规范练61 用样本估计总体 2027届高三数学 一轮复习试题

**基本信息** 聚焦用样本估计总体的核心统计量（方差、百分位数等），通过基础计算与综合应用题型，构建从概念到图表分析的知识逻辑链，强化数据处理与统计推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|7题|统计量基本计算（方差变换、百分位数等）、图表初步应用|从单一统计量计算到样本数据描述| |综合提升练|4题|统计量综合判断（含多选题）、数据特征分析|从数据特征辨析到复杂情境下的统计推理|

课时规范练61　用样本估计总体 (分值:58分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2020·全国Ⅲ,文3)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为(　　) A.0.01 B.0.1 C.1 D.10 2.一组数据5,9,7,3,10,12,20,8,18,15,21,23的第75百分位数为(　　) A.7 B.7.5 C.18 D.19 3.(2025·安徽A10联盟模拟)已知a,b,c的平均数与方差均为4,则a2,b2,c2的平均数为(　　) A.16 B.18 C.20 D.24 4.学校为了评估后勤部门的工作,采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度(100分制),评价标准如下: 中位数m m≥85 80≤m<85 70≤m<80 m<70 评价 优秀 良好 合格 不合格 2024年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示,则这次调查后勤部门的评价是(　　) A.优秀 B.良好 C.合格 D.不合格 5.(多选题)(2023·新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(　　) A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数 B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数 C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差 D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差 6.(2024·新高考Ⅱ,4)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理下表: 亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050) [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200) 生产数 6 12 18 30 24 10 据表中数据,结论中正确的是(　　) A.100块稻田亩产量中位数小于1 050 kg B.100块稻田中的亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 7.某学校为了解该校学生开展志愿者活动的情况,随机抽取了40名学生,对他们本学期参与志愿者活动时长进行了统计,已知统计数据如下表所示: 时长/小时 7 8 9 10 11 人数/人 6 10 9 8 7 则该校学生开展志愿者活动时长的第40百分位数是　　　　　.  综合提升练 8.(2025·重庆模拟)有4位同学各掷骰子5次(骰子出现的点数可能为1,2,3,4,5,6),分别记录自己每次出现的点数,四位同学根据统计结果,并对自己的试验数据分别做了如下描述,可以判断一定没有出现点数1的是(　　) A.平均数为3,中位数为4 B.中位数为3,众数为5 C.平均数为4,方差为1.2 D.中位数为4,方差为1.6 9.(多选题)一中学某班5名同学参加数学竞赛,其成绩均为正整数,中位数为70,唯一众数为80,极差为15,则下列说法正确的有(　　) A.该组数据的最小值可能为64 B.该组数据的平均数不超过73 C.该组数据的第60百分位数为75 D.该组数据的方差超过31 10.(多选题)某次数学考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于[80,90)内的学生成绩方差为12,成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为10,则(　　) A.a=0.004 B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 11.(2025·浙江杭州模拟)已知某4个数据的平均数为6,方差为3,现再加入一个数据8,则这5个数据的方差为　　　　　.  参考答案 课时规范练61　用样本估计总体 1.C　解析 设x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,10x1,10x2,…,10xn的平均数为,方差为s'2,则s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],=10,故s'2=[(10x1-)2+(10x2-)2+…+(10xn-)2]=[(10x1-10)2+(10x2-10)2+…+(10xn-10)2]=102×s2,又s2=0.01,故s'2=100×0.01=1.故选C. 2.D　解析 数据5,9,7,3,10,12,20,8,18,15,21,23,按从小到大的顺序排列得3,5,7,8,9,10,12,15,18,20,21,23,因为12×0.75=9,所以第75百分位数是第9,10个数的平均数,为=19.故选D. 3.C　解析 由题意得,=4,=4,故a+b+c=12,=4,解得=20.故选C. 4.B　解析 由频率分布直方图可知,前3组的频率分别为0.1,0.1,0.2,第4组的频率为0.4,所以中位数m=80+×10=82.5,满足80≤m<85,对应的评价是良好. 5.BD　解析 对于选项A,如1,2,2,2,2,5的平均数不等于2,2,2,2的平均数,故A错误;对于选项B,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,x2,x3,x4,x5的中位数为,x1,x2,…,x6的中位数为,故B正确;对于选项C,因为x1是最小值,x6是最大值,所以x1,x2,…,x6的数据波动更大,故C错误;对于选项D,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,所以x5-x2≤x6-x1,故D正确.故选BD. 6.C　解析 由6+12+18=36<50,6+12+18+30=66>50,得中位数在[1 050,1 100)范围内,故A错误;亩产量低于1 100 kg的稻田生产数为6+12+18+30=66,=66%<80%,故B错误;亩产量最大值在[1 150,1 200)范围内,最小值在[900,950)范围内,故极差在(1 150-950,1 200-900)范围内,即200 kg至300 kg之间,故C正确;取各区间中点估算平均值:925×+975×+1 025×+1 075×+1 125×+1 175×=1 067,大于1 000 kg,故D错误.故选C. 7.8.5　解析 40×40%=16,故第40百分位数是第16个数和第17个数的平均数,即=8.5. 8.C　解析 对于A,由于平均数为3,中位数为4,所以这5个数从小到大排列后,第3位是4,当第3,4,5位为4,4,4时,总和为12,第1,2位总和为3,故这5个数可以是1,2,4,4,4,故A错误;对于B,由于中位数为3,众数为5,所以这5个数从小到大排列后,第3位是3,则第4和第5位为5,所以这5个数可以是1,2,3,5,5,故B错误;对于C,由于平均数为4,方差为1.2,则5次总和为20,记掷得5次骰子的点数为xi,i=1,2,3,4,5,则[(x1-4)2+(x2-4)2+(x3-4)2+(x4-4)2+(x5-4)2]=1.2,若有一个数为1,取x1=1,则(x2-4)2+(x3-4)2+(x4-4)2+(x5-4)2=-3,不合题意,则一定没有出现点数1,故C正确;对于D,由中位数为4,方差为1.6,所以这5个数从小到大排列后,第3位是4,平均数最小值为2.8,记掷得5次骰子的点数为xi,i=1,2,3,4,5,平均数为,则[(x1-)2+(x2-)2+(4-)2+(x4-)2+(x5-)2]=1.6,(x1-)2+(x2-)2+(4-)2+(x4-)2+(x5-)2=8,若有一个数为1,取x1=1,(1-)2≤8,(4-)2≤8,若取平均数为3,则(1-3)2+(x2-3)2+(4-3)2+(x4-3)2+(x5-3)2=8,(x2-3)2+(x4-3)2+(x5-3)2=3,则x2=2,x4=x5=4符合要求,这5个数可以为1,2,4,4,4,故D错误.故选C. 9.BCD　解析 设该组数据从小到大为a,b,c,d,e, 对于A,由题意c=70,d=e=80,80-a=15,可得a=65,故A错误; 对于B,这组数据为65,b,70,80,80,则65<b<70, 这组数据的平均数为=59+∈(72,73),故B正确; 对于C,因为5×0.6=3,所以该组数据的第60百分位数为=75,故C正确; 对于D,s2=[(65-)2+(b-)2+(70-)2+2×(80-)2], 因为∈(72,73),b∈(65,70),所以65-∈(-8,-7),b-=-59+b∈(-7,-3),70-∈(-3,-2),80-∈(7,8),所以s2>[(-7)2+(-3)2+(-2)2+2×72]=32>31,故D正确.故选BCD. 10.BCD　解析 由题可得,(2a+3a+7a+6a+2a)×10=200a=1,解得a=0.005,故A错误;前两个矩形的面积之和为(2a+3a)×10=50a=0.25<0.5,前三个矩形的面积之和为(2a+3a+7a)×10=120a=0.6>0.5.设该年级学生成绩的中位数为m,则m∈[70,80),故0.25+(m-70)×0.035=0.5,解得m≈77.14,所以估计该年级学生成绩的中位数约为77.14,故B正确;估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为×85+×95=87.5,故C正确;估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为×[12+(87.5-85)2]+×[10+(87.5-95)2]=30.25,故D正确.故选BCD. 11.　解析 (方法1)设原来4个数据依次为a,b,c,d,则a+b+c+d=24,方差为3,则[(a-6)2+(b-6)2+(c-6)2+(d-6)2]=3,即(a-6)2+(b-6)2+(c-6)2+(d-6)2=12,所以(a2+b2+c2+d2)-12(a+b+c+d)+36×4=12,则a2+b2+c2+d2=12+12×24-36×4=156,再加入一个数据8,则其平均数为(a+b+c+d+8)=×(24+8)=,则这5个数据的方差为[(a-)2+(b-)2+(c-)2+(d-)2+(8-)2]=[(a2+b2+c2+d2)-(a+b+c+d)+()2×4+]=×[156-×24+()2×4+]=. (方法2)看成分层随机抽样的方差,可以把8这个数看作一层,个数为1,平均数为8,方差为0,于是这5个数据的平均数为,方差为[3+(6-)2]+[0+(8-)2]=. 学科网（北京）股份有限公司 $