5.2分式的运算 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式运算，分层设计从基础运算到综合应用，通过新定义情境培养运算能力与推理意识，实现知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|分式乘除、最简公分母、直接化简|如选择1分式除法、4题最简公分母，夯实概念与基本运算| |中档|条件化简、大小比较、纠错分析|如选择3结合a+b=5化简、18题分式运算纠错，培养推理意识| |提升|新定义运算、多条件综合、开放探究|如6题新运算定义、19题“可存异分式”探究，发展创新意识与应用能力|

5.2分式的运算 2025-2026学年北师大版八年级数学下册 一．选择题（共10小题） 1．计算的结果是（　　） A．3 B．a C． D． 2．计算的结果等于（　　） A．x﹣1 B．x+1 C． D． 3．如果a+b＝5（a≠b），那么的值是（　　） A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10 4．分式，，的最简公分母是（　　） A．12 B．24x3 C．12x6 D．12x3 5．若x﹣y＝3，则的结果为（　　） A．1 B．3 C．6 D． 6．定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简（1﹣x）※（x2﹣1）的结果是（　　） A． B．x+1 C． D． 7．已知.当x＞0，y＞0时，M，N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定 8．已知ab＝1，则的值为（　　） A．2026 B．2027 C． D． 9．若x2﹣5x+4＝0，则的值为（　　） A． B．3 C．±5 D．±3 10．已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则的值为（　　） A．﹣1 B． C．2 D． 二．填空题（共6小题） 11．化简：　 　 ． 12．已知，则xy＝　 　 ． 13．计算：（）2÷（）＝　 　 ． 14．若．则　 　 ． 15．若非负实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如，，所以是第1个“1阶倒差数”，，所以是第2个“1阶倒差数”，，所以是第3个“1阶倒差数”…，即，那么我们称a是第n个“1阶倒差数”；同理，，那么我们称b为第n个“2阶倒差数”． （1）第9个“1阶倒差数”是　 　 ． （2）若x，y均是由两连续偶数组成的“2阶倒差数”，且，则x＝　 　 ． 16．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：x2+y2，（x﹣1）（y﹣1），它们都是交换对称式．已知：（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣px+q． ①若p＝2，q＝﹣1，则交换对称式　 　 ； ②若q＝﹣2，则交换对称式的最小值为　 　 ． 三．解答题（共3小题） 17．先化简，再求值：，其中x＝1． 18．在数学课上，老师给出了这样一道题：计算．以下是小明同学的计算过程． 解：原式① ② ③ （1）以上过程中，第 　 　 步是进行分式的通分，通分的依据是 　 　 ； （2）以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程． 19．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与；因为，，所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式 　 　 （填“是”或“不是”）分式的“可存异分式”． （2）已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值． （3）若关于x的分式是关于x的分式的“可存异分式”，求m+n的值． 5.2分式的运算 2025-2026学年北师大版八年级数学下册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．计算的结果是（　　） A．3 B．a C． D． 【解答】解：3， 故选：A． 2．计算的结果等于（　　） A．x﹣1 B．x+1 C． D． 【解答】解： ， 故选：C． 3．如果a+b＝5（a≠b），那么的值是（　　） A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10 【解答】解：∵a+b＝5（a≠b）， ∴ ＝a+b ＝5． 故选：C． 4．分式，，的最简公分母是（　　） A．12 B．24x3 C．12x6 D．12x3 【解答】解：分式，，的最简公分母是12x3， 故选：D． 5．若x﹣y＝3，则的结果为（　　） A．1 B．3 C．6 D． 【解答】解：∵x﹣y＝3， ∴ ， 故选：D． 6．定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简（1﹣x）※（x2﹣1）的结果是（　　） A． B．x+1 C． D． 【解答】解：（1﹣x）※（x2﹣1） ． 故选：D． 7．已知.当x＞0，y＞0时，M，N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定 【解答】解：已知， 则M﹣N ， ∵x＞0，y＞0， ∴0， ∴M＜N， 故选：C． 8．已知ab＝1，则的值为（　　） A．2026 B．2027 C． D． 【解答】解：∵ab＝1， ∴原式 ＝2026×1 ＝2026． 故选：A． 9．若x2﹣5x+4＝0，则的值为（　　） A． B．3 C．±5 D．±3 【解答】解：当x＝0时，x2﹣5x+4＝4≠0， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10．已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则的值为（　　） A．﹣1 B． C．2 D． 【解答】解：由a+b+c＝2，两边平方， 得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝4， 将已知代入，得ab+bc+ac； 由a+b+c＝2得：c﹣1＝1﹣a﹣b， ∴ab+c﹣1＝ab+1﹣a﹣b＝（a﹣1）（b﹣1）， 同理，得bc+a﹣1＝（b﹣1）（c﹣1）， ca+b﹣1＝（c﹣1）（a﹣1）， ∴原式 ． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．化简：　　 ． 【解答】解：， 故答案为：． 12．已知，则xy＝　2　 ． 【解答】解：根据完全平方公式得， 展开得， 将代入上式得， 移项得， 解得xy＝2． 故答案为：2． 13．计算：（）2÷（）＝　　 ． 【解答】解：原式， 故答案为． 14．若．则　3　 ． 【解答】解：由条件可知 ＝5﹣2 ＝3， 故答案为：3． 15．若非负实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如，，所以是第1个“1阶倒差数”，，所以是第2个“1阶倒差数”，，所以是第3个“1阶倒差数”…，即，那么我们称a是第n个“1阶倒差数”；同理，，那么我们称b为第n个“2阶倒差数”． （1）第9个“1阶倒差数”是　　 ． （2）若x，y均是由两连续偶数组成的“2阶倒差数”，且，则x＝　　 ． 【解答】解：（1）第n个“1阶倒差数”，故第9个“1阶倒差数”是； 故答案为：； （2）设，（其中m，n为偶数）． 则， ∴m2﹣n2+2m﹣2n＝24， ∴（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）＝24， ∴（m+n+2）（m﹣n）＝24， ∴（m+n+2）（m﹣n）＝24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6， ∵m，n为偶数， ∴m+n+2、m﹣n都是偶数， 从而可得① ∴m＝6，n＝4． ∴． 或② ∴m＝4，n＝0（舍）． 综上所述x的值为． 故答案为：． 16．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：x2+y2，（x﹣1）（y﹣1），它们都是交换对称式．已知：（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣px+q． ①若p＝2，q＝﹣1，则交换对称式　﹣6　 ； ②若q＝﹣2，则交换对称式的最小值为　　 ． 【解答】解：①∵（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣px+q，（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab， ∴x2﹣（a+b）x+ab＝x2﹣px+q， ∴p＝a+b，q＝ab， ∵， ∵p＝2，q＝﹣1， ∴p＝a+b＝2，q＝ab＝﹣1， ∴原式， 故答案为：﹣6； ② ∵q＝﹣2， ∴q＝ab＝﹣2， ∴原式 ＝（a+b）2+4﹣（a+b） ＝p2+4﹣p 故答案为：． 三．解答题（共3小题） 17．先化简，再求值：，其中x＝1． 【解答】解： ∵x＝1， ∴原式． 18．在数学课上，老师给出了这样一道题：计算．以下是小明同学的计算过程． 解：原式① ② ③ （1）以上过程中，第 　②　 步是进行分式的通分，通分的依据是 　分式的基本性质　 ； （2）以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步出现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程． 【解答】解：（1）根据计算步骤可知，第②步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质， 故答案为：②，分式的基本性质； （2）不正确，第③步出现错误， 正确的解题步骤如下： 原式 ． 19．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与；因为，，所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式 　不是　 （填“是”或“不是”）分式的“可存异分式”． （2）已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值． （3）若关于x的分式是关于x的分式的“可存异分式”，求m+n的值． 【解答】解：（1）， ∴分式是分式的“可存异分式”， 故不是的“可存异分式”， 故答案为：不是； （2）①∵A﹣B＝AB， ∴（1﹣B）A＝B， ∴A2； ②∵A为正整数， ∴2为正整数， ∴2，且为整数， ∴x＝1或3或﹣3， 当x＝1时，A＝25； 当x＝3时，A＝23； 当x＝﹣3时，A＝21； 综上，A的值为5或3或1； （3）由题可知B，A， 1+A， ∵A﹣B＝AB， ∴B•， ∴， ∴m﹣n＝3， m2﹣n2﹣（m﹣n）＝（m﹣n）（m+n﹣1）＝﹣1， ∴3（m+n﹣1）＝﹣1 ∴m+n． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/7 14:06:56；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $