=1； 1. 不可能事件：一定不会发生的事件，概率 P=0； 1. 随机事件：可能发生也可能不发生的事件，概率 P∈(0,1)； 概率定义：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定在某个常数附近，该常数即为事件 A 的概率 P (A)。 2.事件的关系与运算： 包含关系：若事件 A 发生则事件 B 一定发生，记为 A⊆B； 并事件（和事件）：A∪B（或 A+B），表示 A、B 中至少有一个发生； 交事件（积事件）：A∩B（或 AB），表示 A、B 同时发生； 互斥事件：A∩B 为不可能事件（AB=∅），即 A、B 不能同时发生； 对立事件：A∩B 为不可能事件且 A∪B 为必然事件，即 A、B 必有一个发生且只有一个发生（对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立）。 3.概率的基本性质： 0≤P(A)≤1； P (必然事件)=1，P (不可能事件)=0； 若 A、B 互斥，则 ____________________ 对立事件概率：__________。 考查形式：判断事件类型（互斥、对立）、利用概率性质计算事件概率、结合实际问题理解概率含义。 知识点5： 古典概型（高频大题 / 小题，核心计算） 1.定义： 特征：① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；② 每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）； 基本事件：一次试验中不能再分的最简单事件（所有基本事件的和为必然事件）。 2.概率公式： P (A) = 事件 A 包含的基本事件数 / 试验的所有基本事件总数； 核心步骤：① 列举所有基本事件；② 找出事件 A 包含的基本事件；③ 代入公式计算。 3.常见模型： 摸球模型（不放回 / 放回）； 掷骰子 / 硬币模型； 排列组合相关模型（如从 n 个元素中选 k 个的组合数计算）。 考查形式：直接计算古典概型概率、结合排列组合列举基本事件、分层抽样与古典概型结合。 知识点6： 几何概型（中档题，核心计算） 1.定义： 特征：① 试验中所有可能出现的基本事件有无限个（无限性）；② 每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）；③ 基本事件可以用一个几何区域表示； 几何区域类型：长度、__________、体积（苏教版必修二重点考查长度和面积型）。 2.概率公式： P (A) = 构成事件 A 的几何区域长度（面积 / 体积） / 试验的全部结果所构成的几何区域长度（面积 / 体积）； 核心步骤：① 确定试验对应的几何区域；② 确定事件 A 对应的几何子区域；③ 计算两个区域的几何量（长度 / 面积）；④ 代入公式计算。 3.常见模型： 长度型：如在数轴上取点、线段上随机投点、时间区间问题； 面积型：如在平面图形内随机投点、__________问题、约会时间问题。 考查形式：计算长度 / 面积型几何概型概率、结合实际问题构建几何区域、古典概型与几何概型辨析。 知识点7： 统计与概率的综合公式（综合题核心） 1.抽样与概率结合公式： 简单随机抽样中，个体被抽到的概率：P = 样本容量 n / 总体容量 N； 分层抽样中，某层个体被抽到的概率：P = 抽样比 = n/N（各层抽样比相同）。 2.频率与概率的关系： 当试验次数很大时，事件 A 发生的频率近似等于概率（频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值）； 频率分布直方图中，某区间内的概率可近似用该区间的频率（矩形面积）表示。 考查形式：利用抽样比计算概率、用频率估计概率、结合统计图表计算概率。 知识点8： 抽样方法题型（选择 / 填空必考） 题型 1：抽样方法判断与选择 解题步骤： ① 分析总体特征（是否有明显分层、容量大小、个体差异）； ② 根据特征匹配抽样方法（分层抽样→差异明显；系统抽样→容量大；简单随机抽样→容量小、差异小）； ③ 验证抽样方法的核心特征（如分层抽样是否按比例）。 示例：要调查某学校高一、高二、高三三个年级的学生视力情况，应选择哪种抽样方法？（答案：分层抽样） 题型 2：分层抽样计算 解题步骤： ① 计算抽样比 k = 样本容量 n / 总体容量 N； ② 某层抽取人数 = 该层个体数 × k； ③ 验证各层抽取人数之和是否等于样本容量。 示例：总体有 1000 人，分为三层，人数分别为 300、500、200，样本容量为 200，求第二层抽取人数。（解：k=200/1000=0.2，第二层抽取 500×0.2=100 人） 题型 3：系统抽样计算 解题步骤： ① 计算间隔 k = 总体容量 N / 样本容量 n（若不是整数，先剔除多余个体）； ② 随机确定起始编号 l（1≤l≤k）； ③ 依次写出抽取的编号：l、l+k、l+2k…； 示例：总体有 50 人，样本容量为 5，求间隔 k 及可能的抽取编号。（解：k=50/5=10，若起始编号为 3，则抽取编号为 3、13、23、33、43） 要点：区分三种抽样方法的适用场景，分层抽样计算时确保抽样比准确，系统抽样注意剔除多余个体的情况。 知识点9： 统计图表与数据特征题型（选择 / 填空 / 解答题） 题型 1：频率分布直方图相关计算 解题步骤： ① 读取组距、各组频数 / 频率（或矩形高度）； ② 计算关键量：频率 = 矩形高度 × 组距，频数 = 频率 × 总体数，总体数 = 某组频数 / 该组频率； ③ 补全直方图（根据__________ 计算未知矩形高度）； 示例：频率分布直方图中，某组区间为 [20,30)，矩形高度为 0.03，求该组频率。（解：频率 = 0.03×10=0.3） 题型 2：数据数字特征计算 解题步骤： ① 平均数：直接求和除以个数（或加权平均数公式）； ② 中位数：先排序，再找__________（注意 n 为奇数 / 偶数）； ③ 方差：先求平均数，再代入方差公式计算（注意分母为 n）； 示例：数据 1、2、3、4、5，求平均数、中位数、方差。（解：平均数 = 3，中位数 = 3，方差 = 2） 题型 3：茎叶图分析 解题步骤： ① 从茎叶图中读取所有原始数据； ② 计算数据的数字特征（平均数、中位数、方差）； ③ 对比两组数据的集中趋势与离散程度； 要点：茎叶图中 “茎” 为高位数字，“叶” 为低位数字，注意数据的排序。 知识点10： 古典概型题型（解答题基础问） 题型特征：有限个等可能基本事件，需列举或用排列组合计算事件包含的基本事件数。 解题步骤： ① 明确试验的基本事件（如 “掷两枚骰子，所有可能的点数组合”）； ② 列举所有基本事件（或用排列组合计算总数：如掷 n 枚骰子，基本事件总数为 6ⁿ）； ③ 确定事件 A 包含的基本事件（如 “点数之和为 5” 的组合：(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)）； ④ 代入公式 P (A) = 事件 A 包含的基本事件数 / 总基本事件数； 示例：从 1、2、3、4、5 中随机抽取 2 个不同的数，求这两个数之和为偶数的概率。 解：基本事件总数 C (5,2)=10；和为偶数的事件包含 “两数均为奇数”（1,3）、（1,5）、（3,5），共 3 个；∴ P=3/10。 要点：列举基本事件时避免重复或遗漏，涉及 “抽取” 问题注意区分 “有放回” 与 “无放回”（无放回用组合，有放回用排列）。 知识点11： 几何概型题型（解答题中档问） 题型 1：长度型几何概型 解题步骤： ① 确定试验对应的线段（如数轴上的区间、时间区间）； ② 确定事件 A 对应的线段长度； ③ 代入公式 P (A) = 事件 A 的线段长度 / 总线段长度； 示例：在区间 [0,5] 上随机取一个数 x，求 x∈[1,3] 的概率。（解：P=(3-1)/(5-0)=2/5） 题型 2：面积型几何概型 解题步骤： ① 建立平面直角坐标系，确定试验对应的几何区域（如矩形、圆、三角形）； ② 确定事件 A 对应的几何子区域； ③ 计算两个区域的面积； ④ 代入公式 P (A) = 事件 A 的面积 / 总区域面积； 示例：在边长为 2 的正方形内随机投一点，求该点到正方形中心距离小于 1 的概率。（解：总区域面积 = 4，事件 A 区域为半径 1 的圆，面积 =π，∴ P=π/4） 要点：准确构建几何区域是关键，注意区分 “长度”“面积” 模型，避免将面积型误按长度型计算。 知识点12： 统计与概率综合题型（解答题压轴） 题型特征：结合抽样方法、统计图表、数据特征与概率计算，考查综合分析能力。 解题步骤： ① 抽样环节：根据抽样方法获取样本数据（或计算抽样比、抽取人数）； ② 统计环节：整理样本数据，绘制统计图表（或计算数字特征、频率）； ③ 概率环节：用频率估计概率，或计算古典 / 几何概型概率； ④ 结论环节：根据统计与概率结果分析实际问题（如稳定性、合理性）； 示例：某超市为了解顾客满意度，按分层抽样从老顾客、新顾客中抽取 100 人调查，得到满意度频率分布直方图，求：（1）老顾客、新顾客各抽取多少人？（2）满意度在 [80,100] 的频率是多少？（3）从被调查的满意度≥90 的顾客中随机选 2 人，求恰好 1 位老顾客 1 位新顾客的概率。 要点：分步处理各环节，确保抽样计算准确、统计图表读取正确、概率计算逻辑清晰，最后结合实际问题给出结论。 知识点13： 互斥事件与对立事件概率题型（高频小题） 题型特征：考查互斥、对立事件的概率计算，常结合 “至少”“至多” 等关键词。 解题步骤： ① 判断事件间关系（是否互斥、对立）； ② 利用概率性质计算： 互斥事件：____________________ 对立事件：P (非 A)=1-P (A)； “至少一个发生”：可直接计算或用对立事件（“都不发生”）求解； 示例：甲、乙两人射击，击中目标的概率分别为 0.6 和 0.5，求至少一人击中目标的概率。（解：对立事件为 “两人都未击中”，P=1-(1-0.6)(1-0.5)=1-0.2=0.8） 要点：“至少一个”“至多一个” 问题优先考虑对立事件，可简化计算；注意互斥事件与对立事件的区别，避免误用公式。 知识点14： 解题方法技巧考点（高效解题关键） ①抽样方法选择技巧 看总体特征： 总体容量小、个体差异小→简单随机抽样； 总体容量大、个体分布均匀→系统抽样； 总体由差异明显的几层组成→分层抽样； 分层抽样计算技巧：先算抽样比，再按比例分配各层人数，最后验证总和是否等于样本容量。 ②统计图表分析技巧 频率分布直方图： 矩形面积 = 频率，可通过 “面积” 快速计算频率或总体数； 求中位数时，找 __________对应的横坐标； 茎叶图：快速读取数据并排序，方便计算中位数和众数； 数字特征比较技巧： 比较集中趋势：看平均数、中位数（平均数易受极端值影响，中位数更稳健）； 比较离散程度：看方差、标准差（数值越大，波动越大）。 ③ 概率计算技巧 古典概型： 列举法：适用于基本事件数较少（≤20）的情况，按顺序列举避免重复遗漏； 排列组合法：适用于基本事件数较多的情况（如 “从 n 个元素中选 k 个”），用组合数 C (n,k) 计算； 几何概型： 长度型：明确 “试验区间” 和 “事件区间”，直接计算长度比； 面积型：建立坐标系后，准确画出几何区域，用坐标法计算面积； 复杂事件概率技巧： 分解法：将复杂事件分解为若干互斥事件，再用互斥事件概率公式； 对立事件法：“至少”“至多” 问题转化为对立事件，简化计算。 ④ 综合题解题技巧 分步拆解：将统计与概率综合题拆分为 “抽样→统计→概率→结论” 四个步骤，逐个突破； 数据关联：抽样得到的样本数据是统计分析的基础，统计得到的频率是概率估计的依据，确保各环节数据传递准确； 规范表达：解答题中需注明抽样方法、统计图表的计算过程、概率的基本事件列举，逻辑链完整。 知识点15： 易混易错考点（高频失分点） ① 抽样方法概念混淆 易错点 1：认为分层抽样中各层抽样比不同（正确：各层抽样比均等于样本容量 / 总体容量）； 易错点 2：系统抽样中间隔 k 计算错误（当 N/n 不是整数时，需先剔除多余个体，再算 k = 剩余总体数 / 样本容量）； 易错点 3：简单随机抽样与系统抽样的概率差异（正确：两种抽样方法中每个个体被抽到的概率均为 n/N）； 应对：牢记三种抽样方法的核心特征和适用场景，抽样比计算时反复验证。 ② 统计图表与数据特征错误 易错点 1：频率分布直方图中，误将矩形高度当作频率（正确：频率 = 矩形高度 × 组距）； 易错点 2：计算方差时分母用 n-1 易错点 3：中位数计算时未排序（正确：需先将数据从小到大排列，再找中间位置）； 应对：整理统计图表的核心性质和数据特征公式，计算时分步进行，避免跳步。 ③ 概率概念与公式错误 易错点 1：互斥事件与对立事件混淆（正确：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立，对立事件需满足 “和为必然事件”）； 易错点 2：古典概型中基本事件列举重复或遗漏（正确：按固定顺序列举，如掷两枚骰子按 (1,1)、(1,2)…(6,6) 顺序）； 易错点 3：几何概型中几何区域选择错误（正确：根据试验类型确定是长度、面积还是体积，如 “时间问题” 用长度，“投点问题” 用面积）； 易错点 4：“有放回抽样” 与 “无放回抽样” 混淆（正确：有放回抽样中基本事件数为 nⁿ，无放回抽样中为 A (n,k) 或 C (n,k)）； 应对：对比记忆互斥与对立事件、有放回与无放回抽样的区别，概率计算前先明确基本事件类型。 ④综合题逻辑错误 易错点 1：用样本数据直接代替总体数据，未说明 “用频率估计概率”； 错点 2：分层抽样与概率结合时，误将某层抽取人数当作该层总体数； 应对：综合题中明确各环节的依据（如 “由分层抽样的性质得”“用频率估计概率”），数据计算后标注单位和含义。 知识点16： 拓展补充考点（能力提升，选填压轴适用） ①统计与概率的实际应用（创新题型） 决策问题：根据统计数据和概率分析，选择最优方案（如购物优惠、投资决策）； 回归分析初步（教材拓展）： 核心：通过散点图观察两个变量的线性相关关系，用最小二乘法求线性回归方程 y = bx + a（苏教版必修二为初步介绍，重点考查相关性判断）； 考查形式：结合实际场景（如疫情防控、体育比赛、商业活动）设计问题，考查数据处理和概率分析能力。 ②概率与函数、不等式结合（解答题压轴） 特征：以概率为载体，引入参数（如区间长度、几何图形边长），建立函数关系，求最值或取值范围； 解题步骤： ① 设参数，表达出概率关于参数的函数； ② 确定参数的取值范围（结合几何图形或实际意义）； ③ 利用函数单调性、基本不等式求最值； 示例：在区间 [0,a] 上随机取两个数 x、y，求 x + y ≤ 1 的概率的最大值（a>0）。 解：当 a≥1 时，概率 = 1/2；当 0<a=a²/2；∴ 最大值为 1/2（当 a≥1 时）。 随机数法的应用 【例1】设总体由编号为的个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为______. 5044664421    6606580462    6155643502    4235489632    1452415248 2266221586    2663754199    5842367224    5837521851    0337183911 【变式1】某高中为了了解高二年级学生的作业情况，利用随机数表对该校400名高二学生进行抽样，先将所有学生按进行编号，从中抽取40个样本.若从下面的随机数表中第1行第6列的数开始，依次向右，到行末后转至下一行的行首，逐个取样，直到取足样本为止，则得到的第3个样本编号是____________. 【变式2】劳动课中要考查上一届学生种出来的950颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将950颗种子按001，002，…，950进行编号，如果从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子编号依次是________．（下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 分层抽样中各层样本容量的计算 【例1】已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，所有样本的平均数为9.3，则流水线1的样本平均数为_____． 【变式1】某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为cm，则可估计该校高一学生的平均身高为_______cm. 【变式2】某校高一年级共有500名学生参加学校组织的活动（每人只参加一项活动），其中参加“党团队一体化公益实践活动”的有125人，参加“心理健康游园活动”的有人、参加“湿地奔跑活动”的有人，现用分层抽样的方法，从中抽取100名学生了解他们的健康情况；如果已知参加“心理健康游园活动”的学生抽取了56人，则参加“湿地奔跑活动”的学生要抽取的人数为________． 频率分布直方图中的相关计算问题 【例1】某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15~65岁的人群进行了随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，会使用移动支付的共有n个人，把这n个人按照年龄分成5组：第1组为[15，25），第2组为[25，35），第3组为[35，45），第4组为[45，55），第5组为[55，65]，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第1组的频数为20． (1)求n和x的值： (2)从第1，3，4组中用分层随机抽样的方法抽取6人，求分别从第1，3，4组中抽取的人数； 【变式1】文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.长春市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数和上四分位数： (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【变式2】某工厂对工人的专业技能做了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照，，…，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． (1)求出a，b的值； (2)估计此次测试的平均成绩； (3)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的工人中抽取4人，再从这4人中任选2人，请列举出样本空间并求出这2人成绩都在内的概率． 百分位数在具体数据或图中的应用 【例1】已知样本数据8，12，13，a，17的第80百分位数为16，则（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式1】某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为（   ） A．21 B．22 C．22.5 D．23 【变式2】某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：89，87，93，91，96，94，90，92，则这组数据的第25百分位数和平均数分别是（　　） A．89和 B．和 C．90和 D．和92 简单古典概型的计算 【例1】某袋中有个除颜色外其他都相同的球，其中有个红球，个白球，现从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（    ） A．取出的两个球上标号都是2的概率为 B．取出的两个球上标号为不同数字的概率为 C．取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的概率为 D．甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为 事件独立性的判断 【例1】一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【变式1】有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【变式2】（多选）已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（   ） A．事件与互斥 B．事件与独立 C． D． 相互独立事件概率的计算 【例1】（多选）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【变式1】现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 相互独立事件概率的综合应用 【例1】某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立． (1)若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率； (2)若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率； (3)商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率． 【变式1】为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，，各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是，甲得6分的概率是 (1)求，的值； (2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大?并说明理由． 频率与概率的关系 【例1】我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米1000石，验收发现米内夹谷，随机取出一杯，数得杯里200粒米内夹谷13粒，估计这批米内夹谷约为（    ） A．55石 B．65石 C．75石 D．85石 【变式1】从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【变式2】在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 随机数法的应用 1．要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是______.（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【易错分析】一是未按三位编号读取，误将两位数字当作编号，或起始位置找错；二是读取随机数时，未按规则剔除大于850的数，或重复编号未跳过；三是计数时漏数、多数，导致第4颗种子编号出错；四是未按向右读的方向规则，中途改变读取方向；五是对随机数表法的抽样步骤理解不清，未按编号范围筛选有效数字。 分层抽样中各层样本容量的计算 2．2025年9月3日，以“铭记历史，开创未来”为核心的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在天安门广场隆重举行，已知从11000名甲校大学生，10000名乙校大学生和4000名丙校大学生中采用分层抽样方法抽取名大学生组成志愿者，若乙校大学生比丙校大学生多抽取60人，则_____. 【易错分析】一是未按三位编号读取，误将两位数字当作编号，或起始位置找错；二是读取随机数时，未按规则剔除大于850的数，或重复编号未跳过；三是计数时漏数、多数，导致第4颗种子编号出错；四是未按向右读的方向规则，中途改变读取方向；五是对随机数表法的抽样步骤理解不清，未按编号范围筛选有效数字。 频率分布直方图中的相关计算问题 3．某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； (3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 【易错分析】一是频率分布直方图中，误将“频率/组距”直接当作频率计算，忽略组距为10；二是求a值时，未利用频率和为1的条件，或计算时漏加部分组的频率；三是计算天数时，误将频率直接当作天数，未乘以总天数40；四是求平均数时，未正确取各组中间值，或漏乘对应频率；五是对频率、频数、平均数的概念混淆，导致公式误用。 百分位数在具体数据或图中的应用 4．高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，104，110，115，120，125，130，134，140，145，这组数据的下四分位数为（ ） A．107 B．110 C．132 D．134 【易错分析】一是对下四分位数的定义理解不清，误将其当作中位数或其他统计量；二是计算位置索引时，未按规则向上取整，直接取第2个数或取第2、3个数的平均数；三是混淆不同版本教材中四分位数的计算方法，误用线性插值公式；四是数据未按从小到大排序就直接计算，导致结果错误；五是对百分位数和四分位数的关系理解偏差，选错计算方法。 简单古典概型的计算 5．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 【易错分析】一是未理解“只能从一端取球”的规则，误将其当作普通排列问题；二是计算基本事件总数时，未按取球规则分步计数，导致总数错误；三是计算红球连续取出的事件数时，遗漏部分有效取球路径；四是混淆条件概率与普通概率的计算方法，误用公式；五是对取球顺序的限制理解不清，误判红球连续取出的情况。 事件独立性的判断 6．（多选）若 ，则关于事件 的关系正确的是（ ） A．事件 与 互斥 B．事件 与 不互斥 C．事件 与 不相互独立 D．事件 与 相互独立 【易错分析】一是混淆互斥事件与相互独立事件的定义，误将互斥等同于独立；二是计算事件概率时，忽略对立事件概率公式，直接用题中P(A)、P(B)参与计算；三是判断独立时，未验证P(AB)=P(A)P(B)，仅凭主观臆断；四是对互斥事件“交集为空”的概念理解不清，误判P(AB)的取值；五是忽略多选题需同时判断互斥与独立两个维度，漏选或错选选项。 相互独立事件概率的计算 7．（多选）从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（   ） A．2个球都是白球的概率为 B．2个球都不是白球的概率为 C．2个球不都是白球的概率为 D．2个球恰好有一个球是白球的概率为 【易错分析】一是误将“不都是白球”理解为“都不是白球”，混淆对立事件的概念；二是计算独立事件概率时，忘记使用乘法公式，直接将概率相加；三是计算“恰好一个白球”时，漏算两种情况（甲白乙非白、甲非白乙白），导致结果错误；四是误将独立事件当作互斥事件处理，误用加法公式；五是多选题中，因概念混淆漏选或错选选项。 相互独立事件概率的综合应用 8．临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为________． 【易错分析】一是未利用对立事件简化计算，直接枚举“不同景点”的所有情况，易漏算或重复；二是计算“打卡相同景点”的概率时，未按景点分别计算再相加，直接将两人的概率相乘；三是误将两人的打卡事件当作互斥事件，误用加法公式；四是忽略概率计算中“独立事件”的前提，混淆乘法公式的使用条件；五是计算时出现通分错误，导致最终结果偏差。 频率与概率的关系 9．某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 276 144 80 如果另有一人服用此药，估计其体重减轻的概率为__________; 【易错分析】一是混淆频率与概率的概念，误将频率直接当作概率，忽略用频率估计概率的前提；二是计算时未用体重减轻人数除以总人数，而是直接用减轻人数除以不变或增加的人数；三是总人数计算错误，漏加或多加各组人数；四是未化简分数，导致结果形式不规范；五是误将“体重不变”或“体重增加”的概率当作体重减轻的概率，审题不清。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 统计与概率 知识点1： 抽样方法（高频小题，统计基础） 1.简单随机抽样： 定义：从总体 N 个个体中，逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本（n≤N），且每个个体被抽到的概率相等（均为 n/N）； 常用方法：抽签法（适用于总体容量较小）、随机数表法（适用于总体容量较大）； 核心特征：等概率性、不放回性； 适用场景：总体个体差异较小，总体容量不大。 2.分层抽样： 定义：将总体按某种特征分成若干层（互不交叉），再从每一层中按比例抽取个体组成样本； 抽样比：每层抽取的个体数 / 该层个体总数 = 样本容量 n / 总体容量 N； 核心特征：按比例抽样，兼顾层内一致性与层间差异性； 适用场景：总体由差异明显的几部分组成（如按性别、年龄、成绩分层）。 3.系统抽样： 定义：将总体中的个体编号，按固定间隔 k（k = N/n，取整数）抽取个体，先随机确定起始编号，再依次抽取编号为 l、l+k、l+2k… 的个体； 核心步骤：编号→分段→确定起始号→按间隔抽样； 核心特征：等距性、不放回性； 适用场景：总体容量较大，个体分布均匀。 考查形式：判断抽样方法类型、计算分层抽样中各层抽取的个体数、系统抽样的间隔与起始编号计算、三种抽样方法的区别与选择。 知识点2： 统计图表与数据整理（核心基础，必考） 1.常见统计图表： 频率分布表：按数据分组，记录各组的频数（出现次数）和频率（频数 / 总数）； 频率分布直方图： 1. 横轴：数据分组区间，纵轴：频率 / 组距； 1. 核心性质：每个矩形的面积 = 该组频率，所有矩形面积之和 = 1； 茎叶图：将数据的十位（或百位）作为 “茎”，个位作为 “叶”，直观展示数据分布（保留原始数据）； 条形图 / 折线图：条形图展示各组频数 / 频率，折线图反映数据变化趋势； 扇形图：展示各部分占总体的比例（圆心角 = 该部分比例 ×360°）。 2.数据整理核心概念： 频数：某组数据出现的次数； 频率：频数 / 总体个数（频率∈[0,1]）； 组距：数据分组中每组的区间长度（如 [10,20) 的组距为 10）； 累积频率：从第一组到当前组的频率之和。 考查形式：根据统计图表读取数据、计算频数 / 频率 / 组距、补全频率分布直方图、选择合适的统计图表描述数据。 知识点3： 数据的数字特征（高频小题 / 解答题，核心计算） 1.集中趋势特征： 平均数（均值）： 公式：若数据为 x₁,x₂,…,xₙ，则平均数 x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n； 加权平均数：若数据分组后，各组组中值为 a₁,a₂,…,aₖ，频率为 f₁,f₂,…,fₖ，则加权平均数 = a₁f₁ + a₂f₂ + … + aₖfₖ； 中位数：将数据从小到大排列后，中间位置的数（n 为奇数时取第 (n+1)/2 个，n 为偶数时取第 n/2 和 n/2+1 个的平均数）； 众数：数据中出现次数最多的数（可能不止一个）。 2.离散程度特征： 极差：最大值 - 最小值（反映数据波动范围）； 方差： 1. 公式：s² = [(x₁ - x̄)² + (x₂ - x̄)² + … + (xₙ - x̄)²]/n； 1. 性质：方差越大，数据波动越大；方差≥0，当且仅当所有数据相等时方差为 0； 标准差：s = 根号下方差（与数据单位一致，更易解释）。 考查形式：计算平均数、中位数、众数、方差、标准差；根据数字特征分析数据稳定性；比较两组数据的集中趋势与离散程度。 知识点4： 概率的基本概念（逻辑基础，必考） 1.随机事件与概率： 事件分类： 1. 必然事件：一定会发生的事件，概率 P=1； 1. 不可能事件：一定不会发生的事件，概率 P=0； 1. 随机事件：可能发生也可能不发生的事件，概率 P∈(0,1)； 概率定义：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定在某个常数附近，该常数即为事件 A 的概率 P (A)。 2.事件的关系与运算： 包含关系：若事件 A 发生则事件 B 一定发生，记为 A⊆B； 并事件（和事件）：A∪B（或 A+B），表示 A、B 中至少有一个发生； 交事件（积事件）：A∩B（或 AB），表示 A、B 同时发生； 互斥事件：A∩B 为不可能事件（AB=∅），即 A、B 不能同时发生； 对立事件：A∩B 为不可能事件且 A∪B 为必然事件，即 A、B 必有一个发生且只有一个发生（对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立）。 3.概率的基本性质： 0≤P(A)≤1； P (必然事件)=1，P (不可能事件)=0； 若 A、B 互斥，则 P (A∪B)=P (A)+P (B)； 对立事件概率：P (非 A)=1 - P (A)。 考查形式：判断事件类型（互斥、对立）、利用概率性质计算事件概率、结合实际问题理解概率含义。 知识点5： 古典概型（高频大题 / 小题，核心计算） 1.定义： 特征：① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；② 每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）； 基本事件：一次试验中不能再分的最简单事件（所有基本事件的和为必然事件）。 2.概率公式： P (A) = 事件 A 包含的基本事件数 / 试验的所有基本事件总数； 核心步骤：① 列举所有基本事件；② 找出事件 A 包含的基本事件；③ 代入公式计算。 3.常见模型： 摸球模型（不放回 / 放回）； 掷骰子 / 硬币模型； 排列组合相关模型（如从 n 个元素中选 k 个的组合数计算）。 考查形式：直接计算古典概型概率、结合排列组合列举基本事件、分层抽样与古典概型结合。 知识点6： 几何概型（中档题，核心计算） 1.定义： 特征：① 试验中所有可能出现的基本事件有无限个（无限性）；② 每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）；③ 基本事件可以用一个几何区域表示； 几何区域类型：长度、面积、体积（苏教版必修二重点考查长度和面积型）。 2.概率公式： P (A) = 构成事件 A 的几何区域长度（面积 / 体积） / 试验的全部结果所构成的几何区域长度（面积 / 体积）； 核心步骤：① 确定试验对应的几何区域；② 确定事件 A 对应的几何子区域；③ 计算两个区域的几何量（长度 / 面积）；④ 代入公式计算。 3.常见模型： 长度型：如在数轴上取点、线段上随机投点、时间区间问题； 面积型：如在平面图形内随机投点、转盘问题、约会时间问题。 考查形式：计算长度 / 面积型几何概型概率、结合实际问题构建几何区域、古典概型与几何概型辨析。 知识点7： 统计与概率的综合公式（综合题核心） 1.抽样与概率结合公式： 简单随机抽样中，个体被抽到的概率：P = 样本容量 n / 总体容量 N； 分层抽样中，某层个体被抽到的概率：P = 抽样比 = n/N（各层抽样比相同）。 2.频率与概率的关系： 当试验次数很大时，事件 A 发生的频率近似等于概率（频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值）； 频率分布直方图中，某区间内的概率可近似用该区间的频率（矩形面积）表示。 考查形式：利用抽样比计算概率、用频率估计概率、结合统计图表计算概率。 知识点8： 抽样方法题型（选择 / 填空必考） 题型 1：抽样方法判断与选择 解题步骤： ① 分析总体特征（是否有明显分层、容量大小、个体差异）； ② 根据特征匹配抽样方法（分层抽样→差异明显；系统抽样→容量大；简单随机抽样→容量小、差异小）； ③ 验证抽样方法的核心特征（如分层抽样是否按比例）。 示例：要调查某学校高一、高二、高三三个年级的学生视力情况，应选择哪种抽样方法？（答案：分层抽样） 题型 2：分层抽样计算 解题步骤： ① 计算抽样比 k = 样本容量 n / 总体容量 N； ② 某层抽取人数 = 该层个体数 × k； ③ 验证各层抽取人数之和是否等于样本容量。 示例：总体有 1000 人，分为三层，人数分别为 300、500、200，样本容量为 200，求第二层抽取人数。（解：k=200/1000=0.2，第二层抽取 500×0.2=100 人） 题型 3：系统抽样计算 解题步骤： ① 计算间隔 k = 总体容量 N / 样本容量 n（若不是整数，先剔除多余个体）； ② 随机确定起始编号 l（1≤l≤k）； ③ 依次写出抽取的编号：l、l+k、l+2k…； 示例：总体有 50 人，样本容量为 5，求间隔 k 及可能的抽取编号。（解：k=50/5=10，若起始编号为 3，则抽取编号为 3、13、23、33、43） 要点：区分三种抽样方法的适用场景，分层抽样计算时确保抽样比准确，系统抽样注意剔除多余个体的情况。 知识点9： 统计图表与数据特征题型（选择 / 填空 / 解答题） 题型 1：频率分布直方图相关计算 解题步骤： ① 读取组距、各组频数 / 频率（或矩形高度）； ② 计算关键量：频率 = 矩形高度 × 组距，频数 = 频率 × 总体数，总体数 = 某组频数 / 该组频率； ③ 补全直方图（根据频率之和为 1 计算未知矩形高度）； 示例：频率分布直方图中，某组区间为 [20,30)，矩形高度为 0.03，求该组频率。（解：频率 = 0.03×10=0.3） 题型 2：数据数字特征计算 解题步骤： ① 平均数：直接求和除以个数（或加权平均数公式）； ② 中位数：先排序，再找中间位置的数（注意 n 为奇数 / 偶数）； ③ 方差：先求平均数，再代入方差公式计算（注意分母为 n）； 示例：数据 1、2、3、4、5，求平均数、中位数、方差。