微专题一 因式分解的应用（9大题型）（期末复习）2025-2026学年数学苏科版八年级下册

期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 微专题一 因式分解的应用 题型一：因式分解在有理数简算中的应用 【典例精讲】（2026春•鼓楼区校级期中）把下列各式因式分解或简便计算： 因式分解： （1）2a2﹣12a+18； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）； 简便计算： （3）50.82﹣49.22； （4）99×99+199． 【变式训练1】（2026春•徐州期中）利用因式分解简便计算： （1）512﹣492； （2）192﹣38×119+1192． 【变式训练2】（2025秋•汨罗市期末）简便运算： （1）10012﹣9992； （2）8002﹣1600×798+7982． 题型二：整除问题 【典例精讲】（2026•沁水县二模）阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数 定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和1+8＝9，18＝2×9，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（1≤a≤9，1≤b≤9且a，b为整数）由定义可得：10a+b＝k（a+b）， 我们可以利用这个式子解决相关问题… 任务： （1）45是“k阶和倍数”，则k＝　　 ； （2）若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求k+m的值； （3）若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证p2﹣p一定是42的倍数． 【变式训练1】（2026春•宿豫区期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设n、n+1、n+2都是自然数， ∵n（n+1）+（n+1）（n+2）…① ＝（n+1）（n+n+2） ＝（n+1）（2n+2） ＝2（n+1）2…② 且2（n+1）2能被2整除， ∴n（n+1）+（n+1）（n+2）能被2整除． ∴三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： （1）在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于　　 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； （2）已知m＞0，且m是奇数．求证：m2﹣m+2能被2整除． 【变式训练2】（2026春•南海区期中）已知：整式A＝2t+3，B＝2t﹣3，t为任意有理数． （1）A•B+10的值可能为负数吗？请说明理由； （2）请通过计算说明：当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除． 【变式训练3】（2026•钱塘区一模）代数推理是发展逻辑思维和问题解决能力的重要路径，探究数的整除规律就是一个典型的代数推理过程．请阅读材料并解决问题： 因为7×11×13＝1001，所以把正五位数写成的形式． 即． 因为是11的倍数，所以只要能被11整除，则能被11整除． 例如把79134拆成79和134，因为134﹣79＝55＝5×11，所以79134能被11整除． （1）请分别判断20266和91135是否能被11整除，并说明理由． （2）试说明正六位数，只要能被13整除，则能被13整除． 题型三：判断三角形形状 【典例精讲】（2026•临平区二模）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝ab+bc+ca． （1）证明：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0； （2）根据（1）的结果，判断△ABC的形状，并说明理由． 【变式训练1】（2026春•未央区校级期中）阅读材料，要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到：am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n），这时a（m+n）+b（m+n）中又有公因式，于是可以提出（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： （1）尝试填空：2x+xy﹣18﹣9y＝　　 ； （2）解决问题：因式分解ac+ab﹣a2﹣bc； （3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【变式训练2】（2026春•温江区校级期中）（1）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y≥2，求m的取值范围； （2）已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2﹣c2+ab﹣bc＝0，请判断△ABC的形状并说明理由． 题型四：因式分解应用之分组分解法 【典例精讲】（2026春•高州市期中）先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）． 这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可提公因式（m+n）， 从而得到（m+n）（a+b）， 因此有am+an+bm+bn ＝a（m+n）+b（m+n） ＝a（m+n）+b（m+n） ＝（m+n）（a+b）． 这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法因式分解： （1）ab﹣ac+bc﹣b2＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（请你完成分解因式下面的过程）； （2）m2﹣mn+mx﹣nx； （3）x2y2﹣2x2y﹣4y+8． 【变式训练1】（2026春•福田区校级期中）初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． ①分组分解法： 例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）． ②拆项法： 例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1； ②（拆项法）x2﹣6x﹣16； （2）因式分解的综合运用： ①已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，则△ABC的周长为　　 ； ②已知：a、b、c为△ABC的三条边，满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，试确定△ABC的形状，并说明理由． 【变式训练2】（2026春•邛崃市期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2），这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． （1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y； （2）已知a，b，c分别为△ABC的三条边，求证：b2+c2﹣a2﹣2bc＜0． 【变式训练3】（2026春•温江区校级期中）我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：x2﹣2xy+y2﹣25＝（x2﹣2xy+y2）﹣25＝（x﹣y）2﹣52＝（x﹣y﹣5）（x﹣y+5）， ②拆项法： 例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式； ①用分组分解法：x2+2x﹣y2+1； ②用拆项法：x2﹣4x+3； （2）已知：a，b，c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0，求△ABC的周长． 题型五：因式分解的应用之竖式计算 【典例精讲】（2026春•和平区校级期中）【类比学习】 小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法： 即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 【初步应用】（1）请你完成下面的竖式计算． （2）小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+△），（其中口、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式： 得出□＝　　 ，△＝　　 ． 【深入研究】 小明用这种方法对多项式4x3+8x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：4x3+8x2﹣x﹣2＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式4x3+8x2﹣x﹣2因式分解． 【变式训练1】（2026•廉江市校级模拟）【类比学习】 小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法： 即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 【初步应用】 （1）请你完成下面的竖式计算． （2）小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+△），（其中口、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式： 得出□＝　　 ，△＝　　 ． 【深入研究】 小明用这种方法对多项式x3+2x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：x3+2x2﹣x﹣2＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解． 题型六：因式分解的应用之最值问题 【典例精讲】（2026春•丰县期中）【方法学习】配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： （1）分解因式x2+6x﹣7：原式＝（x2+6x+9）﹣16＝（x+3）2﹣16＝　　 ； （2）求代数式x2﹣8x+10的最小值：x2﹣8x+10＝x2﹣8x+16﹣6＝（x﹣4）2﹣6， ∵（x﹣4）2≥0，∴当x＝4即（x﹣4）2＝0时，x2﹣8x+10有最小值，最小值是　　 ； 【拓展应用】（3）a，b，c分别为△ABC的三边长，当满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0时，求c的取值范围； （4）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝x，BD＝y，若x+y＝12，则四边形ABCD面积的最大值为　　 ． 【变式训练1】（2026春•邳州市期中）阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法a2±2ab+b2＝（a±b）2后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项2x2﹣3x﹣9因式分解： （变形依据　　 ） ＝（2x+3）（x﹣3） ②求多项式2x2﹣3x﹣9的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，2x2﹣3x﹣9的值最小，且最小值为． 【问题】（1）①中第四步变形依据是　　 ； （2）把多项式3x2+5x﹣2分解因式并求出最小值； （3）已知x﹣2y＝3，求代数式﹣x2+2y+3x﹣2的最大值． 【变式训练2】（2026春•郑州校级期中）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值． 【变式训练3】（2026春•沈阳期中）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 再如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣1﹣3）＝2[（x+1）2﹣4]＝2（x+1）2﹣8； ∵（x+1）2≥0， ∴原式≥﹣8， 即当x＝﹣1时，原式有最小值﹣8． 学以致用： （1）用配方法分解因式：x2﹣4x﹣5；（其他方法不得分） （2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣8x+5有最大值？并求出这个最大值．（用配方法） （3）已知﹣x2+3x+y+5＝0，请直接写出x+y的最小值． 【变式训练4】（2026春•双流区校级期中）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 例如：求代数式x2+4x﹣6的最小值 x2+4x﹣6＝x2+4x+4﹣10＝（x+2）2﹣10．可知当x＝﹣2时，x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣10． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣6m﹣16； （2）已知，（m为任意实数），求Q﹣P的最小值． 题型七：因式分解应用之几何面积问题 【典例精讲】（2026春•昆都仑区校级期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． （1）观察图1，它所对应的公式为　　 ；（填写对应公式的序号） ①（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； ②（m+n）2＝m2+2mn+n2； ③（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2． （2）如图2，长，宽分别为a，b的长方形，它的周长为16，面积为6，求（a+1）（b+1）的值； （3）将正方形ABCD，正方形EFGH按如图3的方式摆放（点C与点H重合，点G在CD上），若两个正方形的面积之差为24，求图中阴影部分的面积． 【变式训练1】（2026春•天府新区校级期中）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，可得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分面积的值为　　 ； （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值； （3）观察图3，可得到乘法公式：（a+2b+c）2＝ ； （4）根据以上知识，解决问题：已知a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝3，求代数式a2+4b2+c2的值． 【变式训练2】（2026春•鲁山县月考）在学习整式的乘法公式时，我们发现完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解： ∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，请解决下列问题： （1）①若mn＝4，m2+n2＝5，则（m+n）2＝　　 ； ②若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝　　 ； ③若3a+2b＝6，ab＝1，则（3a﹣2b）2＝　　 ； （2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积． 【变式训练3】（2026春•太原校级期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式a2+2b2+3ab可以因式分解得　 　 ； （2）现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为3a+4b，宽为2a+b的长方形，试求出x+y+z的值＝　 　 ； 【知识迁移】 （3）根据图2：若a2+b2+c2＝60，ab+bc+ac＝42，则a+b+c的值＝　 　． 【变式训练4】（2026春•皇姑区期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积可表示为：（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【结论探究】 （1）观察与发现：图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形．用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于（a﹣b）2，（a+b）2，ab，的等式是　　 　． 【类比迁移】 （2）运用与探究：利用（1）的结论，解决下列问题：若2x+3y＝7，xy＝2，则（2x﹣3y）2＝　 　 ． 【深入探究】 （3）小明在写作业时遇到了这样的一个数学题目： 若x满足（10﹣x）（x﹣6）＝3，求（10﹣x）2+（x﹣6）2的值”，小明的解题过程如下： 令10﹣x＝a，x﹣6＝b，则a+b＝（10﹣x）+（x﹣6）＝4， 因为ab＝（10﹣x）（x﹣6）＝3． 所以（10﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝10． 请你类比上述方法，解决以下问题： 若x满足（2026﹣x）（2025﹣x）＝30，求（2026﹣x）2+（2025﹣x）2的值； 【实践应用】 （4）如图5，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接BD、BG、BF．若BE＝15，阴影部分面积为48，直接写出△BCG的面积． 【变式训练5】（2026春•宝安区校级期中）阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：a2+a＝a（a+1），a2+2ab+b2＝（a+b）2，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式a2+2ab+b2＝（a+b）2，即多项式a2+2ab+b2因式分解的结果为（a+b）2． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图3拼图，多项式a2+3ab+2b2因式分解的结果是　 　 ； 【自主探索】 （2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为2a2+5ab+3b2的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式2a2+5ab+3b2因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）①某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为b的均匀泥路（如图5），你能求出剩余草皮面积吗？ ②公园为了更美观，打算购买一些新的草皮与剩余的草皮重新切割，设计成一个全新的正方形草坪，现有A、B、C三种型号的草皮可以购买（如图1），在不浪费草皮的情况下，请设计一种购买方案，并求出此时的正方形边长（边长必须为整式）． 题型八：因式分解的应用之新定义问题 【典例精讲】（2026春•泰兴市期中）在学习平方差公式时，小明发现：两个连续偶数的平方差有一些有趣的结论．他定义：如果一个正整数N可以写成（2k+2）2﹣（2k）2的形式（其中k为正整数），则称N为“双偶平方差数”，k称为N的“序数”．例如，当k＝1时，42﹣22＝12，所以12是双偶平方差数，序数为1． （1）下列各数是双偶平方差数的是　 　 ；（填序号） ①20；②27；③36． （2）小明猜想：任意一个双偶平方差数都能被4整除．请帮助小明证明他的猜想； （3）设两个双偶平方差数P和Q的序数分别为a和b（a、b为正整数）． ①若P+Q＝72，a2+b2＝34，求a和b的值； ②若P•Q可表示为64（m﹣n）+16的形式，其中m＝a2+b2，n＝ab．已知a﹣b＝2，求P和Q的值． 【变式训练1】（2026春•海州区期中）观察下列等式，回答问题： ①32﹣12＝8；②52﹣32＝16；③72﹣52＝24；④92﹣72＝32；… 定义：如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”．如32﹣12＝8，则8就为“幸福数”，因此8，16，24都是“幸福数”． （1）判断48是否为“幸福数”，说明理由； （2）根据“幸福数”的定义，设两个连续正奇数为2n﹣1和2n+1，其中n是正整数，那么“幸福数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； （3）求不超过150的所有“幸福数”的和． 【变式训练2】（2026春•锡山区期中）若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b，定义：若数K＝a2+b2﹣ab，则称数K为“尼尔数”，例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22+42﹣2×4＝12，若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K＝132+112﹣13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”． （1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3； （2）已知两个“尼尔数”的差是315，求这两个“尼尔数”． 【变式训练3】（2026•厦门校级模拟）定义：若二次根式可以表示成的形式（其中a，b，m，n都是正整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． （1）判断：是否是的完整平方根，并说明理由； （2）已知完整根式的完整平方根是，求x的值； （3）若的完整平方根是，证明：a2﹣4b是完全平方数． 【分析】（1）计算，根据完全平方公式展开得，与一致，因此是完整平方根； （2）根据定义，，对比得mn＝3，m+n＝x．m、n为正整数，mn＝3的解为m＝1、n＝3（或反之），则x＝1+3＝4． （3）由定义得a＝m+n，b＝mn，代入a2﹣4b得（m+n）2﹣4mn＝m2+2mn+n2﹣4mn＝（m﹣n）2，（m﹣n）2是完全平方数，故a2﹣4b是完全平方数． 【变式训练4】（2026春•青山湖区校级月考）若整数x，y，z满足x2+y2＝z2，则称z为x，y的“平方和数”． 例如：∵32+42＝52，∴5为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： （1）①数3，4的另一个“平方和数”为　 　 ； ②5还可以是数　 　 ，　　 　的“平方和数”． （2）若数x+1与y﹣2的“平方和数”是0，则x＝　 　　 ，y＝　 　　 ． （3）已知10是数1﹣x与6的“平方和数”，求x的值． 题型九：因式分解的应用之证明问题 【典例精讲】（2026•西湖区二模）综合与实践 【新知理解】 对于任意实数x，y，都有x2+y2≥2xy． 证明方法如下： 因为x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2≥0，所以x2+y2≥2xy． 【类比发现】 小聪提出猜想：对于正实数x，y，可能存在x3+y3≥x2y+xy2的关系．对此，小亮和小敏都想到用作差法进行探究： 小亮： x3+y3﹣（x2y+xy2） ＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2） ＝… 小敏： x3+y3﹣（x2y+xy2） ＝（x3﹣xy2）+（y3﹣x2y） ＝… （1）请你选择其中一人的方法完成探究，并判断小聪的猜想是否正确． 【简单应用】 （2）已知正实数x，y满足x+y＝2xy，求证：． 【变式训练1】（2026•潮阳区模拟）小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数m，n，它们的乘积q（q＝mn）与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当m＝3，n＝4，则q+n＝42． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设m＜n， ∵m，n是连续的正整数， ∴n＝m+1． ∵q＝mn， ∴q+n＝mn+n＝（　 　）2． ∴q+n一定是正整数的平方数．请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： （1）请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容　 　 ． 【类比探究】 （2）小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 【变式训练2】（2026春•历下区期中）我国古代数学名著《九章算术》里记载：“圆环形的面积为两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积”． 小明设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q，他想利用相关知识证明：． 小明做出以下思考： 利用圆的周长公式可得，，利用圆的面积公式可得，圆环形的面积S＝πR2﹣πr2… 请根据以上信息，利用因式分解继续补充证明． 【变式训练3】（2026春•迎泽区校级月考）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）”的问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）： N 奇数 4的倍数 表示结果 1＝12﹣02 3＝22﹣12 5＝32﹣22 7＝42﹣32 9＝52﹣42⋯ 4＝22﹣02 8＝32﹣12 12＝42﹣22 16＝52﹣32 20＝62﹣42⋯ 一般结论 2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2 4n＝　（n+1）2﹣（n﹣1）2 按如表规律，完成下列问题： （1）11＝（　 　 ）2﹣（　 　）2；4n＝　 　； （2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n﹣2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设4n﹣2＝x2﹣y2，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，则x2﹣y2＝（2k）2﹣（2m）2＝4（k2﹣m2）为4的倍数． 而4n﹣2不是4的倍数，矛盾． 故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设x＝2k+1，y＝2m+1，其中k，m均为自然数．… ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x﹣y和x+y均为奇数．所以x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）为奇数，而4n﹣2是偶数，矛盾，故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 微专题一 因式分解的应用 题型一：因式分解在有理数简算中的应用 【典例精讲】（2026春•鼓楼区校级期中）把下列各式因式分解或简便计算： 因式分解： （1）2a2﹣12a+18； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）； 简便计算： （3）50.82﹣49.22； （4）99×99+199． 【分析】（1）将原式提取公因式后利用完全平方公式因式分解即可； （2）将原式变形后提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （3）将原式利用平方差公式因式分解并计算即可； （4）将原式变形后利用完全平方公式因式分解并计算即可． 【解答】解：（1）2a2﹣12a+18 ＝2（a2﹣6a+9） ＝2（a﹣3）2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x） ＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（9a2﹣4b2） ＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）； （3）50.82﹣49.22 ＝（50.8+49.2）×（50.8﹣49.2） ＝100×1.6 ＝160； （4）99×99+199 ＝992+2×99+1 ＝（99+1）2 ＝1002 ＝10000． 【变式训练1】（2026春•徐州期中）利用因式分解简便计算： （1）512﹣492； （2）192﹣38×119+1192． 【分析】（1）利用平方差公式分解后计算即可； （2）先变形为完全平方公式的形式，分解后计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（51+49）（51﹣49）＝100×2＝200； （2）原式＝192﹣2×19×119+1192 ＝（19﹣119）2 ＝（﹣100）2 ＝10000． 【变式训练2】（2025秋•汨罗市期末）简便运算： （1）10012﹣9992； （2）8002﹣1600×798+7982． 【分析】（1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（1001+999）（1001﹣999） ＝2000×2 ＝4000； （2）原式＝8002﹣2×800×798+7982 ＝（800﹣798）2 ＝4； 题型二：整除问题 【典例精讲】（2026•沁水县二模）阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数 定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和1+8＝9，18＝2×9，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（1≤a≤9，1≤b≤9且a，b为整数）由定义可得：10a+b＝k（a+b）， 我们可以利用这个式子解决相关问题… 任务： （1）45是“k阶和倍数”，则k＝　5　 ； （2）若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求k+m的值； （3）若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证p2﹣p一定是42的倍数． 【分析】（1）根据“k阶和倍数”的定义求解即可； （2）设原数为10a+b＝k（a+b），则新数是10b+a＝m（a+b），根据“k阶和倍数”的定义得到（10a+b）+（10b+a）＝k（a+b）+m（a+b），据此化简即可求解； （3）设两位自然数p的十位数字为a，个位数字为b，根据“7阶和倍数”的定义可得10a+b＝7（a+b），化简得a＝2b，故p＝10a+b＝21b；要证明p2﹣p 是42的倍数，即证明p（p﹣1）＝21b（21b﹣1）是42的倍数，只需证明b（21b﹣1）是2的倍数即可． 【解答】（1）解：∵4+5＝9，45÷9＝5， ∴45是“k阶和倍数”，则k＝5， 故答案为：5； （2）解：设原两位数的十位为a，个位为b（1≤a≤9，1≤b≤9且a，b为整数），则 原数：10a+b＝k（a+b）①． 新数是：10b+a＝m（a+b）②， 将①+②：（10a+b）+（10b+a）＝k（a+b）+m（a+b）， ∴11（a+b）＝（k+m）（a+b）， ∵a，b≥1， ∴a+b≠0． 两边同时除以a+b，得：k+m＝11； （3）证明：设两位自然数p的十位数字为a，个位数字为b（1≤a≤9，1≤b≤9）， 由p是“7阶和倍数”，得：10a+b＝7（a+b）， 化简得a＝2b， 因此p＝10a+b＝10×2b+b＝21b， p2﹣p＝p（p﹣1）代入p＝21b，得：p（p﹣1）＝21b（21b﹣1）， 可知p2﹣p 是21的倍数， 又∵21b和21b﹣1 是两个连续整数， ∴它们的乘积一定是偶数，即p2﹣p 也是2的倍数， ∵2和21互质， ∴p2﹣p 一定是2×21＝42的倍数， ∴21b（21b﹣1）一定能被42整除．即p2﹣p一定是42的倍数． 【变式训练1】（2026春•宿豫区期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设n、n+1、n+2都是自然数， ∵n（n+1）+（n+1）（n+2）…① ＝（n+1）（n+n+2） ＝（n+1）（2n+2） ＝2（n+1）2…② 且2（n+1）2能被2整除， ∴n（n+1）+（n+1）（n+2）能被2整除． ∴三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： （1）在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于　因式分解　 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； （2）已知m＞0，且m是奇数．求证：m2﹣m+2能被2整除． 【分析】（1）根据因式分解的定义判断即可： （2）将m2﹣m+2变形为m（m﹣1）+2，再通过m＞0，且m是奇数分析出m（m﹣1）+2是偶数即可． 【解答】（1）解：∵从第①处到第②处的变形是把多项式n（n+1）+（n+1）（n+2）写成因式2、（n+1）2积的形式， ∴这个变形属于因式分解， 故答案为：因式分解； （2）证明：m2﹣m+2 ＝（m2﹣m）+2 ＝m（m﹣1）+2， ∵m＞0，且m是奇数， ∴m﹣1是偶数， ∴m（m﹣1）是偶数， ∴m（m﹣1）+2是偶数， ∴m（m﹣1）+2能被2整除， ∴m2﹣m+2能被2整除． 【变式训练2】（2026春•南海区期中）已知：整式A＝2t+3，B＝2t﹣3，t为任意有理数． （1）A•B+10的值可能为负数吗？请说明理由； （2）请通过计算说明：当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除． 【分析】（1）用平方差公式计算A•B，再加上10；分析结果的取值范围，判断是否可能为负数； （2）用平方差公式分解A2﹣B2；代入A、B化简式子；结合t是整数的条件，说明结果能被24整除． 【解答】解：（1）因为A＝2t+3，B＝2t﹣3， A•B+10 ＝（2t+3）（2t﹣3）+10 ＝4t2﹣9+10 ＝4t2+1， 因t2≥0，故4t2+1≥1＞0，不可能为负数； （2）因为A＝2t+3，B＝2t﹣3， A+B＝2t+3+2t﹣3＝4t， A﹣B＝2t+3﹣（2t﹣3）＝6， 所以A2﹣B2＝（A+B）（A﹣B）； ＝4t×6 ＝24t， 因为t是整数， 所以24t是24的整数倍， 故A2﹣B2能被24整除． 【变式训练3】（2026•钱塘区一模）代数推理是发展逻辑思维和问题解决能力的重要路径，探究数的整除规律就是一个典型的代数推理过程．请阅读材料并解决问题： 因为7×11×13＝1001，所以把正五位数写成的形式． 即． 因为是11的倍数，所以只要能被11整除，则能被11整除． 例如把79134拆成79和134，因为134﹣79＝55＝5×11，所以79134能被11整除． （1）请分别判断20266和91135是否能被11整除，并说明理由． （2）试说明正六位数，只要能被13整除，则能被13整除． 【分析】（1）模仿例题将20266拆成20和266，然后计算266﹣20＝246，分析246能否被11整除即可，用同样的方法判断91135能否被11整除即可； （2）将变形为，由1001÷13＝77得出能被13整除，从而得出结论． 【解答】解：（1）20266不能被11整除，91135能被11整除．理由如下： 把20266拆成20和266，因为266﹣20＝246，246÷11＝22...4，所以20266不能被11整除； 把91135拆成91和135，因为135﹣91＝44＝4×11，所以91135能被11整除； （2）∵7×11×13＝1001， ∴ ． ∵1001÷13＝77， ∴能被13整除． ∴若能被13整除，则能被13整除， 即：能被13整除 题型三：判断三角形形状 【典例精讲】（2026•临平区二模）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝ab+bc+ca． （1）证明：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0； （2）根据（1）的结果，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）将已知等式两边乘2，移项后分组配方，得到三个完全平方的和为0．（2）根据平方的非负性，得出三边相等，判定为等边三角形． 【解答】解：（1）因为a2+b2+c2＝ab+bc+ca 所以2（a2+b2+c2）＝2（ab+bc+ca）， 所以2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝0， 即a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2＝0， 所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0． （2）△ABC是等边三角形，理由如下： 因为（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0， 因为（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0， 即a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 【变式训练1】（2026春•未央区校级期中）阅读材料，要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到：am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n），这时a（m+n）+b（m+n）中又有公因式，于是可以提出（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： （1）尝试填空：2x+xy﹣18﹣9y＝　（x﹣9）（y+2）　 ； （2）解决问题：因式分解ac+ab﹣a2﹣bc； （3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【分析】（1）先分组再因式分解看即可； （2）先分组再因式分解看即可； （3）通过因式分解得到a﹣b＝0，b﹣c＝0，正确进行判断即可． 【解答】解：（1）2x+xy﹣18﹣9y＝2x﹣18+xy﹣9y＝2（x﹣9）+y（x﹣9）＝（x﹣9）（y+2）； 故答案为：（x﹣9）（y+2）； （2）ac+ab﹣a2﹣bc＝ac﹣bc+ab﹣a2＝c（a﹣b）+a（b﹣a）＝（a﹣b）（c﹣a）； （3）∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0， ∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴这个三角形是等边三角形． 【变式训练2】（2026春•温江区校级期中）（1）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y≥2，求m的取值范围； （2）已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2﹣c2+ab﹣bc＝0，请判断△ABC的形状并说明理由． 【分析】（1）先将方程组的两个方程相加，消去y求出x，再代入其中一个方程求出y，然后根据x+y≥2列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围； （2）对等式a2﹣c2+ab﹣bc＝0进行因式分解，得到（a﹣c）（a+c+b）＝0，结合三角形边长的性质（a+c+b＞0），得出a＝c，从而判断三角形的形状． 【解答】解：（1）， ①+②，得 8x＝6m﹣2， 解得：， 把代入①，得： ， y， 因为x+y≥2， ， 所以m． （2）因为a2﹣c2+ab﹣bc＝0， 即（a+c）（a﹣c）+b（a﹣c）＝0， 即（a﹣c）（a+c+b）＝0， 因为a、b、c是△ABC的三条边， 所以a+c+b＞0， 因此a﹣c＝0， 即a＝c， 所以△ABC是等腰三角形． 题型四：因式分解应用之分组分解法 【典例精讲】（2026春•高州市期中）先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）． 这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是可提公因式（m+n）， 从而得到（m+n）（a+b）， 因此有am+an+bm+bn ＝a（m+n）+b（m+n） ＝a（m+n）+b（m+n） ＝（m+n）（a+b）． 这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法因式分解： （1）ab﹣ac+bc﹣b2＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（请你完成分解因式下面的过程）； （2）m2﹣mn+mx﹣nx； （3）x2y2﹣2x2y﹣4y+8． 【分析】（1）由题意，补全题干中未完成的过程即可； （2）将原式分组后再进行因式分解即可； （3）将原式分组后再进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c） ＝（a﹣b）（b﹣c）； （2）原式＝m（m﹣n）+x（m﹣n） ＝（m+x）（m﹣n）； （3）原式＝x2y（y﹣2）﹣4（y﹣2） ＝（y﹣2）（x2y﹣4）． 【变式训练1】（2026春•福田区校级期中）初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． ①分组分解法： 例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）． ②拆项法： 例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1； ②（拆项法）x2﹣6x﹣16； （2）因式分解的综合运用： ①已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，则△ABC的周长为　7　 ； ②已知：a、b、c为△ABC的三条边，满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，试确定△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式； ②读懂题意，利用拆项法分解因式； （2）①把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出a、b、c的值，再求和即可； ②把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质得出a＝b＝c，即可解答． 【解答】解：（1）①原式＝（4x2+4x+1）﹣y2 ＝（2x+1）2﹣y2 ＝（2x+1﹣y）（2x+1+y） ＝（2x﹣y+1）（2x+y+1）； ②原式＝x2﹣6x+9﹣25 ＝（x﹣3）2﹣52 ＝（x﹣3﹣5）（x﹣3+5） ＝（x﹣8）（x+2）； （2）①a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0， ∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0， ∵（a﹣2）2≥0，（b﹣2）2≥0，（c﹣3）2≥0， ∴a﹣2＝0，b﹣2＝0，c﹣3＝0， ∴a＝2，b＝2，c＝3， ∵2+2＝4＞3， ∴a，b，c三边能构成三角形， 因此三角形周长为2+2+3＝7． ②△ABC是等边三角形，理由如下： ∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0， 2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0， （a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0， 即a＝b＝c， 因此△ABC是等边三角形． 【变式训练2】（2026春•邛崃市期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2），这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题． （1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y； （2）已知a，b，c分别为△ABC的三条边，求证：b2+c2﹣a2﹣2bc＜0． 【分析】（1）分解因式x2﹣9y2﹣2x+6y 分组：将前两项x2﹣9y2和后两项﹣2x+6y分组；分解：前两项用平方差公式得（x+3y）（x﹣3y），后两项提取公因式得﹣2（x﹣3y）；提取公因式：提取（x﹣3y），得到（x﹣3y）（x+3y﹣2）； （2）分组：将b2﹣2bc+c2和﹣a2分组；分解：前三项用完全平方公式得（b﹣c）2，再与﹣a2用平方差公式得（b﹣c+a）（b﹣c﹣a）；结合三角形三边关系：b+a﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，乘积小于0，得证． 【解答】解：（1）x2﹣9y2﹣2x+6y ＝（x+3y）（x﹣3y）﹣2（x﹣3y） ＝（x﹣3y）（x+3y﹣2）； （2）b2+c2﹣a2﹣2bc ＝b2+c2﹣2bc﹣a2 ＝（b﹣c）2﹣a2 ＝（b﹣c+a）（b﹣c﹣a）， 因为a，b，c为△ABC的三边， 所以b﹣c+a＞0，b﹣c﹣a＜0， 因此（b﹣c+a）（b﹣c﹣a）＜0， 即b2+c2﹣a2﹣2bc＜0． 【变式训练3】（2026春•温江区校级期中）我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法： 例如：x2﹣2xy+y2﹣25＝（x2﹣2xy+y2）﹣25＝（x﹣y）2﹣52＝（x﹣y﹣5）（x﹣y+5）， ②拆项法： 例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式； ①用分组分解法：x2+2x﹣y2+1； ②用拆项法：x2﹣4x+3； （2）已知：a，b，c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0，求△ABC的周长． 【分析】（1）①将x2+2x+1放为一组，根据平方差公式分解因式； ②将3拆为+4﹣1，根据完全平方公式和平方差公式分解因式 （2）将原等式化为（a﹣2b）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2＝0，求出a，b，c的值，即可得到周长． 【解答】解：（1）①x2+2x﹣y2+1 ＝x2+2x+1﹣y2 ＝（x+1）2﹣y2 ＝（x+1+y）（x+1﹣y）； ②x2﹣4x+3 ＝x2﹣4x+4﹣1 ＝（x﹣2）2﹣1 ＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1） ＝（x﹣1）（x﹣3）； （2）a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0 a2﹣4ab+4b2+b2﹣6b+9+c2﹣10c+25＝0 ∴（a﹣2b）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2＝0， ∴b＝3，c＝5，a＝6， ∴△ABC的周长为3+5+6＝14． 题型五：因式分解的应用之竖式计算 【典例精讲】（2026春•和平区校级期中）【类比学习】 小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法： 即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 【初步应用】（1）请你完成下面的竖式计算． （2）小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+△），（其中口、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式： 得出□＝　5　 ，△＝　3　 ． 【深入研究】 小明用这种方法对多项式4x3+8x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：4x3+8x2﹣x﹣2＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式4x3+8x2﹣x﹣2因式分解． 【分析】（1）完成（x2+3x﹣4）÷（x﹣1）的竖式计算，将多项式除法类比整数除法竖式：用x2除以x得商的第一项x，乘以x﹣1得x2﹣x；用x2+3x﹣4减去x2﹣x，余4x﹣4；用4x除以x得商的第二项4，乘以x﹣1得4x﹣4；余数为0，故商为x+4，即x2+3x﹣4＝（x﹣1）（x+4）； （2）求根据竖式中常数项的关系：2△＝6，解得△＝3；再根据一次项系数的关系：□﹣2＝△，代入△＝3，得□＝5； （3）对多项式4x3+8x2﹣x﹣2因式分解，用4x3+8x2﹣x﹣2除以x+2：4x3除以x得4x2，乘以x+2得4x3+8x2；减后余﹣x﹣2，再用﹣x除以x得﹣1，乘以x+2得﹣x﹣2；余数为0，故商为4x2﹣1，即4x3+8x2﹣x﹣2＝（x+2）（4x2﹣1）；进一步分解4x2﹣1为（2x+1）（2x﹣1），最终结果为（x+2）（2x+1）（2x﹣1）． 【解答】解：（1）（x2+3x﹣4）÷（x﹣1）＝x+4， ； （2）， 由竖式可得：2△＝6，解得△＝3； 由一次项：□﹣2＝△，代入△＝3得□＝5． 故答案为：5，3． （3）4x3+8x2﹣x﹣2＝（x+2）（4x2﹣1）＝（x+2）（2x+1）（2x﹣1）， ． 【变式训练1】（2026•廉江市校级模拟）【类比学习】 小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法： 即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 【初步应用】 （1）请你完成下面的竖式计算． （2）小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+△），（其中口、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式： 得出□＝　5　 ，△＝　3　 ． 【深入研究】 小明用这种方法对多项式x3+2x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：x3+2x2﹣x﹣2＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解． 【分析】（1）用x2+3x﹣4除以x﹣1，先商x，乘除数得x2﹣x，相减后余4x﹣4；再商4，乘除数得4x﹣4，相减后余0，商为x+4； （2）由常数项关系2△＝6，得△＝3；由一次项系数关系□＝△+2，代入△＝3，得□＝5；因此a＝□＝5； （3）用多项式除法竖式，将 x3+2x2﹣x﹣2 除以 （x+2），确定商式为 x2﹣1；对商式 x2﹣1 用平方差公式分解，得 （x+1）（x﹣1）；最终分解结果为 （x+2）（x+1）（x﹣1）． 【解答】解：（1） ； （2）x2+□x+6 ＝（x+2）（x+△） ＝x2+2x+△x+2△ ＝x2+（2+△）x+2△， 所以2△＝6，△＝3， □＝2+△＝2+3＝5． 故答案为：5，3． （3）（x3+2x2﹣x﹣2）÷（x+2）＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）， x3+2x2﹣x﹣2＝（x+2）（x+1）（x﹣1）； ． 题型六：因式分解的应用之最值问题 【典例精讲】（2026春•丰县期中）【方法学习】配方法是初中数学的重要变形工具，核心是利用完全平方公式将多项式ax2+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）2+n的形式，可用于解决分解因式、求最值等多类问题． 请补全下列配方法的应用过程： （1）分解因式x2+6x﹣7：原式＝（x2+6x+9）﹣16＝（x+3）2﹣16＝　（x+7）（x﹣1）　 ； （2）求代数式x2﹣8x+10的最小值：x2﹣8x+10＝x2﹣8x+16﹣6＝（x﹣4）2﹣6， ∵（x﹣4）2≥0，∴当x＝4即（x﹣4）2＝0时，x2﹣8x+10有最小值，最小值是　﹣6　 ； 【拓展应用】（3）a，b，c分别为△ABC的三边长，当满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0时，求c的取值范围； （4）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝x，BD＝y，若x+y＝12，则四边形ABCD面积的最大值为　18　 ． 【分析】（1）先将原式配成完全平方差形式（x+3）2﹣42，再用平方差公式分解为（x+7）（x﹣1）； （2）将原式配方为（x﹣4）2﹣6，利用平方的非负性，当（x﹣4）2＝0时取最小值﹣6； （3）对等式配方得（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，由平方非负性得a＝5、b＝6，根据三角形三边关系得1＜c＜11； （4）面积，结合x+y＝12得，由二次函数性质得最大值为18． 【解答】解：（1）x2+6x﹣7 ＝（x2+6x+9）﹣16 ＝（x+3）2﹣16 ＝（x+3+4）（x+3﹣4） ＝（x+7）（x﹣1）， 故答案为：（x+7）（x﹣1）； （2）x2﹣8x+10 ＝x2﹣8x+16﹣16+10 ＝（x﹣4）2﹣6， 因为（x﹣4）2≥0， 所以当x＝4即（x﹣4）2＝0时，x2﹣8x+10有最小值，最小值是﹣6； （3）a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0， a2﹣10a+25+b2﹣12b+36＝0， （a﹣5）2+（b﹣6）2＝0， 因为平方数具有非负性， （a﹣5）2≥0，（b﹣6）2≥0， 所以a﹣5＝0，b﹣6＝0， 解得a＝5，b＝6， 因为a，b，c分别为△ABC的三边长， 可得6﹣5＜c＜6+5， 即1＜c＜11； （4）四边形ABCD的面积：， 因为x+y＝12， 所以y＝12﹣x， 则S ， 因为， 所以当x＝6时，S有最大值，最大值为18． 【变式训练1】（2026春•邳州市期中）阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法a2±2ab+b2＝（a±b）2后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项2x2﹣3x﹣9因式分解： （变形依据　平方差公式　 ） ＝（2x+3）（x﹣3） ②求多项式2x2﹣3x﹣9的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，2x2﹣3x﹣9的值最小，且最小值为． 【问题】（1）①中第四步变形依据是　平方差公式　 ； （2）把多项式3x2+5x﹣2分解因式并求出最小值； （3）已知x﹣2y＝3，求代数式﹣x2+2y+3x﹣2的最大值． 【分析】（1）观察式子结构即可解答； （2）根据材料，结合完全平方和平方差公式即可求解； （3）由已知得到 2y＝x﹣3，代入﹣x2+2y+3x﹣2中，再利用完全平方公式变形求解即可． 【解答】解：（1）①中第四步变形依据是平方差公式， 故答案为：平方差公式； （2）将多项式3x2+5x﹣2因式分解： 3x2+5x﹣2 ＝（x+2）（3x﹣1）； 求多项式3x2+5x﹣2的最小值： 3x2+5x﹣2 ， ∵， ∴， ∴当时，3x2+5x﹣2的值最小，且最小值为； （3）∵x﹣2y＝3， ∴2y＝x﹣3， ∴﹣x2+2y+3x﹣2 ＝﹣x2+x﹣3+3x﹣2 ＝﹣x2+4x﹣5 ＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣5 ＝﹣（x﹣2）2﹣1， ∴﹣（x﹣2）2≤0， ∴﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1， ∴当x＝2时，﹣x2+2y+3x﹣2的值最大，且最大值为﹣1． 【变式训练2】（2026春•郑州校级期中）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解x2+2x﹣3，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3＝x2+2×x×1+12﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全x2+2x﹣3的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解x2+8x+7； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值？并求出这个最小值． 【分析】（1）用平方差公式继续进行因式分解即可； （2）将原式改写为x2+8x+16﹣9，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可进行因式分解； （3）用题目所给方法，将原式整理为（x﹣2）2+（y+3）2+5，即可进行解答． 【解答】解：（1）原式＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1）； （2）原式＝x2+8x+16﹣9 ＝（x+4）2﹣32 ＝（x+4+3）（x+4﹣3） ＝（x+7）（x+1）； （3）原式＝x2﹣4x+4+y2+6y+9+5 ＝（x﹣2）2+（y+3）2+5， ∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴（x﹣2）2+（y+3）2+5≥5， ∴当x＝2，y＝﹣3时，多项式x2+y2﹣4x+6y+18有最小值，最小值为5． 【变式训练3】（2026春•沈阳期中）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）； 再如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x2+2x+1﹣1﹣3）＝2[（x+1）2﹣4]＝2（x+1）2﹣8； ∵（x+1）2≥0， ∴原式≥﹣8， 即当x＝﹣1时，原式有最小值﹣8． 学以致用： （1）用配方法分解因式：x2﹣4x﹣5；（其他方法不得分） （2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣8x+5有最大值？并求出这个最大值．（用配方法） （3）已知﹣x2+3x+y+5＝0，请直接写出x+y的最小值． 【分析】（1）模仿题干中的解题过程，进行求解即可； （2）首先将多项式配方为﹣2（x+2）2+13，然后得到﹣2（x+2）2+13≤13，进而求解即可； （3）将﹣x2+3x+y+5＝0变形为x+y＝（x﹣1）2﹣6，然后根据非负数的性质进行求解即可． 【解答】解：（1）原式＝x2﹣4x+4﹣9 ＝（x﹣2）2﹣9 ＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3） ＝（x+1）（x﹣5）； （2）原式 ＝﹣2（x+2）2+13， ∵﹣2（x+2）2≤0， ∴原式≤13， 即当x＝﹣2时，原式有最大值13． （3）由条件可知y＝x2﹣3x﹣5， ∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝x2﹣2x+1﹣6＝（x﹣1）2﹣6， ∵（x﹣1）2≥0， ∴原式有最小值﹣6． 【变式训练4】（2026春•双流区校级期中）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）． 例如：求代数式x2+4x﹣6的最小值 x2+4x﹣6＝x2+4x+4﹣10＝（x+2）2﹣10．可知当x＝﹣2时，x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣10． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣6m﹣16； （2）已知，（m为任意实数），求Q﹣P的最小值． 【分析】（1）分解因式m2﹣6m﹣16：将原式配方，加上并减去9，得到（m﹣3）2﹣25，再用平方差公式分解为（m+2）（m﹣8）； （2）求Q﹣P的最小值：先计算Q﹣P的表达式，化简得m2﹣m+1；配方后为，利用平方的非负性，当时，最小值为． 【解答】解：（1）m2﹣6m﹣16 ＝m2﹣6m+9﹣9﹣16 ＝（m﹣3）2﹣25 ＝（m﹣3+5）（m﹣3﹣5） ＝（m+2）（m﹣8）； （2）因为，（m为任意实数）， Q﹣P ＝m2﹣m+1 ， 因为0， 可知当x时，有最小值，最小值是． 题型七：因式分解应用之几何面积问题 【典例精讲】（2026春•昆都仑区校级期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． （1）观察图1，它所对应的公式为　①　 ；（填写对应公式的序号） ①（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； ②（m+n）2＝m2+2mn+n2； ③（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2． （2）如图2，长，宽分别为a，b的长方形，它的周长为16，面积为6，求（a+1）（b+1）的值； （3）将正方形ABCD，正方形EFGH按如图3的方式摆放（点C与点H重合，点G在CD上），若两个正方形的面积之差为24，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）大正方形面积等于中间小正方形面积加四个矩形面积，对应公式①； （2）由周长得a+b＝8，面积得ab＝6，展开（a+1）（b+1）代入计算； （3）设两正方形边长为a、b，面积差a2﹣b2＝24，化简阴影面积表达式得，代入得结果． 【解答】解：（1）大正方形的边长为m+n，面积为（m+n）2， 中间小正方形的边长为m﹣n，面积为（m﹣n）2， 四个矩形的面积均为mn，总面积为4mn， 由大正方形面积＝小正方形面积+四个矩形面积， 可得（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，对应公式①． 故答案为：①； （2）因为长方形周长为16， 则2（a+b）＝16， 解得a+b＝8， 因为面积为6， 则ab＝6， （a+1）（b+1） ＝ab+a+b+1， ＝6+8+1 ＝15； （3）设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b（a＞b）， 因为两个正方形的面积之差为24， 所以a2﹣b2＝24， 阴影部分面积可表示为： ＝12． 答：阴影部分面积为12． 【变式训练1】（2026春•天府新区校级期中）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，可得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分面积的值为　　 ； （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值； （3）观察图3，可得到乘法公式：（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc ； （4）根据以上知识，解决问题：已知a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝3，求代数式a2+4b2+c2的值． 【分析】（1）先由2a+b＝6平方得4a2+4ab+b2＝36，结合4a2+b2＝24求出ab＝3；阴影面积为ab，求出结果即可； （2）设m＝2025﹣y，n＝y﹣2024，则m+n＝1，2mn＝﹣2；利用m2+n2＝（m+n）2﹣2mn计算得5． （3）图3正方形边长为a+2b+c，分割成小图形后面积相加，得展开式a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc； （4）由a+2b+c＝5平方得a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc＝25；将2ab+2bc+ac＝3乘2得4ab+4bc+2ac＝6，代入得a2+4b2+c2＝19． 【解答】解：（1）因为2a+b＝6，4a2+b2＝24， 所以（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝62＝36， 4ab＝36﹣（4a2+b2） ＝36﹣24 ＝12， ab＝3， 阴影面积ab． 故答案为：； （2）设m＝2025﹣y，n＝y﹣2024 （2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2， 即（2025﹣y）×2（y﹣2024）＝﹣2， 所以2mn＝﹣2， m+n＝2025﹣y+y﹣2024＝1， 因为（2025﹣y）2+（y﹣2024）2 ＝m2+n2 ＝（m+n）2﹣2mn ＝12﹣（﹣2） ＝3； （3）（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc； （4）因为a+2b+c＝5，2ab+2bc+ac＝3， 所以（a+2b+c）2＝52＝25， 因为（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc 4ab+2ac+4bc＝2×（2ab+2bc+ac）＝2×3＝6， a2+4b2+c2＝25﹣6＝19． 【变式训练2】（2026春•鲁山县月考）在学习整式的乘法公式时，我们发现完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解： ∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，请解决下列问题： （1）①若mn＝4，m2+n2＝5，则（m+n）2＝　13　 ； ②若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝　4　 ； ③若3a+2b＝6，ab＝1，则（3a﹣2b）2＝　12　 ； （2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积． 【分析】（1）①根据完全平方公式代入求值即可； ②根据完全平方公式可得2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2），整体代入求值即可； ③先求出（3a+2b）2＝36，再根据（3a﹣2b）2＝（3a+2b）2﹣24ab，整体代入求解即可； （2）设AC＝m，CF＝n，可得m+n＝8，m2+n2＝44，求出即可． 【解答】解：（1）解：①∵mn＝4，m2+n2＝5， ∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝5+2×4＝13； 故答案为：13； ②∵x+y＝6，x2+y2＝28， ∴（x+y）2＝36，即x2+2xy+y2＝36， ∴2xy＝36﹣28＝8， ∴xy＝4； 故答案为：4； ③∵3a+2b＝6，ab＝1， ∴（3a+2b）2＝36， ∴（3a﹣2b）2＝（3a+2b）2﹣2×2×3a•2b＝36﹣24×1＝12， 故答案为：12； （2）解：设AC＝m，CF＝n， ∵AB＝8， ∴m+n＝8， 又∵S1+S2＝44， ∴m2+n2＝44， 由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴82＝44+2mn， ∴mn＝10， ∴； 【变式训练3】（2026春•太原校级期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式a2+2b2+3ab可以因式分解得　（a+2b）（a+b）　 ； （2）现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为3a+4b，宽为2a+b的长方形，试求出x+y+z的值＝　21　 ； 【知识迁移】 （3）根据图2：若a2+b2+c2＝60，ab+bc+ac＝42，则a+b+c的值＝　12　 ． 【分析】（1）拼成的长方形长为a+b+b＝a+2b，宽为a+b，则长方形面积为 （a+b）（a+2b），由已知多项式转化为长与宽的乘积形式，完成因式分解． （2）利用多项式乘法计算出长为3a+4b、宽为2a+b的长方形的面积表达式，再根据A、B、C类纸片对应的面积项，分别确定x、y、z的值，最后计算x+y+z的值． （3）利用（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），将已知a2+b2+c2和ab+bc+ac的值代入，开平方即可求出a+b+c的值． 【解答】解：（1）观察图1，长方形面积为 （a+b）（a+2b）， ∵面积等于所有纸片面积和a2+3ab+2b2， ∴a2+2b2+3ab＝（a+2b）（a+b）． 故答案为：（a+2b）（a+b）； （2）∵（3a+4b）（2a+b）＝6a2+3ab+8ab+4b2＝6a2+11ab+4b2， A类卡片对应a2，故x＝6；B类对应ab，故y＝11；C类对应b2，故z＝4， ∴x+y+z＝6+11+4＝21． 故答案为：21； （3）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）， ∴a2+b2+c2＝60，ab+bc+ac＝42： ∴（a+b+c）2＝60+2×42＝144， ∵a，b，c为正数， 故． 故答案为：12． 【变式训练4】（2026春•皇姑区期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积可表示为：（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【结论探究】 （1）观察与发现：图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形．用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于（a﹣b）2，（a+b）2，ab，的等式是　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ． 【类比迁移】 （2）运用与探究：利用（1）的结论，解决下列问题：若2x+3y＝7，xy＝2，则（2x﹣3y）2＝　1　 ． 【深入探究】 （3）小明在写作业时遇到了这样的一个数学题目： 若x满足（10﹣x）（x﹣6）＝3，求（10﹣x）2+（x﹣6）2的值”，小明的解题过程如下： 令10﹣x＝a，x﹣6＝b，则a+b＝（10﹣x）+（x﹣6）＝4， 因为ab＝（10﹣x）（x﹣6）＝3． 所以（10﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝10． 请你类比上述方法，解决以下问题： 若x满足（2026﹣x）（2025﹣x）＝30，求（2026﹣x）2+（2025﹣x）2的值； 【实践应用】 （4）如图5，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接BD、BG、BF．若BE＝15，阴影部分面积为48，直接写出△BCG的面积． 【分析】（1）阴影部分面积既等于边长为a﹣b的正方形面积（a﹣b）2，又等于边长为a+b的大正方形面积（a+b）2减去4个小长方形面积4ab，故得等式（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）利用（1）的结论，将（2x﹣3y）2转化为（2x+3y）2﹣4×2x×3y，代入2x+3y＝7、xy＝2计算； （3）思设2026﹣x＝m，2025﹣x＝n，则m﹣n＝1、mn＝30，利用m2+n2＝（m﹣n）2+2mn计算．； （4）设大正方形边长为a，小正方形边长为b，由BE＝15得a+b＝15，结合阴影面积化简得a2+b2﹣ab＝96，再利用（a+b）2＝a2+2ab+b2求出ab，最后得△BCG面积为． 【解答】解：（1）阴影面积方法一：（a﹣b）2， 阴影面积方法二：（a+b）2﹣4ab， 等式：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）因为2x+3y＝7，xy＝2， 所以（2x﹣3y）2 ＝（2x+3y）2﹣4×2x×3y ＝（2x+3y）2﹣24xy ＝72﹣24×2 ＝49﹣48 ＝1； （3）设2026﹣x＝m，2025﹣x＝n， m﹣n ＝2026﹣x﹣（2025﹣x） ＝2026﹣x﹣2025+x ＝1， 因为（2026﹣x）（2025﹣x）＝30， 所以mn＝30， m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝12+2×30＝61； （4）设大正方形边长为a，小正方形边长为b， 因为BE＝15， 所以a+b＝15， 阴影面积：， 即， 即a2+b2﹣ab＝96， 由（a+b）2＝a2+2ab+b2＝225， 代入a2+b2＝96+ab得： 96+ab+2ab＝225， 所以ab＝43， △BCG面积：． 答：△BCG面积面积为21.5． 【变式训练5】（2026春•宝安区校级期中）阅读下面的材料： 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． 例如：a2+a＝a（a+1），a2+2ab+b2＝（a+b）2，都把一个多项式进行了因式分解． 现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解． 例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式a2+2ab+b2＝（a+b）2，即多项式a2+2ab+b2因式分解的结果为（a+b）2． 请回答下列问题： 【小试牛刀】 （1）根据图3拼图，多项式a2+3ab+2b2因式分解的结果是　（a+b）（a+2b）　 ； 【自主探索】 （2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为2a2+5ab+3b2的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式2a2+5ab+3b2因式分解的结果； 【拓展应用】 （3）①某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为b的均匀泥路（如图5），你能求出剩余草皮面积吗？ ②公园为了更美观，打算购买一些新的草皮与剩余的草皮重新切割，设计成一个全新的正方形草坪，现有A、B、C三种型号的草皮可以购买（如图1），在不浪费草皮的情况下，请设计一种购买方案，并求出此时的正方形边长（边长必须为整式）． 【分析】（1）图3由1个a2、3个ab、2个b2拼成大长方形，长a+2b、宽a+b，故a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）； （2）用2张A型、3张B型、3张C型拼成长2a+3b、宽a+b的长方形，得2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）； （3）①剩余面积＝原面积﹣泥路面积，即：原面积＝（a+3b）（a﹣b）﹣b（a+3b）+b2； ②根据剩余草皮面积，将式子转化成一个式子的完全平方式，求出边长，根据A、B、C三种型号的草皮的大小表示出边长即可． 【解答】解：（1）大长方形长为a+2b，宽为a+b，面积为（a+b）（a+2b）， ∴a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）； 故答案为：（a+b）（a+2b）； （2）长方形长为2a+3b，宽为a+b，面积为（2a+3b）（a+b），如图： ， ∴2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）， 故：2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）； （3）①剩余面积 ＝ 原面积﹣泥路面积，原面积：（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2，泥路面积：b（a﹣b）＝ab﹣b2，剩余面积：（a2+2ab﹣3b2）﹣（ab﹣b2）＝a2+ab﹣2b2； ②购买3张C型卡片（面积3b2），总面积为：a2+ab﹣2b2+3b2＝a2+ab+b2（实际通过调整得正方形边长为a+b，验证：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需结合拼图调整，最终边长为a+b） 题型八：因式分解的应用之新定义问题 【典例精讲】（2026春•泰兴市期中）在学习平方差公式时，小明发现：两个连续偶数的平方差有一些有趣的结论．他定义：如果一个正整数N可以写成（2k+2）2﹣（2k）2的形式（其中k为正整数），则称N为“双偶平方差数”，k称为N的“序数”．例如，当k＝1时，42﹣22＝12，所以12是双偶平方差数，序数为1． （1）下列各数是双偶平方差数的是　①③　 ；（填序号） ①20；②27；③36． （2）小明猜想：任意一个双偶平方差数都能被4整除．请帮助小明证明他的猜想； （3）设两个双偶平方差数P和Q的序数分别为a和b（a、b为正整数）． ①若P+Q＝72，a2+b2＝34，求a和b的值； ②若P•Q可表示为64（m﹣n）+16的形式，其中m＝a2+b2，n＝ab．已知a﹣b＝2，求P和Q的值． 【分析】（1）根据“双偶平方差数”的定义求解即可； （2）根据“双偶平方差数”的定义即可证明猜想； （3）①根据已知可得 a+b＝8，a﹣b＝2 或﹣2，即可得a和b的值； ②由（2）知P＝8a+4，Q＝8b+4，可得a+b＝8，结合已知a﹣b＝2，可得a和b的值，即可得P和Q的值． 【解答】解：（1）∵20＝62﹣42，36＝102﹣82， ∴20和36是双偶平方差数， ∵（2k+2）2﹣（2k）2＝（4k2+8k+4）﹣4k2＝8k+4＝4（2k+1），（k为正整数）， ∴“双偶平方差数”必为偶数， ∴27不是“双偶平方差数”， 故答案为：①③； （2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（4k2+8k+4）﹣4k2＝8k+4＝4（2k+1）， ∵2k+1是整数， ∴8k+4能被4整除； （3）①∵两个双偶平方差数P和Q的序数分别为a和b（a、b为正整数）， ∴P＝（2a+2）2﹣（2a）2＝8a+4Q＝（2b+2）2﹣（2b）2＝8b+4， ∵P+Q＝72， ∴P+Q＝（8a+4）+（8b+4）＝8a+8b+8＝8（a+b）+8＝72， ∴a+b＝8， ∵a2+b2＝34， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64， ∴ab＝15， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝34﹣2×15＝4， ∴a﹣b＝2或﹣2， 由，解得， ，解得， ∴a＝3，b＝5；a＝5，b＝3； ②由 （2）知 P＝8a+4，Q＝8b+4， 则 P•Q＝（8a+4）（8b+4）＝64ab+32（a+b）+16． ∵P•Q＝64（m﹣n）+16，且m＝a2+b2n＝ab， ∴64ab+32（a+b）+16＝64（a2+b2﹣ab）+16． ∴a+b＝2（a﹣b）2＝8， ∴， 解得a＝5，b＝3， ∴P＝8a+4＝44，Q＝8b+4＝28． 【变式训练1】（2026春•海州区期中）观察下列等式，回答问题： ①32﹣12＝8；②52﹣32＝16；③72﹣52＝24；④92﹣72＝32；… 定义：如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”．如32﹣12＝8，则8就为“幸福数”，因此8，16，24都是“幸福数”． （1）判断48是否为“幸福数”，说明理由； （2）根据“幸福数”的定义，设两个连续正奇数为2n﹣1和2n+1，其中n是正整数，那么“幸福数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； （3）求不超过150的所有“幸福数”的和． 【分析】（1）判断48是否为“幸福数”设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，平方差为8k，若8k＝48，则k＝6（正整数），故48是“幸福数”； （2）判断“幸福数”是否能被8整除 两个连续正奇数2n﹣1和2n+1的平方差为8n，含因数8，故“幸福数”都能被8整除； （3）求不超过150的所有“幸福数”的和“幸福数”为8k（k为正整数），由8k≤150得k≤18．这些数是首项8、末项144、项数18的等差数列，和为． 【解答】解：（1）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1（k为正整数），可得： （2k+1）2﹣（2k﹣1）2 ＝（2k+1﹣2k+1）（2k+1+2k﹣1） ＝2×4k ＝8k， 若8k＝48，则k＝6（k为正整数），符合条件，故48是“幸福数”； （2）设两个连续正奇数为2n﹣1和2n+1（n为正整数）， （2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝（4n2+4n+1）﹣（4n2﹣4n+1） ＝8n， 因为8n中含有因数8，所以“幸福数”都能被8整除； （3）由（1）知“幸福数”为8k（k为正整数），且8k≤150， 解得k≤18.75， 故k可取1到18的正整数， 这些“幸福数”为8，16，24，…，144， 构成首项a1＝8、末项a18＝144、项数n＝18的等差数列， 根据等差数列求和公式，得： ． 【变式训练2】（2026春•锡山区期中）若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b，定义：若数K＝a2+b2﹣ab，则称数K为“尼尔数”，例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22+42﹣2×4＝12，若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K＝132+112﹣13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”． （1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3； （2）已知两个“尼尔数”的差是315，求这两个“尼尔数”． 【分析】（1）根据“尼尔数”的定义，设点P表示的数为x≥0，则a＝x﹣1，b＝x+1，数K＝a2+b2﹣ab＝（x﹣1）2+（x+1）2﹣（x﹣1）（x+1）＝x2+3，令x2+3＝6，解方程，如果x的解中有能被3整除的自然数，那么6是“尼尔数”，否则不是；同理可判断39是不是“尼尔数”；令x＝3n（n是自然数），然后证明（3n）2+3被9除余3即可； （2）设这两个“尼尔数”分别是9m2+3，9n2+3（m、n都是自然数），根据两个“尼尔数”的差是189列出方程（9m2+3）﹣（9n2+3）＝189，整理，得m2﹣n2＝21．根据m、n都是自然数，求出m、n的值，进而求解即可． 【解答】解：（1）设点P表示的数为x≥0，则a＝x﹣1，b＝x+1， 数K＝a2+b2﹣ab＝（x﹣1）2+（x+1）2﹣（x﹣1）（x+1）＝x2+3． 令x2+3＝6， ∵x≥0， ∴x， ∵不能被3整除， ∴6不是“尼尔数”； 令x2+3＝39， ∵x≥0， ∴x＝6， ∵6是能被3整除的自然数， ∴39是“尼尔数”； 令x＝3n（n是自然数）， ∵x2+3＝（3n）2+3＝9n2+3， 而（9n2+3）÷9＝n2…3， ∴所有“尼尔数”一定被9除余3； （2）设这两个“尼尔数”分别是9m2+3，9n2+3（m、n都是自然数）， 根据题意，得（9m2+3）﹣（9n2+3）＝315， 整理，得m2﹣n2＝35． ∵m、n都是自然数， ∴，或， 解得，或， 当时，9m2+3＝2919，9n2+3＝2604， 当时，9m2+3＝327，9n2+3＝12． 故这两个“尼尔数”是2919，2604或327，12． 【变式训练3】（2026•厦门校级模拟）定义：若二次根式可以表示成的形式（其中a，b，m，n都是正整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． （1）判断：是否是的完整平方根，并说明理由； （2）已知完整根式的完整平方根是，求x的值； （3）若的完整平方根是，证明：a2﹣4b是完全平方数． 【分析】（1）计算，根据完全平方公式展开得，与一致，因此是完整平方根； （2）根据定义，，对比得mn＝3，m+n＝x．m、n为正整数，mn＝3的解为m＝1、n＝3（或反之），则x＝1+3＝4． （3）由定义得a＝m+n，b＝mn，代入a2﹣4b得（m+n）2﹣4mn＝m2+2mn+n2﹣4mn＝（m﹣n）2，（m﹣n）2是完全平方数，故a2﹣4b是完全平方数． 【解答】解：（1） ， 因为， 所以是的完整平方根； （2）因为， 因为， 所以对应项相等，即： 由于m、n是正整数，mn＝3的正整数解为m＝3，n＝1（或m＝1，n＝3）， 代入m+n＝x，得x＝3+1＝4； （3）因为， 所以： 将a＝m+n，b＝mn代入a2﹣4b，得： a2﹣4b＝（m+n）2﹣4mn ＝m2+2mn+n2﹣4mn ＝m2﹣2mn+n2 ＝（m﹣n）2， 因为（m﹣n）2是完全平方数， 所以a2﹣4b是完全平方数． 【变式训练4】（2026春•青山湖区校级月考）若整数x，y，z满足x2+y2＝z2，则称z为x，y的“平方和数”． 例如：∵32+42＝52，∴5为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： （1）①数3，4的另一个“平方和数”为　﹣5　 ； ②5还可以是数　﹣3　 ，　﹣4　 的“平方和数”． （2）若数x+1与y﹣2的“平方和数”是0，则x＝　﹣1　 ，y＝　2　 ． （3）已知10是数1﹣x与6的“平方和数”，求x的值． 【分析】（1）①根据“平方和数”的定义，数3，4的“平方和数”z满足32+42＝z2，求z的另一个整数解32+42＝25； ②同理，寻找另外两个整数，使它们的平方和等于52＝25； （2）“平方和数”为0，意味着两个数的平方和为0，根据平方的非负性，这两个数必须都为0，从而列方程求解； （3）根据“平方和数”的定义列出方程，求解一元二次方程得到x的值． 【解答】解：（1）①∵32+42＝（﹣5）2＝25， ∴数3，4的另一个“平方和数”为﹣5． ②∵52＝25，且（﹣3）2+（﹣4）2＝25， ∴5还可以是数﹣3，﹣4的“平方和数”． 故答案为：﹣5，﹣3，﹣4； （2）由题意得（x+1）2+（y﹣2）2＝02＝0， 要使两个非负数的和为0，必须两个数都为0： ， 解得：x＝﹣1，y＝2． 故答案为：﹣1，2； （3）根据题意得（1﹣x）2+62＝102， （1﹣x）2+36＝100， （1﹣x）2＝64， 1﹣x＝±8， 当1﹣x＝8时，x＝﹣7； 当1﹣x＝﹣8时，x＝9． ∴x＝﹣7或x＝9． 题型九：因式分解的应用之证明问题 【典例精讲】（2026•西湖区二模）综合与实践 【新知理解】 对于任意实数x，y，都有x2+y2≥2xy． 证明方法如下： 因为x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2≥0，所以x2+y2≥2xy． 【类比发现】 小聪提出猜想：对于正实数x，y，可能存在x3+y3≥x2y+xy2的关系．对此，小亮和小敏都想到用作差法进行探究： 小亮： x3+y3﹣（x2y+xy2） ＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2） ＝… 小敏： x3+y3﹣（x2y+xy2） ＝（x3﹣xy2）+（y3﹣x2y） ＝… （1）请你选择其中一人的方法完成探究，并判断小聪的猜想是否正确． 【简单应用】 （2）已知正实数x，y满足x+y＝2xy，求证：． 【分析】（1）对x3+y3﹣（x2y+xy2）分组因式分解，得到（x﹣y）2（x+y）；利用正实数性质，（x﹣y）2≥0且x+y＞0，推出差非负，故x3+y3≥x2y+xy2，猜想正确； （2）对通分，分子为y3+x3﹣2x2y2；结合（1）的结论x3+y3≥x2y+xy2，将分子转化为x2y+xy2﹣2x2y2；代入已知条件x+y＝2xy，化简后证明分子非负，分母x2y2＞0，故． 【解答】解：（1）x3+y3﹣（x2y+xy2） ＝x3+y3﹣x2y﹣xy2 ＝x2（x﹣y）+y2（y﹣x） ＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y） ＝（x﹣y）（x2﹣y2） ＝（x﹣y）2（x+y）， 因为x，y为正实数，所以（x﹣y）2≥0，x+y＞0， 因此（x﹣y）2（x+y）≥0， 即x3+y3﹣（x2y+xy2）≥0， 所以x3+y3≥x2y+xy2，小聪的猜想正确． （2）2 ， 由（1）知x3+y3≥x2y+xy2， 所以y3+x3﹣2x2y2≥x2y+xy2﹣2x2y2， 所以y3+x3﹣2x2y2≥xy（x+y）﹣2x2y2， 将x+y＝2xy变形为x＝2xy﹣y，y＝2xy﹣x， 代入上式，可得 y3+x3﹣2x2y2≥xy•2xy﹣2x2y2， 即y3+x3﹣2x2y2≥0， 因为x2y2＞0， 因此， 即． 【变式训练1】（2026•潮阳区模拟）小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数m，n，它们的乘积q（q＝mn）与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当m＝3，n＝4，则q+n＝42． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设m＜n， ∵m，n是连续的正整数， ∴n＝m+1． ∵q＝mn， ∴q+n＝mn+n＝（m+1　 ）2． ∴q+n一定是正整数的平方数．请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： （1）请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容m+1　 ． 【类比探究】 （2）小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 【分析】（1）将等式q+n＝mn+n右边用提公因式法因式分解成n（m+1），∵n＝m+1，∴将n（m+1）中的n用m+1代替即可； （2）仿照题目中的例题做即可． 【解答】（1）解：设m＜n， ∵m，n是连续的正整数， ∴n＝m+1． ∵q＝mn， ∴q+n＝mn+n＝n（m+1）＝（m+1）（m+1）＝（m+1）2， 故答案为：m+1； （2）证明：设m＜n， ∵m，n是连续的正整数， ∴m＝n﹣1． ∵q＝mn， ∴q﹣m＝mn﹣m＝m（n﹣1）＝（n﹣1）（n﹣1）＝（n﹣1）2． 【变式训练2】（2026春•历下区期中）我国古代数学名著《九章算术》里记载：“圆环形的面积为两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积”． 小明设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q，他想利用相关知识证明：． 小明做出以下思考： 利用圆的周长公式可得，，利用圆的面积公式可得，圆环形的面积S＝πR2﹣πr2… 请根据以上信息，利用因式分解继续补充证明． 【分析】代入周长表示半径：由p＝2πR得，由q＝2πr得．写出圆环面积公式：S＝πR2﹣πr2，代入半径表达式：，化简并因式分解：利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），得，代入周长公式：p＝2πR，q＝2πr，化简得． 【解答】解：因为圆环形面积S＝πR2﹣πr2， 且，， 代入得： ． 【变式训练3】（2026春•迎泽区校级月考）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）”的问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）： N 奇数 4的倍数 表示结果 1＝12﹣02 3＝22﹣12 5＝32﹣22 7＝42﹣32 9＝52﹣42⋯ 4＝22﹣02 8＝32﹣12 12＝42﹣22 16＝52﹣32 20＝62﹣42⋯ 一般结论 2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2 4n＝　（n+1）2﹣（n﹣1）2 按如表规律，完成下列问题： （1）11＝（　6　 ）2﹣（　5　 ）2；4n＝　（n+1）2﹣（n﹣1）2 ； （2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n﹣2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你完善以下证明过程： 假设4n﹣2＝x2﹣y2，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，则x2﹣y2＝（2k）2﹣（2m）2＝4（k2﹣m2）为4的倍数． 而4n﹣2不是4的倍数，矛盾． 故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设x＝2k+1，y＝2m+1，其中k，m均为自然数．… ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x﹣y和x+y均为奇数．所以x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）为奇数，而4n﹣2是偶数，矛盾，故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确． 阅读以上内容，请独立尝试继续完成在情形②的证明． 【分析】（1）根据规律即可求解；根据规律即可求解； （2）先利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可． 【解答】解：（1）由表格可得，奇数的一般规律为：2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2， ∴当2n﹣1＝11时，解得：n＝6， ∴11＝62﹣（6﹣1）2＝62﹣52， 故答案为：6，5； 由表格可得：4的倍数的规律为：4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2， 故答案为：（n+1）2﹣（n﹣1）2； （2）猜测形如4n﹣2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）．则： ②若x，y均为奇数， 设x＝2k+1y＝2m+1，其中k，m均为自然数． ∴x2﹣y2＝（2k+1）2﹣（2m+1）2 ＝4k2+4k+1﹣（4m2+4m+1） ＝4k2+4k﹣4m2﹣4m ＝4（k2﹣m2+k﹣m）． ∵4（k2﹣m2+k﹣m）为4的倍数，而4n﹣2不是4的倍数，矛盾， ∴x，y不可能均为奇数． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $