四边形中的解三角形问题-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册期末备考10

**基本信息** 聚焦四边形中解三角形问题，通过教材典例与分层训练，系统覆盖正余弦定理在平面/圆内接四边形中的应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|6道跨版本例题|含平面四边形、圆内接四边形、含等边三角形的四边形，涉及面积计算、边长求解、最值问题|从三角形扩展到四边形，通过分割转化为三角形，应用正余弦定理、三角形面积公式及圆内接四边形性质| |跟踪训练|15题（单选7/多选2/填空3/解答3）|覆盖边长/角度/面积计算、最值探究，结合平行四边形对角线关系、圆内接四边形对角互补|以教材例题为基础，通过变式训练强化“分割-转化-求解”逻辑，衔接三角形与四边形知识体系|

永年二中高一数学必修二解三角形期末备考10 测试范围：四边形中的解三角形问题 【回归教材】 【人教B版必修四第9.1.2节例4】平面四边形中，已知，，，，，求四边形的面积. 【人教B版必修四第9—1B第1题】已知圆内接四边形的边长分别为，求四边形的面积． 【人教B版必修四03复习题B组第3题】已知中，对角线，它与两条邻边和的夹角分别是和，求和的长. 【人教B版必修四03复习题B组第7题】在四边形ABCD中，，求AC的长以及的值. 【苏教版必修二第11.3节例4】如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？ 【苏教版必修二第11章复习题第10题】（1）如图（1），在圆O的内接四边形ABCD中，，，，求四边形ABCD的面积． （2）如图（2），设圆O的内接四边形的边长分别为a，b，c，d，试证明其面积为． 【苏教版必修二习题11.1第12题】（1）如图，在圆的内接四边形ABCD中，，，，求的值； （2）在圆的内接四边形ABCD中，，，，，求的值（用a，b，c，d表示）. 【跟踪训练】 一、单选题 1．在平行四边形中，已知，，对角线，则对角线的长为（    ） A． B． C． D．2 2．如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，四边形中，，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 5．已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面四边形ABCD中，，，，为等边三角形，则该四边形的面积是（    ） A．12 B．16 C． D． 7．在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．在四边形中，，，其外接圆半径为，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．四边形的面积为 9．如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．四边形的周长为 三、填空题 10．已知平行四边形，对角线，，，则边__________. 11．如图，在平面四边形中，，，，，，则_______；_______. 12．如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______. 4、 解答题 13．如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的2倍，求的长． 14．如图，在圆内接中，内角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求； (2)若点是劣弧一点，由圆内接四边形的性质可知：，，，，求四边形的面积. 15．在四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且． (1)若，求；(2)若，求BC的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二解三角形期末备考10 测试范围：四边形中的解三角形问题 【回归教材】 【人教B版必修四第9.1.2节例4】平面四边形中，已知，，，，，求四边形的面积. 【答案】 【分析】由诱导公式可得，在、中分别利用余弦定理可得出关于的等式，求出的值，再利用三角形的面积公式可求得四边形的面积. 【详解】因为，则，在中，由余弦定理可得①，在中，由余弦定理可得②， 由①②可得，即，故，因此，四边形的面积是 ，故选：B. 【人教B版必修四第9—1B第1题】已知圆内接四边形的边长分别为，求四边形的面积． 【答案】． 【分析】如图，连接，由，得到，结合，得到，在和中，分别利用余弦定理，列出方程，求得，进而求得面积. 【详解】如图所示，连接，则四边形的面积为， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，因为，可得，所以， 又，所以，所以． 【人教B版必修四03复习题B组第3题】已知中，对角线，它与两条邻边和的夹角分别是和，求和的长. 【答案】， 【解析】直接用正弦定理计算． 【详解】如图，由题设可知，，且. 在中，由正弦定理得，.在中，由正弦定理得，. 【点睛】本题考查正弦定理，属于基础题． 【人教B版必修四03复习题B组第7题】在四边形ABCD中，，求AC的长以及的值. 【答案】， 【分析】作辅助线，过C作交AB于点E，再作交AD于点F，，设，用表示出，再由在中可求得，，由勾股定理求得．进而可得解. 【详解】如图，过C作交AB于点E，再作交AD于点F. 设， ，在中，，∵四边形CDFE为矩形， 在中，，， 又；，即， 【点睛】本题考查解直角三角形，通过作辅助线把各个关系在直角三角形中显示并求解，解法简单，易于理解． 【苏教版必修二第11.3节例4】如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？ 【答案】时，四边形的面积最大． 【分析】设，由题意可得四边形的面积为，即可利用三角函数的性质求解最值， 【详解】在中，设， 由余弦定理可得， 又， 四边形的面积为， ∵，∴， ∴当，则，即时，四边形的面积最大． 【苏教版必修二第11章复习题第10题】（1）如图（1），在圆O的内接四边形ABCD中，，，，求四边形ABCD的面积． （2）如图（2），设圆O的内接四边形的边长分别为a，b，c，d，试证明其面积为． 【答案】（1）；（2）详见解析. 【分析】（1）连接BD，分别在和 中，利用余弦定理，结合 ，得到，然后由求解；（2）连接AC，分别在和中，利用余弦定理结合，求得，再由，结合，得到，由证明. 【详解】（1）如图所示： 连接BD，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得:,因为，则，两式相减得，又， 所以，所以. （2）如图所示： 连接AC，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得,因为，则，两式相减得：， 所以， 而， 因为，所以， 所以，所以， 则，， 即. 【苏教版必修二习题11.1第12题】（1）如图，在圆的内接四边形ABCD中，，，，求的值； （2）在圆的内接四边形ABCD中，，，，，求的值（用a，b，c，d表示）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）作出辅助线，结合余弦定理求出的长度即可求出结果； （1）作出辅助线，结合余弦定理得到 ，根据关系化简整理即可求出结果. 【详解】（1）连接，设， 在中，，在中，，因此，所以, 所以，解得，则， （2）连接，设， 在中，，在中，，因此， 所以,所以,因此， 即，所以. 【跟踪训练】 一、单选题 1．在平行四边形中，已知，，对角线，则对角线的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意，结合余弦定理即可求解. 【详解】根据题意，在中，由余弦定理得，因，所以，故在中，由余弦定理得，计算得.故选：A. 2．如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意在直角中，可得BC的值，再在中，由余弦定理可得BD的大小． 【详解】在中，，可得， 在中，，由余弦定理可得， 即，即，解得（负值已舍）．即BD的长度为1． 3．如图，四边形中，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由锐角三角函数可得，再由余弦定理及降幂公式即可求解. 【详解】设，，则，由余弦定理可得，所以，解得．故选：B． 4．如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先由余弦定理得出，再应用正弦定理求边长即可. 【详解】在中，由余弦定理，得， 所以，因为，所以，在中，， 由正弦定理，得，所以．故选:D． 5．已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直角三角形求出,再利用余弦定理求出,结合正弦定理可得圆的半径，然后可得面积. 【详解】连接AC，因为，所以,, 所以， 由题意该圆即为三角形的外接圆，设该圆的半径为R，则，所以该圆的面积为．故选：B． 6．如图，在平面四边形ABCD中，，，，为等边三角形，则该四边形的面积是（    ） A．12 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求边，再根据三角形面积公式，即可求解. 【详解】中，根据余弦定理， 则，则,因为是等边三角形， 所以，的面积， 所以四边形的面积.故选：D 7．在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理，可得长，根据面积公式，可得的面积S，又的面积，结合面积公式，代入求解，可得BO的长，根据条件，即可得答案. 【详解】如图： 由余弦定理，所以， 的面积， 又 ， 所以，解得，又，所以. 二、多选题 8．在四边形中，，，其外接圆半径为，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．四边形的面积为 【答案】AD 【分析】选项A，利用余弦定理，结合已知边长计算的余弦值即得；选项B，先在中利用余弦定理求出的余弦值，再根据向量数量积计算即得；选项C，利用正弦定理结合三角形的边长和内角正弦值计算外接圆半径；选项D，利用三角形面积公式，结合已求的内角正弦值计算面积. 【详解】 如图连接，在中，由余弦定理及题意得； 在中，由余弦定理及题意得.， ，解得，，，故A正确.，故B错误.， 由正弦定理得，，故C错误.由C知，，，，，四边形的面积，故D正确. 9．如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．四边形的周长为 【答案】ABD 【详解】对于A 项，在中，由余弦定理得, 即，在中, 由余弦定理得,即 所以,则，故,则，故A正确； 对于B项，因为，， 所以，故B正确；对于C项，因为，所以，故C错误；对于D项，四边形的周长为，故D正确. 三、填空题 10．已知平行四边形，对角线，，，则边__________. 【答案】2 【分析】利用余弦定理解三角形可得的长度. 【详解】如图： 取与的交点为，则为平行四边形的对角线与的中点. 在中，由.所以. 在中，，所以. 11．如图，在平面四边形中，，，，，，则_______；_______. 【答案】 【分析】利用余弦定理求得，结合，即可求得，第一空得解；在中，求出的正余弦值，然后利用求得，再结合正弦定理即可得求得第二空. 【详解】在中，由余弦定理得，所以，因为，所以，.因为，所以， ，在中，由正弦定理得. 12．如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______. 【答案】 【分析】在中，利用余弦定理，求得和，得到，再由两角差的正弦公式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，，，且， 由余弦定理得，可得,又由，可得， 因为， 则， 所以,， 所以四边形的面积为. 四、解答题 13．如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的2倍，求的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理可求答案；（2）利用正弦定理结合三角形的面积公式可求答案. 【详解】（1）设，则，由正弦定理可知，， 即，整理得，又因为，， 可解得，即. （2）由（1）可知，，.由正弦定理可知，，解得， 又，.，. ，，， ，解得. 14．如图，在圆内接中，内角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求； (2)若点是劣弧一点，由圆内接四边形的性质可知：，，，，求四边形的面积. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据正弦定理化简，结合角的范围即可求解； （2）在中利用余弦定理求出，已知可得，再用余弦定理求出，可求得和面积，即可求解 【详解】（1）由结合正弦定理得， 所以，因为，所以，所以，则； （2） 在中，，，，则由余弦定理得， 解得，因为，，，均在圆上，且，所以，在中，，， 所以由余弦定理可得，解得或（舍）， 所以四边形的面积. 26．在四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且． (1)若，求；(2)若，求BC的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由，结合余弦定理可求得的长，在中，利用余弦定理即可求解；（2）在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理求得，进而得的值，然后在中，再次利用余弦定理，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以，因为，所以， 设，所以，即，解得，所以，在中，由余弦定理可得. （2）在中，由余弦定理可得， 所以，化简得，解得， 因为是的中点，所以，在中，由余弦定理可得 ，所以，因为， 所以，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $