河北邯郸市永年区第二中学等校2025—2026学高一下学期4月期中考试数学试题

机密★启用前 2025~2026下学期高一期中考试 数 学 购 (武卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 雾 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号：回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 国 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3.考试结束后，请将答题卡上交， 帝 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.在复平面内，复数一)2+对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a=(5,2),b=(1λ)，若a∥(a+b),则1= 最 A-号 B号 c D.2 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b:c,B=若c0sA=号b=号则a= 4 A号 B.2 c D. 细 4.如图，△ABC由斜二测画法画的水平直观图是A'C'=2的等腰直角三 角形A'B'C',那么它在原平面图形中，顶点B到AC的距离是 8 A.1 B.2 C.2 D.22 5.已知la=5,lb1=3,且b⊥(a-b),则1a+bl= A.52 B.2√13 C.16 D.4 6.如图，在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，AA,=2AB,E是棱DD,的中点， 则直线AD,与BE所成角的余弦值为 A细 &9 c.5 5 【高一数学第1页（共4页）】 6374A 7.已知复数x= 12,当≥1时，不等式21zP-z+6≥0恒成立，则实数：的最大值是 B.43 C.86 5 D.46 8.如图，在△ABC中，∠BAC=于，Ai=3D克.P为CD上-点，且满足A户=mC+A.若 四 |AC1=3,1A1=4,则A户.CD的值为 ▣ A-3 B.3 c-是 D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 A所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥 B.棱柱的侧棱平行且相等 C.圆台的母线长不一定相等 D.半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面为球面 10.在△ABC中，B=号，BC=2AB.向量a,b满足a+b=AC,a-b=AB,则 A.A- B.lal=1b1 C.a·b=0 D.(2a-b)·BC=0 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则下列说法正确的是 A.若ccos C=bcos B,则△ABC是等腰三角形 B.若a>b,则sinA>sinB C.若asin A十bsin B<csin C,则△ABC是钝角三角形 D.若△ABC不是直角三角形，则anA十tanB+tanC=tan Atan Btan C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数z满足：·i=1十i,则= 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=3,c=√7，则△ABC的面积为 14.如图，点P,A,B,C均在球O的表面上，PA=PC=BC=1,AB=2,PB =√2，平面PAC⊥平面ABC,则球O的体积为一 【高一数学第2页（共4页）】 6374A 四、解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知：a=(m一6,1)，b=(m一2,3)，c=(m+1,4m),复数：=a·b+a·ci(i为退数单位， m∈R). (1)若复数z为非零实数，求(a+b)·(a一c): (2)若复数：为纯虚数，求a在b一c上的投影向量的坐标. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,四边形ABCD是梯形，AB∥CD, AB=2CD,PDLBC,E是棱PC上的一点，且PE=2EC (1)求证：PA∥平面BDE: (2)若△PDC是锐角三角形，且DE⊥PB,求证：DE⊥平面PBC. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=43,c=6,a=12cosB+6. (】)求cosC: (2)求△ABC内切圆的半径. 【高一数学第3页（共4页）】 6374A 18.(木小题满分17分) 已知△BC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,满足名。+6产。=1. (1)求角A: (2若△1BC的外接圆的面积为号sinB+snC=5y。 7sinA,求△ABC的面积 19.(本小题满分17分) 长 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD, PA=√3，PC=3点F为棱PC的中点. (1)求证：AF⊥BD: (2)求二面角B-PA-D的余弦值： (3)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值. 名 【高一数学第4页（共页）】 6374A20252026下学期高一期中考试·数学 参考答案 题号 2 4 5 6 7 8 答案 C C B D B D A C 题号 9 10 11 答案 BD ABD BCD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案】C 【解析】1-iD(2+_2+i21正=3=3)-D=一3i+?=-1-3i,则复数1-iD(2+D对应的点 i i(-i) 为(-1，一3)，位于第三象限，故选C. 2.【答案】C 【解析1a十b=(6,2十0，a/(a十6)，5(2+)=6X2,A=号，故选C 3.【答案】B 3 【解标】因为coA=寺，所以smA=号，则号-合-三=专。 则2=第=工三5，b=3,得a=2,故选B. 4.【答案】D 【解析】A'C=2,则A'B'=√2，因此点B到AC距离为2√2，故选D. 5.【答案】B 【解析】因为b⊥(a-b),所以b·(a-b)=0,即a·b=b=9,所以|a+b12=a+2a·b十b=25十18十9= 52,所以|a十b=2√/13，故选B. 6.【答案】D D 【解析】连接C1E,C1B,如图所示.易得AD1∥BC,所以∠EBC1为直线AD与BE所成 的角.不妨设AB=1,易得BE=√3，BC=√5，CE=√2，所以BC=BE十CE,所以 BE1CE,所以os∠EBC一 BE=压，即直线AD,与BE所成角的余弦值为压】 5 5 故选D. 7.【答案】A 【解析因为：-10e=00g1书=45a+25ai,又>1，所以z-10a, 2-i(2-i)(2+iD 由a≥1时，不等式2|x2-tx十6≥0恒成立， 所以≤21：十日恒成立，即1≤20a十品恒成立， 6 3 令f(a)=20a+ 320 S 100 a十 ,因为a≥1时，f(a)单调递增，所以f(a)m=f1)=103 5 所以实数：的取值范围是(-©，19] 故选A. 【高一数学参考答案第1页（共5页）】 6374A 8.【答案】C 【解析】因为AD=3D成，所以AB=号AD, 所以A市=mA花+}A店=mA心+号A心，因为C.P,D三点共线，所以m十子=1，即m=号， 所以A市=号A心+A成，又C市=A市-A花=是AB-AC,所以A市.C市=（号AC+A)· (是A店-A心)=品A-号A衣+十A·A心-器×16-子×9+十×3×4×号=3-6+号=-号故 选C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】BD 【解析】对A,因为正八面体每个面都是三角形，所以A错误； 对B,棱柱的侧棱平行且相等，所以B正确； 对C,圆台的母线长都相等，所以C错误： 对D,球面就是半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面，所以D正确.综上，故选BD. 10.【答案】ABD 【解析】在△ABC中，由余孩定理：60sB-AB ABC RCAC=三，代人BC=2AB得到AC=5AB,所以 2AB·BC AB+AC=BC,即A=受，选项A正确； 由AC.A=0得到|a=|b1,选项B正确； 因为A亡-A花=2b=BC,取BC的中点0，则O心=b,Aò=A心-O心=a,容易得到a,b)=号，a·b≠0，选项 C错误； (2a-b)·BC=(2a-b)·2b=4a·b-2b=4a·bX号-2b=0,选项D正确.故选ABD 11.【答案】BCD 【解析】因为ccos C=bcos B,由正弦定理得sin Ccos C=sin Bcos B,即sin2C=sin2B,所以2C=2B或2C+ 2B=π，即C=B或C+B=受，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误； 由正弦定理得a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,a>b,.2 Rsin A>2 Rsin B,.sinA>sinB,故B正确； 因为asin A十sinB<C,.由正弦定理得a2十公<C,所以osC-a+∠<0，所以C>受，所以 2ab △ABC是钝角三角形，故C正确； 由△ABC不是直角三角形且A=π-(B十C),得tanA=-tan(B+C)=一 tan B+tan C 1-tan Btan C,所以tanA+ tanB+tanC=tan Atan Btan C,故D正确.故选BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】1+i 【解析)因为文·=1+已=1+=①+i)·（D=1-所以=1十. i·(-i) 18.【答案】 【高一数学参考答案第2页（共5页）】 6374A 【得折1曲余孩定理得，msC-+。-技2是=所以血C-C-√ 2ab Sa=absin C=X23x9-39 2 2 1.【答秦户 【解析】取AC的中点D,连接PD,BD,如图，在△PAC中，PD⊥AC,因为平面PAC⊥平面ABC,且平面 PAC∩平面ABC=AC,所以PD⊥平面ABC. 设AD=x,则PD=1-x,cos∠BAC=AB+AC-BC_3+4x 2AB·AC 8x, BD=AD2+AB-2AD·ABcos∠BAC=x+4一2·2x·34z=号-x3 8x 因为Pg=PD+BD,所以1-+号-=2，解得x=号，则PD=号 所以AC=2x=√3，因为AC2+BC=AB,所以AC⊥BC 取AB的中点G,则G为△ABC外接圆的圆心，过点G作直线l1垂直于平面ABC, 设△APC外接圆的圆心为E,过E作直线l2垂直于平面APC,记l∩L2=F, 在△APC中，由正弦定理可得2PE= PC Fsin∠PAC-PD =2,解得PE=1, PA 则F为四面体P-ABC外接球的球心.连接AF, 则FG=DE=PE-PD=1-合-合： 四面体P-ABC外接球的半径为AF=√AG+FC= 2, 所以四面体A-CD外接球的体积为子·（停）广-5 6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.【答案】(1)120(2)(0.1) 【解析】(1)x=(m-6)(m-2)十3+[(m-6)(m十1)十4m]i=m2-8m十15十(m2--6)i,…2分 若复数之为非零实数，则m2一m一6=0且m2一8m十15≠0，解得m=一2.……4分 此时a=(-8,1),b=(-4,3),c=(-1,-8),则a十b=(-12,4),a-c=(-7,9), 所以(a十b)·(a-c)=-12X(-7)+4X9=120;……………7分 (2)若复数之为纯虚数，则2一8m十15=0且m2一m一6≠0，解得m=5,…8分 此时a=(-1,1),b=(3,3),c=(6,20),则b2c=(3,3)-(3,10)=(0,-7),…11分 a…(b-2c）b-2c 、1 所以a在b-2c上的投影向量为 b-ze b-ze 7X(0,-1)=(0,1).…13分 7 16.【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】(1)连接AC,交BD于点F,连接EF,如图所示， 因为AB/CD,所以△FDC△FBA,所以紧-器名 又PE=2EC,所以-3，所以EF∥PA,……………4分 【高一数学参考答案第3页（共5页）】 6374A 又EFC平面BDE,PA平面BDE,所以PA∥平面BDE;… 6分 (2)在△PDC中，过点P作DC的垂线，垂足为O,如图所示 因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD, PO⊥DC,POC平面PDC,所以PO⊥平面ABCD,…9分 又BCC平面ABCD,所以PO⊥BC,又PD⊥BC,PO∩PD=P,PO, PDC平面PDC,所以BC⊥平面PDC,……12分 又DEC平面PDC,所以BC⊥DE,……14分 又DE⊥PB,PB∩BC=B,PB,BCC平面PBC,所以DE⊥平面PBC.…15分 17.【答案1 (2)4√2-26 【解析】(1)：a=12cosB+6,b=4√3，c=6, cos B-atei,a=12.6 4分 2ac 2ac a=0十3648十6，解得a=2,…………………… cosC=a+-C=2+4V5)2-36=区 2ab 2×2×4√3 3 ……………………………7分 (2②)由1知oc-号得nC- 3 8分 ∴.SAABC= 2absin C=- 11分 设△ABC内切圆半径为，则2ar十 之c=SaBc,则r a+b干c2+45+6=4yE-26.… 2S△ABx 8v2 ………4444……0…404……4444……4 1【答案11号(e9 【解析1因为产。十。二。 =1, 所以b(b-a)十c(c-a)=(c-a)(b-a),… 3分 整理得b十c2-a2=bc,… 6分 由余弦定理得cosA=十c2-a2」 bc 2bc 2bc 7分 又A∈0，，所以A=号： ……………………8分 (2)因为A=号，所以△ABC的外接圆的半径为2smA ……………………9分 2sin 又因为△ABC的外接圆的面积为，所以x(号)-号，可得a=厅，…1分 又因为a=√7及b2十c2-a2=bc,所以b2十c2-7=bc,可得(b十c)2-7=3bc,…13分 又因为s如B十sinC-nA及正孩定理，所以6什 57 …………………14分 7 又因为Q=万，所以b十c=5,……………………15分 将b十c=5代入(b十c)2-7=3b,可得bc=6,……16分 【高一数学参考答案第4页（共5页）】 6374A 所以△ABC的面积为snA=方×6×号-3 ………………17分 19.【答案】1)详见解析(2)是(e)2四 91 【解析】(1)连接AC交BD于点O,再连接PO,如图所示，在△PBD中，PB=PD,O是BD的中点，所以PO ⊥BD,又四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，所以BD=2,AC=2√3，BD⊥AC,又AC∩PO= O,AC,POC平面PAC,所以BD⊥平面PAC,… ………3分 又AFC平面PAC,所以AF⊥BD;5分 (2)因为PA=√3，PC=3,AC=2√3，所以PA⊥PC,∠PCA=30°，所以PO=√3，又PO⊥BD,所以PB= PD=√JPO+OB=2. 取PA的中点M,连接MB,MD,如图所示.在△BAP中，BA=2,BP=2,AP =5,点M是PA的中点，所以BM1PA,BM=√AB-(婴)-园 2 同理可得DMLPA,DM=压，所以二面角B-PA-D的平面角为 ∠BMD,………11分 在△BMD中，DM=四，BM=至，BD=2,由余弦定理得cos∠BMD MB2+MD2-BD 2MB·MD 13+13-4 44 ③X后3即三面角B-PA-D的余弦值为名3； 2 2 (3)在△PCG中，PG1GC,PC=3,∠PCG=30°，所以PG= 2 由(2)奥△PAB的面积Sa=PA·BM=之X厅×平-厘 2 4 因为点E是PC的中点，所以Vea=2Vea=号Vw=×号×之×2×2sin120×号-号 24 设点F到平面PAB的距离为d,所以Vu-号5·d-×厘4-层=V=9,…16分 4 解得d=3v3 13 3/13 又AF=√PA干PF=Y,设直线AF与平面PAB所成角为0，所以sin0= 13 AF 223,所 2 /21 91 2 以直线AF与平面PAB所成角的正弦值为2√②73 91 ……17分 【高一数学参考答案第5页（共5页）】 6374A