精品解析：黑龙江省牡丹江市2025-2026学年九年级下学期 中考二模数学试卷

二〇二六年牡丹江市初中学业水平考试第二次适应性考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请把答案写在答题卡上，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. a÷b×＝a D. 【答案】D 【解析】 【分析】A. 原式利用单项式乘单项式法则计算即可求解； B. 原式利用同类项的合并方法即可求解； C. 原式利用乘除法则计算即可求解； D. 原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可求解； 【详解】A. 原式，错误； B. 原式，错误； C. 原式，错误； D. 原式，正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查整式的计算，熟练掌握整式的计算法则是求解本题的关键. 2. 下列的四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：第一个图形：既是轴对称图形又是中心对称图形； 第二个图形：是轴对称图形，不是中心对称图形； 第三个图形：不是轴对称图形，是中心对称图形； 第四个图形：不是轴对称图形，是中心对称图形； 既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是个． 3. 一组数据1，2，6，7，，12的平均数为5，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均数的定义求出未知数据，再将数据从小到大排序，根据中位数的定义计算得到结果． 【详解】∵ 这组数据共有个数，平均数为， ∴ 这组数据的总和为 ， 可得 ， 将数据从小到大排序为 ， ∵ 数据个数为偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数，中间两个数为和， ∴ 中位数为 ． 4. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的小正方体的个数最少是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】作出俯视图，并分析最少的情况即可． 【详解】解：该几何体的小正方体的个数最少时，俯视图可为： 此时需要的小正方体最少个数为（个）． 5. 如图，某小区有一块矩形场地，，，计划在其中修建两块相同的矩形花坛，这两块花坛的面积之和为，两块花坛之间及周边留有宽度相同的人行通道．若设人行通道的宽为，则可以列出关于的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两个矩形花坛看作整体，利用面积构造方程即可． 【详解】解：通过平移可将两个小矩形花坛合并成一个大矩形，其长为，宽为， 根据题意，可列方程：， 整理，得． 6. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先解关于的分式方程，用表示出，再根据方程的解为非负数且分式分母不为，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为， ∴且， 解得且． 7. 某工厂为一次性运送50件规格相同的产品，需要同时租用甲、乙两种型号的货车若干辆．若甲种货车装满时，每辆可装载6件产品，乙种货车装满时，每辆可装载4件产品，在租用的车辆全部满载（正好装满）的情况下，该工厂的租车方案共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】设出两种货车的租用数量，根据总产品数列出方程，求解方程的正整数解，即可得到方案数量． 【详解】设租用甲种货车辆，乙种货车辆，根据题意可得： 化简得： 整理得： ∵需要同时租用两种货车， ∴，均为正整数， ∴是正偶数， ∵25是奇数， ∴是奇数， ∴为奇数， 又∵，得 ， 满足条件的正奇数x：1、3、5、7， ∴对应四组租车方案： 1．， 2．， 3．， 4．， ∴租车方案共4种． 8. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作轴于点，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，则，结合轴可得，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵点的纵坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 9. 如图，在中，，点在上，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，由已知条件得出，证明，得出，即可进一步证明，由相似三角形的性质进一步得出，再得出， 由全等三角形的性质得出，，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出， 进而可得出．，由勾股定理求出，由等面积求出，再得出，由相似三角形的性质即可求出，进一步即可得出． 【详解】解：延长交的延长线于点， ，， ． ， ， ． 又， ． ， ，， ． ， ， 在和中， ， ． ，． ， ．， ．， 由三角形面积公式可知：． ， ． ，． ． ． ． ． ． 10. 如图，点在正方形的对角线上，连接，作交于点，连接交于点，平分交于点，交于点，交于点，连接．下列结论中： ；；；；若，则．正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作于M，过点P作交于N，交于O，可证，，是等腰直角三角形，可判断；在上取点I，使，连接，由对称性，，由，得，可判断；过点F作交于点S、T，则，由，，，得，可判断；由全等三角形性质得，由正方形性质得，由等腰直角三角形性质得，，即得，可判断；由，，得，证明，，，由，得，得，可判断． 【详解】解：如图，过点P作于M，过点P作交于N，交于O， ∵点在正方形的对角线上， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴．故正确． 在上取点I，使，连接， 由对称性，， ∴， ∵G随P运动，I随G运动,A，E，D不运动, ∴， ∴， ∴． ∴不正确． 过点F作交于点S、T，则， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ．故正确． ， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴．故正确． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴．故正确． 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 2026年3月，中国社会消费品零售总额为元，将数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值，完成对原数的科学记数法表示即可． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数.确定的值时，若原数绝对值大于，为正整数，且等于原数的整数位数减， 原数共位整数，可得，， 因此． 12. 函数的自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥-2 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数且分母不等等于零，可得答案． 【详解】解：由题意，得 x+2≥0且x+3≠0， 解得x≥-2且x≠-3， ∴自变量x的取值范围是x≥-2， 故答案为：x≥-2． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键． 13. 如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义以及平行线的性质得，故，再进行补充条件，使得四边形是平行四边形．又根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 或添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 14. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是_____________. 【答案】； 【解析】 【详解】试题解析：列表得： 1 2 3 4 1 −−− (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) −−− (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) −−− (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) −−− 所有等可能的情况有12种，其中之和为奇数的情况有8种， 则 故答案为: 15. 已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案． 【详解】解：解不等式组，得 ， ∵ 关于 x 的不等式组仅有三个整数解，即 0 ， ，， ∴ ， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，，，分别与相切于点，，，点在上．若，，则________． 【答案】115 【解析】 【分析】连接，，，，，根据切线的性质得出，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形求出． 【详解】解：连接，，，，，如图所示： ∵，，分别与相切于点，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 17. 若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】此题考查了圆锥的有关计算．首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后根据弧长的计算公式即可求得圆心角的度数． 【详解】解：圆锥的底面周长是：， 设圆心角的度数是，则， 解得：． 故侧面展开图的圆心角的度数是． 故答案是：． 18. 如图，在中，，，点是直线上一动点，是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，在点运动的过程中，线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，连接，作点关于的对称点，连接、、，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质容易得到，．由旋转的性质可得，，，，由，可判断、、三点共线．容易证明是等边三角形，则，，由轴对称的性质可得，，则，因此当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解；如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，作点关于的对称点，连接、、， ∵，， ∴， ∵是边的中点， ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 由旋转的性质可得， ，，， ∴， ∵， ∴、、三点共线， ∵， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 由轴对称的性质可得，，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 在中，， ∴的最小值为． 19. 在中，，将折叠，使点与点重合，折痕所在的直线交于点，交直线于点，若，则的面积为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况分析：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，分别利用折叠的性质及勾股定理得出，然后利用相似三角形的判定和性质确定，结合图形计算面积即可． 【详解】解：当为锐角三角形时，如图所示： ∵将折叠，使点与点重合，折痕所在的直线交于点，， ∴，， ∵， ∴， ， 过点作于， ，， ， ， ， ， ； 当为钝角三角形时，如图所示： 同理得：， ∴， 同理得：， ， ， ， ∴． 综上：的面积为或． 20. 如图，已知直线的解析式为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，……，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标，利用三角函数可计算出，从而计算出，，，总结出规律，再求出线段的长． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，， ∴， 在中，，， ∴点的纵坐标为，代入，得， ∴， 同理，，， ∴总结规律可得，， ∴． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ∵， ∴原式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）将绕原点逆时针旋转得到，请画出，并直接写出点在旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）如图所示： 的坐标为 （2）如图所示： 路径长为 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质画出点、、，连接成三角形，并写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质画出点、、，连接成三角形，再使用扇形的弧长公式求路径长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由旋转的性质可得，， 由勾股定理可得，， ∴点在旋转到的过程中所经过的路径为圆心角为，半径为的圆弧， ∴路径长为． 23. 如图，抛物线交轴于点，交轴于，两点，直线经过点，与抛物线交于点，且与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在直线上方的抛物线上，且点到直线的距离与点到直线的距离相等，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先求得，点A的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）设过点且平行于直线的直线与轴交于点，利用待定系数法求得直线的解析式，得到，设过点且平行于直线的直线与轴交于点，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线， 得：， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴点A的坐标为， 将点和点代入抛物线， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，得， 解得，， ∴点D的坐标为， ∵点到直线的距离与点到直线的距离相等，且点P在直线上方， ∴点P所在的直线与直线平行，且该直线与直线的距离等于点D到直线的距离， ∵直线为， 设过点且平行于直线的直线与轴交于点， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴， 设过点且平行于直线的直线与轴交于点， ∴，则， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得，即， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 24. 6月5日是世界环境日，为普及环保知识，增强环保意识，某市第一中学举行了“环保知识竞赛”，共有1000名学生参加比赛并取得相应成绩（满分100分，得分为整数）． 为了解本次竞赛的成绩情况，学校团委从中抽取了部分学生的成绩进行统计，并绘制出如下不完整的频数分布表和频数分布直方图： 竞赛成绩频数分布表 分组 频数 频率 （1）请直接写出的值，并补全频数分布直方图； （2）小明同学在（1）的条件下，画出了竞赛成绩的扇形统计图，则得分为（含和）的同学所对应的扇形圆心角的度数为 ． （3）若成绩在分以上（含分）为优秀，求这次参赛的学生中，成绩为优秀的学生约有多少人？ 【答案】（1）， 频数分布直方图如下： （2）72 （3）成绩为优秀的学生约有600人 【解析】 【分析】（1）利用组的频数和频率推算出抽取的人数，再求出组的频数，进而得到组的频数和频率，并补全频数分布直方图即可； （2）计算出组的占比，乘以即可； （3）计算出样本中优秀的学生的占比，乘以参加比赛的学生总数即可． 【小问1详解】 解：由统计图表可知，组的频数为，频率为， ∴抽取的学生人数为（人）， ∴组的频数为（人）， ∴组的频数为（人）， ∴， 频数分布直方图如答案所示； 【小问2详解】 解：， ∴得分为（含和）的同学所对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：成绩为优秀的学生约有600人． 25. 甲、乙两车从地出发，沿相同路线匀速驶向地，甲车出发1小时后乙车出发，乙车先到达地并在地停留1小时后，甲、乙两车相距，此时乙车再按原路原速返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车与地的距离（单位：）与乙车行驶时间（单位：）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的行驶速度是 ，两地的路程是 ； （2）请求出线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出甲车行驶多长时间时，甲、乙两车相距． 【答案】（1）； （2） （3）甲车行驶或时，甲、乙两车相距 【解析】 【分析】（1）先确定甲车的速度为，再求出两地的路程为，最后计算出乙车的速度即可； （2）根据题意可得，，点，从而求出线段的解析式，同样的方法求出线段的解析式，联立求出点的坐标，即可得到自变量的取值范围； （3）分为，和三段分析，用绝对值表示两车之间的距离，列出方程并求解，最后转换为甲车出发的时间即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，乙车出发时，甲车离开地， ∴甲车的速度为， 根据题意，乙车出发7小时时，甲车距离地， ∴两地的路程为， ∵乙车6小时从地到地， ∴乙车的速度为； 【小问2详解】 解：由题意可知，在线段中，乙车的速度不变，即，但方向相反， ∴， 设线段的解析式为， 由（1）可知，点的坐标为， 将点代入，得， ∴线段的解析式为， ∵甲车的速度为， ∴可设线段的解析式为， 将点代入，得， ∴线段的解析式为， 联立线段与线段，得， 解得， ∴点的坐标为， ∴线段的解析式为； 【小问3详解】 解：∵乙车的速度为， ∴线段的解析式为， ①当时， 两车的距离为， ∴，即， 解得或（负值舍去）， ∴甲车出发； ②当时， 乙车停留在地，两车之间的距离为， ∴，即， 解得或（与题设不符，舍去）， ∴甲车出发； ③当时， 根据题意，两车之间的距离不超过，故舍去； 综上所述，甲车行驶或时，甲、乙两车相距． 26. 已知在中，，点是直线上一点，且，交于点．当，点在线段上时，如图①，易证：； 当，点在线段的延长线上时，如图②；当，点在线段上时，如图③，线段，，之间又存在怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并对图②的结论进行证明． 【答案】图②猜想：； 图③猜想：． 证明：延长到，使，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ，． ， ， ，， ． 在与中 ． ， ， ∴． 【解析】 【分析】图②猜想证明：延长到，使，连接，利用等边三角形的性质得出，再由平行线的性质确定，得出为等边三角形，利用等量代换得出，结合全等三角形的判定和性质即可证明； 图③猜想证明：过点D作，于点G、F，根据等腰三角形的性质得出，确定，得出平分，，再由角平分线的性质得出，利用全等三角形的判定和性质确定，，结合解直角三角形求解即可． 【详解】解：图③证明如下： 过点D作，于点G、F，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27. 为迎接“五一”小长假的购物高峰，某专卖店准备购进甲、乙两种商品进行销售，若购进2件甲种商品和3件乙种商品需花费440元；若购进3件甲种商品和4件乙种商品需花费620元．根据市场调查，甲种商品的售价定为每件240元，乙种商品的售价定为每件160元．请解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进价分别是每件多少元？ （2）该专卖店决定一次性同时购进甲、乙两种商品共200件，要求总花费不超过17900元，并且购进甲种商品的数量与20的差大于乙种商品数量的，问该专卖店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，若专卖店本次购进的甲、乙两种商品恰好全部售出，那么专卖店按哪种方案进货能获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲种商品的进价为100元/件，乙种商品的进价为80元/件 （2）共有三种进货方案：方案一：甲种商品购进93件，乙种商品购进107件；方案二：甲种商品购进94件，乙种商品购进106件；方案三：甲种商品购进95件，乙种商品购进105件． （3）甲种商品购进95件，乙种商品购进105件时，专卖店获利最大，最大利润为21700元 【解析】 【分析】（1）设甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元，依题意，购进两种商品的两种组合对应的总花费列方程组即可求解； （2）设甲种商品购进件，乙种商品购进件，根据总花费不超过给定值、甲商品数量与20的差大于乙商品数量的，可列一元一次不等式组，再由为整数，求得，即可得到进货方案； （3）设所获利润为W元，据利润公式列出总利润关于甲商品进货数量的函数表达式，根据一次函数的性质结合第（2）问中未知数的取值范围，即可确定最大利润对应的进货方案和最大利润值． 【小问1详解】 解：设甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元． 根据题意，得 解得， 答：甲种商品的进价为100元/件，乙种商品的进价为80元/件． 【小问2详解】 设甲种商品购进件，乙种商品购进件． 根据题意，得 解得． 为整数， ． 共有三种进货方案： 方案一：甲种商品购进93件，乙种商品购进107件； 方案二：甲种商品购进94件，乙种商品购进106件； 方案三：甲种商品购进95件，乙种商品购进105件． 【小问3详解】 设所获利润为W元． ， ， 随的增大而增大， ∴当取最大值时，W有最大值， ∴当时，元． 答：甲种商品购进95件，乙种商品购进105件时，专卖店获利最大，最大利润为21700元． 28. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，线段，的长分别是方程的两个根（），为轴负半轴上的一点，且，连接交轴于点． （1）求点的坐标； （2）若点以每秒个单位长度的速度沿线段由向运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿线段由向运动，当，中有一点到达终点时，两点同时停止运动，设，的运动时间为秒，的面积为，求与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当，点在第二象限时，直线与直线交于点，在轴上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）先解方程求出与，通过等量代换与勾股定理求出即可； （2）分为点在线段上和点在线段上两类讨论，作于点，利用相似计算出，再结合的表达式，求出与的关系式； （3）先由（2）的关系式求出，从而求出直线的解析式，进一步得到点．分四类讨论，当点是直角顶点时，作轴于点，容易证明，则，计算得；当点为直角顶点时，，计算得；点为直角顶点，容易证明，则，代入解方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， 解得，， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴点的坐标为，， 由勾股定理可得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ①当点在线段上时，则，如图，作于点， 由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ②当点在线段上时，则，如图， 同理，，， ∴； 综上所述，； 【小问3详解】 解：∵，且点在第二象限， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴点的坐标为， 由（2）可知，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 假设存在点，使得是直角三角形， ①当点是直角顶点时，如图，作轴于点， ∵轴， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点的坐标为； ②当点为直角顶点时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点的坐标为； ③当点为直角顶点，且点在轴正半轴时，如图，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理，得， 解得或（负值舍去）， ∴点的坐标为； ④当点为直角顶点，且点在轴负半轴时，如图，设，则， 同理，， ∴，即， 整理，得或（负值舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，假设成立，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二六年牡丹江市初中学业水平考试第二次适应性考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请把答案写在答题卡上，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. a÷b×＝a D. 2. 下列的四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据1，2，6，7，，12的平均数为5，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的小正方体的个数最少是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，某小区有一块矩形场地，，，计划在其中修建两块相同的矩形花坛，这两块花坛的面积之和为，两块花坛之间及周边留有宽度相同的人行通道．若设人行通道的宽为，则可以列出关于的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 7. 某工厂为一次性运送50件规格相同的产品，需要同时租用甲、乙两种型号的货车若干辆．若甲种货车装满时，每辆可装载6件产品，乙种货车装满时，每辆可装载4件产品，在租用的车辆全部满载（正好装满）的情况下，该工厂的租车方案共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 8. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点在上，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在正方形的对角线上，连接，作交于点，连接交于点，平分交于点，交于点，交于点，连接．下列结论中： ；；；；若，则．正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 2026年3月，中国社会消费品零售总额为元，将数据用科学记数法表示为________． 12. 函数的自变量x的取值范围是__________． 13. 如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 14. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是_____________. 15. 已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是________． 16. 如图，，，分别与相切于点，，，点在上．若，，则________． 17. 若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是__________． 18. 如图，在中，，，点是直线上一动点，是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，在点运动的过程中，线段的最小值为________． 19. 在中，，将折叠，使点与点重合，折痕所在的直线交于点，交直线于点，若，则的面积为________． 20. 如图，已知直线的解析式为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，……，则线段的长为________． 三、解答题（满分60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）将绕原点逆时针旋转得到，请画出，并直接写出点在旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留）． 23. 如图，抛物线交轴于点，交轴于，两点，直线经过点，与抛物线交于点，且与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在直线上方的抛物线上，且点到直线的距离与点到直线的距离相等，请直接写出点的坐标． 24. 6月5日是世界环境日，为普及环保知识，增强环保意识，某市第一中学举行了“环保知识竞赛”，共有1000名学生参加比赛并取得相应成绩（满分100分，得分为整数）． 为了解本次竞赛的成绩情况，学校团委从中抽取了部分学生的成绩进行统计，并绘制出如下不完整的频数分布表和频数分布直方图： 竞赛成绩频数分布表 分组 频数 频率 （1）请直接写出的值，并补全频数分布直方图； （2）小明同学在（1）的条件下，画出了竞赛成绩的扇形统计图，则得分为（含和）的同学所对应的扇形圆心角的度数为 ． （3）若成绩在分以上（含分）为优秀，求这次参赛的学生中，成绩为优秀的学生约有多少人？ 25. 甲、乙两车从地出发，沿相同路线匀速驶向地，甲车出发1小时后乙车出发，乙车先到达地并在地停留1小时后，甲、乙两车相距，此时乙车再按原路原速返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车与地的距离（单位：）与乙车行驶时间（单位：）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的行驶速度是 ，两地的路程是 ； （2）请求出线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出甲车行驶多长时间时，甲、乙两车相距． 26. 已知在中，，点是直线上一点，且，交于点．当，点在线段上时，如图①，易证：； 当，点在线段的延长线上时，如图②；当，点在线段上时，如图③，线段，，之间又存在怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并对图②的结论进行证明． 27. 为迎接“五一”小长假的购物高峰，某专卖店准备购进甲、乙两种商品进行销售，若购进2件甲种商品和3件乙种商品需花费440元；若购进3件甲种商品和4件乙种商品需花费620元．根据市场调查，甲种商品的售价定为每件240元，乙种商品的售价定为每件160元．请解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进价分别是每件多少元？ （2）该专卖店决定一次性同时购进甲、乙两种商品共200件，要求总花费不超过17900元，并且购进甲种商品的数量与20的差大于乙种商品数量的，问该专卖店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，若专卖店本次购进的甲、乙两种商品恰好全部售出，那么专卖店按哪种方案进货能获得的利润最大，最大利润是多少元？ 28. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，线段，的长分别是方程的两个根（），为轴负半轴上的一点，且，连接交轴于点． （1）求点的坐标； （2）若点以每秒个单位长度的速度沿线段由向运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿线段由向运动，当，中有一点到达终点时，两点同时停止运动，设，的运动时间为秒，的面积为，求与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当，点在第二象限时，直线与直线交于点，在轴上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $