河北承德市高新区第一中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

**基本信息** 高一数学期中试卷聚焦向量、三角函数、解三角形等核心知识，通过基础概念辨析（如单位向量性质判断）、综合应用（如梯形动点问题）和开放探究（如三角函数性质讨论），考查数学抽象、逻辑推理与几何直观素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量概念、三角函数图像变换、解三角形|基础概念辨析（如单位向量模相等判断）| |多选题|3/18|三角函数性质、三角形形状判定|知识辨析与多解能力（如三角形锐角/直角判定）| |填空题|3/15|三角恒等变换、向量数量积|运算准确性（如锐角三角函数求值）| |解答题|5/77|向量坐标运算、解三角形、三角函数性质及几何应用|数学建模与逻辑推理（如梯形动点范围问题）|

2025--2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．下列说法不正确的是（     ） A．单位向量的模一定相等 B．若，则 C．在等边三角形中，与的夹角为 D．若，则平面四边形一定是平行四边形 2．中，，，是的中点，则（   ） A． B．7 C． D．25 3．将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的最小正周期为4，且，则（    ） A． B． C．0 D． 5．已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 6．记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 7．在中，角的对边分别是，若，则的面积为（    ） A． B．1 C．5 D． 8．设，，，则有（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知函数，则（   ） A．函数的最小值为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则符合条件的有且仅有一个 B．若，则是等边三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 11．已知向量，则（    ） A．当时， B．存在，使 C．当时， 在方向上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时， 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知为锐角，，则__________． 13．化简___________． 14．已知边长为2的菱形，，设中点为，，点为线段上一点，且满足，则__________；此时__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．本小题13分已知，，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标． (3)若 与垂直，求的值． 16．本小题15分在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 17．本小题15分已知函数. (1)求的最小正周期和增区间； (2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围. 18．本小题17分已知. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象.若图象关于点对称，求函数的解析式. 19．本小题17分如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相等向量的定义判断B；根据向量夹角的定义判断C；根据平行四边形的判定判断D． 【详解】对于A，单位向量为模为1的向量，故A正确； 对于B，若，由于方向不确定，故不一定相等，故B错误； 对于C，在等边三角形中，与的夹角为，故C正确； 对于D，若，则平面四边形一定是平行四边形，故D正确． 2．A 【详解】因为是的中点，所以，又， 所以. 3．B 【详解】的图象上的所有点向左平移个单位长度， 得到，故B正确. 4．D 【详解】由函数的最小正周期为4，得，解得， 由，得，解得， 所以. 5．B 【分析】先由最小正周期求，根据求，再结合余弦函数的单调递增区间推导的增区间，结合选项得出结果. 【详解】由于函数最小正周期，得， 由，且，得，因此， 令，解得：， 当时，一个递增区间为，而， 所以函数在上单调递增. 6．C 【分析】应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状. 【详解】因为，由正弦定理得，又，故， 由余弦定理得，故， 得，所以， 得， 所以，或，，所以为钝角三角形. 7．D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再利用余弦定理求，结合三角形面积公式求出面积即可求解． 【详解】在中，由正弦定理得：， 因此， 则， 而，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以． 8．D 【分析】由辅助角公式、两角和的正切公式、及余弦二倍角公式化简，结合正弦函数的单调性即可判断. 【详解】 ， ， ， 由在的单调性可知：. 9．AB 【分析】利用正弦函数性质依次判断ABC；利用平移变换求出解析式判断D. 【详解】对于A，当，时，函数取得最小值，A正确； 对于B，，点是函数图象的一个对称中心，B正确； 对于C，由，得，因此函数在区间上单调递减，C错误； 对于D，的图象向左平移个单位长度得到，D错误． 10．BCD 【分析】由余弦定理解得第三边长可判断A；由余弦函数的值域可判断B；利用等式变形为边长间关系可得C；先由正弦定理边化角和平方关系得到，再结合余弦型函数的单调性可得D. 【详解】由余弦定理得，即，解得，故符合条件的有两个，A错误； 由于，所以， 故0，整理得，所以为等边三角形，B正确； 因为，所以，，所以是锐角三角形，C正确； 由正弦定理及，得， 所以，即， 显然，， 函数在，上单调递增，且当时，，当时，， 由，可得，是等腰三角形，D正确． 11．AD 【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据投影向量的计算公式求解判断C，根据数量积的坐标运算判断D. 【详解】对A，，则，解得，A正确； 对B，，若，则， 即，故不存在，使，B错误； 对C，当时，，， 在方向上的投影向量为，C错误； 对D，当与夹角为锐角时，且不共线， 即且，解得，D正确． 12． 【分析】借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】由，为锐角，则， 由为锐角，则，又，故， 则， 故 ， 又为锐角，故. 13． 【详解】 14． 【分析】设，用，表示出，列方程组即可求出；用，表示出，根据向量数量积的运算律即可求出. 【详解】设. ，， . . 又，所以，解得. 此时. . 所以 . 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的坐标表示和线性运算坐标表示列方程组计算即可求解； （2）根据，设，结合向量线性运算坐标表示计算即可求解； （3）根据向量线性运算坐标表示结合题意列式计算即可求解. 【详解】（1）因为，且， 所以， 所以， 因为，所以可得，解得． （2）因为线段的三等分点为（点靠近点）， 所以， 设，即， 得到，解得，即点的坐标为． （3）， 由于与垂直，∴，∴． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解； （2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. （2）由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. 17．(1)最小正周期为，增区间为； (2) 【详解】（1）， 所以的最小正周期为， 令，则， 所以的增区间为； （2）当时，，则，故， 令，得，即实数的取值范围是. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后根据周期公式即可求解； （2）根据正弦函数的单调增区间即可求解； （3）首先根据图像平移得出，然后根据正弦函数的对称性求出. 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为. （2）由，可得， 所以函数的单调增区间为. （3）将函数的图象上的所有点沿向量平移， 得到的图象，所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，当时，，故. 19．(1) (2) (3) 【分析】建立平面直角坐标系，明确各点的坐标. （1）用表示，可得的值，可求的值. （2）设，利用可求的值. （3）利用坐标运算得到，再结合二次函数的值域求的范围. 【详解】（1）如图： 以为原点，建立如图平面直角坐标系，设，， 则，，，，，. 所以， 又，，所以. 又，所以，， 所以. （2）因为，， 由，又，所以. 故. （3）设，， 则，， 所以， 当时，；当或时，. 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $