专题05全等三角形性质与判定及应用期末复习讲义(16大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题05全等三角形性质与判定及应用期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握全等三角形的概念，能准确识别对应顶点、对应边、对应角，熟记全等三角形的性质。 2.熟练掌握全等三角形五大判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专用）。 3.明确判定定理使用条件，区分通用判定与直角三角形专属判定。 4.理解全等三角形在求边长、求角度、证线段相等、证角相等中的核心作用 1.能根据图形位置、字母顺序快速找准对应边、对应角，避免对应关系出错。 2.能根据题目已知条件，灵活选择最合适的判定方法证明三角形全等。 3.掌握几何推理规范书写：条件齐全、步步有据、顺序正确。 4.能利用全等性质解决线段相等、角度相等、线段平行等综合推理问题。 5.掌握常见隐含条件：公共边、公共角、对顶角、等量加减。 1.选择填空：快速判断全等条件、辨析判定正误、基础性质计算不丢分。 2.基础证明题：熟练规范书写全等证明步骤，条件对应定理、不缺条件、不乱用定理。 3.中档综合题：能结合平行线、垂直、角平分线、线段加减完成全等推理。 4.期末压轴题：掌握全等模型（一线三等角、翻折、平移全等），能完成两步以上几何推理。 题型01.全等三角形的概念 题型02.全等三角形的性质 题型03.用SSS证明三角形全等 题型04.全等的性质和SSS综合应用 题型05.尺规作图--作三角形 题型06.用ASA(AAS)证明三角形全等 题型07.全等性质和ASA(AAS)综合 题型080.用SAS证明三角形全等 题型09.用SAS间接证明三角形全等 题型10.全等的性质和SAS综合应用 题型11.灵活选方法证全等 题型12.添条件证全等 题型13.倍长中线模型 题型14.旋转模型 题型15.垂线模型 题型16.全等三角形综合 知识点01:全等三角形基本概念 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 3.对应元素查找规律 长边对长边、短边对短边；大角对大角、小角对小角； 公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； 平移、翻折、旋转前后的三角形全等，变换前后重合部分为对应元素。 知识点02:全等三角形的性质 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 用途：证边相等、证角相等最常用结论，先证全等，再用性质推导边角关系 知识点03:全等三角形判定定理 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 知识点04:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点05:不能判定全等的两种情况（高频易错） AAA（三角对应相等）：只能判定相似，不能判定全等（大小可不同）。 SSA（两边及其中一边的对角）：一般不能判定全等（可画出两个不同三角形）。 知识点06.几何通用标准模型（核心构造方法） 模型 1：倍长线段法（SAS 型，几何通用基础模型） 核心特征 无角的预设条件，通过倍长截取等长线段利用对顶角天然相等，凑齐 SAS 条件，是初中几何线段构造的通用基础模型，适配两点间有障碍物的距离测量（隔河、隔建筑测两点距离），也是倍长中线法的核心原理。 构造步骤 1.设待测距离为线段AC，取BC的中点D（D为可同时连接A、C的公共点）； 2.延长AD至E，使DE=AD； 3.连接BE，测量BE长度即为AC长度。 全等依据 △ADC≅△EDB（SAS）：AD=ED（倍长构造），∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD（D为BC中点）。 模型 2：一线三等角模型（直角型，ASA/AAS 型，几何通用核心模型） 核心特征 一线：以某条直线l（如河岸、公路）为公共边所在直线； 三等角：直线上有一个公共角∠BAC，直线两侧各有一个相等的直角（BD⊥l，CE⊥l，即三垂直，是一线三等角最常见的特殊形式）；天然利用等角（直角）+ 互余关系凑齐 AAS/ASA 条件，适配点到直线的垂直距离测量（测点到河岸、公路的距离），是该类测距的几何通用标准模型。 构造步骤 1.设待测点B到直线l的垂直距离为BD（BD⊥l，垂足D可达，直线l为 “一线”）； 2.在直线l上取点A，作∠BAC=90∘，过C作CE⊥l于E（形成三个直角∠BDA=∠BAC=∠AEC=90∘，即 “三等角”）； 3.测量AE长度即为BD长度（或测量AD长度即为CE长度） 全等依据 △ABD≅△CAE（AAS）：∠BDA=∠AEC=90∘（垂直定义）， ∠ABD=∠CAE（同角的余角相等：∠ABD+∠BAD=90∘，∠CAE+∠BAD=90∘），AB=CA（构造条件）； 若构造为直线同侧的直角，可通过 ASA 判定（∠ABC=∠DBC=90∘，BC=BC，∠ACB=∠DCB）。 知识点07:高频易错点 易错内容 错误表现 正确做法 判定误用 用 SSA、AAA 证明全等 严格对照 5 个判定定理，缺条件不能证全等 SAS 夹角出错 用两边和其中一边对角证全等 必须锁定两边中间的夹角 HL 乱用 非直角三角形使用 HL 判定 HL 只适用于 Rt△，普通三角形选用 SSS/SAS/ASA/AAS 对应元素找错 书写全等时顶点乱序，导致边角找错 按重合顺序书写全等符号，定点定边角 证明跳步 缺少关键条件直接得出全等 把已知、隐含条件逐一写明，条件凑齐再证全等 题型01.全等三角形的概念 1．如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 3．罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（    ） A．25 B．38 C．70 D．135 题型02.全等三角形的性质 4．如图所示的两个三角形全等，则等于（    ） . A． B． C． D． 5．如图，，若，，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．6 6．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 题型03.用SSS证明三角形全等 7．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 8．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 9．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由作图可证，进而得到，说明的依据是（     ） A． B． C． D． 10．已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 题型04.全等的性质和SSS综合应用 11．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其截面如图所示，支撑杆，，当沿滑动时，油纸伞开闭，小亮由油纸伞的状态判断，，他的判定依据为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，则________． 13．如图，在与中，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 14．如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件： ①，，； ②，，； ③，，． 请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 你选的一组条件的序号是______． 证明： 题型05.尺规作图--作三角形 15．如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 16．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 17．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 18．已知：线段，和（如图）．用尺规作图，作，使，， ． 题型06.用ASA(AAS)证明三角形全等 19．如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 20．如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，在探究过程中判断的依据是_______． 21．如图，，，点D在边上，，求证：． 下面是乱序的证明过程： ①∴， ②∴（）． ③∴， ④在和中， ⑤∵． 其中正确的顺序为（   ） A．⑤①③④② B．⑤③①④② C．⑤①④②③ D．①⑤③④② 22．如图，已知，平分．求证：． 题型07.全等性质和ASA(AAS)综合 23．如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地的路程分别为和．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 24．图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段，其像可视为线段，光线与光线交于小孔点．已知点到像的距离与点到蜡烛火焰的距离相等，且点，，三点共线．像的高度为，则蜡烛火焰的高度为_________． 25．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 题型08.用SAS证明三角形全等 26．如图，旗杆，将两根绳子的一端系在旗杆的点A处，另一端分别系在地面的B木桩和C木桩上，且木桩B，C到旗杆的距离相等，通过证明可判断两根绳子长度相等，则证明的依据是（   ） A． B． C． D． 27．如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 28．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 题型09.用SAS间接证明三角形全等 30．图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 31．如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 32．如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 题型10.全等的性质和SAS综合应用 33．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 34．如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则______． 35．如图，已知是锐角三角形，过点作于点，延长至点，使，点在边上，连接，，，．求证：． 题型11.灵活选方法证全等 36．如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 37．小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 38．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 题型12.添条件证全等 39．如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 40．如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 41．如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 42．如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 题型13.倍长中线模型 43．如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 44．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 45．如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 46．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得， 请写出证明过程； (2)如图， 在中， 若，是的中线，求的取值范围． 题型14.旋转模型 47．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 48．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 49． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 题型15.垂线模型 50．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 51．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 52．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 题型16.全等三角形综合 53．下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 54．如图，在中，，，，过点作．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点的运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与全等时，________秒． 55．如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 56．如下图，和都是等腰直角三角形，． (1)求证：，． (2)试判断和的大小关系，并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05全等三角形性质与判定及应用期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握全等三角形的概念，能准确识别对应顶点、对应边、对应角，熟记全等三角形的性质。 2.熟练掌握全等三角形五大判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专用）。 3.明确判定定理使用条件，区分通用判定与直角三角形专属判定。 4.理解全等三角形在求边长、求角度、证线段相等、证角相等中的核心作用 1.能根据图形位置、字母顺序快速找准对应边、对应角，避免对应关系出错。 2.能根据题目已知条件，灵活选择最合适的判定方法证明三角形全等。 3.掌握几何推理规范书写：条件齐全、步步有据、顺序正确。 4.能利用全等性质解决线段相等、角度相等、线段平行等综合推理问题。 5.掌握常见隐含条件：公共边、公共角、对顶角、等量加减。 1.选择填空：快速判断全等条件、辨析判定正误、基础性质计算不丢分。 2.基础证明题：熟练规范书写全等证明步骤，条件对应定理、不缺条件、不乱用定理。 3.中档综合题：能结合平行线、垂直、角平分线、线段加减完成全等推理。 4.期末压轴题：掌握全等模型（一线三等角、翻折、平移全等），能完成两步以上几何推理。 题型01.全等三角形的概念 题型02.全等三角形的性质 题型03.用SSS证明三角形全等 题型04.全等的性质和SSS综合应用 题型05.尺规作图--作三角形 题型06.用ASA(AAS)证明三角形全等 题型07.全等性质和ASA(AAS)综合 题型080.用SAS证明三角形全等 题型09.用SAS间接证明三角形全等 题型10.全等的性质和SAS综合应用 题型11.灵活选方法证全等 题型12.添条件证全等 题型13.倍长中线模型 题型14.旋转模型 题型15.垂线模型 题型16.全等三角形综合 知识点01:全等三角形基本概念 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 3.对应元素查找规律 长边对长边、短边对短边；大角对大角、小角对小角； 公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； 平移、翻折、旋转前后的三角形全等，变换前后重合部分为对应元素。 知识点02:全等三角形的性质 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 用途：证边相等、证角相等最常用结论，先证全等，再用性质推导边角关系 知识点03:全等三角形判定定理 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 知识点04:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点05:不能判定全等的两种情况（高频易错） AAA（三角对应相等）：只能判定相似，不能判定全等（大小可不同）。 SSA（两边及其中一边的对角）：一般不能判定全等（可画出两个不同三角形）。 知识点06.几何通用标准模型（核心构造方法） 模型 1：倍长线段法（SAS 型，几何通用基础模型） 核心特征 无角的预设条件，通过倍长截取等长线段利用对顶角天然相等，凑齐 SAS 条件，是初中几何线段构造的通用基础模型，适配两点间有障碍物的距离测量（隔河、隔建筑测两点距离），也是倍长中线法的核心原理。 构造步骤 1.设待测距离为线段AC，取BC的中点D（D为可同时连接A、C的公共点）； 2.延长AD至E，使DE=AD； 3.连接BE，测量BE长度即为AC长度。 全等依据 △ADC≅△EDB（SAS）：AD=ED（倍长构造），∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD（D为BC中点）。 模型 2：一线三等角模型（直角型，ASA/AAS 型，几何通用核心模型） 核心特征 一线：以某条直线l（如河岸、公路）为公共边所在直线； 三等角：直线上有一个公共角∠BAC，直线两侧各有一个相等的直角（BD⊥l，CE⊥l，即三垂直，是一线三等角最常见的特殊形式）；天然利用等角（直角）+ 互余关系凑齐 AAS/ASA 条件，适配点到直线的垂直距离测量（测点到河岸、公路的距离），是该类测距的几何通用标准模型。 构造步骤 1.设待测点B到直线l的垂直距离为BD（BD⊥l，垂足D可达，直线l为 “一线”）； 2.在直线l上取点A，作∠BAC=90∘，过C作CE⊥l于E（形成三个直角∠BDA=∠BAC=∠AEC=90∘，即 “三等角”）； 3.测量AE长度即为BD长度（或测量AD长度即为CE长度） 全等依据 △ABD≅△CAE（AAS）：∠BDA=∠AEC=90∘（垂直定义）， ∠ABD=∠CAE（同角的余角相等：∠ABD+∠BAD=90∘，∠CAE+∠BAD=90∘），AB=CA（构造条件）； 若构造为直线同侧的直角，可通过 ASA 判定（∠ABC=∠DBC=90∘，BC=BC，∠ACB=∠DCB）。 知识点07:高频易错点 易错内容 错误表现 正确做法 判定误用 用 SSA、AAA 证明全等 严格对照 5 个判定定理，缺条件不能证全等 SAS 夹角出错 用两边和其中一边对角证全等 必须锁定两边中间的夹角 HL 乱用 非直角三角形使用 HL 判定 HL 只适用于 Rt△，普通三角形选用 SSS/SAS/ASA/AAS 对应元素找错 书写全等时顶点乱序，导致边角找错 按重合顺序书写全等符号，定点定边角 证明跳步 缺少关键条件直接得出全等 把已知、隐含条件逐一写明，条件凑齐再证全等 题型01.全等三角形的概念 1．如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与三角形全等的是． 2．下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长相等，故B正确； A项两个等边三角形可能大小不同，不一定全等； C项面积相等的三角形形状可能不同，不一定全等； D项三个角对应相等的三角形相似，但不一定全等， 故选：B． 3．罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（    ） A．25 B．38 C．70 D．135 【答案】B 【分析】仔细观察图形，发现第个图形有个三角形，根据规律求解即可． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个全等三角形； 第二个图形有个全等三角形； 第三个图形有个全等三角形； 第四个图形有个全等三角形； 第个图形有个全等三角形； 当时，（个． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等的定义，图形类规律题，正确找到规律是解题的关键．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，按照什么规律变化的． 题型02.全等三角形的性质 4．如图所示的两个三角形全等，则等于（    ） . A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵如图所示的两个三角形全等，a和c的夹角分别为和 ∴． 5．如图，，若，，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的和差求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 6．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 【答案】A 【分析】设点运动秒时，与全等，则，，分两种情况：①当，时，②当，时，分别求出和，即可求解． 【详解】解：设点运动秒时，则， ， ， ，， ， ． 与全等， 分两种情况讨论： ①当，时，， ， ， 点的运动速度为（厘米秒）； ②当，时，， ，， ， ， 点的运动速度为厘米秒； 综上所述：点的运动速度为或厘米秒时，与全等． 题型03.用SSS证明三角形全等 7．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与点重合， ∴， ∵，， ∴． 8．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 【答案】7 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图所示，以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 以为公共边，与全等的格点三角形有1个， 以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 共个． 故答案为：7． 9．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由作图可证，进而得到，说明的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据尺规作图的痕迹，判断对应的判定定理即可． 【详解】解：由作图可知：，， 在和中 ， ， 10．已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型04.全等的性质和SSS综合应用 11．油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其截面如图所示，支撑杆，，当沿滑动时，油纸伞开闭，小亮由油纸伞的状态判断，，他的判定依据为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题公共边，可考虑证明三角形全等，从而推出角相等． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴他的判定依据为． 故选：C． 12．如图，在中，，，则________． 【答案】 【分析】利用证明得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 13．如图，在与中，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过证明，则，又，进而求出的度数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 14．如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件： ①，，； ②，，； ③，，． 请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 你选的一组条件的序号是______． 证明： 【答案】见解析 【分析】若选①利用证得，进而可证；若选②利用证得，进而可证；若选③，无法证明，进而不能证明． 【详解】解：若选①，证明如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 若选②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 若选③，则无法证明，进而无法证明． 题型05.尺规作图--作三角形 15．如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 根据题中的图形，可以得到 ，，，再根据全等三角形的判定方法，求解即可． 【详解】解：由作图可知， ，，， 则这个作图的依据是：两角及夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 16．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 17．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正确的作图顺序． 【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段，对应图①； 作一个角等于已知角α，以B点为顶点，作，对应图③； 在射线上截取线段，在已作的角的射线上，截取，对应图②； 连接，得到，对应图④， ∴正确作图顺序为：①③②④． 故选：B． 18．已知：线段，和（如图）．用尺规作图，作，使，， ． 【答案】见解析 【分析】先在射线上截取，作，在射线上截取，连接，即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求． 题型06.用ASA(AAS)证明三角形全等 19．如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 20．如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，在探究过程中判断的依据是_______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定． 【详解】解：， 由题意得，， ， 故答案为：． 21．如图，，，点D在边上，，求证：． 下面是乱序的证明过程： ①∴， ②∴（）． ③∴， ④在和中， ⑤∵． 其中正确的顺序为（   ） A．⑤①③④② B．⑤③①④② C．⑤①④②③ D．①⑤③④② 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据全等三角形的判定方法作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）． 即正确的顺序为⑤③①④②． 故选：B． 22．如图，已知，平分．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】先根据角平分线得出，进而利用证明即可． 【详解】略 题型07.全等性质和ASA(AAS)综合 23．如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地的路程分别为和．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长、交于点，易证明，则、，进而求出和，根据三角形三边关系得到，据此求出和的关系． 【详解】解：延长、交于点， 由图甲可知，、，由图乙可知，、， 、， 在和中， ， ， 、 、， ， 、， ， ． 24．图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段，其像可视为线段，光线与光线交于小孔点．已知点到像的距离与点到蜡烛火焰的距离相等，且点，，三点共线．像的高度为，则蜡烛火焰的高度为_________． 【答案】 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 25．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， . ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 题型08.用SAS证明三角形全等 26．如图，旗杆，将两根绳子的一端系在旗杆的点A处，另一端分别系在地面的B木桩和C木桩上，且木桩B，C到旗杆的距离相等，通过证明可判断两根绳子长度相等，则证明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C ． 27．如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 【答案】2 【分析】根据题意首先要找出与对应的边，结合已知条件可知与相等时，由可判定，据此即可求出的值． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴只有、时，与全等， ∵，， ∴，此时， 在与中， ， ∴， ∴当时，形成的与全等． 28．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，度，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余，求出，再证明，根据全等三角形的对应角相等得出结论． 【详解】如图，在中，， 则， 在和中， ， ， ． 29．如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据线段和差关系证明，再根据平行线的性质证明，最后根据证明全等即可． 【详解】证明：， ，即． ， ， 在和中， ， ． 题型09.用SAS间接证明三角形全等 30．图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 【答案】A 【分析】本题考查作图——复杂作图，全等三角形的判定等知识，根据可以判定三角形全等，延长判断即可． 【详解】解：∵可以判定三角形全等， ∴Ⅰ和Ⅱ符合题意． 故选：A． 31．如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】连接，，根据正方形的性质可得，，，结合利用同角的余角相等证得，进而证明，得到，设，则，利用三角形面积公式构建关于的代数式，根据完全平方公式变形求最大值． 【详解】解：连接，， 四边形是正方形，为中心， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， 设，则， 正方形边长为， ， ， ， ， ，且， ∴， 的最大值为．, 32．如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 【答案】添加条件：，或，或，或，证明见解析 【分析】先证明，再结合添加条件，根据、、、证明即可． 【详解】解：添加条件：， 证明过程如下：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加条件： ， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ； 添加条件：， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加条件：， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ． 题型10.全等的性质和SAS综合应用 33．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，证明，推出，根据网格特点，可知，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 由图可知，， ∴. 34．如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则______． 【答案】 【分析】在上取点E，使，连接，并延长交于点F，证明，可得，，从而得到，进而得到，可证明，从而得到，即可求解． 【详解】解：在上取点E，使，连接，并延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 35．如图，已知是锐角三角形，过点作于点，延长至点，使，点在边上，连接，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先由得到直角，结合，利用等角的余角相等推出，再结合已知，，通过证明，最后根据全等三角形对应边相等证得． 【详解】证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型11.灵活选方法证全等 36．如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 37．小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，在和中，为公共边，，，锐角三角形与钝角不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确定全等． 【详解】解：在和中，为公共边，，， 而与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等． 38．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、添加，由“”不可证，故选项A符合题意； B、添加，由“”可判定，选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不合题意； D、添加，可得到，由“”可证，故选项D不合题意． 题型12.添条件证全等 39．如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知，， ，即， A选项，当时，， B选项，当时，不能判定， C选项，当时，， D选项，当时，． 40．如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 【答案】（答案不唯一，填或亦可） 【分析】根据角平分线的定义可得，结合图形中的公共边，根据全等三角形的判定定理、或添加相应的条件即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵在和中，， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加， ∴． 41．如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先列出已有的条件，再根据补充的条件，利用全等三角形的判定定理，，，即可判断选项． 【详解】解：已有的条件为，公共角， 补充作为条件，可以根据证明， 故A不符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故B不符合题意； 补充作为条件，属于，不可以证明， 故C符合题意； 补充作为条件，可以根据证明， 故D不符合题意． 42．如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)①或③ (2)证明见解析 【分析】选①，由可得，进而满足边角边的全等判定；选②，根据边边角无法判定全等；选③，直接根据角角边可判定全等． 【详解】（1）解：选①或③； （2）解：选①， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 选③， 证明：在和中， ， ∴． 题型13.倍长中线模型 43．如图，在中，，，则上中线的取值范围为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 延长至E，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至E，使，连接 ∵是上中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∵，， ∴ 即， ∴ ∴． 故选C． 44．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】构造全等三角形和，可得，由三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，可得的取值范围，也就是的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的取值范围是：． 45．如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 46．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得， 请写出证明过程； (2)如图， 在中， 若，是的中线，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）同理（1）得，进而得出，由三角形三边关系得到，再根据即可得出答案． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中，， ； （2）解：∵，是的中线， 同理（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 题型14.旋转模型 47．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 48．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 49． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型15.垂线模型 50．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 51．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 52．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 题型16.全等三角形综合 53．下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定方法有：，而都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可． 【详解】解：如图， A、根据，不能判断，故本选项错误； B、根据，利用能判断，故本选项正确； C、根据，不能判断，故本选项错误； D、，不能判断，故本选项错误； 故选：B． 54．如图，在中，，，，过点作．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点的运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与全等时，________秒． 【答案】5或9或14 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键． 分情况，当E在线段上，当E在射线上，证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】①当E在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为秒； 当E在线段上，时，，这时在点未动，因此运动时间为0秒，不符合题意； ②当E在射线上，时，，如图1所示， ， ， ， 点的运动时间为秒； 当E在射线上，时，，如图2所示， ， 点的运动时间为秒； 故答案为：5或9或14． 55．如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 56．如下图，和都是等腰直角三角形，． (1)求证：，． (2)试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了手拉手模型，熟练掌握手拉手模型的结论是解题的关键； （1）通过证明三角形全等得到线段相等和角的关系，进而证明垂直； （2）作垂线，利用全等三角形面积相等得到线段相等，再根据角平分线的判定证明角相等． 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ，，， ， 即， 在和中， ， ，， ， ． 综上所述，，． （2）解：．证明如下： 过点分别作于点，于点，如图． 由（1）可知，，， ， ． ，， 平分， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $