专题05探索三角形全等的条件、利用三角形全等测距离期末复习讲义（19大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题05探索三角形全等的条件、利用三角形全等测距离 期末复习讲义 期末复习◆重点 理解全等三角形的定义，牢记对应边、对应角及对应线段、周长、面积相等的性质，规范全等式书写格式。 掌握利用全等三角形测距的解题思路，能从实际场景抽象几何图形，挖掘公共边、对顶角、直角、平行线等隐含条件构造全等三角形，结合性质完成推理、等量代换与长度计算，保证解题步骤严谨规范。 核心题型◆归纳 题型1.用SSS证明三角形全等 题型2.用SSS间接证明三角形全等 题型3.全等的性质和SSS综合 题型4.尺规作图——作三角形 题型5.三角形的稳定性及应用 题型6.四边形的不稳定性 题型7.用ASA（AAS）证明三角形全等 题型8.全等的性质和ASA（AAS）综合 题型9.用SAS证明三角形全等 题型10.用SAS间接证明三角形全等 题型11.全等的性质和SAS综合 题型12.灵活选用判定方法证全等 题型13.结合尺规作图的全等问题 题型14.利用全等图形求网格角度和 题型15.添加条件使三角形全等 题型16.倍长中线模型） 题型17.旋转模型 题型18.垂线模型 题型19.全等三角形综合问题 重点知识◆梳理 【知识点一、三角形全等的判定方法】 边边边：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”． 几何证明：如图：在△ABC和△A’B’C’中，  △ABC≌△A’B’C’（SSS） 边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 几何证明：如图，在△ABC和△A’B’C’中，  △ABC≌△A’B’C（SAS） 角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 几何证明：如图， 如果∠A=∠，AB=，∠B=∠，则△ABC≌△．              角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 斜边直角边（HL） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅限直角三角形） 【易错点提醒】 （1）三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE=∠B，∠AED=∠C，又∠A=∠A，但△ABC和△ADE不全等．这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等． （2） 两边和其中一边的对角相等，（三角形形状不唯一）不能判定全等。 【知识点二、三角形的稳定性】 三角形的稳定性 （1）只要三角形的三边长确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． （2）四边形具有不稳定性． 三角形稳定性的应用 稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等． 【知识点三、利用三角形全等测距离】 构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等来测量距离． 如果两端都可以达到，用 SAS； 如果只有一端可以达到，用 AAS； 如果两端都不能达到，用 SAS； 【知识点四、常见实际应用场景及解题思路】 测量池塘两端、河两岸两点间距离 测量方法：在岸边选取合适测点，构造全等三角形，使待测距离为全等三角形的一组对应边； 解题步骤： 明确待测两点，选取便于测量的辅助点，画出构造的几何图形； 标注已知条件，证明构造的两个三角形全等； 根据全等三角形对应边相等，得出待测距离等于可测线段长度； 测量可测线段长度，即为所求未知距离。 测量内部无法跨越的两点距离（如建筑物、障碍物两侧） 建模方法：利用中点、平行线、垂直关系，构造全等三角形； 关键技巧：借助公共边、对顶角、直角等隐含条件，快速证明三角形全等。 【知识点五、标准解题步骤】 画图建模：根据实际情境，画出对应的几何图形，标注顶点、已知线段和角； 说明构造：阐述辅助点、辅助线的选取方式，以及构造图形的条件； 证明全等：选用合适的全等判定定理，严谨证明两个三角形全等； 推导结论：根据全等三角形对应边相等，建立待测距离与可测距离的等量关系； 得出结果：明确待测距离的长度，完成解题。 题型解析◆精准备考 题型1.用SSS证明三角形全等 1．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：题干的：三边长分别为、、， ∵三角形要全等对应边必须相等， ∴只有C项与的各边都相等． 2．小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 【答案】 全等三角形的对应角相等 【分析】根据全等三角形的判定定理及性质解答即可． 【详解】解：由尺规作图可知，，，， 所以， 所以（全等三角形的对应角相等）． 3．如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据“”直接证明全等即可． 【详解】解：， ， 即． 在和中， ， ． 题型2.用SSS间接证明三角形全等 1．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答． 【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 2．小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是______（填“正确”或“错误”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟知三角形全等判定的相关定理是解题的关键． 根据“边边边”定理即可判断小明的说法是正确的． 【详解】根据“两个三角形的三条边分别对应相等，则两个三角形全等”可知，小明的判断是正确的． 故答案为：正确． 3．如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【答案】(1)证明见详解 (2)2 【分析】（1）根据已知条件利用线段和差关系得出，进而利用“”证明； （2）由（1）的结论得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型3.全等的性质和SSS综合 1． 如图，已知，以下结论错误的是（   ） A． 平分 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用可证明，由全等三角形的性质可得，据此可判断A、C、D，根据现有条件无法证明，则可判断B． 【详解】解：∵， ∴，故C结论正确，不符合题意， ∴，故D结论正确，不符合题意， ∴平分，故A结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故B结论错误，符合题意； 故选：B． 2．如图，在和中，，，点是的中点，连接、，且满足，若，则________．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：如图，延长至点，使，连接、，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，即， ，， ， ， ， ， ． 3．如图，在中，点是上的点，连接并延长到点、使得，连接，，与相等吗？为什么？ 【答案】相等，理由如下： ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【分析】先证，得，，再根据角度的和差即可解答． 【详解】略 题型4.尺规作图——作三角形 1．已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，根据尺规作三角形的步骤，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作的步骤如下： 作直线，在上截取； 分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； 连接，则为所作的三角形； 故正确的顺序为②①③； 故选C． 2．如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图-作三角形，根据作图方法可得，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得， ， 故答案为：． 3．已知：线段，，（如图）． 求作：，使，，． 【答案】见解析 【分析】画射线，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交的两边于点，；以相同长度为半径，B为圆心画弧，交于点F，以F为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，作射线；以B为圆心，a为半径画弧交射线于点C，以B为圆心，c为半径画弧交射线于点A，连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 题型5.三角形的稳定性及应用 1．下列图形不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得B、C、D都具有稳定性，不具有稳定性的是A选项． 2．如图，工人在新做的门板上钉了一个加固板，从数学的角度看，这样做的道理是利用了三角形的__________性． 【答案】稳定 【详解】解：这样做的道理是利用了三角形的稳定性． 3．生活中的数学：某校计划为初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的____________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【答案】(1)稳定 (2)见详解 【分析】本题考查了三角形的稳定性，三全等三角形的判定和性质，线段中点的定义，正确理解全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质回答即可． 【详解】（1）解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性质， 故答案为：稳定； （2）是的中点， ， ， ， ． 题型6.四边形的不稳定性 1．下列图形中不具备稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， ∴四个图形中，只有C选项中的图形不具有稳定性． 2．下列图形中哪些具有稳定性？ 【答案】①④⑥具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性这一特性，判断所给图形是否由三角形构成或可分割成三角形，从而确定哪些图形具有稳定性即可． 【详解】解：图形①：被分割成了多个三角形，具有稳定性； 图形②：是四边形内加一条线段，形成了两个四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形③：下方是被分割的四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形④：被分割成了多个三角形，具有稳定性； 图形⑤：是两个四边形组成的图形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形⑥：被分割成了多个三角形，具有稳定性， 综上所述，具有稳定性的是①④⑥． 3．如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 题型7.用ASA（AAS）证明三角形全等 1．如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 2．如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，在探究过程中判断的依据是_______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定． 【详解】解：， 由题意得，， ， 故答案为：． 3．如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点，且． (1)用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹） (2)小明得出结论：≌，他判定三角形全等的依据是____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握基本作图是解本题的关键． （1）作即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角． （2）∵， ∴ ， 在和， ， ∴． 故答案为：． 题型8.全等的性质和ASA（AAS）综合 1．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，根据全等三角形的性质可得，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意可知，， ，与底面垂直，B处距地面高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 2．如图，在中，是的中线，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的综合知识，解题的关键是根据全等三角形的判定和性质，可得，推出，，，再根据，进行解答，即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小明在自己家阳台处看点测出的度数．小华站在处，眼睛在处看单元楼的端点测出的度数，并且发现与互余．已知，，，点在上，点在上，米，米，米，求单元楼的高度． 【答案】26.5米 【分析】证明，得到，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵与互余，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米． 题型9.用SAS证明三角形全等 1．如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】由边角边证明可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴. 2．如图，已知，，，则_______，理由是 ______ ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 根据证明与全等即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， 故答案为：，． 3．如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据，，可得，根据可得，利用证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 题型10.用SAS间接证明三角形全等 1．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 【详解】解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 2．如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质可得，，，结合利用同角的余角相等证得，进而证明，得到，设，则，利用三角形面积公式构建关于的代数式，根据完全平方公式变形求最大值． 【详解】解：连接，， 四边形是正方形，为中心， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， 设，则， 正方形边长为， ， ， ， ， ，且， ∴， 的最大值为．, 3．如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，证明，，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型11.全等的性质和SAS综合 1．某公园准备在活动区安装一个跷跷板，如图，A和D为跷跷板两个座位到达最高点的位置，B和C为落地点，M为跷跷板的支撑点，为确保，工作人员只需要测量A、B两点到M的距离，距离相等便可说明．其中的依据是全等三角形的判定条件（   ） A．SSS B．AAS C．SAS D．ASA 【答案】C 【分析】根据“边角边”证明，可得． 【详解】解：根据题意，得，则， ∵， ∴， ∴． 2．如图，和均为等腰直角三角形，，，连接、，那么以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于___________． 【答案】 【分析】延长到点，使，连接，作于点H，可得，进而得出，从而得到是以、、的长度为三边长，然后根据当时，最大求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接，作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是以、、的长度为三边长． ∴． ∵， ∴当时，最大为：， ∴以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于6． 3．如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． (1)当点在线段上时， （用含的代数式表示）； (2)当的面积为时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)为秒或秒 (3)或 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据求解即可． （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可． 【详解】（1）解：当点在线段上时，， ． （2）解：， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，即，则； 若在点左侧，，即，则. 综上所述：当为或时，的面积为； （3）解：如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 题型12.灵活选用判定方法证全等 1．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 2．小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，在和中，为公共边，，，锐角三角形与钝角不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确定全等． 【详解】解：在和中，为公共边，，， 而与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等． 3．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等． 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：、均为锐角三角形，，，． 求证：． （请你将下列证明过程补充完整． 证明：分别过点，作于，于，…（请同学们接着向下证） 【答案】见解析 【分析】考查三角形全等的判定的综合应用，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用证明，可证，进而利用证明，得到，再利用可证原两个三角形全等． 【详解】证明：分别过点，作于，于， 则， 在和中， ， ， ． ，． ， ， 又，， 在与中， ， 题型13.结合尺规作图的全等问题 1．根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有． 根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； 故选： D． 2．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有______个．    【答案】6/六 【分析】根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可． 【详解】解：如图所示， 以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等； 以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等； 以为公共边不可以画出三角形和原三角形全等； 所以共有6个三角形和原三角形全等， 故答案为：6．    【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 3．如图，已知 (1)利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； (2)根据（1）的作图，试说明； (3)运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据角平分线尺规作图的要求作出图形即可； （2）根据证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可； （3）以O为圆心，适当长为半径作弧交，于点E，F，过点F作，过点E作，直线交于点P，作射线即可． 【详解】（1）解：如图①，射线即为所求； （2）解：如图①中，连接，， 在和中， ， ， ， 平分 ； （3）解：如图②中，射线即为所求． 题型14.利用全等图形求网格角度和 1．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 2．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)过点B作格点直角三角形与以AC为斜边的直角格点三角形全等，即可画得； (2)过点A画正方形的对角线，即可画得． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：画图如下： 【点睛】本题考查了格点作图，平行线与垂线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型15.添加条件使三角形全等 1．如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知，， ，即， A选项，当时，， B选项，当时，不能判定， C选项，当时，， D选项，当时，． 2．如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，根据题意要求用“”判定，则需添加两个角相等的条件，或者添加即可． 【详解】，，根据题意要用“”判定， 若添加一个条件是则， 在和中， ， ， 若添加一个条件是， ， 故答案为或． 3．已知：如图所示，，． (1)请你只加一个条件，使，你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，说明． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)说明见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理添加条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：添加条件（答案不唯一）； （2）∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 题型16.倍长中线模型） 1．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 2．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】构造全等三角形和，可得，由三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，可得的取值范围，也就是的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的取值范围是：． 3．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型17.旋转模型 1．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 2．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 3． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型18.垂线模型 1．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图，由题意知：AE=BD=2，CD=BE=1，∠AEB=∠BDC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCD，AB=BC， 又∵∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABE+∠CBD=90°， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：D． 2．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 3．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 题型19.全等三角形综合问题 1．小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】三角形全等的判定定理，分别根据两个结论给出的条件，结合全等判定规则判断正误即可． 【详解】解：对于结论①： ∵，，且两个三角形周长相等， ∴， ∴ ，故①正确． 对于结论②： 已知条件为 ，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误. 综上，①正确，②错误，答案选C． 2．如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 3．解答下列问题： (1)如图1，在中，点在线段上，且与的面积相等．已知，并且的长度是一个正整数．过点作，与的延长线交于点．请求出线段的长度． (2)如图2，在四边形中，与均为等腰直角三角形，其中，且．判断与的面积是否相等，并写出推理过程． (3)在（2）的条件下，已知，并且的面积为．如图3，现计划架设一条笔直的输水管道，点在边上，且的延长线经过线段的中点．若管道的造价为每米300元，求架设该管道的总造价． 【答案】(1)6 (2)与的面积相等，推理过程见解析 (3)18000元 【分析】（1）根据与的面积相等，可得，则可证明，得到，根据三角形三边的关系确定的取值范围，进而确定的值即可得到答案； （2）取的中点O，过点B作，交的延长线于点F，同理可证明，则，证明，得到，则可证明； （3）过点作，交的延长线于，证明，得到，则可证明，证明，得到，则可证明．由（2）得与的面积相等，根据三角形的面积公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵与的面积相等， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∵的长度是一个正整数， ∴， ∴； （2）解：与的面积相等，推理过程如下： 如图所示，取的中点O，过点B作，交的延长线于点F， 同理可证明， ∴， ∵， ∴ ∵与均为等腰直角三角形，其中， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：过点作，交的延长线于， ∴， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， ， ． 由（2）得：与的面积相等， ， 又∵， ， ∴架设该管道的总造价为元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05探索三角形全等的条件、利用三角形全等测距离 期末复习讲义 期末复习◆重点 理解全等三角形的定义，牢记对应边、对应角及对应线段、周长、面积相等的性质，规范全等式书写格式。 掌握利用全等三角形测距的解题思路，能从实际场景抽象几何图形，挖掘公共边、对顶角、直角、平行线等隐含条件构造全等三角形，结合性质完成推理、等量代换与长度计算，保证解题步骤严谨规范。 核心题型◆归纳 题型1.用SSS证明三角形全等 题型2.用SSS间接证明三角形全等 题型3.全等的性质和SSS综合 题型4.尺规作图——作三角形 题型5.三角形的稳定性及应用 题型6.四边形的不稳定性 题型7.用ASA（AAS）证明三角形全等 题型8.全等的性质和ASA（AAS）综合 题型9.用SAS证明三角形全等 题型10.用SAS间接证明三角形全等 题型11.全等的性质和SAS综合 题型12.灵活选用判定方法证全等 题型13.结合尺规作图的全等问题 题型14.利用全等图形求网格角度和 题型15.添加条件使三角形全等 题型16.倍长中线模型） 题型17.旋转模型 题型18.垂线模型 题型19.全等三角形综合问题 重点知识◆梳理 【知识点一、三角形全等的判定方法】 边边边：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”． 几何证明：如图：在△ABC和△A’B’C’中，  △ABC≌△A’B’C’（SSS） 边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 几何证明：如图，在△ABC和△A’B’C’中，  △ABC≌△A’B’C（SAS） 角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 几何证明：如图， 如果∠A=∠，AB=，∠B=∠，则△ABC≌△．              角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 斜边直角边（HL） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅限直角三角形） 【易错点提醒】 （1）三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE=∠B，∠AED=∠C，又∠A=∠A，但△ABC和△ADE不全等．这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等． （2） 两边和其中一边的对角相等，（三角形形状不唯一）不能判定全等。 【知识点二、三角形的稳定性】 三角形的稳定性 （1）只要三角形的三边长确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． （2）四边形具有不稳定性． 三角形稳定性的应用 稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等． 【知识点三、利用三角形全等测距离】 构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等来测量距离． 如果两端都可以达到，用 SAS； 如果只有一端可以达到，用 AAS； 如果两端都不能达到，用 SAS； 【知识点四、常见实际应用场景及解题思路】 测量池塘两端、河两岸两点间距离 测量方法：在岸边选取合适测点，构造全等三角形，使待测距离为全等三角形的一组对应边； 解题步骤： 明确待测两点，选取便于测量的辅助点，画出构造的几何图形； 标注已知条件，证明构造的两个三角形全等； 根据全等三角形对应边相等，得出待测距离等于可测线段长度； 测量可测线段长度，即为所求未知距离。 测量内部无法跨越的两点距离（如建筑物、障碍物两侧） 建模方法：利用中点、平行线、垂直关系，构造全等三角形； 关键技巧：借助公共边、对顶角、直角等隐含条件，快速证明三角形全等。 【知识点五、标准解题步骤】 画图建模：根据实际情境，画出对应的几何图形，标注顶点、已知线段和角； 说明构造：阐述辅助点、辅助线的选取方式，以及构造图形的条件； 证明全等：选用合适的全等判定定理，严谨证明两个三角形全等； 推导结论：根据全等三角形对应边相等，建立待测距离与可测距离的等量关系； 得出结果：明确待测距离的长度，完成解题。 题型解析◆精准备考 题型1.用SSS证明三角形全等 1．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 2．小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 3．如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 题型2.用SSS间接证明三角形全等 1．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．小明同学认为“三边分别相等的两个三角形全等”是一条基本事实你认为小明的判断是______（填“正确”或“错误”）． 3．如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 题型3.全等的性质和SSS综合 1． 如图，已知，以下结论错误的是（   ） A． 平分 B． C． D． 2．如图，在和中，，，点是的中点，连接、，且满足，若，则________．（用含的代数式表示） 3．如图，在中，点是上的点，连接并延长到点、使得，连接，，与相等吗？为什么？ 题型4.尺规作图——作三角形 1．已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 2．如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是__________． 3．已知：线段，，（如图）． 求作：，使，，． 题型5.三角形的稳定性及应用 1．下列图形不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，工人在新做的门板上钉了一个加固板，从数学的角度看，这样做的道理是利用了三角形的__________性． 3．生活中的数学：某校计划为初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的____________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 题型6.四边形的不稳定性 1．下列图形中不具备稳定性的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中哪些具有稳定性？ 3．如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    题型7.用ASA（AAS）证明三角形全等 1．如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，在探究过程中判断的依据是_______． 3．如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点，且． (1)用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹） (2)小明得出结论：≌，他判定三角形全等的依据是____________． 题型8.全等的性质和ASA（AAS）综合 1．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的中线，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，，则的面积是______． 3．如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小明在自己家阳台处看点测出的度数．小华站在处，眼睛在处看单元楼的端点测出的度数，并且发现与互余．已知，，，点在上，点在上，米，米，米，求单元楼的高度． 题型9.用SAS证明三角形全等 1．如图所示，将两根长度相等的钢条、的中点O连在一起，就做成了一个测量瓶子内径的工具，只要量得的长度，就可知的长度，是因为．那么判定这两个三角形全等的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 2．如图，已知，，，则_______，理由是 ______ ． 3．如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若，，，求证：． 题型10.用SAS间接证明三角形全等 1．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 3．如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 题型11.全等的性质和SAS综合 1．某公园准备在活动区安装一个跷跷板，如图，A和D为跷跷板两个座位到达最高点的位置，B和C为落地点，M为跷跷板的支撑点，为确保，工作人员只需要测量A、B两点到M的距离，距离相等便可说明．其中的依据是全等三角形的判定条件（   ） A．SSS B．AAS C．SAS D．ASA 2．如图，和均为等腰直角三角形，，，连接、，那么以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于___________． 3．如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． (1)当点在线段上时， （用含的代数式表示）； (2)当的面积为时，求的值； (3)当时，求的值． 综上所述：当为或时，的面积为； （3）解：如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 题型12.灵活选用判定方法证全等 1．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 2．小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，在和中，为公共边，，，锐角三角形与钝角不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确定全等． 【详解】解：在和中，为公共边，，， 而与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等． 3．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？阅读与证明： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等． 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：、均为锐角三角形，，，． 求证：． （请你将下列证明过程补充完整． 证明：分别过点，作于，于，…（请同学们接着向下证） 【答案】见解析 【分析】考查三角形全等的判定的综合应用，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用证明，可证，进而利用证明，得到，再利用可证原两个三角形全等． 【详解】证明：分别过点，作于，于， 则， 在和中， ， ， ． ，． ， ， 又，， 在与中， ， 题型13.结合尺规作图的全等问题 1．根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有． 根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； 故选： D． 2．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有______个．    【答案】6/六 【分析】根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可． 【详解】解：如图所示， 以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等； 以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等； 以为公共边不可以画出三角形和原三角形全等； 所以共有6个三角形和原三角形全等， 故答案为：6．    【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 3．如图，已知 (1)利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； (2)根据（1）的作图，试说明； (3)运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据角平分线尺规作图的要求作出图形即可； （2）根据证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可； （3）以O为圆心，适当长为半径作弧交，于点E，F，过点F作，过点E作，直线交于点P，作射线即可． 【详解】（1）解：如图①，射线即为所求； （2）解：如图①中，连接，， 在和中， ， ， ， 平分 ； （3）解：如图②中，射线即为所求． 题型14.利用全等图形求网格角度和 1．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 2．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)过点B作格点直角三角形与以AC为斜边的直角格点三角形全等，即可画得； (2)过点A画正方形的对角线，即可画得． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：画图如下： 【点睛】本题考查了格点作图，平行线与垂线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型15.添加条件使三角形全等 1．如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知，， ，即， A选项，当时，， B选项，当时，不能判定， C选项，当时，， D选项，当时，． 2．如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，根据题意要求用“”判定，则需添加两个角相等的条件，或者添加即可． 【详解】，，根据题意要用“”判定， 若添加一个条件是则， 在和中， ， ， 若添加一个条件是， ， 故答案为或． 3．已知：如图所示，，． (1)请你只加一个条件，使，你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，说明． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)说明见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理添加条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：添加条件（答案不唯一）； （2）∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 题型16.倍长中线模型） 1．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 2．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】构造全等三角形和，可得，由三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，可得的取值范围，也就是的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的取值范围是：． 3．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型17.旋转模型 1．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 2．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 3． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型18.垂线模型 1．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图，由题意知：AE=BD=2，CD=BE=1，∠AEB=∠BDC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCD，AB=BC， 又∵∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABE+∠CBD=90°， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：D． 2．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 3．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 题型19.全等三角形综合问题 1．小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】三角形全等的判定定理，分别根据两个结论给出的条件，结合全等判定规则判断正误即可． 【详解】解：对于结论①： ∵，，且两个三角形周长相等， ∴， ∴ ，故①正确． 对于结论②： 已知条件为 ，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误. 综上，①正确，②错误，答案选C． 2．如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 3．解答下列问题： (1)如图1，在中，点在线段上，且与的面积相等．已知，并且的长度是一个正整数．过点作，与的延长线交于点．请求出线段的长度． (2)如图2，在四边形中，与均为等腰直角三角形，其中，且．判断与的面积是否相等，并写出推理过程． (3)在（2）的条件下，已知，并且的面积为．如图3，现计划架设一条笔直的输水管道，点在边上，且的延长线经过线段的中点．若管道的造价为每米300元，求架设该管道的总造价． 【答案】(1)6 (2)与的面积相等，推理过程见解析 (3)18000元 【分析】（1）根据与的面积相等，可得，则可证明，得到，根据三角形三边的关系确定的取值范围，进而确定的值即可得到答案； （2）取的中点O，过点B作，交的延长线于点F，同理可证明，则，证明，得到，则可证明； （3）过点作，交的延长线于，证明，得到，则可证明，证明，得到，则可证明．由（2）得与的面积相等，根据三角形的面积公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵与的面积相等， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∵的长度是一个正整数， ∴， ∴； （2）解：与的面积相等，推理过程如下： 如图所示，取的中点O，过点B作，交的延长线于点F， 同理可证明， ∴， ∵， ∴ ∵与均为等腰直角三角形，其中， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：过点作，交的延长线于， ∴， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， ， ． 由（2）得：与的面积相等， ， 又∵， ， ∴架设该管道的总造价为元． 学科网（北京）股份有限公司 $