（解：平均数 = 3，中位数 = 3，方差 = 2） 题型 3：茎叶图分析 解题步骤： ① 从茎叶图中读取所有原始数据； ② 计算数据的数字特征（平均数、中位数、方差）； ③ 对比两组数据的集中趋势与离散程度； 要点：茎叶图中 “茎” 为高位数字，“叶” 为低位数字，注意数据的排序。 知识点10： 古典概型题型（解答题基础问） 题型特征：有限个等可能基本事件，需列举或用排列组合计算事件包含的基本事件数。 解题步骤： ① 明确试验的基本事件（如 “掷两枚骰子，所有可能的点数组合”）； ② 列举所有基本事件（或用排列组合计算总数：如掷 n 枚骰子，基本事件总数为 6ⁿ）； ③ 确定事件 A 包含的基本事件（如 “点数之和为 5” 的组合：(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)）； ④ 代入公式 P (A) = 事件 A 包含的基本事件数 / 总基本事件数； 示例：从 1、2、3、4、5 中随机抽取 2 个不同的数，求这两个数之和为偶数的概率。 解：基本事件总数 C (5,2)=10；和为偶数的事件包含 “两数均为奇数”（1,3）、（1,5）、（3,5），共 3 个；∴ P=3/10。 要点：列举基本事件时避免重复或遗漏，涉及 “抽取” 问题注意区分 “有放回” 与 “无放回”（无放回用组合，有放回用排列）。 知识点11： 几何概型题型（解答题中档问） 题型 1：长度型几何概型 解题步骤： ① 确定试验对应的线段（如数轴上的区间、时间区间）； ② 确定事件 A 对应的线段长度； ③ 代入公式 P (A) = 事件 A 的线段长度 / 总线段长度； 示例：在区间 [0,5] 上随机取一个数 x，求 x∈[1,3] 的概率。（解：P=(3-1)/(5-0)=2/5） 题型 2：面积型几何概型 解题步骤： ① 建立平面直角坐标系，确定试验对应的几何区域（如矩形、圆、三角形）； ② 确定事件 A 对应的几何子区域； ③ 计算两个区域的面积； ④ 代入公式 P (A) = 事件 A 的面积 / 总区域面积； 示例：在边长为 2 的正方形内随机投一点，求该点到正方形中心距离小于 1 的概率。（解：总区域面积 = 4，事件 A 区域为半径 1 的圆，面积 =π，∴ P=π/4） 要点：准确构建几何区域是关键，注意区分 “长度”“面积” 模型，避免将面积型误按长度型计算。 知识点12： 统计与概率综合题型（解答题压轴） 题型特征：结合抽样方法、统计图表、数据特征与概率计算，考查综合分析能力。 解题步骤： ① 抽样环节：根据抽样方法获取样本数据（或计算抽样比、抽取人数）； ② 统计环节：整理样本数据，绘制统计图表（或计算数字特征、频率）； ③ 概率环节：用频率估计概率，或计算古典 / 几何概型概率； ④ 结论环节：根据统计与概率结果分析实际问题（如稳定性、合理性）； 示例：某超市为了解顾客满意度，按分层抽样从老顾客、新顾客中抽取 100 人调查，得到满意度频率分布直方图，求：（1）老顾客、新顾客各抽取多少人？（2）满意度在 [80,100] 的频率是多少？（3）从被调查的满意度≥90 的顾客中随机选 2 人，求恰好 1 位老顾客 1 位新顾客的概率。 要点：分步处理各环节，确保抽样计算准确、统计图表读取正确、概率计算逻辑清晰，最后结合实际问题给出结论。 知识点13： 互斥事件与对立事件概率题型（高频小题） 题型特征：考查互斥、对立事件的概率计算，常结合 “至少”“至多” 等关键词。 解题步骤： ① 判断事件间关系（是否互斥、对立）； ② 利用概率性质计算： 互斥事件：P (A∪B)=P (A)+P (B)； 对立事件：P (非 A)=1-P (A)； “至少一个发生”：可直接计算或用对立事件（“都不发生”）求解； 示例：甲、乙两人射击，击中目标的概率分别为 0.6 和 0.5，求至少一人击中目标的概率。（解：对立事件为 “两人都未击中”，P=1-(1-0.6)(1-0.5)=1-0.2=0.8） 要点：“至少一个”“至多一个” 问题优先考虑对立事件，可简化计算；注意互斥事件与对立事件的区别，避免误用公式。 知识点14： 解题方法技巧考点（高效解题关键） ①抽样方法选择技巧 看总体特征： 总体容量小、个体差异小→简单随机抽样； 总体容量大、个体分布均匀→系统抽样； 总体由差异明显的几层组成→分层抽样； 分层抽样计算技巧：先算抽样比，再按比例分配各层人数，最后验证总和是否等于样本容量。 ②统计图表分析技巧 频率分布直方图： 矩形面积 = 频率，可通过 “面积” 快速计算频率或总体数； 求中位数时，找 “累计面积为 0.5” 对应的横坐标； 茎叶图：快速读取数据并排序，方便计算中位数和众数； 数字特征比较技巧： 比较集中趋势：看平均数、中位数（平均数易受极端值影响，中位数更稳健）； 比较离散程度：看方差、标准差（数值越大，波动越大）。 ③ 概率计算技巧 古典概型： 列举法：适用于基本事件数较少（≤20）的情况，按顺序列举避免重复遗漏； 排列组合法：适用于基本事件数较多的情况（如 “从 n 个元素中选 k 个”），用组合数 C (n,k) 计算； 几何概型： 长度型：明确 “试验区间” 和 “事件区间”，直接计算长度比； 面积型：建立坐标系后，准确画出几何区域，用坐标法计算面积； 复杂事件概率技巧： 分解法：将复杂事件分解为若干互斥事件，再用互斥事件概率公式； 对立事件法：“至少”“至多” 问题转化为对立事件，简化计算。 ④ 综合题解题技巧 分步拆解：将统计与概率综合题拆分为 “抽样→统计→概率→结论” 四个步骤，逐个突破； 数据关联：抽样得到的样本数据是统计分析的基础，统计得到的频率是概率估计的依据，确保各环节数据传递准确； 规范表达：解答题中需注明抽样方法、统计图表的计算过程、概率的基本事件列举，逻辑链完整。 知识点15： 易混易错考点（高频失分点） ① 抽样方法概念混淆 易错点 1：认为分层抽样中各层抽样比不同（正确：各层抽样比均等于样本容量 / 总体容量）； 易错点 2：系统抽样中间隔 k 计算错误（当 N/n 不是整数时，需先剔除多余个体，再算 k = 剩余总体数 / 样本容量）； 易错点 3：简单随机抽样与系统抽样的概率差异（正确：两种抽样方法中每个个体被抽到的概率均为 n/N）； 应对：牢记三种抽样方法的核心特征和适用场景，抽样比计算时反复验证。 ② 统计图表与数据特征错误 易错点 1：频率分布直方图中，误将矩形高度当作频率（正确：频率 = 矩形高度 × 组距）； 易错点 2：计算方差时分母用 n-1 易错点 3：中位数计算时未排序（正确：需先将数据从小到大排列，再找中间位置）； 应对：整理统计图表的核心性质和数据特征公式，计算时分步进行，避免跳步。 ③ 概率概念与公式错误 易错点 1：互斥事件与对立事件混淆（正确：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立，对立事件需满足 “和为必然事件”）； 易错点 2：古典概型中基本事件列举重复或遗漏（正确：按固定顺序列举，如掷两枚骰子按 (1,1)、(1,2)…(6,6) 顺序）； 易错点 3：几何概型中几何区域选择错误（正确：根据试验类型确定是长度、面积还是体积，如 “时间问题” 用长度，“投点问题” 用面积）； 易错点 4：“有放回抽样” 与 “无放回抽样” 混淆（正确：有放回抽样中基本事件数为 nⁿ，无放回抽样中为 A (n,k) 或 C (n,k)）； 应对：对比记忆互斥与对立事件、有放回与无放回抽样的区别，概率计算前先明确基本事件类型。 ④综合题逻辑错误 易错点 1：用样本数据直接代替总体数据，未说明 “用频率估计概率”； 错点 2：分层抽样与概率结合时，误将某层抽取人数当作该层总体数； 应对：综合题中明确各环节的依据（如 “由分层抽样的性质得”“用频率估计概率”），数据计算后标注单位和含义。 知识点16： 拓展补充考点（能力提升，选填压轴适用） ①统计与概率的实际应用（创新题型） 决策问题：根据统计数据和概率分析，选择最优方案（如购物优惠、投资决策）； 回归分析初步（教材拓展）： 核心：通过散点图观察两个变量的线性相关关系，用最小二乘法求线性回归方程 y = bx + a（苏教版必修二为初步介绍，重点考查相关性判断）； 考查形式：结合实际场景（如疫情防控、体育比赛、商业活动）设计问题，考查数据处理和概率分析能力。 ②概率与函数、不等式结合（解答题压轴） 特征：以概率为载体，引入参数（如区间长度、几何图形边长），建立函数关系，求最值或取值范围； 解题步骤： ① 设参数，表达出概率关于参数的函数； ② 确定参数的取值范围（结合几何图形或实际意义）； ③ 利用函数单调性、基本不等式求最值； 示例：在区间 [0,a] 上随机取两个数 x、y，求 x + y ≤ 1 的概率的最大值（a>0）。 解：当 a≥1 时，概率 = 1/2；当 0<a=a²/2；∴ 最大值为 1/2（当 a≥1 时）。 随机数法的应用 【例1】设总体由编号为的个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为______. 5044664421    6606580462    6155643502    4235489632    1452415248 2266221586    2663754199    5842367224    5837521851    0337183911 【答案】46 【分析】根据随机数法规则求解. 【详解】由题意可知，从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的编号依次为：（舍去），（舍去），（舍去），（舍去），（舍去），， 即选出的6个编号依次为：,所以第3个个体的编号为46. 故答案为：46. 【变式1】某高中为了了解高二年级学生的作业情况，利用随机数表对该校400名高二学生进行抽样，先将所有学生按进行编号，从中抽取40个样本.若从下面的随机数表中第1行第6列的数开始，依次向右，到行末后转至下一行的行首，逐个取样，直到取足样本为止，则得到的第3个样本编号是____________. 【答案】 【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组，并取到内的数，不重复取，选取个数即可. 【详解】选取的位数依次为，，（舍），， 则得到的第3个样本编号是. 故答案为： 【变式2】劳动课中要考查上一届学生种出来的950颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将950颗种子按001，002，…，950进行编号，如果从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子编号依次是________．（下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】662  276  656  502 【分析】从第3行第4列的数6开始，每次取三位数，在范围内就取，不在不取，重复的不取即可． 【详解】根据随机数表读取规则可知，第一个数是662，第二个数是276，第三个数是656，第四个是502. 故答案是：662；276；656；502 分层抽样中各层样本容量的计算 【例1】已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，所有样本的平均数为9.3，则流水线1的样本平均数为_____． 【答案】9.5 【分析】由题干中的比例，根据平均数的计算公式建立方程，可得答案. 【详解】根据题意，不妨设抽取的样本容量分别为，，， 设三条流水线的样本平均数分别为，总体样本平均数为， 则 根据样本平均数公式可得， 解得，所以流水线1的样本平均数为9.5． 【变式1】某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为cm，则可估计该校高一学生的平均身高为_______cm. 【答案】 【分析】通过分层随机抽样，平均数的概念求解. 【详解】由题意可知，，且， 所以该校高一学生平均身高的估计值， 故该校高一学生的平均身高的估计值为． 【变式2】某校高一年级共有500名学生参加学校组织的活动（每人只参加一项活动），其中参加“党团队一体化公益实践活动”的有125人，参加“心理健康游园活动”的有人、参加“湿地奔跑活动”的有人，现用分层抽样的方法，从中抽取100名学生了解他们的健康情况；如果已知参加“心理健康游园活动”的学生抽取了56人，则参加“湿地奔跑活动”的学生要抽取的人数为________． 【答案】19 【详解】分层抽样中，总体共500名学生，抽取100人，因此抽样比为， 由题意得：，因此：， 根据抽样比得：，解得， 因此：， 故参加“湿地奔跑活动”抽取人数为. 频率分布直方图中的相关计算问题 【例1】某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15~65岁的人群进行了随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，会使用移动支付的共有n个人，把这n个人按照年龄分成5组：第1组为[15，25），第2组为[25，35），第3组为[35，45），第4组为[45，55），第5组为[55，65]，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第1组的频数为20． (1)求n和x的值： (2)从第1，3，4组中用分层随机抽样的方法抽取6人，求分别从第1，3，4组中抽取的人数； 【答案】(1)， (2)2，3，1 【分析】（1）根据频率直方图中矩形面积之和为1求出x的值，根据第1组的频数和频率求出n. （2）根据分层随机抽样定义结合频率直方图中第1，3，4组的频率之比求出各组中抽取人数占比，从而得出对应人数. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知：，解得. 根据第1组的频数20和频率0.020，可得：. （2）根据频率直方图可知，第1，3，4组的频率之比为，总份数 ，则从第1组抽取人数为，从第3组抽取人数为，从第4 组抽取人数为. 【变式1】文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.长春市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数和上四分位数： (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】(1) (2)平均数为74，上四分位数为84； (3)平均数，方差. 【分析】（1）由频率之和为1得到关于的方程，解出即可. （2）由中间数为代表求出平均数，由频率分布直方图求上四分位数（即第25百分位数）的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）由所有小矩形面积之和为1得，，解得 （2）平均数为 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为m，由，得，故上四分位数为84. （3）由题，成绩在有人， 成绩在有人 则这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 【变式2】某工厂对工人的专业技能做了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照，，…，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． (1)求出a，b的值； (2)估计此次测试的平均成绩； (3)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的工人中抽取4人，再从这4人中任选2人，请列举出样本空间并求出这2人成绩都在内的概率． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据频率之和即可求解， （2）根据平均数的计算公式即可求解， （3）由列举法列举所有基本事件，即可由古典概型概率公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，即， 又因为，可解得，. （2）此次测试成绩的平均分为：. （3）成绩在和内的人数之比为， 故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，， 成绩在内的有1人，设为， 再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种， 这2人成绩均在内的情况有为，，共3种， 故这2人成绩都在内的概率为. 百分位数在具体数据或图中的应用 【例1】已知样本数据8，12，13，a，17的第80百分位数为16，则（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】因为，所以第百分位数为将数据从小到大排序后的第4个数与第5个数的平均数， 经讨论可知，为使第80百分位数为16，排序后的数据必为， 故有，解得. 【变式1】某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为（   ） A．21 B．22 C．22.5 D．23 【答案】D 【详解】上四分位数即75%分位数，题干的10个数据已经从小到大排列好，， 则75%分位数取从小到大的第8个数，即23. 【变式2】某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：89，87，93，91，96，94，90，92，则这组数据的第25百分位数和平均数分别是（　　） A．89和 B．和 C．90和 D．和92 【答案】B 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为：， 因为，所以这组数据的第25百分位数为； 平均数为. 简单古典概型的计算 【例1】某袋中有个除颜色外其他都相同的球，其中有个红球，个白球，现从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为个除颜色外其他都相同的球中，有个红球，个白球， 所以从中任意取出个，则取出的球恰好是红球的概率为. 【变式1】已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】依题意，不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是. 故选：A. 【变式2】（多选）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（    ） A．取出的两个球上标号都是2的概率为 B．取出的两个球上标号为不同数字的概率为 C．取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的概率为 D．甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为 【答案】AD 【分析】利用古典概率模型，写出样本空间中的所有样本点，求各选项对应概率，逐项判断即可. 【详解】从甲、乙两个盒子中各取出1个球，其标号构成的样本空间为，共9个样本点. 取出的两个球上标号都是2的概率为，所以A正确； 取出的两个球上标号为不同数字的样本点有，共6个，所以概率为，所以B错误； 取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的样本点有，共5个，所以概率为，所以C错误； 所以甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的样本点有，共3个，所以概率为.所以D正确. 故选：AD. 事件独立性的判断 【例1】一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】围绕有放回抽样中的互斥事件、独立事件、概率加法公式三个核心概念，通过对样本空间的枚举和概率计算，逐一验证选项的正确性． 【详解】选项A：事件是第一次取出编号1，事件是两次编号之和为5， 二者存在公共样本点（第一次取1，第二次取4，同时满足E和G），即，因此事件E与事件G不互斥，A错误． 选项B：（第二次取1的样本点共6个）， （两次和为5的样本点为 ，共4个）， （同时满足第二次取1、两次和为5的样本点仅，共1个）， 验证得，因此事件与事件不相互独立，B错误． 选项C：， （两次和为奇数等价于两次取出的数一奇一偶，总样本数为）， （第一次取1为奇数，第二次需要取偶数才能让和为奇数，第二次可取，共3个样本点）， 验证得， 满足独立事件定义，因此事件与事件相互独立，C正确． 选项D：根据概率的加法公式， 其中（两次都取1的样本点仅1个）， 代入计算：，因此D错误． 【变式1】有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】D 【分析】根据题意列出两次取球所有可能情况，并分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，共种情况； 令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则， 令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则， 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则， 令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则， 显然，所以丙与丁不对立，故B错误； 由，，，所以， 所以甲与丙不独立，故C错误； 又，， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 【变式2】（多选）已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（   ） A．事件与互斥 B．事件与独立 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义，和事件与积事件的运算法则，逐项判断即可． 【详解】已知，则， 由. 对A：因为，所以事件与可能同时发生，故事件与不互斥，选项A错误； 对B：因为， ， 所以，所以事件与独立，选项B正确； 对C：，又， 所以，选项C正确； 对D：因为事件与互斥，事件与独立， 所以，选项D正确． 相互独立事件概率的计算 【例1】（多选）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项. 【详解】对于A，只有当与相互独立时，，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，与互斥，则， 那么，故C正确； 对于D，如果与相互独立， 那么，故D正确. 【变式1】现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率加法公式和条件概率的乘法公式，即可求解. 【详解】记事件E表示“活动A失误”，事件F表示“活动B失误”，这两个活动有且仅有一个失误的概率为. 【变式2】甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为1分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率. 【答案】(1)，当时，最大值为 (2)①；②． 【分析】（1）设答对文化测试的第题，由 求解即可，再由基本不等式求最大值； （2）①由题意可得甲恰好通过文化测试和体育测试的一个，由此求解即可； ②设甲总分为分，，设乙总分为分，，由，求解即可. 【详解】（1）设答对文化测试的第题， 则甲恰好答对两道文化测试题的概率为： ， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时最大值为； （2）当时， ①甲通过文化测试的概率为， 则， 甲乙两人通过体育测试的概率均为， 则， 当甲总分为1时，甲恰好通过文化测试和体育测试的一个， 故甲总分为1的概率为： ； ②乙通过文化测试的概率为，则同理可得， 设甲总分为分，，设乙总分为分，， ，， ， ， 故甲总分高于乙总分的概率为 ． 相互独立事件概率的综合应用 【例1】某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立． (1)若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率； (2)若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率； (3)商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）恰好有1次中奖，拆成2个互斥事件的和，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可； （2）恰好有2天中奖拆成3个互斥事件的和，即第天不中且其余两天中，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可； （3）4次抽奖中至少有3次中奖，拆成3个互斥事件的和，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设顾客在线上抽奖中奖为事件A, 线下抽奖中奖为事件B, 设某顾客在两种渠道各抽奖1次，恰好有1次中奖为事件C, 则. （2）设第次线上抽奖中奖为事件， 设某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，恰好中奖两次为事件D， 则. （3）设顾客获得终极幸运奖为事件E，则线上恰好中一次且线下两次全中，或线上两次全中且线下恰好中一次，或者线上线下均两次全中， 则. 【变式1】为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得. 【详解】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”， 所以，则. 由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立， 法一：，且两两互互斥， 则 . 法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即， 则. 故选：B. 【变式2】甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，，各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是，甲得6分的概率是 (1)求，的值； (2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大?并说明理由． 【答案】(1) (2)甲获得最终胜利的可能性大． 【分析】（1）根据题意列出等式联立求解即可； （2）根据题意计算甲得4分或者6分的概率，进而可判断胜负可能性. 【详解】（1）由题意可得，即，则. 又，故，解得 （2）由题意可得3个项目一共6分，总共4分或6分者即可取胜，又甲得4分的概率， 所以甲得4分或6分的概率. 故乙得4分或6分的概率为， 因为，所以甲获得最终胜利的可能性大． 频率与概率的关系 【例1】我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米1000石，验收发现米内夹谷，随机取出一杯，数得杯里200粒米内夹谷13粒，估计这批米内夹谷约为（    ） A．55石 B．65石 C．75石 D．85石 【答案】B 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详解】由杯里200粒米内夹谷13粒，得米内夹谷的频率为， 所以1000石米内夹谷约（石）. 故选：B 【变式1】从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【答案】C 【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果. 【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C 【变式2】在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（    ） A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44% 【答案】B 【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案. 【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为，大约有150人回答第一个问题， 又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的， 在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”， 共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人， 因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为3.33%. 故选：B 随机数法的应用 1．要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是______.（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】 【分析】根据随机数表法可得结果. 【详解】由随机数表法可知，抽取的前颗种子的编号依次为：、、、， 故抽到的第颗种子的编号是. 故答案为：. 【易错分析】一是未按三位编号读取，误将两位数字当作编号，或起始位置找错；二是读取随机数时，未按规则剔除大于850的数，或重复编号未跳过；三是计数时漏数、多数，导致第4颗种子编号出错；四是未按向右读的方向规则，中途改变读取方向；五是对随机数表法的抽样步骤理解不清，未按编号范围筛选有效数字。 分层抽样中各层样本容量的计算 2．2025年9月3日，以“铭记历史，开创未来”为核心的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵在天安门广场隆重举行，已知从11000名甲校大学生，10000名乙校大学生和4000名丙校大学生中采用分层抽样方法抽取名大学生组成志愿者，若乙校大学生比丙校大学生多抽取60人，则_____. 【答案】 【分析】利用分层抽样比相等来求解即可. 【详解】设甲校大学生抽取的人数为，丙校大学生抽取的人数为，则乙校大学生抽取的人数为， 所以，解得，， 从而. 故答案为： 【易错分析】一是未按三位编号读取，误将两位数字当作编号，或起始位置找错；二是读取随机数时，未按规则剔除大于850的数，或重复编号未跳过；三是计数时漏数、多数，导致第4颗种子编号出错；四是未按向右读的方向规则，中途改变读取方向；五是对随机数表法的抽样步骤理解不清，未按编号范围筛选有效数字。 频率分布直方图中的相关计算问题 3．某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； (3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 【答案】(1) (2)天 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中，长方形的面积和为1，计算a的值； （2）根据频数等于频率和总数的乘积计算即可； （3）利用每组中间值和频率的乘积之和计算平均数． 【详解】（1）由可得：， 故； （2）低于的组为，，， 对应的频率和为：， 天数为：（天）； （3）各组中间值分别为：25，35，45，55，65， ． 【易错分析】一是频率分布直方图中，误将“频率/组距”直接当作频率计算，忽略组距为10；二是求a值时，未利用频率和为1的条件，或计算时漏加部分组的频率；三是计算天数时，误将频率直接当作天数，未乘以总天数40；四是求平均数时，未正确取各组中间值，或漏乘对应频率；五是对频率、频数、平均数的概念混淆，导致公式误用。 百分位数在具体数据或图中的应用 4．高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，104，110，115，120，125，130，134，140，145，这组数据的下四分位数为（ ） A．107 B．110 C．132 D．134 【答案】B 【详解】，位置为第3个数据，所以这组数据的下四分位数为. 【易错分析】一是对下四分位数的定义理解不清，误将其当作中位数或其他统计量；二是计算位置索引时，未按规则向上取整，直接取第2个数或取第2、3个数的平均数；三是混淆不同版本教材中四分位数的计算方法，误用线性插值公式；四是数据未按从小到大排序就直接计算，导致结果错误；五是对百分位数和四分位数的关系理解偏差，选错计算方法。 简单古典概型的计算 5．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球， 前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择， 因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下， （1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法; （2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法; （3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法; （4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法; 两个红球被连续取出的方法共有种； 所求概率为. 【易错分析】一是未理解“只能从一端取球”的规则，误将其当作普通排列问题；二是计算基本事件总数时，未按取球规则分步计数，导致总数错误；三是计算红球连续取出的事件数时，遗漏部分有效取球路径；四是混淆条件概率与普通概率的计算方法，误用公式；五是对取球顺序的限制理解不清，误判红球连续取出的情况。 事件独立性的判断 6．（多选）若 ，则关于事件 的关系正确的是（ ） A．事件 与 互斥 B．事件 与 不互斥 C．事件 与 不相互独立 D．事件 与 相互独立 【答案】BD 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义判断即可. 【详解】因为，所以事件与不互斥，A错误B正确； 因为，所以. 所以，又， 所以，所以事件与相互独立，C错误D正确. 故选：BD. 【易错分析】一是混淆互斥事件与相互独立事件的定义，误将互斥等同于独立；二是计算事件概率时，忽略对立事件概率公式，直接用题中P(A)、P(B)参与计算；三是判断独立时，未验证P(AB)=P(A)P(B)，仅凭主观臆断；四是对互斥事件“交集为空”的概念理解不清，误判P(AB)的取值；五是忽略多选题需同时判断互斥与独立两个维度，漏选或错选选项。 相互独立事件概率的计算 7．（多选）从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（   ） A．2个球都是白球的概率为 B．2个球都不是白球的概率为 C．2个球不都是白球的概率为 D．2个球恰好有一个球是白球的概率为 【答案】ACD 【分析】借助相互独立事件概率公式、对立事件概率公式逐项计算即可得. 【详解】设事件表示从甲口袋内摸出1个白球，事件表示从乙口袋内摸出1个白球； 对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：， 故D正确. 【易错分析】一是误将“不都是白球”理解为“都不是白球”，混淆对立事件的概念；二是计算独立事件概率时，忘记使用乘法公式，直接将概率相加；三是计算“恰好一个白球”时，漏算两种情况（甲白乙非白、甲非白乙白），导致结果错误；四是误将独立事件当作互斥事件处理，误用加法公式；五是多选题中，因概念混淆漏选或错选选项。 相互独立事件概率的综合应用 8．临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为________． 【答案】 【分析】先求出甲、乙打卡同一地点的概率，则根据事件的互补性即可求出甲、乙打卡不相同景点的概率． 【详解】设三个景点分别为、、， 则甲前往、、的概率分别为，，， 乙前往、、的概率分别为，，， 甲、乙都打卡景点的概率为， 甲、乙都打卡景点的概率为， 甲、乙都打卡景点的概率：， 所以甲、乙打卡相同景点的概率为，则甲、乙打卡不相同景点的概率为． 故答案为：． 【易错分析】一是未利用对立事件简化计算，直接枚举“不同景点”的所有情况，易漏算或重复；二是计算“打卡相同景点”的概率时，未按景点分别计算再相加，直接将两人的概率相乘；三是误将两人的打卡事件当作互斥事件，误用加法公式；四是忽略概率计算中“独立事件”的前提，混淆乘法公式的使用条件；五是计算时出现通分错误，导致最终结果偏差。 频率与概率的关系 9．某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 276 144 80 如果另有一人服用此药，估计其体重减轻的概率为__________; 【答案】/0.552 【分析】由表中数据，用频率估计概率求解. 【详解】由表中数据得：估计这个人体重减轻的概率约为 故答案为： 【易错分析】一是混淆频率与概率的概念，误将频率直接当作概率，忽略用频率估计概率的前提；二是计算时未用体重减轻人数除以总人数，而是直接用减轻人数除以不变或增加的人数；三是总人数计算错误，漏加或多加各组人数；四是未化简分数，导致结果形式不规范；五是误将“体重不变”或“体重增加”的概率当作体重减轻的概率，审题不清。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $