精品解析：2026年黑龙江齐齐哈尔市建华区中考二模数学试题

初三数学试题 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A：∵，∴ A错误； 选项B：∵，∴ B正确； 选项C：∵，∴ C错误； 选项D：∵，∴ D错误． 4. 如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中和两点分别落在直线和上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：直线， ， ，，， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和定理，这是几何中的必考点，必须熟练掌握. 5. 如图是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体．其左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，明确左视图是从物体的左面看到的图形是解题的关键； 根据左视图是从物体的左面看到的图形判断即可． 【详解】解：几何体的左视图是： 故选：C． 6. 在“健康中国2030”与“体重管理年”行动引领下，某校田径社团开展了“2026健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分，，三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．参与者小刚和小强被分配到同一组的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列举出所有等可能的分配结果，再找出小刚和小强被分配到同一组的结果数，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：画树状图表示所有等可能结果如下： 由树状图可知，一共有种等可能性的结果，其中小刚和小强被分配到同一组的结果有种， 所求概率为． 7. 若关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 3或5 D. 3或7 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 整理得：， 情况1：若整式方程无解， 当一次项系数为时，整式方程无解， ， 解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， 原分式方程的增根满足，即， 把代入，得，解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 8. 2026年3月23日是第66个“世界气象日”，某校组织600名师生前往城市气象科技馆开展“测今日气象，护明日家园”主题实践活动，计划租用30座和45座两种客车（两种客车都要租），要求每名师生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】设两种客车的租用数量为未知数，根据总人数列出二元一次方程，求方程的正整数解的个数，即可得到租车方案的数量； 【详解】解：设租用30座客车辆，45座客车辆，均为正整数（两种客车都要租）， 根据总人数为600，可得方程：， 整理得， ∵为正整数， ∴为整数，且， ∵ 3是奇数， ∴必为偶数， 由得， 符合条件的正偶数为：，共6个，对应均为正整数， 因此租车方案共有6种． 9. 如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 10. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为，其中，且．以下结论：①；②无论、、取何值，抛物线一定经过点；③方程的两根和为1；④；⑤是钝角三角形．其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象可得，，，可判断①；根据题意可得，且抛物线过点，即可判断②；根据方程与函数的关系可得，方程有两个根，且对应交点关于对称，可判断③；根据，可得，，再由即可判断④；求得点的纵坐标，求得，并得到，得到，即可判断⑤． 【详解】解：根据抛物线图象可得，开口向上则，对称轴为，可得，与轴交点在轴下方，则，∴，①正确； 由题意可得，二次函数经过点，则， 由可得，解得， 则， 由对称轴为，可得， 则无论、、取何值，抛物线一定经过点，即，②正确； 由方程可得， ∵， ∴结合函数图象可得，方程有两个根，且对应的交点关于对称轴对称， 可得两根之和为1，③正确； 由，可得，， 再由可得，解得，④正确； 将代入抛物线可得，， 由锐角三角函数的定义可得，， ∵， ∴，即， 则， ∴，是钝角三角形，⑤正确． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 2026年3月，据十四届全国人大四次会议黑龙江代表团官方通报，年冰雪季，黑龙江省累计接待游客1.5亿人次，同比增长．数据“1.5亿”用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将1.5亿改写为普通整数形式，再根据科学记数法的定义确定和的值即可；科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：亿， ， 即数据“1.5亿”用科学记数法表示为． 12. 一个圆锥母线长，底面圆半径，则圆锥的侧面展开图的圆心角为_______． 【答案】## 度 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面展开图的圆心角；根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵一个圆锥母线长，底面圆半径，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且满足点的横坐标是点的横坐标的2倍，的边轴，边轴，若的面积为3，则的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】设点的横坐标为，由题意点横坐标为，得 ，； 过作轴于，过作轴于，根据k值的几何意义可推出​，然后表示出，结合，即可解答． 【详解】解：设点的横坐标为，由题意点横坐标为， ∵都在反比例函数（​，图象在第一象限）上， ∴ ，； 过作轴于，过作轴于． ∴． ∵ ​． 梯形中，上底，下底​，高， ∴  ∵， ∴， 解得． 15. 在菱形中，，，点在边上，把沿着折叠得到，点的对应点为点，当垂直于菱形的一边时，的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：和 ，结合菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 由折叠的性质可知： ，，， ， 分两种情况讨论： ① 当时， 设交于点，则， 在 中，，， ∴， ∴， 设，则 ， 在 中，， ∴，即 ， 解得，即； ② 当 时， ∵， ∴ ，即， ∵ ， ∴， 过点作于点， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在 中，， ∴， ∴，即， 整理得 ，解得，即， 综上所述，的长为或． 16. 如图，直线分别与轴，轴相交于点，在中从左向右依次作正方形，正方形，正方形，正方形，分别取每个正方形两边的中点，按如图方式连接，其交点分别记为，，，，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数解析式求出点，，根据三角函数定义求出，过点作轴于点D，设点，则，，证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，证明，得出，证明，得出，求出；同理求出，，从而得出一般规律． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴点，， ∴，， ∴， 过点作轴于点D，如图所示： 则， 设点，则，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵E、F分别为，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点作轴于点G，过点作轴于点H，延长，过作于点K，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 同理可得：， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴，， ∴， 同理可得：， ， … ∴． 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 计算及分解因式 （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值．负整数指数幂分别计算即可． （2）根据提公因式法和完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 求不等式组的所有整数解的和． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集，然后写出整数解，再进行求和即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴满足不等式组的所有整数解是，，其和为：． 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 或， 解得，． 20. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下图、表： 抽取的学生一周使用大模型 辅助学习时间频数分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B 0.24 C 0.30 D 0.20 E 0.10 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）本次抽样调查了________名学生； （2）直接补全频数分布直方图； （3）调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； （4）该校九年级共有650名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 【答案】（1）50 （2）D组学生人数（名）， 频数分布直方图如图所示， （3）C （4）390名 【解析】 【分析】（1）由频数的概念可知，某一组学生人数÷抽样学生人数=对应的频数，即可得到答案； （2）先计算D组学生人数，再补齐频数分布直方图； （3）将本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间由小到大排列，找出中位数即可； （4）先计算一周使用大模型辅助学习的时间不少于的频数，再计算出对应的人数． 【小问1详解】 解：（1）由题意可知，A组有8名学生，频率为0.16， 抽样学生人数（名）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：抽样学生人数为50名学生，中位数为第25与26位的平均数，A组与B组共有（名）学生，C组有15名学生，第25与26位都在C组，所以中位数落在C组； 【小问4详解】 解：C、D、E组的频率和， 对应的学生人数 （名）， 答：该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数为390名学生． 21. 如图，在中，，点为的中点，过点作交的延长线于点．连接，，． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据 ，得出是的直径，圆心在上，根据垂径定理推论得出，结合，得出，即可证明是的切线； （2）根据 ，得出，则，在中，，​，设，，由勾股定理求出，，根据垂径定理推论得出，则是的中位线，得出​，，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，  ， ∴是的直径，圆心在上， 为的中点， ∴， 又， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：半径为，则直径， ∵， ∴， ∴， 在中，，​， 设，， 由勾股定理：， 解得， ∴，， 设交于点， 为的中点， ∴， 是中点， 是的中位线， ∴​， ， 在中，由勾股定理： ． 22. 一条笔直的公路上依次有、、三地．一辆轿车从地出发，匀速行驶，途经地接人且停留一段时间后匀速驶往地，到达地后停车修整；一辆货车从地出发，匀速行驶，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．轿车比货车早出发小时且早小时到达地．轿车、货车距地的距离（单位：千米）与货车行驶时间（单位：小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： （1），两地间的距离为________千米，，两地间的距离为________千米； （2）求图中线段所在直线的函数解析式； （3）直接写出货车出发多少小时，两车相距15千米． 【答案】（1）120，240 （2） （3）小时或小时或小时 【解析】 【分析】（1）根据货车的行驶图象即可求出、两地距离，先根据图象求出轿车速度，再结合题意即可求出、两地距离； （2）先求出点坐标，再根据待定系数法求解即可； （3）根据图象分时间段分别列方程解答即可； 【小问1详解】 解：y表示距地的距离，（货车出发时）货车在地，，故、两地距离为千米； 轿车比货车早出发小时，​时轿车到达地，可得轿车走段总用时为小时， 根据图象可得轿车速度， 当时轿车距地180千米， 故千米； 【小问2详解】 解：已知轿车到达地时​，，故，  ∵轿车比货车早小时到达地， ∴， ， 根据图象可得货车共行驶小时，总路程千米， ∴货车速度， 当货车行驶小时时，货车距地的距离为千米， ∴，  设解析式为， 则 ， 解得：，， 故解析式为： ； 令，则，解得：，即， 故图中线段所在直线的函数解析式为： ； 【小问3详解】 解：当，即轿车和货车均未到达地时， 两车距离， 即，解得：（舍去）； 当，即轿车在地停留，货车未到达地时， 两车距离，解得：； 当，即轿车在地停留，货车到达地后返回地时， 两车距离，解得：（舍去）； 当，即轿车从地向地行驶，货车到达地后返回地时， 两车距离，解得：； 或，解得：（舍去）； 当，即轿车已到达地，货车到达地后返回地时， 两车距离，解得：； 综上，货车出发小时或小时或小时，两车相距15千米． 23. 如图，在中，，，点是斜边上的动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧构造，使，，连接． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系和数量关系是________； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系是________，证明猜想； 拓展应用 （3）在中，，作点关于的对称点，连接，． ①如图3，在（1）的条件下，连接，当时，请直接写出的长度； ②如图4，当时，连接，则的取值范围是________． 【答案】（1）， （2）， （3）①或 ② 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，则，即，由此即可得； （2）先证出，再根据相似三角形的性质可得，则，即，由此即可得； （3）①先证出四边形是正方形，再过点作于点，则，设，分和两种情况，求出的长，然后利用勾股定理可得，则可得关于的函数表达式，连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径，先根据圆周角定理可得点在上，，再过点作于点，过点作于点，根据垂径定理可得，，根据矩形的判定与性质可得，利用勾股定理可得的长，然后求出正方形的面积，即可求解． ②先说明点在直线上运动，当点与点M重合时，最小；当点与点N重合时，最大，据此求解即可； 【小问1详解】 解：当时，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， ， ，即， ． 【小问2详解】 解：． 证明：， ，即， 在和中 ， ， ， 又， ， ，即， ． 【小问3详解】 解：①当时，， ， ， ∵点与点关于对称， ， ， ∴四边形是菱形， 又 ∵， ∴菱形是正方形． 如图，过点作于点，则， 设， 当时，， ； 当时，， ， 综上，． 如图，连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径， 由上已证：，即， ∴点在上， 由圆周角定理得：， 过点作于点，过点作于点， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ∴， ， 解得或，均符合题意， 所以的长度为或． ②当时， 在中，，，在中，，， ∴， ∴， ∴， 根据轴对称可得， ∵点D在线段上运动， ∴点一定在直线上运动， 如图，当点D与点A重合时，点关于的对称点与点M重合， 此时，，， 当点D与点B重合时，∵， ∴点E与点重合， 则点关于的对称点与点N重合， 此时，，， ∴， ∴点在直线上运动， ∴的最小值为， 的最大值为， 过点作交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则． 24. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线与抛物线另有一个交点，连接，，当点在第四象限时，求四边形的面积的最大值； （3）将线段绕着点顺时针方向旋转得到线段（旋转角在到之间），在旋转的过程中，的最小值是________； （4）如图2，直线与抛物线另有一个交点，连接，，当点满足 时，点的横坐标的取值范围是________． 【答案】（1） （2） （3） （4）且 【解析】 【分析】（1）将、代入求解即可； （2）根据题意可得抛物线对称轴为，故，，求出 ，求出直线的解析式，过的F作x轴的垂线，交于点M，设 ，则，求出，从而得出，再根据二次函数的性质即可求解； （3）旋转后 ，即可得在以为圆心、半径为1的上，在上取点 ，则，证明，得出，即可得，根据勾股定理求出，即可求出的最小值； （4）求出点关于对称轴的对称点为点，即可得根据，得出，故当点F在点之间的抛物线上运动，即时，即．过点B作x轴的垂线，交的延长线于点H，则，得出，作直线关于直线的对称直线，交抛物线于点K，过点K作x轴的垂线，交x轴于点L，当点F在点之间的抛物线上运动时， ，求出点K的横坐标即可． 【小问1详解】 解：将、代入： 得， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：连接， 抛物线对称轴为， 故，， ∴ ， 设直线的解析式为， 代入：得， 解得， ∴直线的解析式为， 过点F作x轴的垂线，交于点M， 设 ，则， 则 ， ∴， 该函数开口向下，当时，取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：旋转后 ，在以为圆心、半径为1的上， 在上取点 ， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， 即的最小值是； 【小问4详解】 解：∵， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∵点，关于对称轴对称， ∴关于对称轴对称， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∴， 故当点F在点之间的抛物线上运动，即时， ， 即． 过点B作x轴的垂线，交的延长线于点H， 则， ∴， 作直线关于直线的对称直线，交抛物线于点K，过点K作x轴的垂线，交x轴于点L， 则， ∵， ∴，即， ∴， 当点F与点K重合时， ， ∵， ∴此时， 解得：或（舍去）， ∴结合图象可得，当点F在点之间的抛物线上运动，即时， ，即； 综上，当点满足 时，点的横坐标的取值范围是且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试题 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中和两点分别落在直线和上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图是用5个大小相同的小立方块搭成的几何体．其左视图是（　　） A. B. C. D. 6. 在“健康中国2030”与“体重管理年”行动引领下，某校田径社团开展了“2026健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分，，三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．参与者小刚和小强被分配到同一组的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 3或5 D. 3或7 8. 2026年3月23日是第66个“世界气象日”，某校组织600名师生前往城市气象科技馆开展“测今日气象，护明日家园”主题实践活动，计划租用30座和45座两种客车（两种客车都要租），要求每名师生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 9. 如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为，其中，且．以下结论：①；②无论、、取何值，抛物线一定经过点；③方程的两根和为1；④；⑤是钝角三角形．其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 2026年3月，据十四届全国人大四次会议黑龙江代表团官方通报，年冰雪季，黑龙江省累计接待游客1.5亿人次，同比增长．数据“1.5亿”用科学记数法表示为_______． 12. 一个圆锥母线长，底面圆半径，则圆锥的侧面展开图的圆心角为_______． 13. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且满足点的横坐标是点的横坐标的2倍，的边轴，边轴，若的面积为3，则的值是_______． 15. 在菱形中，，，点在边上，把沿着折叠得到，点的对应点为点，当垂直于菱形的一边时，的长为_______． 16. 如图，直线分别与轴，轴相交于点，在中从左向右依次作正方形，正方形，正方形，正方形，分别取每个正方形两边的中点，按如图方式连接，其交点分别记为，，，，则的面积为_______． 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 计算及分解因式 （1）计算：； （2）分解因式：． 18. 求不等式组的所有整数解的和． 19. 解方程：． 20. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下图、表： 抽取的学生一周使用大模型 辅助学习时间频数分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B 0.24 C 0.30 D 0.20 E 0.10 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）本次抽样调查了________名学生； （2）直接补全频数分布直方图； （3）调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； （4）该校九年级共有650名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 21. 如图，在中，，点为的中点，过点作交的延长线于点．连接，，． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 22. 一条笔直的公路上依次有、、三地．一辆轿车从地出发，匀速行驶，途经地接人且停留一段时间后匀速驶往地，到达地后停车修整；一辆货车从地出发，匀速行驶，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．轿车比货车早出发小时且早小时到达地．轿车、货车距地的距离（单位：千米）与货车行驶时间（单位：小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： （1），两地间的距离为________千米，，两地间的距离为________千米； （2）求图中线段所在直线的函数解析式； （3）直接写出货车出发多少小时，两车相距15千米． 23. 如图，在中，，，点是斜边上的动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧构造，使，，连接． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系和数量关系是________； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系是________，证明猜想； 拓展应用 （3）在中，，作点关于的对称点，连接，． ①如图3，在（1）的条件下，连接，当时，请直接写出的长度； ②如图4，当时，连接，则的取值范围是________． 24. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线与抛物线另有一个交点，连接，，当点在第四象限时，求四边形的面积的最大值； （3）将线段绕着点顺时针方向旋转得到线段（旋转角在到之间），在旋转的过程中，的最小值是________； （4）如图2，直线与抛物线另有一个交点，连接，，当点满足 时，点的横坐标的取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $