河北邯郸市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

邯郸市第一中学高一年级期中考试数学参考答案 题号12345678 9 10 11 12 13 14 答案DD A CC B D C ABC ABC BCD 钝角 V37 8π 15.解：(1)设复数z=a+bi(a,beR),由题意Va2+b2+a+bi=8-4i3分 得 02+6+a=8,解符 a=3 b=-4 5分 b=-4 所以z=3-4i6分 (2)由(1)可得z-1+6i=2+2i, 所点A3,-4),B(2,2),OA=(3,-4),OB=(2,2)8分 cOS∠AOB= OA.OB 。-2.2 10分 04·0B5×22-10 因为∠40B∈(0，)，所以sin∠A0B=7V2 10 ，12分 所以5aa-号oon∠408x5x25x2 2=7.13分 10 16.解：(1)因为A(2,0),B(0,4),C(cosa,sina), 所以OC=(cosa,sina),AB=(-2,4)2分 又0C/AB,所以4cosa+2sina=0,则sina=-2cosa,即ana=sna=-26分 cosa (2)因为OC=(cos0,sina),OA=(2,0),所以OA+OC=(2+cosa,sino), 因为OA+0C=V3,所以(2+cosa)2+sin2a=3,即5+4cosa=3,cosa=- 1 10分 2 又a是第二象限角，所以sin a=V1-cos2a= -,12分 2 因为0c=(eosa,sina),OB=(0,4),所以0B0c=4sina=4x5 2 2V3,13分 所以a= 0,贤气受. 17.(1)证明：在直四棱柱ABCD-AB,CD中，连接C,D,如图.DC=DD, .四边形DCC,D,是正方形..DC⊥上DC2分 又AD⊥DC,AD⊥DD,DC∩DD,=D,·AD⊥平面DCCD· ,DCc平面DCC,D1,.AD⊥D,C4分 :AD,DCc平面ADC,,且AD∩DC,=D, .DC⊥平面ADC1·又AC,C平面ADC,.DC⊥AC.6分 D C (2)连接AD,,AE,如图.设AD∩A,D=M,BD∩AE=N,连接MN8分 .·平面ADE∩平面ABD=MN,要使D,EI∥平面ABD,需使MNID,E,11分 又M是AD,的中点，N是AE的中点. 又易知△ABN兰△EDN,.AB=DE,即E是DC的中点14分 综上所述，当E是DC的中点时，可使D,E∥平面A,BD.15分 18.【解析】(1)证明：设点B到平面ADC的距离为h, 4D=CD=2,LADC=π，所以Snc=V3, 因为=做兮8m4=39所以=2.4分 1 3 因为BC=2,所以BC⊥平面DAC,因为BCc平面ABC, 所以平面DAC⊥平面ABC.6分 (2)取AC的中点为O,连接OD,OP,作QHI∥OP交DO于H,连接HC,因为P为AB中点，则 OP∥BC,所以OHIBC,因为BC⊥平面DAC,所以QH⊥平面DAC,PO⊥平面DAC,所以 ∠QCH为CQ与平面ADC所成的角9分 2 因为△DAC为等腰三角形，AD=CD=2,∠ADC=二元，所以AC=2V3,OC=√5，所以DO=1 3 ,又OP=BC=1,POL平面D4C,所以△DOP为等腰直角三角形2分 D0=0≤元≤)，则2g=元，QH=A,H0=D0-DH=1-A, D PO HC=V1-)2+(5)2=V入2-2入+4，QC=VQH2+HC2=V222-22+414分 sin∠QcH=H 2 CV222-2λ+48 ,即152+-2=0，与2-月天=号价〉16分 所以，当D9、1 DP)时，CQ与平面ADC所成的角的正弦值为 2 8 17分 D H l9.【解析】(l)因为2 csin Acos B=asin A-bsin B+二bsin C 由正弦定理可得：2 cacosB=u2-6+bc,即2ca.8 4 a2+c2-B=a2-6+be2分 2ac 化简可得：4c=b,因为c=1,所以b=4;4分 (2)因为D为BC中点，所以D-)B+AC), 设(AB,AC)=日，则 A0-iB+4C+2ia元=)e+分+2ecos0:M7+8co0 6分 2 2 BD=4B.(4B+AC)=(4B+4B.C)=c+bccos0=1+4cos0 7分 2 2 所以② =cOS∠BAD= AB.AD 1+4cos0 4B.AD17+8cos0 化简可得：28c0s20+8c0s0-11=08分 解有60s0=)成0s0=-49分 2 14 又1+4cos0>0,所以cos0-则sin0=-w0= 2 所以△4BC的面积为besin=x1×4x5-5.10分 2 2 (3)设AE=xAB,AF=yAC,因为AB=1,AC=4,△AEF的面积为△ABC面积的一半所以 3e期n46csn4=5g-要，则w月 1 12分 设AG=元AD,则AG=元AD=2AB+之AC=人AE+之AF 2x 2v 又E,G,F共线，所以2+2=1，则=+y,元=1 .14分 2x 2y 元2xy x+y 所以4G-F-子(AB+AC)-(aF-正)-子(aB+AC)-0AC-) 04c-+0-hs40=8y-30-0 2(x+y) 21 又w=化简可待G厅-93+ 2 2x2+122x2+1 15分 21 又0<ys1,0<s1,所1.2+1s3.2n716分 2 所以AG·EF≥2，当x=1时AG.EF=2,AG.EF的最小值为2.17分 邯郸市第一中学高一年级期中考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则 A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则 A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．下列说法中，与“直线平面”等价的是 A．直线与平面内的任意一条直线都不相交 B．直线与平面内的两条直线平行 C．直线与平面内无数条直线不相交 D．直线上有两个点不在平面内 4．如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形的直观图不是全等三角形的是 A． B． C． D． 5．如图，一条东西方向的河流两岸平行，河宽600 m，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河岸边地出发，航行到河对岸的处，（与河的方向垂直），已知船的速度为，过河需要的时间为，船的行驶方向与水流方向的夹角为，则 A．， B．， C．， D．， 6．如图，正四面体的棱长为，是棱的中点，是棱上一动点，则的最小值为 A．3 B． C． D． 7．如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成．已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为 A． B． C． D． 8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为复数且均不为零，下列命题中正确的是 A． B． C．若，则 D．若，则 10．中，角、、的对边分别是、、，若，，，则下列说法正确的是 A． B． C． D．面积为 11．在三棱锥中，已知底面，，，分别是棱，上的动点，则下列说法正确的是 A．当时，一定为直角三角形 B．当时，一定为直角三角形 C．当平面时，一定为直角三角形 D．当平面时，一定为直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的三边长分别为2，3，4，则此三角形是______三角形． 13．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，设，则______． 14．已知正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，球与四棱锥的所有棱均相切，则球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知复数满足，为虚数单位． （1）求复数； （2）若复数，在复平面内对应的点为，，为坐标原点，求的面积． 16．（本小题15分） 已知，，，为坐标原点． （1）若，求的值； （2）若，且是第二象限角，设在上的投影向量为，求的坐标． 17．（本小题15分） 如图，在直四棱柱中，已知，，． （1）求证：； （2）设是上一点，试确定的位置，使平面，并说明理由． 18．（本小题17分） 如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 （1）．求证：平面平面 （2）．线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19．（本小题17分） 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，． （1）求边的长度； （2）求的面积； （3）设点，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $