专题02 三角恒等变换（期末复习知识清单）数学苏教版高一必修第二册

专题02 三角恒等变换 知识点1： 两角和与差的三角函数公式 1. 两角和与差的余弦公式 1. 公式：cos (α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ，cos (α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ 1. 考查形式：直接代入求值、公式逆用、简单化简 1. 要点：符号规律：和角取减，差角取加 2. 两角和与差的正弦公式 1. 公式：sin (α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ，sin (α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ 1. 考查形式：给角求值、给值求值、角的拆分变形 1. 要点：前后项符号与括号内运算符号一致 3. 两角和与差的正切公式 1. 公式：tan (α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)，tan (α-β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanαtanβ) 1. 限制条件：α、β、α±β ≠ π/2 + kπ（k 为整数）（定义域限制） 1. 考查形式：切函数化简、分式型三角式求值、公式变形应用 1. 拓展变形（常考）： tanα + tanβ = tan (α+β)(1 - tanαtanβ)，tanα - tanβ = tan (α-β)(1 + tanαtanβ) 知识点2： 二倍角公式（高频重点，公式变形极多） 由两角和公式令 α=β 推导得到 1. 正弦二倍角 1. 公式：sin2α = 2sinαcosα 1. 拓展：sinα = 2sin (α/2) cos (α/2)（降角升次） 1. 考法：化简、约分、与平方公式结合 2. 余弦二倍角（三种形式，必须全部掌握） 1. 基础形式：cos2α = cos²α - sin²α 1. 变形一：_______________ 1. 变形二：cos2α = 1 - 2sin²α 1. 考法：根据式子含 sin²α 或 cos²α 灵活选用形式 3. 正切二倍角 1. 公式：tan2α = 2tanα/(1 - tan²α) 1. 限制条件：α ≠ π/4 + kπ/2 且 α ≠ π/2 + kπ（k 为整数） 1. 考法：分式化简、正切递推计算 知识点3：二倍角衍生公式（升降幂公式，解题常用工具） 1. 降幂公式（高次三角函数转一次式，必考） sin²α = (1 - cos2α)/2 cos²α = (1 + cos2α)/2 使用场景：含有 sin²α、cos²α 的式子化简、求__________、求最值 2. 升幂公式（常数 1 变形，凑二倍角） 1 + cos2α = 2cos²α 1 - cos2α = 2sin²α 使用场景：根式化简、因式分解、常数代换 知识点4： 辅助角公式（合一变形，综合题核心考点） 1. 标准公式： a sinx + b cosx = √(a²+b²) sin (x + φ)其中 tanφ = b/a，φ 为辅助角 1. 等价形式：a sinx + b cosx = √(a²+b²) cos (x - θ) 1. 核心考查方向： 三角函数式统一为单一三角函数，求函数值域、最值、单调区间、周期、对称轴 要点：√(a²+b²) 为振幅，决定最值大小 知识点5： 角的变换（优先使用的解题技巧） 1. 常见角的拆分（整体代换思想） α = (α+β) - β，β = (α+β) - α，2α = (α+β) + (α-β)，(α+β)/2 = (α - β/2) - (α/2 - β) 1. 特殊角配凑：利用 π/6、π/4、π/3、π/2 等特殊角转化 1. 考法：给值求值题型主流解法，避免单独求角 知识点6： 函数名的变换 1. 切化弦：tanα = sinα/cosα 适用：式子同时含正弦、余弦、正切，分式、根式化简 1. 弦化切：分子分母同__________ cosα（cosα≠0） 适用：已知 tanα 的值，求齐次三角式的值 知识点7： 次数的变换 1. 降次：高次 sinⁿα、cosⁿα 利用降幂公式转为一次式 1. 升次：一次式利用升幂公式凑平方形式，用于根式化简、因式分解 知识点8：结构形式的变换 1. 常数代换：1 = sin²α + cos²α、1 = tan (π/4) 1. 代数变形：通分、__________、配方、约分 1. 适用：复杂分式、多项式三角恒等式证明、化简 知识点9： 给角求值题型 1. 题型特征：给出具体角（含特殊角、非特殊角），直接计算三角函数值 1. 解题要点：套用__________公式，优先拆分特殊角，逆向使用公式简化计算 1. 常见考法：多个三角函数相加、相乘的混合运算 知识点10： 给值求值题型（高频大题 / 小题） 1. 题型特征：已知某角的三角函数值，求另一相关角的三角函数值 1. 解题步骤： ① 分析已知角与所求角的关系，进行角的拆分； ② 结合角的范围，判断三角函数符号； ③ 代入公式计算。 1. 难点：角的范围判断、整体代换 知识点11： 给值求角题型（易失分题型） 1. 题型特征：已知三角函数关系式或函数值，求解角的大小 1. 解题步骤： ① 选取合适的三角函数（优先选择在对应区间单调的函数）； ② 求出该三角函数值； ③ 结合题目给出的角的取值范围，确定__________。 1. 要点：必须标注角的范围，否则会出现多解 知识点12： 三角式化简题型 1. 题型分类：整式化简、分式化简、根式化简 1. 通用流程：切化弦→变角→升降幂→合并整理 1. 要求：最终结果形式最简，尽量化为单一三角函数或常数 知识点13： 三角恒等式证明题型 证明思路： 从左向右推导、从右向左推导；左右两边同时化简，化为同一式子；作差法（左 - 右 = 0）、作商法（左 / 右 = 1，分母不为 0）。 核心：统一角、统一函数名、统一次数 知识点14： 三角函数综合性质题（解答题压轴类） 1. 题型特征：结合恒等变换，研究三角函数性质 1. 考查内容： 求函数最小正周期；求单调递增 / 递减区间；求定义域、值域、最值；判断奇偶性、求对称轴 / 对称中心。 解题核心：先用辅助角公式化为 y = A sin (ωx + φ) + k 标准形式 知识点15： 跨模块综合题型 1. 三角恒等变换 + 平面向量：向量数量积结合三角公式化简求值 1. 三角恒等变换 + 解三角形：正余弦定理与和差、二倍角公式联用 1. 三角恒等变换 + 不等式：求三角式取值范围、最值问题 知识点16：易混易错考点（考试高频失分点） ①公式定义域遗漏 1. 易错点：使用正切和差、二倍角公式时，忽略角不能等于 π/2 + kπ 1. 应对：计算前先标注角的取值范围 ②三角函数符号判断错误 1. 易错点：开方、由一个函数值求其余函数值时，未根据角所在象限判断正负 1. 应对：看到角的范围，先确定各三角函数符号 ③余弦二倍角公式混用 1. 易错点：三种余弦二倍角形式乱用，化简绕弯路 1. 应对：式子含 sin²α 选 1 - 2sin²α；含 cos²α 选 2cos²α - 1 ④ 给值求角出现多解 1. 易错点：只计算函数值，忽略题干限定的角范围，得出多个错误答案 1. 应对：每一步结合范围缩小角的区间 ⑤辅助角公式辅助角 φ 判断失误 1. 易错点：记错 tanφ = b/a，混淆 a、b 位置 1. 应对：牢记原式 a sinx + b cosx，区分正弦、余弦系数 ⑥升降幂公式使用混乱 1. 易错点：高次式子不降幂，导致式子越来越复杂 1. 应对：遇平方项优先使用降幂公式 知识点17： 拓展补充考点（能力提升，选填压轴适用） ①半角公式（教材拓展，常作为隐含考点） sin (α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] cos (α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] tan (α/2) = sinα/(1 + cosα) = (1 - cosα)/sinα 要点：正负由 __________ 所在象限决定 ② 三角式子范围与最值进阶考法 1. 闭区间上三角函数最值：结合单调性、端点值判断 1. 含参数三角式：恒成立问题、存在性问题，分离参数结合值域求解 两角和与差的正（余）弦公式 【例1】若，，且，． (1)求和； (2)求及． 【变式1】（1）已知化简求值： ； （2）已知且求的值. 【变式2】已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 两角和与差的正切公式 【例1】（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，，则________. 给角求值 【例1】的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】计算： (1)求值； (2)已知，，求的值 【变式2】（1）已知，，其中，.求角的值. （2）化简：. 给值求值 【例1】已知，则的值为______. 【变式1】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2】（1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． 三角恒等式的证明 【例1】已知，求证：． 【变式1】已知，且，证明： (1)； (2). 【变式2】求证：； 辅助角公式的应用 【例1】（多选）下列结论中错误的是（     ） A．若，则的最大值是 B．函数的最小值是4 C．函数的值域是 D．若，，且，则的最大值是 【变式1】将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，是偶函数，则θ的值为（   ） A．0 B． C． D． 两角和与差的正（余）弦公式 1．若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【易错分析】一是诱导公式应用失误，容易忽略sin70度等于cos20度，没法统一三角函数名，让后续化简受阻。二是对切化弦的转化不熟练，没把tan20度转化成sin20度除以cos20度，运算形式不统一。三是三角恒等变换公式用错，通分后不会用两角差公式化简分子，或是公式符号出错。四是整理含λ的表达式时，容易计算失误，导致结果符号或数值出错。 两角和与差的正切公式 2．（    ） A．0 B． C．2 D． 【易错分析】一是化简tan600度时，容易在角度转化过程中搞错符号，误算成负的根号三； 二是处理含tan75度的分式时，不会联想到tan45度等于1，也不熟悉正切和差公式的变形，导致化简受阻； 三是分式提取负号后，容易忽略整体符号变化，误将负的tan120度算错，最终结果出错。 给角求值 3．已知函数. (1)若为第二象限角，且，求的值； (2)若，且，求的值. 【易错分析】化简函数时，容易记错诱导公式，导致化简结果出错；已知正切值求余弦时，忽略角所在象限，符号判断失误；第二问中，计算二倍角时公式用错，或是对角度范围判断不清，求正弦值时出错；拆分角度计算三角函数时，容易混淆角度关系，出现计算偏差。 给值求值 4．已知，且，则______，______． 【易错分析】一是忽略已知角的范围，判断三角函数正负时出错； 二是二倍角公式用错，比如余弦二倍角的变形记错； 三是拆分角度时，对目标角和已知角的关系判断失误，导致后续计算出错； 四是计算过程中符号处理不当，影响最终结果的正确性。 三角恒等式的证明 5．（1）证明：若，求证：； （2）已知，均为锐角，且满足，，求值． 【易错分析】一是忽略已知角的范围，判断三角函数正负时出错； 二是二倍角公式用错，比如余弦二倍角的变形记错； 三是拆分角度时，对目标角和已知角的关系判断失误，导致后续计算出错； 四是计算过程中符号处理不当，影响最终结果的正确性。 辅助角公式的应用 6．已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错分析】1. 化简函数时，辅助角公式用错，导致后续零点分析出错； 2. 换元后忽略新变量的取值范围，没结合原区间[0,π)确定新变量区间； 3. 对三角函数零点个数判断失误，没结合图像分析零点个数与参数的关系； 4. 端点取值判断错误，分不清区间是开还是闭，导致最终范围写错。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角恒等变换 知识点1： 两角和与差的三角函数公式 1. 两角和与差的余弦公式 1. 公式：cos (α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ，cos (α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ 1. 考查形式：直接代入求值、公式逆用、简单化简 1. 要点：符号规律：和角取减，差角取加 2. 两角和与差的正弦公式 1. 公式：sin (α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ，sin (α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ 1. 考查形式：给角求值、给值求值、角的拆分变形 1. 要点：前后项符号与括号内运算符号一致 3. 两角和与差的正切公式 1. 公式：tan (α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)，tan (α-β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanαtanβ) 1. 限制条件：α、β、α±β ≠ π/2 + kπ（k 为整数）（定义域限制） 1. 考查形式：切函数化简、分式型三角式求值、公式变形应用 1. 拓展变形（常考）： tanα + tanβ = tan (α+β)(1 - tanαtanβ)，tanα - tanβ = tan (α-β)(1 + tanαtanβ) 知识点2： 二倍角公式（高频重点，公式变形极多） 由两角和公式令 α=β 推导得到 1. 正弦二倍角 1. 公式：sin2α = 2sinαcosα 1. 拓展：sinα = 2sin (α/2) cos (α/2)（降角升次） 1. 考法：化简、约分、与平方公式结合 2. 余弦二倍角（三种形式，必须全部掌握） 1. 基础形式：cos2α = cos²α - sin²α 1. 变形一：cos2α = 2cos²α - 1 1. 变形二：cos2α = 1 - 2sin²α 1. 考法：根据式子含 sin²α 或 cos²α 灵活选用形式 3. 正切二倍角 1. 公式：tan2α = 2tanα/(1 - tan²α) 1. 限制条件：α ≠ π/4 + kπ/2 且 α ≠ π/2 + kπ（k 为整数） 1. 考法：分式化简、正切递推计算 知识点3：二倍角衍生公式（升降幂公式，解题常用工具） 1. 降幂公式（高次三角函数转一次式，必考） sin²α = (1 - cos2α)/2 cos²α = (1 + cos2α)/2 使用场景：含有 sin²α、cos²α 的式子化简、求周期、求最值 2. 升幂公式（常数 1 变形，凑二倍角） 1 + cos2α = 2cos²α 1 - cos2α = 2sin²α 使用场景：根式化简、因式分解、常数代换 知识点4： 辅助角公式（合一变形，综合题核心考点） 1. 标准公式： a sinx + b cosx = √(a²+b²) sin (x + φ)其中 tanφ = b/a，φ 为辅助角 1. 等价形式：a sinx + b cosx = √(a²+b²) cos (x - θ) 1. 核心考查方向： 三角函数式统一为单一三角函数，求函数值域、最值、单调区间、周期、对称轴 要点：√(a²+b²) 为振幅，决定最值大小 知识点5： 角的变换（优先使用的解题技巧） 1. 常见角的拆分（整体代换思想） α = (α+β) - β，β = (α+β) - α，2α = (α+β) + (α-β)，(α+β)/2 = (α - β/2) - (α/2 - β) 1. 特殊角配凑：利用 π/6、π/4、π/3、π/2 等特殊角转化 1. 考法：给值求值题型主流解法，避免单独求角 知识点6： 函数名的变换 1. 切化弦：tanα = sinα/cosα 适用：式子同时含正弦、余弦、正切，分式、根式化简 1. 弦化切：分子分母同除以 cosα（cosα≠0） 适用：已知 tanα 的值，求齐次三角式的值 知识点7： 次数的变换 1. 降次：高次 sinⁿα、cosⁿα 利用降幂公式转为一次式 1. 升次：一次式利用升幂公式凑平方形式，用于根式化简、因式分解 知识点8：结构形式的变换 1. 常数代换：1 = sin²α + cos²α、1 = tan (π/4) 1. 代数变形：通分、因式分解、配方、约分 1. 适用：复杂分式、多项式三角恒等式证明、化简 知识点9： 给角求值题型 1. 题型特征：给出具体角（含特殊角、非特殊角），直接计算三角函数值 1. 解题要点：套用和差、二倍角公式，优先拆分特殊角，逆向使用公式简化计算 1. 常见考法：多个三角函数相加、相乘的混合运算 知识点10： 给值求值题型（高频大题 / 小题） 1. 题型特征：已知某角的三角函数值，求另一相关角的三角函数值 1. 解题步骤： ① 分析已知角与所求角的关系，进行角的拆分； ② 结合角的范围，判断三角函数符号； ③ 代入公式计算。 1. 难点：角的范围判断、整体代换 知识点11： 给值求角题型（易失分题型） 1. 题型特征：已知三角函数关系式或函数值，求解角的大小 1. 解题步骤： ① 选取合适的三角函数（优先选择在对应区间单调的函数）； ② 求出该三角函数值； ③ 结合题目给出的角的取值范围，确定唯一角。 1. 要点：必须标注角的范围，否则会出现多解 知识点12： 三角式化简题型 1. 题型分类：整式化简、分式化简、根式化简 1. 通用流程：切化弦→变角→升降幂→合并整理 1. 要求：最终结果形式最简，尽量化为单一三角函数或常数 知识点13： 三角恒等式证明题型 证明思路： 从左向右推导、从右向左推导；左右两边同时化简，化为同一式子；作差法（左 - 右 = 0）、作商法（左 / 右 = 1，分母不为 0）。 核心：统一角、统一函数名、统一次数 知识点14： 三角函数综合性质题（解答题压轴类） 1. 题型特征：结合恒等变换，研究三角函数性质 1. 考查内容： 求函数最小正周期；求单调递增 / 递减区间；求定义域、值域、最值；判断奇偶性、求对称轴 / 对称中心。 解题核心：先用辅助角公式化为 y = A sin (ωx + φ) + k 标准形式 知识点15： 跨模块综合题型 1. 三角恒等变换 + 平面向量：向量数量积结合三角公式化简求值 1. 三角恒等变换 + 解三角形：正余弦定理与和差、二倍角公式联用 1. 三角恒等变换 + 不等式：求三角式取值范围、最值问题 知识点16：易混易错考点（考试高频失分点） ①公式定义域遗漏 1. 易错点：使用正切和差、二倍角公式时，忽略角不能等于 π/2 + kπ 1. 应对：计算前先标注角的取值范围 ②三角函数符号判断错误 1. 易错点：开方、由一个函数值求其余函数值时，未根据角所在象限判断正负 1. 应对：看到角的范围，先确定各三角函数符号 ③余弦二倍角公式混用 1. 易错点：三种余弦二倍角形式乱用，化简绕弯路 1. 应对：式子含 sin²α 选 1 - 2sin²α；含 cos²α 选 2cos²α - 1 ④ 给值求角出现多解 1. 易错点：只计算函数值，忽略题干限定的角范围，得出多个错误答案 1. 应对：每一步结合范围缩小角的区间 ⑤辅助角公式辅助角 φ 判断失误 1. 易错点：记错 tanφ = b/a，混淆 a、b 位置 1. 应对：牢记原式 a sinx + b cosx，区分正弦、余弦系数 ⑥升降幂公式使用混乱 1. 易错点：高次式子不降幂，导致式子越来越复杂 1. 应对：遇平方项优先使用降幂公式 知识点17： 拓展补充考点（能力提升，选填压轴适用） ①半角公式（教材拓展，常作为隐含考点） sin (α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] cos (α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] tan (α/2) = sinα/(1 + cosα) = (1 - cosα)/sinα 要点：正负由 α/2 所在象限决定 ② 三角式子范围与最值进阶考法 1. 闭区间上三角函数最值：结合单调性、端点值判断 1. 含参数三角式：恒成立问题、存在性问题，分离参数结合值域求解 两角和与差的正（余）弦公式 【例1】若，，且，． (1)求和； (2)求及． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系求解； （2）根据两角和的余弦公式进行计算，根据的值和的范围确定的值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，，所以， 所以； （2） ， 又，所以. 【变式1】（1）已知化简求值： ； （2）已知且求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据诱导公式，将所求进行化简，再分子分母同时除以，计算求值，即可得答案. （2）根据条件，求出的范围，根据同角三角函数的关系，可得，的值，根据两角差的余弦公式，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由诱导公式得. （2）因为，所以， 因为，， 所以，， 则 . 【变式2】已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数关系求出，利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 又因为， 所以，， 所以. 两角和与差的正切公式 【例1】（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据正切和角公式，再化简即可求解． 【详解】由， ， ． 故选：A． 【变式1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切的差角公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 【变式2】已知，，，，则________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再结合角的范围及同角公式求解. 【详解】由及，得， 由，得，而，则， 由，，得. 故答案为： 给角求值 【例1】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 【变式1】计算： (1)求值； (2)已知，，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和的余弦、正弦、诱导公式化简计算可得出所求代数式的值； （2）利用诱导公式、二倍角的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得的值，再利用诱导公式可求得的值. 【详解】（1）解：原式 . （2）解：原式， 即， 因为，则，所以，，则， 因此，. 【变式2】（1）已知，，其中，.求角的值. （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求出的余弦和的正弦，再利用两角差的正弦求出的值，从而可求的值； （2）利用同角三角函数基本关系式可得，再利用辅助角公式和两角差的正弦可求三角函数的值. 【详解】（1）因为，且，，可得， 所以， 则. 因为，，可得， 又因为，， 所以，，可得， 所以，所以. （2）原式 . 给值求值 【例1】已知，则的值为______. 【答案】 【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】由可得， 故. 【变式1】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，且求解即可 （2）由二倍角公式以及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，且， ，，所以. （2）因为，， 所以. 【变式2】（1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用正弦余弦齐次式求解即可； （2）利用平方关系以及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意，解得. 所以 ； （2）因为，，则. 因为，故，则， 所以 . 三角恒等式的证明 【例1】已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用商数关系，综合运用和差角正余弦公式、平方关系整理化简，即可证. 【详解】由题设，， 从而，得， 则， 得， 则， 进而得，即， 所以． 【变式1】已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 【变式2】求证：； 【答案】证明见解析 【详解】因为，， 将两式的左右两边分别相加，得， 故. 辅助角公式的应用 【例1】（多选）下列结论中错误的是（     ） A．若，则的最大值是 B．函数的最小值是4 C．函数的值域是 D．若，，且，则的最大值是 【答案】BCD 【分析】A选项，三角换元，结合辅助角公式进行求解；B选项，由基本不等式进行求解；C选项，举出反例；D选项，先得到，，令，换元后结合基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】A选项，，设，， 则， 其中，故当，即时，取得最大值， 故的最大值为，A正确； B选项，显然， 当且仅当，即时，等号成立， 但，故等号取不到，最小值不是4，B错误； C选项，当时，，此时，C错误； D选项，，故， ，，故，解得， 同理可得， 令，则， 由，得， 又，故， 化简得，故， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，D错误. 【变式1】将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ . 令，解得. 对选项A：当时，，符合对称轴方程，故A正确. 对选项B：令，解得，故B错误. 对选项C：令，解得，故C错误. 对选项D：令，解得，故D错误. 【变式2】已知函数，是偶函数，则θ的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 由函数为偶函数，得，而， 则，所以的值为. 两角和与差的正（余）弦公式 1．若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为 所以可化为， 所以 【易错分析】一是诱导公式应用失误，容易忽略sin70度等于cos20度，没法统一三角函数名，让后续化简受阻。二是对切化弦的转化不熟练，没把tan20度转化成sin20度除以cos20度，运算形式不统一。三是三角恒等变换公式用错，通分后不会用两角差公式化简分子，或是公式符号出错。四是整理含λ的表达式时，容易计算失误，导致结果符号或数值出错。 两角和与差的正切公式 2．（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 . 【易错分析】一是化简tan600度时，容易在角度转化过程中搞错符号，误算成负的根号三； 二是处理含tan75度的分式时，不会联想到tan45度等于1，也不熟悉正切和差公式的变形，导致化简受阻； 三是分式提取负号后，容易忽略整体符号变化，误将负的tan120度算错，最终结果出错。 给角求值 3．已知函数. (1)若为第二象限角，且，求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合诱导公式化简，再利用同角的关系求值； (2)使用换元法 化简原式后计算即可. 【详解】（1）化简得， 因为，所以  ①， 又因为  ②， 联立①②式解得：， 因为为第二象限角，故， 所以，的值为. （2）由（1）可知，因为，所以， 设，则，，， 由，得， 由.得， 所以 . 【易错分析】化简函数时，容易记错诱导公式，导致化简结果出错；已知正切值求余弦时，忽略角所在象限，符号判断失误；第二问中，计算二倍角时公式用错，或是对角度范围判断不清，求正弦值时出错；拆分角度计算三角函数时，容易混淆角度关系，出现计算偏差。 给值求值 4．已知，且，则______，______． 【答案】 / 【分析】根据题意，结合求得，进而结合二倍角公式求得，再结合，根据正弦差角公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以. ． 因为， 所以 ． 【易错分析】一是忽略已知角的范围，判断三角函数正负时出错； 二是二倍角公式用错，比如余弦二倍角的变形记错； 三是拆分角度时，对目标角和已知角的关系判断失误，导致后续计算出错； 四是计算过程中符号处理不当，影响最终结果的正确性。 三角恒等式的证明 5．（1）证明：若，求证：； （2）已知，均为锐角，且满足，，求值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）由条件，结合两角差正切公式可得，再由同角三角函数关系和二倍角公式化简得结果； （2）由条件结合二倍角余弦公式，二倍角正弦公式，两角和的余弦公式化简可得，结合余弦函数性质可求． 【详解】∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ， ， ， ， 、式两式相除得：， ，即， 又，均为锐角， ∴ . 【易错分析】一是忽略已知角的范围，判断三角函数正负时出错； 二是二倍角公式用错，比如余弦二倍角的变形记错； 三是拆分角度时，对目标角和已知角的关系判断失误，导致后续计算出错； 四是计算过程中符号处理不当，影响最终结果的正确性。 辅助角公式的应用 6．已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用辅助角公式得到在上有三个解，令，得到，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】由题意得在上有三个零点， 即方程在上有三个解， 令，， 由，得或， 令和，得到，，，， 因为在上有三个解， 所以，解得． 【易错分析】1. 化简函数时，辅助角公式用错，导致后续零点分析出错； 2. 换元后忽略新变量的取值范围，没结合原区间[0,π)确定新变量区间； 3. 对三角函数零点个数判断失误，没结合图像分析零点个数与参数的关系； 4. 端点取值判断错误，分不清区间是开还是闭，导致最终范围写错。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $